BertJanssen-RelatividadGeneral-176

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De los términos de corrección, el segundo es el más importante porque es proporcional a ϕ y
representa por lo tanto un efecto acumulativo. Despreciando los otros términos y quedándonos
sólo con términos hasta orden ε, podemos escribir (11.36) como (ejerc.)
u ≈ m
2
0M
L2
[
1 + e cos
(
(1 − ε)ϕ
)]
. (11.37)
Esta ecuación es muy parecida a la del elipse (11.24), sólo que hay una perturbación de orden ε
en la dependencia angular. Por lo tanto, la curva (11.37) representa en primera aproximación un
elipse, pero el periodo de la trayectoria no es de 2π, sino un poco mayor,
2π
1 − ε ≈ 2π(1 + ε). (11.38)
En otras palabras, el planeta no sigue una trayectoria perfectamente elı́ptica, sino que el elipse se
va girando un poco cada revolución, de modo que el planeta alcanza su perihelio un poquito más
tarde cada vez. El retraso viene dado precisamente por el parámetro ε. La definición (11.32) de ε
nos enseña que el efecto es independiente de la masa m0 del planeta, pero que aumenta cuanto
más cerca esté el planeta del Sol y más excéntrica sea su órbita.
El desplazamiento del perihelio de Mercurio de 574 arcosegundos por siglo ya era conocida
desde la primera mitad del siglo XIX. En los 1850, Le Verrier, el co-descubridor de Neptuno, cal-
culó que la mayor parte del efecto medido (531 arcosegundos por siglo) es debido a la influencia
gravitational de los demás planetas, sobre todo de Venus. Pero el cálculo de Le Verrier también
mostró que aún quedaba un desplazamiento adicional de unos 42 arcosegundos por siglo sin ex-
plicar, mucho más que el error observacional, lo que hizo que el problema era considerado como
una de las anomalı́as más grandes de la mecánica newtoniana. Le Verrier mismo creó que este
efecto era debido a la existencia de un planeta interior a Mercurio, bautizado Vulcano.3 El proble-
ma de esta teorı́a era que para poder causar el efecto calculado, Vulcano deberı́a ser tan grande
que serı́a perfectamente visible desde la Tierra. A pesar de que se anuciaron algunas observa-
ciones (después de la publicación de Le Verrier), su existencia nunca se ha llegado a confirmar
y el problema permaneció hasta que Einstein calculó en 1915 las correcciones relativistas al po-
tencial newtoniano y vió que causaban un desplazamiento al perihelio de Mercurio adicional
al efecto newtoniano, que cuadraba con las observaciones. Efectivamente el efecto relativista es
de 42, 98 ± 0, 04 arcosegundos por siglo, con un error teórico perfectamente compatible con las
observaciones.
11.3. La deflexión de la luz
El cálculo de la deflexión de la luz es muy parecido al cálculo del perihelio de Mecurio, sólo
que, en vez de calcular las geodésicas temporales en la solución de Schwarzschild, hay que cal-
cular las geodésicas nulas. Por lo tanto, restringiéndonos al movimiento plano, las componentes
t y θ de la ecuación de la geodésica y la condición de que éste sea nula imponen las siguientes
ecuaciones, análogas a (11.25),
(
1 − 2M
r
)
ṫ = k, r2ϕ̇ = ℓ,
(
1 − 2M
r
)
ṫ2 −
(
1 − 2M
r
)−1
ṙ2 − r2ϕ̇2 = 0, (11.39)
donde ahora el punto indica una derivación con respecto al parámetro σ de la geodésica nula, que
ya no tiene la interpretación del tiempo propio y ℓ es el momento angular asociado a la geodésica.
3No confundir con el planeta paterno de Mr. Spock en Star Trek. Aunque sı́ hay relación: cuando Gene Roddenberry
(1921 - 1991) inventó Star Trek en 1964, recicló el nombre del planeta de Le Verrier para los primeros extraterrestres que
aparecen en su serie.
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	III Relatividad General
	Los tests clásicos de la relatividad general
	La deflexión de la luz