BertJanssen-RelatividadGeneral-162

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De la misma manera podemos generalizar la teorı́a de Maxwell a espacios curvos. Las leyes
de Maxwell vienen dadas por
∇µFµν = jν , ∇µFνρ + ∇ρFµν + ∇νFρµ = 0, (10.28)
aunque la simetrı́a de la conexión de Levi-Civita y la antisimetrı́a de Fµν permiten rescribir la
ecuación homogénea como (ejerc.)
∂µFνρ + ∂ρFµν + ∂νFρµ = 0, (10.29)
donde |g| es el valor absoluto del determinante de la métrica.
La ecuación homogénea (10.29) tiene la misma forma que en el espacio de Minkowski (5.49) y
sugiere por lo tanto que el tensor electromagnético sigue teniendo la misma forma con derivadas
parciales, Fµν = ∂µAν −∂νAµ. Efectivamente debido a la simetrı́a de la conexión y la antisimetrı́a
del tensor electromagnético tenemos que
Fµν = ∇µAν −∇νAµ
= ∂µAν − ΓρµνAρ − ∂νAµ + ΓρνµAρ
= ∂µAν − ∂νAµ. (10.30)
De la mecánica analı́tica sabemos las ventajas del formalismo lagrangiano: variando con res-
pecto a los grados de libertad se sacan las ecuaciones demovimiento, demodo que el lagrangiano
en cierta forma es un resumen de la dinámica del sistema o de la teorı́a. Además muchas veces
es más sencillo encontrar las simetrı́as del sistema en el lagrangiano que en las ecuaciones. Serı́a
por lo tanto interesante encontrar un lagrangiano cuyas ecuaciones de movimiento fuesen justo
las ecuaciones Newton, de Einstein y de Maxwell.
No esmuy difı́cil encontrar una acción que nos proporcione la segunda ley de Newton (10.27),
por lo menos en el caso donde las fuerzas externas son conservativas. Utilizando la expresión
(8.7) para la relación entre la conexión de Levi-Civita y la métrica, es fácil ver que la ecuación de
Euler-Lagrange de xµ de la acción
S =
∫
dτ
[
− 12m0gµν ẋ
µẋν − V (xµxµ)
]
(10.31)
da justamente la segunda ley de Newton (10.27) con fµ = −∂µV (ejerc.).
Una acción para las ecuaciónes de Einstein es un pocomás difı́cil de encontrar. Concentrémos-
nos primero en el caso más sencillo de las ecuaciones del vacı́o, donde el tensor de energı́a-
momento es cero. Una acción para este caso no fue encontrado por Einstein, sino por Hilbert y
enviado junto con las ecuaciones de Einstein a una revista, 5 dı́as antes de que el propio Einstein
enviara el artı́culo en el que por fin daba con la versión correcta de sus ecuaciones. La acción de
Einstein-Hilbert, que genera las ecuaciones de Einstein para el vacı́o, viene dada por
S =
1
2κ
∫
d4x
√
|g| R, (10.32)
donde R es el escalar de Ricci, definido en (7.39).
En principio se obtienen las ecuaciones de Einstein (10.20) a través de la variación de la acción
(10.32) con respecto a la métrica inversa gµν . Sin embargo, en la práctica este método es muy
complicado. Nótese que el escalar de Ricci es cuadrático y de primer orden en los sı́mbolos de
Christoffel,
R = gµν
(
∂µΓ
λ
λν − ∂λΓλµν + ΓλµσΓσλν − ΓλµνΓσλσ
)
, (10.33)
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