BertJanssen-RelatividadGeneral-158

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ó RµρλσRν
ρλσ darı́an lugar a ecuaciones diferenciales de orden más alto que 2.1
Posibles candidatos más o menos obvios para Gµν podrı́an ser la misma métrica gµν , su
d’Alambertiano ∇ρ∇ρgµν o el tensor de Ricci Rµν , pero pensando un poco uno se da cuenta en
seguida de que ninguna de estas posibilidades cumple todas las condiciones mencionadas arriba.
Aunque la métrica tiene el rango y las simetrı́as adecuadas y satisface la condición ∇µgµν = 0,
tiene la desventaja de que no cumple la condición 5: la ecuación gµν = −κTµν no es una ecuación
dinámica, ni mucho menos recupera la ecuación de Poisson (5.58). El d’Alambertiano ∇ρ∇ρgµν
sufre del problema opuesto, ya que satisface (casi) todas las condiciones, pero es identicamente
cero, por el hecho de que la conexión de Levi-Civita es compatible con la métrica, como conta-
mos en la sección 8.1. Finalmente, Rµν no satisface la condicón 4, sino ∇µRµν = 12∂νR, como
vimos en (8.13). Por lo tanto, la ley de conservación de energı́a impondrı́a que las únicas métricas
permitidas serı́an las que tienen ∂µR = 0, lo que no es una realista de esperar.
2
En realidad las condiciones 1 - 6 determinan el tensor Gµν unı́vocamente: se puede demostrar
que la expresión más general para un tensor simétrico de rango (0, 2), construido de la métrica y
sus derivadas y lineal en Rµνρλ es, salvo una constante común, de la forma
Gµν = Rµν + αgµνR + gµνΛ(x), (10.18)
con α una constante y Λ(x) una función escalar con dimensiones ML−3. Exigir que ∇µGµν =
0 implica que α = −1/2 y que Λ es una constante, mientras que exigir que Gµν = 0 para el
espacio plano implica que Λ = 0. Por lo tanto el único tensor que satisface todas las condiciones
necesarios es el tensor de Einstein, introducido en (7.40),
Gµν = Rµν −
1
2
gµνR. (10.19)
Una comparación con las fórmulas newtonianas (vease sección 11.1) fija la constante de pro-
porcionalidad κ = 8πGN , donde GN es la constante de Newton, de modo que las ecuaciones de
Einstein vienen dadas por
Rµν −
1
2
gµνR = −8πGNTµν . (10.20)
Las ecuaciones de Einstein forman un sistema de 10 ecuaciones diferenciales parciales no-
lineales acopladas de segundo orden, lo que hace que sean muy difı́ciles de resolver analı́tica-
mente. No hay técnicas conocidas para obtener una solución general. Todas las soluciones cono-
cidas son casos con mucha simetrı́a u obtenidas a través de técnicas especı́ficas. Comentaremos
más sobre este asunto en el Capı́tulo 12.
Las ecuaciones de Einstein tiene 10 componentes, pero en realidad la condición ∇µGµν = 0
impone 4 ligaduras, de modo que sólo 6 ecuaciones son realmente independientes. Esto implica
que de las 10 componentes de la métrica sólo 6 están determinadas por las ecuaciones de Einstein
y corresponden a grados de libertad fı́sicos. Las otras 4 componentes son componentes no-fı́sicas
que expresan la libertad de elección de sistema de coordenadas. Si gµν es una solución de (10.20)
1En 1938, el fı́sico húngaro Cornelius Lanczos (1893 - 1977) demostró que la variación del Lagrangiano de Gauss-
Bonnet,
L =
p
|g|
“
R2 − 4RµνR
µν + RµνρλR
µνρλ
”
,
también da lugar a ecuaciones diferenciales de segundo orden. Sin embargo en cuatro dimensiones el término de Gauss-
Bonnet es un término topológico (es la caracterı́stica de Euler cuadrimensional) y por lo tanto no contribuye a las ecua-
ciones de movimiento. La acción que consideró Lanczos sı́ contribuye a la dinámica en 5 o más dimensiones.
2En 1915, nomucho antes de dar con la versión correcta, Einstein propusoRµν = −κTµν para la ecuaciones adecuadas
para la gravedad. Einstein mismo se autocriticó de manera irónica: “Este tipo hace lo que le conviene. Cada año retira lo
que escribió en año anterior.”
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