ESTRUCTURACION_PARA_LA_UNIDAD_RELACIONES_DEL_CURSO

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Revista Alternativa. Volumen 4, número 14 (Octubre-Diciembre del 2007) 
 
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ESTRUCTURACIÓN PARA LA UNIDAD "RELACIONES" 
DEL CURSO DE MATEMÁTICAS DISCRETAS 
 
 
M.E.M. Deyanira Ochoa Vásquez(1) 
dochoav@correoweb.com 
 Manuel Juárez Pacheco (2) 
mjuarez@cenidet.edu.mx 
José Luis Ramírez Alcántara (3) 
joseluis.ramirez@campus.uab.es 
 
 
 
 
PALABRAS CLAVES: habilidades matemáticas, enseñanza de la ingeniería y enseñanza de la 
matemática discreta. 
 
RESUMEN 
 
En este trabajo se presenta la estructuración de la unidad relaciones del curso de 
matemáticas discretas, desarrollado con base en la teoría de la actividad de estudio. la 
estructuración pone de manifiesto las exigencias de la teoría por lo que se muestran 
análisis de tareas típicas, estructura de habilidades, bases de orientación y sistemas 
de ejercicios para apoyar el desarrollo de las habilidades de asociar y formalizar. 
 
INTRODUCCIÓN 
El problema que se aborda en este trabajo se ubica en el nivel de educación 
superior tecnológica y se manifiesta en el área de matemáticas discretas, 
particularmente en su contenido y forma de enseñanza, de la carrera de 
Ingeniería en Sistemas Computacionales en el Instituto Tecnológico de 
Zacatepec (ITZ) del Estado de Morelos-México. 
 
Considerando que nuestra tarea fundamental como docente es mejorar 
el cómo enseñar, debemos cambiar lo que hacemos y cómo lo hacemos 
después de reconocer para que lo hacemos; es la única alternativa para dar 
respuesta a un futuro cambiante e incierto. 
 
Partiendo de las afirmaciones anteriores se hizo un análisis crítico y 
retrospectivo de cómo se ha trabajado en la materia de matemáticas discretas. 
El análisis abarcó los apuntes de los alumnos, la forma en que el profesor 
plantea y dirige su clase y el enfoque de los libros de texto. 
 
El incesante desarrollo tecnológico particularmente en el campo de la 
computación, se ha apoyado en la matemática discreta, que trata de 
fenómenos discretos y procesos finitos; es el tipo de matemáticas que se 
necesita saber para trabajar con una computadora como diseñador de sistemas 
 
(1) Instituto Tecnológico de Zacatepec. 
(2) CENIDET 
(3) Universidad Autónoma de Guerrero. 
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o programador. Es necesario, para todos los estudiantes de todas las carreras, 
recibir instrucción básica en matemáticas discretas para que puedan 
desarrollarse en esta sociedad de nuevas tecnologías. 
 
Debido a la importancia de las matemáticas discretas y sus aplicaciones 
posteriores dentro de la formación del ingeniero se propuso una estructuración 
alternativa, de la unidad II “Relaciones”, de esta materia, en la carrera antes 
citada del ITZ. Tomando en cuenta los elementos definidos en el perfil, 
particularmente la articulación explícita, entre habilidades y contenidos para 
desarrollar las habilidades de asociar y formalizar 
 
Para la descripción, caracterización y propuesta de estructuración de 
dicha unidad se trabajó desde un marco teórico que explicara el proceso de 
aprendizaje y el desarrollo de las habilidades dentro del ámbito escolar. Se 
eligió la teoría de la actividad que concibe a la enseñanza como un proceso de 
dirección que se efectúa por el principio de la llamada "caja blanca o 
transparente". 
 
 
1.- ELEMENTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA 
 
Según N. F. Talizina [1994] la optimización del proceso docente puede 
realizarse aumentando la efectividad del proceso de enseñanza y aprendizaje. 
El estado actual de la enseñanza de la matemática nos revela que en el plano 
de la organización curricular, aspectos tales como la no-determinación clara y 
precisa de los objetivos, la concepción de conjunto y no de sistema de los 
contenidos (conocimientos + habilidades) y las deficiencias en el control del 
aprendizaje, son elementos que obstaculizan la calidad del proceso de 
enseñanza de la matemática. 
 
Para evitar estas dificultades y "elevar los niveles de eficiencia en la 
preparación matemática de los estudiantes la educación superior tiene que 
basarse en las más modernas concepciones de enseñanza, de ahí que se hace 
necesaria una nueva formulación del modelo de los objetivos", [Linares, 
F.,1995]. Los objetivos constituyen el punto de partida y la premisa pedagógica 
más general del proceso de enseñanza. 
 
