BertJanssen-RelatividadGeneral-197

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Pero esto resulta ser una conclusión errónea, debido a que las coordenadas (t, r, θ, ϕ) no son
apropiadas para describir lo que pasa cerca del radio de Schwarzschild. En 1939, el fı́sico esta-
dounidense Robert Oppenheimer (1904 - 1967) se dió cuenta de que el tiempo de caı́da es muy
diferente, si lo expresamos en el tiempo propio de la partı́cula en caı́da libre. Para esto es necesa-
rio hacer un estudio de las geodésicas radiales temporales.
Para calcular las geodésicas temporales radiales estamos interesados en la componente tem-
poral de la ecuación (7.42),
ẗ + 2Γttr ṫṙ = 0, (12.19)
donde el punto se refiere a la derivación con respecto al tiempo propio τ . Para nuestro caso de
la solución de Schwarzschild, podemos simplificar esta expresión, multiplicando la ecuación por
gtt y escribiendo el sı́mbolo de Christoffel explı́citamente en función de la métrica con la fórmula
(8.7), de modo que (12.19) se convierte en (ejerc.)
d
dτ
(
gtt ṫ
)
= 0, (12.20)
lo que se puede integrar directamente a
(
1 − 2M
r
)
ṫ = 1. (12.21)
La constante de integración 1 ha sido elegida tal que la ecuación corresponde a la de una partı́cu-
la que cae desde infinito con velocidad inicial cero, puesto que de (12.21) deducimos que dτ ≈ dt
para r ≫ 2M . En otras palabras, cerca del infinito los efectos de dilatación temporal especial-
relativista entre el observador en caı́da libre y el observador midiendo con el tiempo t son des-
preciables. Por lo tanto podemos concluir que la coordenada t corresponde al tiempo propio de
un observador asintótico en el infinito, lejos del centro de la solución. Esto ya es una primera
indicación de que el sistema de coordenadas (t, r, θ, ϕ) no es muy apropiado cerca del radio de
Schwarzschild, ya que sabemos que el tiempo no corre igual arriba y abajo en un potencial gra-
vitatorio.
Por lo tanto, las ecuaciones para las geodésicas temporales vienen dadas por (12.21), junto con
la ecuación (7.53), que en nuestro caso es de la forma
(
1 − 2M
r
)
ṫ2 −
(
1 − 2M
r
)−1
ṙ2 = 1. (12.22)
Esta última expresión la podemos rescribir como
ṙ2 =
(
1 − 2M
r
)2
ṫ2 −
(
1 − 2M
r
)
=
2M
r
, (12.23)
donde en la última igualdad hemos utilizado la ecuación (12.21). Lo más sencillo es ver (12.23)
como una ecuación diferencial para τ en función de r,
dτ
dr
= −
√
r
2M
, (12.24)
con solución (ejerc.)
τ =
2
3
√
2M
(
r
3/2
0 − r3/2
)
. (12.25)
En otras palabras, cayendo desde una distancia r0, un observador O′ en caı́da libre llega al radio
de Schwarzschild r = 2M e incluso a la singularidad r = 0 en un intervalo de tiempo propio τ
finito. Por lo tanto, aunque no lo parece de la Figura 12.1, es perfectamente posible llegar al radio
de Schwarzschild, cruzarlo y llegar a la singularidad. El problema está en que la Figura 12.1
está dibujado en coordenadas (t, r, θ, ϕ), que son las coordenadas de un observador O en r = ∞.
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