BertJanssen-RelatividadGeneral-155

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disminuye por lo tanto por el flujo de materia (momento) que entra o sale. Las componentes i de
la ecuación (10.2) son la ley de conservación de momento, ya que se traduce a
∂0T
0i
(mat) + ∂jT
ji
(mat) = ∂t(ρv
i) + ∂j(ρv
jvi), (10.4)
lo que corresponde a la versión de la ecuación de Euler en la mecánica de fluidos, para el caso de
un fluido sin presión ni fuerzas externas.
Las leyes de conservación de energı́a y momento, codificadas en esta expresión son tan fun-
damentales que se puede tomar esta última expresión como una condición necesaria para un
tensor de energı́a-momento fı́sciamente relevante. Veremos en la sección 10.2 que la condición
∇µT µν = 0 juega un papel importante en la formulación de las ecuaciones del campo gravitacio-
nal.
Un ejemplo un poco más complicado es el caso del fluido perfecto, con densidad ρ y presión
P . El tensor de energı́a-momento en este caso viene dado por
T µν(perf.fl.) = (ρ0 + P )u
µuν − Pηµν . (10.5)
Un observador comóvil, verá localmente un fluido isótropo y para este observador, el tensor de
energı́a-momento tiene la forma sencilla
T µν(perf.fl.)
∗
=




ρ0 0 0 0
0 P 0 0
0 0 P 0
0 0 0 P




(10.6)
Se puede demostrar que, imponiendo ∂µT
µν
(perf.fl.) = 0 en (10.5) para el caso de espacio plano,
encontramos las leyes de conservación de energı́a y de momento en la versión relativista:
∂µ(ρ0u
µ) + P∂µu
µ = 0,
(ρ0 + P )u
µ∂µu
ν − ∂νP + ∂µPuµuν = 0. (10.7)
En general la presión y la densidad del fluido no son variables independientes y la relación
entre las dos se llama la ecuación de estado, P = P (ρ). Muchas veces se supone una relación lineal
entre la presión y la densidad
P = wρ, (10.8)
donde la constante de proporcionalidad w es el parámetro de la ecuación de estado . El tensor de
energı́a-momento (10.5) y la ecuación de estado (10.8) son de gran importancia en la cosmo-
logı́a, donde los distintos tipos de energı́a están representados por fluidos perfectos con distintos
valores de w. Por ejemplo, la materia se comporta como materia frı́a y está caracterizado por
P = 0, mientras la radiación (o materia relativista) satisface P = 13ρ y una constante cosmológica
P = −ρ. Entraremos en más detalle en el Capı́tulo 13.
Finalmente, un tensor de energı́a-momento del campo electromagnético viene dado por
T µν(em) = −F
µρF νρ +
1
4
ηµνFρλF
ρλ. (10.9)
Efectivamente, en lenguaje tridimensional en función de los campos eléctricos ~E y magnéticos ~B,
los componentes se traducen a (ejerc.)
T 00(em) =
1
2
(E2 + B2), T 0i(em) = (
~E × ~B)i,
T ij(em) = EiEi + BiBj +
1
2
δij(E2 + B2). (10.10)
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