Constituyen los fines o resultados a lograr en los estudiantes y 
condicionan la actividad de profesores y estudiantes para alcanzar los cambios 
esperados con la efectividad necesaria, es decir, los objetivos de cada 
asignatura deben ser comprensibles, alcanzables y medibles. 
 
 
2.- TAREAS TÍPICAS, CONCEPTOS RECURRENTES Y HABILIDADES. 
 
Cada uno de los objetivos de una asignatura debe ser descompuesto en tareas 
típicas, a modo de lograr a través de éstas que el estudiante vaya 
aproximándose al logro del objetivo. Es decir de cada tarea típica debe 
deducirse el conocimiento con el que se va a trabajar, así como la o las 
habilidades a desarrollar. Para lo cual se plantean dos tipos de tarjetas de 
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estudio, se organiza el proceso de asimilación, la ejercitación y se diseña un 
sistema de control. 
 
2.1 Acciones y operaciones, habilidades y hábitos 
 
Entre los componentes estructurales de toda acción humana tiene especial 
relevancia el eslabón que permite al individuo regular o dirigir su actividad, este 
componente es la "Base Orientadora de la Acción (BOA). Algunas 
características de la acción son: a) toda actividad esta compuesta de acciones 
y las acciones de operaciones, si no se dominan las operaciones la actividad 
no se realiza adecuadamente; b) con esta estructura como modelo para el 
diseño de actividades se deben desarrollar habilidades en el estudiante. Se 
llaman habilidades a las particularidades psíquicas que son condición esencial 
para la ejecución de una o varias actividades. La teoría de la actividad brinda la 
posibilidad de estructurar la actividad de los alumnos, de brindar un camino, de 
cómo dirigir desde un principio el proceso de enseñanza aprendizaje. 
 
2.2 Conceptos recurrentes 
 
De acuerdo a la recomendación de la ACM-IEEE (Asociation of Computer 
Machinery y Institute of Electrical and Electronics Engineers) en toda la 
curricula de ISC deben estar presentes los procesos de teoría, abstracción y 
diseño, además de los conceptos recurrentes. Estos conceptos recurrentes en 
computación se pueden interpretar como habilidades, debido a que se definen 
y se describen de forma muy similar a como se hace dentro de la teoría de 
referencia. 
 
 
3.- EJEMPLOS BOA, TAREA TÍPICA, EJERCICIOS Y APLICACIONES. 
 
Para desarrollar la propuesta de estructuración, lo primero que se hizo fue 
determinar el objetivo de la UNIDAD II "relaciones". en la determinación del 
objetivo estamos tomando en cuenta que la materia de matemáticas discretas, 
de acuerdo a la retícula de la carrera es una de las bases para: estructura de 
datos, administración de archivos, bases de datos, lenguajes y autómatas y 
programación de sistemas. 
 
Al replantear el objetivo de la UNIDAD II de la materia citada, debemos 
tomar en cuenta la aplicabilidad de los contenidos y habilidades de la unidad 
que vamos a estructurar en la solución de problemas computacionales, por 
ejemplo, el concepto de relación es primordial en la construcción de una base 
de datos, además al formular el objetivo de enseñanza deben quedar explícitos 
los conocimientos y habilidades que se requieren y en qué grado de 
generalidad. 
 
El objetivo propuesto para la UNIDAD II "relaciones" es: " resolver 
ejercicios de relaciones, identificando y asociando sus propiedades, así como 
la formalización en sus diversas representaciones y propiedades". 
 
3.1 Tareas típicas. 
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Para lograr que el alumno vaya aproximándose al logro del objetivo, esté se 
descompuso en tareas típicas, las cuales se muestran en la tabla 1. 
 
 
TABLA 1. Tareas típicas de la unidad relaciones 
Tareas típicas Conocimientos Habilidades 
Representar una relación en forma 
tabular, gráfica, y matricial. 
Tablas, grafos y matrices. Representar y asociar. 
Identificar las propiedades que 
poseen las relaciones 
Propiedades de los números 
reales, conjuntos y relaciones. 
Asociar e identificar. 
Utilizar las relaciones en la 
resolución de problemas. 
Propiedades de los números 
reales, conjuntos, operaciones, 
gráficas, matrices y los 
conocimientos asociados al 
problema. 
Asociar, identificar, 
representar y formalizar. 
 
