BertJanssen-RelatividadGeneral-157

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los campos) cargadas, que también contribuyen al tensor de energı́a-momento total. El sistema
total está descrita por el lagrangiano completo,
L = L(em) + L(carga) + L(interacc), (10.15)
que consiste de un término que describe la dinámica del campo electromagnético, uno que des-
cribe la dinámica de los campos cargados y un término de interacción. En la sección 10.3 veremos
que cada uno de estos términos contribuye al tensor de energı́a-momento total,
T µν(tot) = T
µν
(em) + T
µν
(carga) + T
µν
(interacc), (10.16)
que está conservado en su totalidad, ∂µT
µν
(tot) = 0, pero las interacciones entre los distintos secto-
res de la teorı́a hacen que no se conservan los tensores de energı́a-momento de cada sector por
separado.
10.2. Las ecuaciones de Einstein
Resumamos la situación hasta ahora: por un lado sabemos del Principio de Equivalencia
que la gravedad es una manifestación de la curvatura del espacio, es decir, de una propiedad
geométrica del espaciotiempo. Por otra lado sabemos que la fuente de esta curvartura es la mate-
ria de la cual tenemos una descripción tensorial, el tensor de energı́a-momento. Pero todavı́a no
sabemos exactamente cómo la materia interacciona con el espaciotiempo. Esta interacción viene
dada por las ecuaciones de Einstein.
La pregunta ahora claramente es: ¿Cuál es la forma exacta de las ecuaciones de Einstein? En
otras palabras, ¿cómo podemos describir de manera cualitativa la interacción entre el espacio-
tiempo y la materia? El Principio de Covariancia nos dice que la ecuación debe ser válida en
todos los sistemas de referencia, y que por lo tanto debe tener una forma tensorial. Concretamen-
te, la ecuación de Einstein tiene que ser de la forma
Gµν = −κTµν , (10.17)
donde Gµν es un tensor que describe la curvatura del espacio, Tµν el tensor de energı́a-momento
y κ una constante de proporcionalidad (introducimos el signo menos para futura conveniencia).
La pregunta por lo tanto se reduce a la identificación del tensor Gµν . Resulta que hay diversas
restricciones matemáticas y fı́sicas que Gµν tiene que cumplir:
1. Gµν tiene que ser simétrico en los dos ı́ndices, ya que Tµν también lo es.
2. Gµν tiene que ser un objeto puramente geométrico. Por lo tanto, tiene que ser una función
solamente de la métrica gµν y sus derivadas.
3. Para el espacio plano, tenemos que Gµν = 0.
4. La ley de conservación de energı́a∇µT µν = 0 implica que también∇µGµν = 0.
5. Se puede identificar la componente g00 de la métrica con el potencial gravitacional new-
toniano (véase sección 11.1). Para tener una teorı́a dinámica y para recuperar la ecuación
de Poisson (5.58), Gµν debe contener segundas derivadas de la métrica. La manera más
natural, por lo tanto es a través de las contracciones del tensor de Riemann Rµνρ
λ.
6. Para obtener una ecuación diferencial de segundo orden (y no más) en los potenciales gra-
vitatorios, Gµν tiene que ser lineal en el tensor de Riemann. Contracciones del tipo RµρRν
ρ
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	III Relatividad General
	Las ecuaciones de Einstein
	Las ecuaciones de Einstein