BertJanssen-RelatividadGeneral-201

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Sin embargo, obsérvese que, debido al término cruzado gt̃r, en estas coordenadas la métrica
(12.29) ya no tiene la simetrı́a t̃ → −t̃ que uno esperarı́a de una solución estática. Pero ya he-
mos dicho antes que, en lugar de las coordenadas avanzadas de Eddington-Finkelstein (12.26),
podı́amos haber elegido las coordenadas retardadas
t̄ = t − 2M log(r − 2M), (12.30)
de modo que la métrica serı́a
ds2 =
(
1 − 2M
r
)
dt̄2 +
4M
r
dt̄dr −
(
1 +
2M
r
)
dr2 − r2dΩ22. (12.31)
Obsérvese que la diferencia entre estas dos expresiones es el signo del término cruzado, de modo
que la transformación t̃ ⇄ t̄ mapea una métrica en la otra. En la región r > 2M , las transforma-
ciones (12.26) y (12.30) mapean la métrica (12.13) en (12.29) y (12.31) respectivamente, de modo
que fuera del radio de Schwarzschild, estas tres métricas corresponden a la misma solución. Sin
embargo, dentro del radio de Schwarzschild (12.29) y (12.31) no son equivalentes, ya que el cam-
bio de coordenadas t̃ ⇄ t̄ no está bien definido para r < 2M . El hecho de que estas dos métricas
no sean fı́sicamente equivalentes se ve en el comportamiento de las geodésicas radiales nulas.
No es difı́cil ver que en las coordenadas (t̄, r, θ, ϕ) son las geodésicas salientes las que siempre
tienen un ángulo constante de 45o con el eje r y que los conos de luz cerca de la singularidad se
inclinan hacia el exterior (ejerc.). El radio de Schwarzschild r = 2M en (12.31) corresponde a una
membrana que sólo deja pasar influencias causales desde el interior hacia el exterior, un tipo de
“agujero blanco”, justo al revés que en las coordenadas (t̃, r, θ, ϕ).
La solución de esta extraña paradoja es que las coordenadas avanzadas y retardadas de
Eddington-Finkelstein describen la misma región del espaciotiempo para r > 2M , pero la parte
con r < 2M en coordenadas (t̃, r, θ, ϕ) no es la misma que la parte con r < 2M en coordena-
das (t̄, r, θ, ϕ). Las coordenadas avanzadas describen una región asintóticamente plana con una
singularidad cubierta por un horizonte en el futuro. Una vez cruzado este horizonte es impo-
sible volver a la parte asintóticamente plana. Las coordenadas retardadas describen la misma
región asintóticamente plana, pero con una singularidad cubierta por un horizonte en el pasado.
Influencias causales pueden salir de la singularidad, cruzar este horizonte y llegar a la región
asintóticamente plana, pero una vez cruzado este horizonte es imposible volver a la singularidad
original (véase Figura 12.4).
Matemáticamente lo que ocurre es que ninguna de las dos coordenadas describe la variedad
completa, sólo parches de ella. En la Figura 12.4, la parte asintóticamente plana corresponde
a la región I y el horizonte r = 2M corresponde con las lı́neas continuas de 45o. Detrás del
horizonte hay dos regiones, II y II’, mutuamente simétricas en el tiempo, cada una con su propia
singularidad. Las coordenadas avanzadas cubren las regiones I y II, mientras las coordenadas
retardadas las regiones I y II’.
Se podrı́a preguntar si existe un sistema de coordenadas que cubra todas estas regiones a la
vez. La respuesa es sı́, las llamadas coordenadas de Kruskal, aunque nos llevarı́a demasiado lejos
dar la derivación en detalle. En estas coordenadas la métrica viene dada por
ds2 =
16M2
r
e−r/2M
(
dT 2 − dR2
)
− r2dΩ22, (12.32)
donde las coordenadas T y R están relacionadas con las coordenadas de Schwarzschild t y r a
través de
T = er/4M
√
r − 2M sinh
( t
4M
)
, R = er/4M
√
r − 2M cosh
( t
4M
)
, (12.33)
que el cambio de coordenadas t̃ = t + 2M log(2M − r) aplicado a la parte r < 2M de la métrica (12.13) lleva a la misma
expresión, lo que demuestra que las dos partes disconexas r < 2M y r > 2M de (12.13) en realidad describen la misma
solución, y que las coordenadas de Eddington-Finkelstein (t̃, r, θ, ϕ) cubren ambas regiones.
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