TFM-2500 Puentes Tamayo

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Equation Chapter 1 Section 1
Proyecto Fin de Máster 
Diseño Avanzado en Ingeniería Mecánica 
Estudio del comportamiento multifase de volúmenes 
representativos mediante modelos numéricos 
utilizando el software Digimat. 
Autor: Duvert Puentes Tamayo 
Tutores: Luis Távara Mendoza 
 Alejandro Estefani Morales 
 
Grupo de Elasticidad y Resistencia de Materiales 
Escuela Técnica Superior de Ingeniería 
Universidad de Sevilla 
 Sevilla, 2023 
2 
 
 
 
 
Proyecto Fin de Carrera: Estudio del comportamiento multifase de volúmenes representativos mediante 
modelos numéricos utilizando el software Digimat. 
 
 
 
 
 
Autor: Duvert Puentes Tamayo 
Tutor: Luis Távara Mendoza 
Alejandro Estefani Morales 
 
 
El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: 
Presidente: 
 
 
 
Vocales: 
 
 
 
 
Secretario: 
 
 
Acuerdan otorgarle la calificación de: 
Sevilla, 2023 
 
 
 
El Secretario del Tribunal 
 
4 
 
 
 
 
Agradecimientos 
A mi familia, por su apoyo 
incondicional, especialmente a mi 
madre por estar apoyándome en 
todo momento. 
A mis amigos por la ayuda 
emocional recibida durante este 
periodo de estudio en un país 
extranjero 
A mis tutores, por la atención, 
dedicación y paciencia que me ha 
brindado durante la elaboración 
de este trabajo. 
Duvert Andrés Puentes Tamayo 
Sevilla, 2023 
6 
 
 
Resumen 
Este proyecto pretende estudiar modelos de homogenización en materiales compuestos utilizando el software 
de Hexagon Digimat, con el propósito de mirar el alcance de esta herramienta y la sensibilidad que tienen los 
parámetros de una microestructura en su respuesta macroscópica permitiendo el avance en el estudio y desarrollo 
de nuevos materiales compuestos. 
Se utilizan modelos de materiales de fibras continuas de artículos experimentales para comparar y validar su 
comportamiento con los modelos en Digimat. Luego se estudian los cambios de la respuesta macroscópica de 
los materiales compuestos al cambiar parámetros de su microestructura apoyados en el software analítico 
también acompañados de modelos con elementos finitos. 
Durante el análisis del comportamiento del software se puede distinguir fácilmente las ventajas y limitaciones 
que puede llegar a tener este tipo de herramientas y como se pueden complementar de otras técnicas para generar 
un estudio más riguroso durante el ensayo de materiales compuestos 
Con unos cuantos análisis se puede obtener ciertas tendencias al modificar algunos parámetros específicos que 
pueden ser de ayuda a la elección de las especificaciones para nuevos materiales o para mejorar falencias de 
materiales existentes conociendo y manipulando su microestructura. 
 
Abstract 
This project aims to study homogenization models in composite materials using Hexagon Digimat software, in 
order to explore the capabilities of this tool and the sensitivity of microstructural parameters on their macroscopic 
response, allowing advancements in the study and development of new composite materials. 
Continuous fiber material models from experimental articles are utilized to compare and validate their behavior 
with the models in Digimat. Subsequently, changes in the macroscopic response of composite materials are 
studied by altering microstructural parameters using the analytical software accompanied by finite element 
models. 
During the analysis of software behavior, the advantages and limitations of such tools can be easily identified, 
as well as how they can be complemented with other techniques to generate a more rigorous study during 
composite material testing. 
Through several analyses, certain trends can be obtained by modifying specific parameters, which can assist in 
selecting specifications for new materials or improving shortcomings of existing materials by understanding and 
manipulating their microstructure. 
8 
 
 
 
