Formulario-de-Matematicas-final-PDF

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LÉON
FACULTAD DE INGENIERIA MÉCANICA Y ELÉCTRICA
ISBN:
Autores:
Formulario de Matemáticas
M.C Santiago Neira Rosales
M.A. Claudia Moreno Rodriguez
Dr.Ricardo Jesus Villareal Lozano
Leyes de los Exponentes: 
I. 
II. ( ) 
III. ( ) 
IV. 
 
 
 ( ) 
V. ( )
 
 
 
 ( ) 
 
Exponentes negativos: 
 ( ) 
 
Exponentes fraccionarios 
 ⁄ √ (√ )
 
 
 
Exponentes nulos 
 
 ( ) 
Álgebra: conceptos básicos
Trigonometría: Conceptos básicos
Álgebra
Cálculo Diferencia
Cálculo Integral
Geometría Analítica
Ecuaciones Diferenciales
Series de Fourier
Transormadas de Laplace
Indice
Productos notables 
 
1) Monomio por Polinomio 
 ( ) 
2) Producto de binomios conjugados 
( )( ) 
3) Binomio al cuadrado 
( ) 
4) Binomio al cubo 
( ) 
5) Polinomio al cuadrado 
( ) 
6) Producto de binomios con términos semejantes 
( )( ) ( ) 
( )( ) ( ) 
7) Binomio por Trinomio 
( )( ) 
 
 
Función logaritmo con base 
“a”: 
 ( ) ( ) 
 
Función logaritmo natural 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 ( ) 
 ( 
 ) 
 
 
 
Leyes de los Logaritmos: 
 
 
 ( ) 
 ( ⁄ ) 
 ( ) 
 
Propiedad de la función 
exponencial 
 ( ) 
 
Funciones trigonométricas 
 B 
 
a c 
 
 C b A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Identidades trigonométricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
Angulo doble: 
 
 
 
 
Funciones hiperbólicas: 
 ( ) 
 
 ; ( ) 
 
 
Identidades hiperbólicas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Complejos: 
Forma rectangular: 
Forma Polar: 
 
 
Transformación de forma rectangular a 
forma polar: 
 √ ; 
Transformación de forma polar a forma 
rectangular: 
 ; 
Teorema de De Moivre 
Potencias: 
 [ ] 
 [ ] 
Raíces: 
 ⁄ [ ] ⁄ 
 ⁄ [ ( ) (
 
 )] 
 
Funciones hiperbólicas inversas: 
 
 ( ) ( √ 
 ) 
 
 ( ) ( √ 
 ) 
 
 ( ) (
 √ 
| | ) 
 
 ( ) (
 √ 
| | ) 
 
 ( ) 
 
 |
 
 | 
 
Vectores: 
Sean: 
 
 
 
 
Magnitud de 
‖ ‖ √( ) ( ) ( ) 
 
Vector unitario ( ) en la dirección de 
 
 
‖ ‖ 
 
‖ ‖ 
 
‖ ‖ 
 
Producto punto o Producto escalar 
 
 ‖ ‖‖ ‖ 
 
Producto cruz o Producto 
vectorial 
 [
 
 
 
] 
 
Producto Mixto: 
 ( ) ( ) 
 
Vectores paralelos: 
 
 
 
Vectores ortogonales: 
 
 
 
Área de un paralelogramo con 
lados adyacentes los vectores 
 
 ‖ ‖ unidades 
cuadradas 
 
Definición de derivada: 
 ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 
Reglas básicas de derivación: 
 
 [ ] en donde c es una constante 
 
 [ ] 
 
 [ ] 
 
 [ ( )] [ ( )] 
 
 [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] 
 
 [ ] [ ] [ ] 
 
 [
 
 ] 
 [ ] [ ]
 
 
Volumen de un paralelepípedo con aristas 
adyacentes los vectores : 
 ‖ ( )‖ 
 
Ecuaciones paramétricas de una línea recta 
en el espacio: 
Una recta L paralela al vector 
Y que pasa por el punto ( ) está dada 
Por las ecuaciones paramétricas: 
 
