BertJanssen-RelatividadGeneral-154

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una de las partı́culas individuales. El objeto que describe la energı́a y el momento de este fluido
es el tensor de energı́a-momento T µν . En esta sección nos limitaremos por razones pedagógicos al
caso del espacio plano gµν = ηµν . En la sección 10.3 contaremos cómo generalizarlo a espacios
arbitarios.
Hay dos maneras de definir el tensor de energı́a-momento: una manera es a través de un prin-
cipio variacional de la acción que describe el sistema considerado y esta manera trataremos en
la sección 10.3. La otra manera es más directa y más fı́sica. La definición entonces del tensor de
energı́a-momento T µν es el flujo de cuadrimomento pµ a través de una superficie xν constante.
Esta definición puede sonar muy poco iluminativa, pero en realidad no es más que la generaliza-
ción de un vector de corriente, como por ejemplo jµ.
En electromagnetismo la densidad de corriente jµ = ρuµ es el flujo de de carga eléctrica q,
una cantidad escalar, a través de una superficie xµ constante. En particular, la componente j0,
la densidad de carga ρ, se puede ver como el flujo de carga a través de una superficie espacial
t = t0. De la misma manera, las componentes espaciales j
i representan el flujo de carga a través
de una superficie temporal xi = xi0. Además la ley de conservación de carga ∂µj
µ = 0 dice que
el cambio de densidad de carga en un volumen es igual al flujo de carga a través la superficie del
volumen.
En el caso del tensor de energı́a-momento, la idea es la misma, sólo que en lugar de ser el flujo
de una cantidad escalar, es el flujo de una cantidad vectorial, el cuadrimomento pµ. El objeto que
describe este flujo por lo tanto no es un vector, sino un tensor simétrico T µν de rango 2.
De estemodo, las componentes T µ0 = T 0µ son el flujo de pµ a través de una superficie espacial
x0 = cte. En particular, T 00 es la densidad de energı́a, el flujo de energı́a en la dirección temporal,
mientras T 0i es la densidad de momento, el flujo demomento a través de una superficie x0 = cte.
Los componentes T ij tienen que ver con las fuerzas que ejercen elementos infinitesimales del flui-
do sobre otros elementos cercanos. Por ejemplo los elementos diagonales T (i)(i) (sin sumatorio,
por esto ponemos los ı́ndices entre paréntesis) representan la componente F i de la fuerza sobre
la superficie xi = cte, o sea la presión P i en la dirección xi.
Aclaramos estos conceptos generales un poco más con unos ejemplos concretos. El tensor de
energı́a-momento de un conjunto de partı́culas que no interaccionan, también llamado materia
frı́a o materia no-relativista, viene dado por
T µν(mat) = ρ0 u
µuν , (10.1)
donde ρ0 es la densidad de las partı́culas en el sistema de referencia en reposo con respecto
a las partı́culas y uµ es la cuadrivelocidad, definida en (5.27). En el sistema de referencia de
un observador comóvil, que se mueve junto con el fluido, es decir, que tiene el mismo vector de
velocidad uµ que el fluido alrededor de él, la única componente non-nula es T 00(mat)
∗
= ρ0, es decir
la densidad de materia. En otras palabras, la materia no-interactiva no tiene presión. La ley de
conservación de energı́a (masa) dice que en estas coordenadas ∂tρ0
∗
= 0, ó en componentes del
tensor de energı́a-momento, ∂0T
00
(mat)
∗
= 0. En cualquier otro sistema de referencia, relacionado a
través de una transformación de Lorentz con el sistema en reposo, esta expresión toma la forma
∂µT
µν
(mat) = 0. (10.2)
No es difı́cil ver que la componente 0 de esta expresión corresponde con la ley de conservación
de energı́a en forma de una ecuación de continuidad
∂0T
00
(mat) + ∂iT
i0
(mat) = ∂tρ + ∂i(ρv
i) = 0, (10.3)
donde ρ = γ2ρ0 es la densidad medida por el observador en movimiento uniforme con respecto
a las partı́culas y ρvi es la densidad de momento. La densidad de masa en una región aumenta o
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