 
3.2 Habilidades a desarrollar en matemáticas discretas propuestas 
por la ACM-IEEE. 
 
Al definir las tareas típicas se debe tomar en cuenta las habilidades que se van 
a desarrollar en cada una de ellas y en este caso se analizaron dos conceptos 
recurrentes que propone la ACM-IEEE porque se relacionan con el perfil actual 
y contienen elementos computacionales y matemáticos que son importantes 
desarrollar en esta unidad de matemáticas discretas: vincular y modelos 
conceptuales y formales. 
 
En este trabajo solo mostraremos el concepto recurrente vincular que se 
define como: "El proceso de hacer más concreta a una abstracción al asociar 
propiedades adicionales a la misma" (ACM-IEEE, 1991; 8). En este concepto 
identificamos la habilidad de asociar. 
 
Asociar "es un procedimiento elemental que el hombre utiliza muchas 
veces en su vida, mediante éste, se establece que un cierto objeto tiene una 
determinada propiedad y es el mismo cualquiera sea el objeto y cualquiera sea 
la propiedad", [Campistrous Pérez, l., 1993]. 
 
De acuerdo a la teoría para que un estudiante desarrolle la actividad de 
asimilar los conocimientos y aprenda, se requiere que realice determinadas 
acciones. Por lo cual es importante que se organice y estructure correctamente 
la actividad de asimilación del estudiante, por esto se concede mucha 
importancia a la Base de Orientación de la Acción (BOA). En este trabajo se 
muestra la BOA para la habilidad de asociar, así como las operaciones para 
desarrollar esta habilidad (tabla 2). 
 
TABLA 2 base de orientación para la acción de la habilidad de asociar 
ACCIONES OPERACIONES 
Identificar las características de cada uno de 
los objetos. 
Leer el enunciado. 
distinguir los elementos que intervienen en la 
relación (elementos, conjuntos) 
caracterizar los elementos. 
Representar cada uno de los objetos. Identificar los elementos comunes. 
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ACCIONES OPERACIONES 
comparar los elementos comunes. 
seleccionar los elementos comunes. 
Relacionar un objeto con otro a partir de sus 
propiedades comunes. 
Asignar los elementos comunes a las 
representaciones. 
señalar las diferentes posibilidades. 
concluir con las diferentes posibilidades. 
 
3.3 Tarjetas de estudio y de conocimientos en correspondencia con 
las tareas típicas. 
 
De acuerdo a la teoría de la actividad la acción es la fuente de los 
conocimientos humanos por ello es necesario realizar alguna acción con el 
contenido, no basta con verlo o escucharlo. para esto se propuso una tarjeta de 
conocimientos, en la que se incluyen las propiedades de las relaciones y sus 
características con base en sus diferentes representaciones ( tabla 3). 
 
TABLA 3. Propiedades de las relaciones. 
propiedad Conjuntos Tabular Gráfica Matricial 
Reflexiva Si (a, a) 
pertenecen a r, 
relación de 
igualdad. 
dom®=ran®=a 
Si y sólo si todas las 
celdas sobre la diagonal 
principal de la tabla 
contienen marcas. 
Tiene un ciclo de 
longitud 1 en 
cada vértice. 
La matriz debe 
tener unos en 
todos los 
elementos de 
su diagonal 
principal 
Simétrica (a, b) en r implica 
que (b, a) también 
está en r. 
Si las marcas están en 
celdas que son 
simétricas con respecto 
de la diagonal principal. 
Dos vértices 
conectados por 
un lado, deben 
estar siempre 
conectados en 
ambas 
direcciones(se 
usa otra 
representación) 
La matriz es tal 
que cada par 
de entradas, 
simétricamente 
colocadas en 
torno de la 
diagonal 
principal, son 
ambas 0 o 1 
Antisimétrica Si (a, b) en r 
implica que (b, a) 
no ésta en r a 
menos que a=b 
Si y sólo si ninguna celda 
situada simétricamente 
fuera de la diagonal 
contiene marcas a la vez. 
Si hay ciclos de 
longitud 1 y 
todos los lados 
son de un solo 
sentido 
Si i j entonces 
mij=0 o mji=0 
Transitiva Si arb y brc, 
entonces a es 
relación de c 
Puede realizarse 
mediante una búsqueda 
exhaustiva, no obstante 
que la búsqueda de 
procedimientos eficientes 
es aún un tópico actual 
de investigación. 
Si y solamente si 
hay una 
trayectoria mayor 
que 1 de un 
vértice a otro. 
Si mij=1 y 
mjk=1, 
entonces mik=1 
 
3.4 EJERCICIOS 
 
Posteriormente se hizo la organización de la ejercitación en torno a las tareas 
típicas, con el propósito de propiciar y alcanzar el nivel de generalidad, así 
como ejecutar las tareas en los diferentes niveles del logro cognoscitivo. Para 
la tarea típica: identificar las propiedades que poseen las relaciones, se 
elaboraron ejercicios en los cuales se muestran las diferentes formas de 
representar una relación (conjuntos, tabular, gráfica y matricial) con el propósito 
de que el alumno desarrolle la habilidad de asociar una relación con sus 
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diversas representaciones. para resolver los ejercicios el alumno tiene como 
apoyo la tarjeta de conocimientos y la base de orientación para la acción en la 
que se le indica paso a paso como desarrollar los ejercicios [Ochoa Vásquez, 
d, 2001]. 
 