Índice 
Agradecimientos 5 
Resumen 6 
Abstract 7 
Índice 8 
Índice de Tablas 10 
Índice de Figuras 11 
1 Introducción 14 
1.1 Objetivos 14 
1.2 Organización del documento 14 
2 Materiales compuestos 16 
2.1 Conceptos básicos sobre materiales compuestos y homogenización 16 
2.2 Homogenización utilizando Volúmenes representativos RVE 17 
2.3 Modelos de homogenización 18 
2.4 Fallo de materiales compuestos 20 
3 Teoría de homogenización 21 
3.1 Inclusiones y autodeformaciones (Eigenstrains) 21 
3.2 Teoría de Eshelby 21 
3.3 Propiedades elásticas efectivas 22 
3.4 Elemento de Volumen Representativo (RVE) 24 
3.5 Métodos analíticos 25 
3.5.1 Límites de Voigt y Reuss 25 
3.5.2 Hashin-Shtrikman 26 
3.5.3 Modelo de Mori-Tanaka 26 
4 Digimat 29 
4.1 Digimat MF 29 
4.1.1 Microestructura 34 
4.1.2 Criterio de Fallo de Digimat 39 
4.1.3 Cargas 45 
4.1.4 Resultados 47 
4.2 Digimat FE 52 
4.2.1 Microestructura 53 
4.2.2 RVE 56 
4.2.3 Criterio de fallo y Cargas 59 
5 Análisis de Comportamiento Paramétrico Digimat 61 
5.1 Análisis De Comportamiento Paramétrico Microestructura 61 
5.1.1 Método de homogenización 62 
5.1.2 Modelo Genérico: Orientación 64 
5.1.3 Modelo Genérico: Relación de aspecto 69 
5.1.4 Modelo Genérico: Porosidad 70 
5.1.5 Modelo Genérico: Revestimientos 73 
5.1.6 Modelo Genérico: Dirección de la carga 76 
5.1.7 Análisis Multilayer Digimat-MF 77 
5.1.8 Método por modelado de elementos finitos FE 79 
5.1.9 Análisis Multilayer Digimat-FE 85 
5.2 Análisis De Comportamiento Criterios de Fallo 89 
5.2.1 Por Componente 92 
5.2.2 Tsai-Hill 2D 93 
5.2.3 Azzi-Tsai-Hill 2D 93 
5.2.4 Tsai-Wu 2D 93 
5.2.5 MultiComponent 2D 94 
5.2.6 Hashin-Rotten 2D y Hashin 2D 94 
Conclusiones 97 
Bibliografía 99 
 
 
10 
 
 
Índice de Tablas 
Tabla 4–1 Variables con su abreviación para resultados de Digimat 47 
Tabla 5–1. Parámetros microestructura modelo fibras continuas AS4/3501-6 61 
Tabla 5–2. Propiedades mecánicas fases (Sun & Vaidya, s. f.) 62 
Tabla 5–3. Constantes elásticas Digimat vs Literatura para el AS4/3501-6 (0.6 fracción volumétrica) 62 
Tabla 5–4. Propiedades mecánicas fases (Chacón, 2013) 63 
Tabla 5–5. Parámetros microestructura modelo fibras cortas GF/PA6 63 
Tabla 5–6. Parámetros modelo fibras cortas GF/PA6 69 
Tabla 5–7. Parámetros modelo fibras continuas con poros 71 
Tabla 5–8. Parámetros modelo fibras continuas con revestimiento 73 
Tabla 5–9. Propiedades mecánicas fases (Hossain et al., 2015) 73 
Tabla 5–10. Parámetros microestructura modelo fibras continuas AS4/3501-6 78 
Tabla 5–11. Propiedades mecánicas fases composite multilayer 78 
Tabla 5–12. Propiedades de fallo en MPa (Wang et al., 2018) 78 
Tabla 5–13. Parámetros microestructura modelo fibras continuas AS4/3501-6 80 
Tabla 5–14. Convergencia de malla. Elemento tipo voxel 81 
Tabla 5–15. Convergencia de cuadricula FFT 82 
Tabla 5–16. Comparación métodos de solución para modelo AS4/3501-6 82 
Tabla 5–17. Parámetros microestructura modelo fibras cortas AS4/3501-6 (Vf 20%) 83 
Tabla 5–18. Comparación modelos con diferente dimensión de RVE 84 
Tabla 5–19. Parámetros microestructura modelo fibras continuas FE AS4/3501-6 85 
Tabla 5–20. Propiedades mecánicas AS4/3501-6 (Soden et al., 1998) 89 
 