 
Ecuación canónica del plano en el espacio: 
 
El plano que contiene el punto ( ) 
Y tiene un vector normal 
Puede representarse en forma canónica por la 
Ecuación: ( ) ( ) ( ) 
Ecuación general de un plano en el espacio: 
 
 
 Si 
 
Derivadas de Funciones exponenciales: 
 
Natural: [ ] 
 
Con base : 
 
 [ ] 
 
Derivadas de funciones logarítmicas: 
 
Natural: [ ] 
 
 
 
Con base 
 [ ] 
 
 
Derivadas de funciones 
trigonométricas: 
 [ ] 
 [ ] 
 [ ] 
 [ ] 
 [ ] 
 [ ]
 
 
Derivadas de funciones 
trigonométricas inversas: 
 [ ]
 
√ 
 [ ] 
 
 
 
 [ ] 
 
√ 
 [ ]
 
| |√ 
 
 
 [ ] 
 
 [ 
 ]
 
| |√ 
 
 
 
Derivadas de funciones hiperbólicas: 
 [ ] 
 [ ] 
 [ ] 
 [ ] 
 [ ] 
 [ ] 
 
Derivadas de funciones hiperbólicas 
inversas: 
 [ ] 
 
√ 
 [ ] 
 
 
 
 [ ] 
 
√ 
 [ ] 
 
| |√ 
 
 
 [ ] 
 
 [ 
 ] 
| |√ 
 
 
Gradiente: 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Derivada direccional: 
 
La derivada direccional de f en la dirección del vector 
unitario U está dado por: 
 
 ( ) ( ) 
 
 ( ) ( ) 
 
Reglas básicas de integración: 
∫ 
∫ 
 
 
∫ ( ) ∫ ( ) 
∫[ ( ) ( )] ∫ ( ) ∫ ( ) 
 
Cambio de variable: 
∫ 
 
 
 
Función logarítmica: 
∫ | | 
 ∫ | | 
∫ 
∫ 
 
 
∫ 
∫ 
∫ | | 
∫ | | 
∫ | | 
Funciones exponenciales: 
 
Funciones trigonométricas 
Continuación de funciones trigonométricas 
 
∫ 
∫ 
∫ 
∫ 
 
Funciones hiperbólicas 
∫ 
∫ 
∫ | | 
∫ | | 
∫ 
∫ 
∫ 
∫ 
 
∫ 
 
 
 ( ) 
∫ 
√ 
 ( ) 
∫ 
 
 
 ( ) 
∫ 
 √ 
 
 (
| |
 ) 
∫ 
√ 
 ( ) 
∫ 
√ 
 ( ) 
∫ 
 √ 
 
 ( ) 
∫ 
 √ 
 
 ( ) 
Funciones trigonométricas inversas 
 
Funciones hiperbólicas inversas 
∑ 
 
 
 
∫ 
 
∑ 
 
 
 
 
 
∑ 
 
 
 
∑ ∑ 
 
 
 
 
 
∑[ ] 
 
 
∑ 
 
 
 ∑ 
 
 
 
∑ 
 
 
 
Integral definida: 
 y 
Teoremas de sumatorias: 
Sean constantes 
Teorema fundamental del Cálculo: 
Si 
 ( ) ( ) 
∫ ( ) ( ) ( )
 
 
 
 
Integración por partes: 
∫ ∫ en donde: 
u y v son funciones de x 
 
Sustitución trigonométrica: 
Forma 
 
√ 
√ 
√ 
 
Casos trigonométricos: 
Caso 1: ∫ ∫ en donde 
“n” es entero impar positivo. Expresar: 
 
Usar: 
 
 
Usar: 
 
Caso 2: ∫ en donde al 
menos un exponente esentero impar positivo. 
Utilizar: de manera similar al 
Caso 1. 
Nota: Si los dos exponentes son enteros impares 
positivos se cambia el impar menor. 
 
