BertJanssen-RelatividadGeneral-164

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El hecho de que la variación δS tenga que ser cero para cualquier variación δΓλµν , implica que
el integrando entre los corchetes es cero y dado que los términos dentro de los corchetes con
proporcionales a la derivada covariante de la métrica y la torsión, una solución obvia es
T µρλ = 0, ∇ρgµν = 0. (10.42)
En otras palabras, la acción es estacionaria bajo variaciones de la conexión, si la torsión y la
derivada covariante de la métrica son cero. Pero la simetrı́a la conexión y su compatibilidad con
la métrica son justamente las dos condiciones de la sección 8.1 que determinan unı́vocamente
la conexión de Levi-Civita. emos por lo tanto que la conexión de Levi-Civita surge de manera
natural en la relatividad general como consecuencia de las ecuaciones de movimiento de una
conexión general.
Resumiendo podemos decir que el formalismo de Palatini trata la métrica y la conexión co-
mo a priori independientes. La ecuación de movimiento de la métrica nos da las ecuaciones de
Einstein, mientras la ecuación de la conexión identifica la conexión como la de Levi-Civita. Hasta
ahora sólo hemos aplicado el formalismo de Palatini a la acción de Einstein-Hilbert, para obtener
las ecuaciones del vacı́o, pero el formalismo se aplica de igual manera a acciones con acoplos a
campos no-gravitacionales. La variación de la métrica dará las ecuaciones Einstein acoplado al
tensor de energı́a-momento y la variación de la conexión dará las mismas condiciones, ya que los
campos no-gravitacionales se acoplan a la métrica y no a la conexión. En la práctica por lo tanto
podemos olvidarnos de esta última variación y suponer directamente que la conexión es la de
Levi-Civita, variando sólo con respecto a gµν .
Finalemente, para obtener también las ecuaciones de Maxwell tenemos que generalizar la
acción de Einstein-Hilbert a la llamada acción de Einstein-Maxwell
S =
∫
d4x
√
|g|
[ 1
2κ
R − 1
4
FµνF
µν
]
. (10.43)
Obsérvese que las contracciones de la parte electromagnética están hechas a través de la métrica
general gµν , de acuerdo con el Principio de Mı́nimo Acoplo, FµνF
µν = gµρgνλFµνFρλ.
La variación con respecto a gµν da la ecuación de Einstein en presencia de campos electro-
magnéticos (ejerc.)
Rµν −
1
2
gµνR = κ
[
FµρFν
ρ − 1
4
gµνFρλF
ρλ
]
, (10.44)
mientras la ecuación de Euler-Lagrange para Aµ,
∂µ
( δL
δ(∂µAν)
)
− δL
δAν
= 0, (10.45)
nos proporciona la siguiente expresión para la ecuación de movimiento el campo electromagnéti-
co (ejerc.)
1
√
|g|
∂µ
[
√
|g| Fµν
]
= 0, (10.46)
lo que, usando la simetrı́a de la conexión, la antisimetrı́a de Fµν y la propiedad (8.30), pode-
mos reescribir como la ecuación de Maxwell en espacio curvos en ausencia de fuentes, en forma
explicitamente covaraiante (ejerc.),
∇µFµν = 0. (10.47)
Nótese que el lado derecho de la ecuación de Einstein es justo (salvo un signo) el tensor de
energı́a-momento (10.9). Esto es una propiedad general: Dado un lagrangiano L = LEH +Lφ, que
consiste de la acción de Einstein-Hilbert (10.32) más los términos Lφ que describen la dinámica
de un campo φ que interacciona con la gravedad, entonces el tensor de energı́a-momento de φ se
puede obtener a través de una variación de Lφ con respecto a gµν :
Tµν =
2
√
|g|
δ(
√
|g| Lφ)
δgµν
. (10.48)
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