Índice de Figuras 
Figura 2-1. Esquema de la homogenización.(Korneev et al., 2020) 17 
Figura 2-2. Representación del ciclo de homogenización para transformación de propiedades de microestructura 
a macroestructura. (Zhou et al., 2016) 18 
Figura 3-1. Inclusión. (Gross & Seeling, 2006) 21 
Figura 3-2. Inclusión elipsoidal. (Gross & Seeling, 2006) 22 
Figura 3-3. Escalas de la homogenización. (Gross & Seeling, 2006) 25 
Figura 4-1. Diagrama de flujo Digimat MF. (MSC Software Belgiumm SA, 2021) 29 
Figura 4-2. Modelo de doble inclusión. (MSC Software Belgiumm SA, 2021) 30 
Figura 4-3. Vector de orientación. (MSC Software Belgiumm SA, 2021) 31 
Figura 4-4. Ejemplos inclusiones con diferentes orientaciones Orientaciónθ, φ 32 
Figura 4-5. Homogenización de inclusiones con diferentes orientaciones. (MSC Software Belgiumm SA, 2021)
 32 
Figura 4-6. Homogenización multinivel. (MSC Software Belgiumm SA, 2021) 33 
Figura 4-7. Homogenización para inclusiones con revestimiento. (MSC Sofware Belgiumm SA, 2021) 34 
Figura 4-8. Tipos de microestructuras 35 
Figura 4-9. Definición fracción de la inclusión en la matriz 36 
Figura 4-10. Inclusiones con diferentes L/D. 36 
Figura 4-11. Definición forma de inclusión. 37 
Figura 4-12. Definición orientación de la inclusión 37 
Figura 4-13. Ejemplos tensor de orientación 38 
Figura 4-14. Izq. Inclusiones con revestimiento (Coating). Der. Inclusiones con agrupamiento (Clustering)
 39 
Figura 4-15.Representacion carga biaxial 46 
Figura 4-16.Representacion carga cortante 46 
Figura 4-17. Interfaz área de gráficos 50 
Figura 4-18. Interfaz área de envolvente de fallo 51 
Figura 4-19. Carpet plot 51 
Figura 4-20. Propiedades macroscópicas del modelo 52 
Figura 4-21. Diagrama de flujo de Digimat FE 52 
Figura 4-22. Parámetros geométricos para inclusiones 54 
Figura 4-23. Formas geométricas para las inclusiones genéricas 55 
12 
 