Caso 3: ∫ ∫ 
∫ Donde n y m son enteros 
pares positivos. Utilizar: 
 
 
 
 
Nota: Si n es impar integrar por partes. 
 [ ( ) ( )] 
 [ ( ) ( )] 
 ( ) 
 ( ) 
 ( )
 
 
 ( )
 
 
Caso 4: ∫ ( ) ( ) ; 
∫ ( ) ( ) ; 
∫ ( ) ( ) ; En donde a y b son 
números cualesquiera, Utilizar: 
 [ ( ) ( )] 
 
Caso 5: ∫ ∫ en donde 
n es cualquier número entero positivo. ( ) 
Expresar: 
 
Caso 6: ∫ ∫ en donde 
n es entero par positivo ( ). Expresar: 
Nota: Si m es par y n es impar integrar por partes 
 
 
Caso 7: ∫ 
∫ en donde n es entero 
par positivo, mayor a 2. Escribir: 
 como en el caso 6. 
 
Caso 8: ∫ 
∫ en donde m es entero 
impar positivo. Expresar: 
 
Usar: 
 
Usar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fracciones parciales: 
 
Caso I. Factores lineales distintos: 
A cada factor lineal , del 
denominador, le corresponde una fracción 
de la forma: 
 
Caso II. Factores lineales repetidos: 
A cada factor lineal repetido 
 , le corresponde la 
suma de k fracciones parciales de la forma: 
 ∫ [( ) (
 
 )] 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 ∫ [( ) (
 
 )] 
 
 
 
Caso III. Factores cuadráticos distintos: 
A cada factor cuadrático ( ) le 
corresponde una fracción de la forma: 
 
Caso IV: Factores cuadráticos repetidos: 
A cada factor cuadrático repetido 
( ) le corresponde la suma de 
k fracciones parciales de la forma: 
 
Aplicaciones de la integral definida: 
Área entre dos curvas: 
 
Utilizando se genera un rectángulo vertical: 
Utilizando se genera un rectángulo horizontal: 
 ∫ ( ) ( ) 
 
 
 
 ∫ [( ) ( ) ] 
 
 
 
 ∫ [( ) ( ) ] 
 
 
 
 ∫ ( ) ( ) 
 
 
 
Aplicaciones de la integral definida: 
Volumen de sólidos de revolución: 
Método del Disco o de la Arandela 
Cuando el eje de revolución es horizontal: 
En donde 
 
Cuando el eje de revolución es vertical: 
En donde 
 
Método de la corteza cilíndrica. 
Cuando el eje de revolución es horizontal: 
Cuando el eje de revolución es vertical: 
 
 
 √( ) ( ) 
 ( 
 
 ) 
 
Distancia entre dos puntos 
 ( ) ( ): 
 
 
Punto medio ( ) de un segmento 
cuyos extremos están dados por 
 ( ) ( ) 
 
 
Pendiente ( ) de una recta: 
Dado su ángulo de inclinación ( ): 
 
Dados dos puntos de la recta 
 ( ) ( ) 
 
( ) es el punto de intersección con 
el eje Y 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
Ecuación de la recta: 
Forma punto pendiente 
 
Forma ordenada en el origen 
 
Forma General u Ordinaria 
 
Forma simétrica 
 
Donde: 
 es la pendiente de la recta. 
 son las coordenadas 
de un punto que pertenece a la 
recta. 
( ) es el punto de intersección con 
el eje X 
 
 
 
 
 
 
Circunferencia 
Centro en : 
 
Centro en : 
 
Parábola 
 
 y eje sobre el eje X 
 
 y eje sobre el eje Y 
 
 
 y eje paralelo o sobre el eje X 
 
 y eje paralelo o sobre el eje Y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elipse 
 y eje focal sobre el eje X 
 
 y eje focal sobre el eje Y 
 
 
 y eje focal paralelo o sobre el eje X 
 
 
 y eje focal paralelo o sobre el eje Y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hipérbola 
 y eje focal sobre el eje X 
 
 y eje focal sobre el eje Y 
 
 
 y eje focal paralelo o sobre el eje X 
 
 
 y eje focal paralelo o sobre el eje Y 
 
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
1) Ecuación diferencial separable 
 
 ( ) ( ) 
 
Se integra en ambos lados y se obtiene la 
solución general. 
 
