BertJanssen-RelatividadGeneral-161

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Por ejemplo cualquiera de las expresiones
∇µFµν = jν ,
∇µFµν + ∇µRρνFµρ = jν ,
∇µFµν + Rµρλν∇λFµρ = jν + Rµνjµ,
... (10.25)
es una expresión covariante que se reduce en el espacio de Minkowski a la ley de Maxwell
∂µF
µν = jν . Sin embargo, fı́sicamente no son equivalentes, por el hecho de que tienen acoplos
distintos entre los campos electromagnéticos y la métrica y la curvatura.
¿Cómo sabemos cuál de estas generalizaciones es la correcta? Verificación experimental, por
supuesto, ya que las distintas generalizaciones no son equivalentes. Pero comprobar experimen-
talmente la diferencia entre estas ecuaciones es muy difı́cil, puesto que para campos gravitatorios
no muy fuertes, los términos proporcionales a los tensores de curvatura son muy pequeños. Es-
tarı́a bien si hubiera algún principio fı́sico que nos diera una prescripción para generalizar las
fórmulas de relatividad especial.
El Principio de Mı́nimo Acoplo es lo más parecido a lo que uno puede aspirar de tal prescrip-
ción. Estrictamente hablando no es un principio fı́sico, sino más bien un principio filosófico, una
variante de la Navaja de Ockham. Básicamente, el Principio de Mı́nimo Acoplo supone que la
generalización más sencilla es la correcta.
Principio del Mı́nimo Acoplo (formulación fı́sica): En un espacio curvo, los campos
no-gravitacionales se acoplan sólamente a la métrica, no al tensor de Riemann o sus contrac-
ciones.
Por lo tanto, la prescripción para generalizar las leyes de la fı́scia a espacio curvos es muy
simple y concreta:
Principio del Mı́nimo Acoplo (formulación práctica): Las leyes de la fı́sica en espa-
cios curvos son los mismos que las de relatividad especial, donde se sustituyen las derivadas
parciales ∂µ por covariantes∇µ y la métrica de Minkowski ηµν por una métrica general gµν .
Como ya dijimos, no hay una razón fı́sica fundamental que justifique este principio, pero es
atractivo por su sencillez. Sin embargo, merece la pena enfatizar que sólo es una idea elegante
y que hay que aplicarla con mucha cautela. En particular la prescripción no siempre es unı́voca,
como por ejemplo en el caso del operador ∂µ∂ν . En el espacio de Minkowski no importa el orden
de las derivadas, pero al sustituirlas por derivadas covariantes si hay diferencia entre ∇µ∇ν y
∇ν∇µ, debido a (8.1).
Aún ası́, el Principio de Mı́nimo Acoplo es suficientemente fuerte como para poder aplicarlo
en la mayorı́a de los casos. Por ejemplo la segunda ley de Newton para una partı́cula libre ẍµ = 0
se convierte en
∇
dτ
(dxµ
dτ
)
≡ ẍµ + Γµνρẋν ẋρ = 0, (10.26)
lo que es justamente la ecuación (7.42) para una geodésica. En otras palabras, en un espacio curvo,
una partı́cula sobre la cual no actúa ninguna fuerza aparte de la gravedad (es decir, una partı́cula
libre) se mueve a lo largo de las geodésicas del espacio. Si la partı́cula si está sometida a fuerzas
externas fµ (no-gravitacionales), la segunda ley de Newton tiene la forma
m0
(
ẍµ + Γµνρẋ
ν ẋρ
)
= fµ. (10.27)
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