 
Figura 4-24. Inclusión prismática variando el parámetro de relación de aspecto 2 55 
Figura 4-25. Parámetros para la generación de inclusiones en el RVE 56 
Figura 4-26. RVE fibra continua con ondulaciones 57 
Figura 4-27. Representación gráfica de la geometría de las inclusiones y las ventanas de información del RVE 
generado aleatoriamente. Numero de inclusiones, posición, orientación. 58 
Figura 4-28. Malla de RVE con elementos tetra (izq.) y con elementos voxel (der.) 58 
Figura 4-29. Representación de la cuadricula generada en las 3 direcciones para utilizar el método de solución 
FFT 59 
Figura 5-1. Comparación respuesta mecánica según método de homogenización cambiando la fracción 
volumétrica. Fibra corta (Relación de aspecto = 25) 64 
Figura 5-2. Ángulos directores para la orientación de las inclusiones 64 
Figura 5-3.Angulo phi para cada inclusión. 𝑎11 = 0.8, 𝑎22 = 0.2 65 
Figura 5-4.Valores reales del tensor para la geometría generada 65 
Figura 5-5.Angulo phi para cada inclusión. 𝑎11 = 0.5, 𝑎22 = 0.5 66 
Figura 5-6.Valores reales del tensor para la geometría generada 66 
Figura 5-7.Angulo phi para cada inclusión. 𝑎11 = 0.2, 𝑎22 = 0.8 67 
Figura 5-8.Valores reales del tensor para la geometría generada 67 
Figura 5-9. Angulo phi para cada inclusión generada. Izq. Ángulo real. Der. Valor absoluto del ángulo 68 
Figura 5-10.Distribucion ángulos theta y phi de las inclusiones generadas (30 inclusiones) 68 
Figura 5-11.Valores reales del tensor para la geometría generada 69 
Figura 5-12.Modulo de Young de la muestra variando la relación de aspecto 70 
Figura 5-13. . Módulo de Young de la muestra variando la relación de aspecto con orientación fija (θ=90, φ=0)
 70 
Figura 5-14.Modulo de Young de la muestra variando la fracción volumétrica de los poros 72 
Figura 5-15.Modulo de Young de la muestra variando la orientación del espacio vacío (θ=90, φ=90) 73 
Figura 5-16. Módulo de Young E11, E22 de la muestra variando la fracción volumétrica del revestimiento. 
Escala 74 
Figura 5-17. Densidad del material variando la fracción volumétrica del revestimiento 75 
Figura 5-18. Comparación resistencia de fibras con revestimiento con homogenización por Mori-Tanaka (M-
T) y Doble Inclusión (D-I) 75 
Figura 5-19.Grafica Stress-Strain para modelos con revestimiento (F.V. 1%,1.5%, 2%) con diferente método de 
homogenización. 76 
Figura 5-20. Configuraciones equivalentes para análisis de comportamiento del modelo en diferentes direcciones 
de carga 76 
Figura 5-21. Propiedades mecánicas para lámina de fibras continúas aplicando la carga en diferentes direcciones
 77 
Figura 5-22. Curva esfuerzo deformación para laminado (0º/10º/15º/20º/30º/45º) 79 
Figura 5-23. Curva esfuerzo deformación para laminado con fallo en primera capa (0º/10º/15º/20º/30º/45º)
 79 
Figura 5-24. RVE fibra continua. Izq.: Geometría. Centro: Malla elementos tetra. Der: Malla elementos voxel
 80 
Figura 5-25. Convergencia malla número de elementos 81 
Figura 5-26. Cuadricula para densidad de puntos solver FFT 81 
Figura 5-27. Convergencia malla número de puntos malla FFT 82 
Figura 5-28. RVE generado con dimensiones recomendadas por el software 84 
Figura 5-29. Curva esfuerzo deformación para composite con fallo por capas (0º,45º,90º,-45º,0º) 85 
Figura 5-30. Composite con fallo en capas, detalle daño primer capa (0º,45º,90º,-45º,0º) 86 
Figura 5-31Comparacion rigidez con capas dañadas del composite. Arriba, fase de una capa dañada. Abajo, fase 
de tres capas dañadas (0º,45º,90º,-45º,0º) 87 
Figura 5-32 RVE y malla para el apilado (0º,45º,90º,-45º,0º) 88 
Figura 5-32 Detalle malla de la primer capa, fibras y matriz 88 
Figura 5-33. Comparación curva carga cortante en el plano AS4/3501-6 con criterio de fallo por carga 89 
Figura 5-34. Comparación curva tensión longitudinal AS4/3501-6 con criterio de fallo por carga 90 
Figura 5-35. Comparación curva compresión transversal AS4/3501-6 con criterio de fallo por carga 90 
Figura 5-36. . Comparación curva carga cortante en el plano AS4/3501-6 con criterio de fallo por deformación
 91 
Figura 5-37. Interfaz criterio de fallo Tsai-Hill 2D 91 
Figura 5-38. Interfaz asignación de criterio de fallo 92 
Figura 5-39. Envolventes de fallo S11vsS22 para Componente 92 
Figura 5-40. Envolventes de fallo S11vsS22 para Tsai-Hill 2D 93 
Figura 5-41. Envolventes de fallo S11vsS22 para Azzi-Tsai-Hill 2D 93 
Figura 5-42. Envolventes de fallo S11vsS22 para Tsai-Wu 2D 94 
Figura 5-43. Envolventes de fallo S11vsS22 para Hashin-Rotten 2D 94 
Figura 5-44. Envolventes de fallo S11vsS12 para Hashin-Rotten 2D y Hashin 2D 95 
Figura 5-45. Envolventes de fallo S11vsS12 para diferente direcciones de fibra AS4/3501-6 95 
Figura 5-46. Envolventes de fallo S11vsS22 para diferente direcciones de fibra AS4/3501-6 96 
 