2) Ecuación diferencial exacta 
 
 ( ) ( ) 
Es exacta si: ( ) ( ) 
 
3) Ecuación diferencial lineal 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 ∫ ( ) 
 
4) Ecuación diferencial de Bernoulli 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
Se hace la sustitución ∫ ( ) 
 
 
5) Ecuación diferencial homogénea 
 
 ( ) ( ) 
 
Es homogénea si: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Se hace la sustitución: 
 
Ecuación diferencial lineal homogénea 
con coeficientes constantes: 
Ec.1 ( ) 
Su ecuación característica es: 
 
i) Para cada raíz real distinta , le 
corresponde un término en la solución 
general de la forma: 
 
ii) Cada raíz real repetida veces, le 
corresponden términos en la solución 
general de la forma: 
 
iii) Para cada par de raíces complejas, , 
le corresponden 2 términos en la solución 
general de la forma: 
 
iv) Para raíces complejas repetidas aplicar ii) y 
iii) 
Solución general de la Ec. 1 
 
 
 
 
Ecuación diferencial lineal No homogénea 
con coeficientes constantes: 
 
 ( ) 
 
La solución general es: 
 
 solución general de la ecuación 
homogénea asociada a la Ec. 2 
 
 
 
Método de variación de parámetros para 
obtener 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
 
 
 
 
 )
 
 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
Continuación del Método de variación de 
parámetros 
 
 
 
 a “i” 
 de W por la columna: 
 
Modelos Matemáticos: 
 
Material Radiactivo 
 
 
 
 
Donde: 
t = tiempo. 
m = masa 
dm / dt = rapidez con la que cambia la magnitud de la 
masa con respecto al tiempo. 
k = constante de proporcionalidad para la rapidez con la 
que se desintegra la masa 
Vida media = se refiere a cuánto tiempo transcurre para 
que se desintegre la mitad de la masa por sí misma. 
 
 
Modelos Matemáticos: 
 
Circuito Eléctrico RL 
 
 
 
Donde: 
I = Corriente Electrica 
t = tiempo. 
L = Inductancia de la bobina . 
dI / dt = rapidez con la que cambia la magnitud de la corriente 
eléctrica. 
ε = voltaje de la batería. Fuente de baja potencia y de corriente 
continua. 
R= Resistencia eléctrica, limitación a el paso de la corriente 
eléctrica. 
 
Tm = temperatura del medio donde se levanta el objeto 
 
 ( ) 
Modelos Matemáticos: 
 
Ley de enfriamiento de Newton 
 
Donde: 
t = tiempo. 
T = Temperatura. 
dT / dt =rapidez con la que cambia la magnitud de la 
Temperatura. 
k = constante de proporcionalidad para la rapidez con la que se 
enfría un cuerpo o masa 
Modelos Matemáticos: 
 
Circuito Eléctrico RLC 
 
 (
 
 ) ( ) 
Donde: 
t = tiempo. 
L =Inductancia de la bobina 
i = corriente 
C = capacitancia 
q = carga 
di / dt = derivada de la corriente con respecto al tiempo. 
E = voltaje 
R= Resistencia eléctrica, limitación a el paso de lacorriente 
eléctrica. 
 
Modelos Matemáticos: 
 
Crecimiento poblacional 
 
 
 
Donde: 
t = tiempo. 
p = población. 
dp / dt = rapidez con la que cambia la cantidad de población. 
k = constante de proporcionalidad 
 
Sistemas Masa Resorte 
 
 
 
Donde: 
X= longitud 
t = tiempo. 
k = constante de elasticidad. 
m = masa. 
 