 
4.- CONTROL 
 
Finalmente se propuso que en cada una de las acciones para la habilidad de 
asociar se recomienda que el alumno se haga preguntas de control como por 
ejemplo: 
 
ACCIÓN: Identificar las características de cada uno de los objetos. 
 
¿Conozco todas las palabras del enunciado?, ¿Entiendo que quiere el 
enunciado?, ¿Conozco todos los elementos que intervienen?, ¿Las 
características que estoy determinando son las adecuadas?. 
 
 
CONCLUSIONES 
 
En este trabajo se muestra una forma diferente de estructurar una unidad 
tomando como base la teoría de la actividad, la cual permite superar el actual 
enfoque centrado en los contenidos que ayude a mejorar el proceso de 
enseñanza aprendizaje, a condición de que quien lo estructure, no sólo 
conozca el contenido, sino también para que servirá ese contenido y las 
habilidades y capacidades que el alumno deberá desarrollar. 
 
La propuesta de solución planteada en la BOA y sus instrumentos 
asociados (ejercicios y preguntas de verificación de la acción) le dan al alumno 
un sustento material con el cual puede dirigir de forma consciente sus propias 
acciones de aprendizaje, además de que se le da al estudiante un método para 
orientarse en el conocimiento y para actuar consecuentemente de forma 
independiente; así también, permite al profesor tener presente los procesos 
que debe seguir para estructurar un curso de acuerdo a esta teoría. 
 
Con lo cual podemos concluir que es importante realizar la 
estructuración de un programa en base a una teoría que permita al estudiante 
dirigir conscientemente sus propias acciones de aprendizaje, además de tener 
siempre presente que en la medida que esto suceda se puede asegurar que los 
estudiantes tendrán una formación sólida y estarán en condiciones de 
desarrollar las habilidades que se requieren en su formación profesional. 
 
REFERENCIAS 
 
Computing Curricula, 1991. Report of the ACM/IEEE-CS Joint Curriculum Task Force 
1990, N. Y. 
De Guzmán, Miguel. 1992. Tendencias innovadoras eneducación matemática, Madrid, 
 Miguel de Guzmán. 
Revista Alternativa. Volumen 4, número 14 (Octubre-Diciembre del 2007) 
 
http://www.revistaalternativa.org/ 8 
Díaz, Barriga, F, 1984. Perfiles educativos, UNAM, no. 7,1984, pp:30-40 
Hernández Fernández, Herminia. 1998. Cuestiones de didáctica de la matemática, 
Argentina, Ediciones Homo Sapiens. 
Hernández Fernández, Herminia. s/f. Hacia la Calidad, Cuba, Ministerio de Educación 
Superior. 
Hernández Fernández, Herminia. s/f. Estructurando el conocimiento Matemático, 
Cuba, Ministerio de Educación Superior. 
Hernández Fernández, Herminia. s/f. Objetivos en la Formación Matemática, Cuba, 
Ministerio de Educación Superior. 
Jungk, Werner, 1978. Conferencias sobre metodología de la enseñanza de la 
matemática, Cd. Habana, Ministerio de Educación, volúmenes 1 a 4. 
Ochoa Vásquez, D., 2001-10-22. Tesis: propuesta de estructuración de una unidad del 
curso de matemáticas discretas en la carrera de Ingeniería en Sistemas 
Computacionales en el Tecnológico de Zacatepec, México, ITZ. 
Ramírez Alcántara, J. L., y Juárez Pacheco, M., 1999. Material del curso propedéutico 
de Matemáticas para Computación, México, CENIDET. 
Talizina, N. F., 1994. Los fundamentos de la enseñanza en la educación superior. 
UNAMX-Ángeles Editores, Traducción del ruso: Rafael Bell Rodríguez. 
 
 
 
TRABAJO PRESENTADO EN: 
INFOREDU 2002 
VIII CONGRESO INTERNACIONAL DE INFORMÁTICA EN LA EDUCACIÓN 
LA HABANA, 18 AL 22 DE FEBRERO DE 2002