BertJanssen-RelatividadGeneral-156

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En T 00(em) reconocemos la expresión para la densidsad de energı́aEem del campo electromagnético
(1.39a), mientras T 0i(em) son las componentes del vector de Poynting (1.39b),
~S = ~E× ~B, que descri-
be el flujo de energı́a y del momento del campo electromagnético. Finalmente, las componentes
T ij(em) se pueden identificar con el tensor de momento electromagnético (1.45), que describe el
flujo de momento del campo electromagnético. En lenguaje covariante, la densidad de energı́a,
el vector de Poynting y el tensor T ij(em) son componentes distintas del mismo tensor T
µν
(em).
Si calculamos la divergencia del tensor de energı́a-momento (10.9) utilizando las leyes de
Maxwell, vemos que en presencia de cargas y corrientes la divergencia no es cero, sino (ejerc.)
∂µT
µν
(em) = jµF
µν . (10.11)
Dado que antes hemos interpretado ∂µT
µν = 0 como la ley de conservación de energı́a y de
momento, está claro que (10.11) implica que la energı́a y el momento del campo electromagnético
no se conserva, por lo menos no en presencia de cargas y corrientes. Esto es lógico, puesto que
el campo electromagnético interacciona con las partı́culas cargadas y es capaz de acelerarlas y
cambiar su energı́a y su momento.
Efectivamente, escribiendo (10.11) en lenguaje tridimensional vemos que la componente tem-
poral se traduce como
0 = ∂0T
00
(em) + ∂iT
i0
(em) − jiF 0i
=
1
2
∂t(E
2 + B2) + ~∇ · ( ~E × ~B) + ~ · ~E
= ∂t
(
Eem + Ecin
)
+ ~∇ · ~S, (10.12)
donde en la última igualdad hemos utilizado que el cambio en energı́a cinéticaEcin de las partı́cu-
las cargadas es justo el trabajo realizado por el campo eléctrico. A través de (3.26) tenemos que
dEcin
dt
= ~v · ~F =
∑
a
qa~v · ~E = ~ · ~E. (10.13)
La ecuación (10.12) dice por lo tanto que el cambio de energı́a total en un volumen, siendo la suma
de la energı́a del campo electromagnético y la energı́a cinética de las partı́culas cargadas, es igual
al flujo de energı́a a través de la superficie. En otras palabras, en presencia de cargas y corrientes,
la energı́a del campo electromagnético no se conserva, pero la energı́a total (la electromagnéctica
y la de la materia) sı́.
Del mismo modo podemos interpretar la componente espacial de (10.11) como la ley de con-
servación de momento total:
0 = ∂0T
0i
(em) + ∂kT
ki
(em) − j0F 0i − jkF ki
= ∂tSi + ∂kT
ik + ρEi + ǫ
ikljkBl
= ∂t
(
Si +
∑
a
(pa)i
)
+ ∂kT
ik, (10.14)
donde en la última igualdad hemos escrito la fuerza de Lorentz (3.35) como el cambio demomen-
to de las partı́culas cargadas, a través de la segunda ley de Newton (3.24). Por lo tanto, el cambio
de momento del campo electromagnético más el cambio de momento de las partı́culas es igual al
flujo de momento por la superficie, de modo que la cantidad total de momento se conserva.
Por lo tanto, la divergencia del tensor de energı́a-momento (10.9) del campo electromagnético
no es cero, porque no describe un sistema cerrado, sino uno que interacciona con las partı́culas (o
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