Forma General. ( ) tiene periodo 
 
 ( ) ∑[ ( )
 
 
 ( )] 
 
 
 
 ∫ ( ) 
 ⁄
 ⁄
 
 
 
 
 ∫ ( ) ( ) 
 ⁄
 ⁄
 
 
 
 
 ∫ ( ) ( ) 
 ⁄
 ⁄
 
 
 
 
 ( ) es Par 
 ( ) ∑[ ( )]
 
 
 
 
 
 
 ∫ ( ) 
 ⁄
 
 
 
 
 
 ∫ ( ) ( ) 
 ⁄
 
 
 
 
 
 ( ) es Impar 
 ( ) ∑[ ( )]
 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 ∫ ( ) ( ) 
 ⁄
 
 
 
 ( ) tiene Simetría de Media Onda 
 
 ( ) ∑[ [( ) ] 
 
 
 [( ) ]] 
 
 
 
 
 
 ∫ ( ) [( )( )] 
 ⁄
 
 
 
 
 
 ∫ ( ) [( )( )] 
 ⁄
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ∑[ [( ) ]]
 
 
 
 
 
 ∫ ( ) [( )( )] 
 ⁄
 
 
 ( ) ∑[ [( ) ]]
 
 
 
 
 
 ∫ ( ) [( )( )] 
 ⁄
 
 
 ( ) tiene Simetría de un Cuarto de Onda 
Par 
 
 
 ; 
 
 ( ) tiene Simetría de un Cuarto de Onda 
Impar 
 
 
 ; ; 
 
 
Forma Compleja ( ) tiene periodo 
 ( ) ∑ 
 
 
 
 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 ⁄
 ⁄
 
 
Si se conoce , y se obtiene: 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
Si se conoce , se obtiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ∑[ ( )
 
 
 ( )] 
 ( ) 
 
 ∫ 
( )( ) ( ) 
 ⁄
 ⁄
 
 ( ) 
 
 ∫ 
( )( ) ( ) 
 ⁄
 ⁄
 
Impulsos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valores importantes del Seno 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 [( ) ] ( )
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
√ 
 
 ( ) 
√ 
 
 
n = 1, 2, 3, 4,…………… 
 
 
Valores importantes del Coseno 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 [( ) ] [( )
 
 ] 
 ( ) ( ) 
 [( ) ] 
 ( ) 
√ 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
√ 
 n = 1, 2, 3, 4,…………… 
 
TABLA DE TRANSFORMADAS ELEMENTALES 
 f(t) F(s) 
1 C 
 
 
2 t 
 
 
3 
4 
5 
6 Cos at 
7 Senh at 
8 Cosh at 
 
TABLA DE TRANSFORMADAS INVERSAS ELEMENTALES 
 F(s) f(t) 
1 
 c 
2 
 t 
3 
 
 
 
4 
 
 
5 
 
 
 
6 
Cos at 
7 
 
 
 
 
Transformada de la derivada 
 
 
 
 
 
Transformada de una función periódica 
Si f(t) es una función periódica con período T, entonces: 
 
∫ 
 
 
 
 
NOTACIÓN: 
 {f(t)}= F(s) 
 
Propiedad de Linealidad 
 { ( ) ( )} ( ) ( ) 
 
Primera Propiedad de Traslación 
 { ( )} ( ) 
 
Segunda Propiedad de Traslación 
 { ( ) ( )} ( ) 
 
Multiplicación por 
 { ( )} ( ) ( ) 
 
Transformada de la Integral 
 {∫ ( ) 
 
 
} ( ) 
 
NOTACIÓN: 
 {F(s)}= f(t) 
Propiedad de Linealidad 
 { } 
Primera Propiedad de Traslación 
 { } 
Segunda Propiedad de Traslación 
 { } 
 
Transformada Inversa de la Derivada 
 
 { } 
 
División por s 
 
 { } ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Convolución 
 { } ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
Nombre: _________________________
Matricula:________________________
Carrera: _________________________