 
14 
 
 
1 INTRODUCCIÓN 
1.1 Objetivos 
El enfoque principal de este trabajo se centra en estudiar modelos de homogenización de propiedades de 
materiales compuestos de fibras continúas utilizando el módulo de homogenización de Digimat MF y Digimat 
FE, con el propósito de analizar el alcance de esta herramienta numérica para la correcta modelización de un 
comportamiento mecánico real de materiales compuestos partiendo de su microestructura. 
Para poder analizar las ventajas y limitaciones del software como herramienta de homogenización de campo 
medio se explicará e interpretará la influencia que tiene cada uno de los parámetros que ofrece el software de 
Digimat. 
Acompañando a los análisis de homogenización de campo medio, se realizará una comparación con materiales 
compuestos modelados con elementos finitos dentro del mismo software para resaltar las diferencias existentes 
entre un modelo diseñado por homogenización versus los diseñados usando elementos finitos 
Para cumplir estos objetivos se utilizará ejemplos prácticos de materiales compuestos reales y algunos con 
configuraciones experimentales, para estudiar el efecto de los parámetros más importantes que ofrece el 
software. 
Los principales materiales a usar serán fibras continuas de carbono utilizando resina de epoxi como matriz, para 
los casos de estudio que requieran fibras cortas para explicar algún parámetro en especifico se utilizará materiales 
de fibra de vidrio con matriz de poliamidas 
Se compararán las curvas de tensión – deformación, matriz de rigidez y flexibilidad, y curvas de envolventes de 
fallo para determinar la validez de los modelos generados con datos experimentales de la literatura 
1.2 Organización del documento 
El presente manuscrito se estructura en cinco capítulos principales, diseñados de forma sencilla para facilitar la 
interpretación del contenido. A continuación, se ofrece una breve descripción de cada uno de ellos: 
▪ 1 IntroducciónEl primer capítulo incluye el objetivo general del trabajo, así como los objetivos específicos que se 
desarrollarán a lo largo del mismo. 
▪ 2 Materiales compuestos 
En el segundo capítulo, se presenta un breve resumen de los conceptos básicos sobre materiales 
compuestos, junto con una introducción a los conceptos necesarios para comprender la 
homogeneización de volúmenes representativos y los criterios de fallo de manera generalizada. 
▪ 3 Teoría de homogenización 
En el tercer capítulo, se aborda en detalle la base teórica detrás de los modelos analíticos de 
homogeneización de materiales compuestos. Se explica cómo se discretizan los volúmenes 
representativos utilizando la teoría de Eshelby como base para describir qué es una inclusión, y se detalla 
el proceso para obtener las propiedades elásticas efectivas de un material. El capítulo concluye con una 
exposición de los métodos analíticos utilizados, que incluyen el modelo de Mori-Tanaka, Hashin-
Shtrikman y los modelos de límites de Voight y Reuss. 
▪ 4 Digimat 
El cuarto capítulo ofrece un resumen de cómo se implementan los diferentes modelos de 
homogeneización en Digimat, así como los diversos parámetros que se encuentran dentro del software 
enfocando los módulos que se utilizan en el presente trabajo. El capítulo se divide en dos secciones: una 
dedicada al módulo de homogeneización de campo medio Digimat MF, y otra al módulo de modelación 
con elementos finitos Digimat FE. Dado que muchos de los conceptos se aplican a ambos módulos, en 
la segunda sección se mencionan únicamente las características que difieren entre ellos. Cada sección 
se organiza siguiendo la estructura del árbol de construcción que presenta el software, de esta manera 
se explican todos los parámetros modificables por el usuario durante la modelación de un ensayo. 
Asimismo, se incluyen imágenes que muestran la disposición de las ventanas del software, con el fin 
de ayudar al usuario a ubicar los parámetros o variables que se están tratando, y familiarizarse así con 
la interfaz. 
▪ 5 Análisis de Comportamiento Paramétrico Digimat 
El quinto capítulo recopila todos los resultados y comparaciones obtenidos durante el desarrollo del 
trabajo, analizando el comportamiento macroscópico del material al variar los parámetros de la 
microestructura antes de la homogeneización. Esta parte se divide en dos secciones: la primera aborda 
todo lo relacionado con la geometría de la microestructura y sus diferentes combinaciones, tanto para 
los modelos de homogeneización como para los modelos de elementos finitos. La segunda sección se 
centra en los criterios de fallo que se pueden utilizar en el software, así como en la comparación entre 
ellos. Finalmente, el trabajo cierra con las conclusiones obtenidas del desarrollo del mismo, destacando 
el comportamiento de los materiales, así como las ventajas y limitaciones detectadas durante el uso del 
programa. 
 
 
 
16 
 
 
2 MATERIALES COMPUESTOS 
2.1 Conceptos básicos sobre materiales compuestos y homogenización 
Se entiende por material compuesto a la combinación a escala macroscópica de dos o más materiales que forman 
un nuevo material de manera que las propiedades finales sean superiores que las de los constituyentes utilizados 
de manera aislada. Las principales propiedades que se pretenden mejorar incluyen: Resistencia mecánica, 
resistencia a corrosión, rigidez, resistencia a la abrasión, fatiga, aislamiento térmico y acústico, entre otros.(París 
et al., 2008) 
El creciente uso de estos materiales reside en la capacidad de proporcionar prestaciones particulares para cada 
diseño en concreto, especialmente relevantes en el campo aeronáutico, aeroespacial, automovilístico, energías 
renovables, entre otros, por su relación resistencia-peso y versatilidad para adaptarse a entornos térmicos y 
abrasivos según la aplicación requerida. El uso de estos materiales se limita a su alto costo y tiempo de trabajo 
para fabricarlos, y muchas veces no es completamente claro su comportamiento anisotrópico. (EADS 
Deutschland GmbH, 2004) 
Los materiales compuestos tienen muchas ventajas en comparación con los materiales tradicionales. Por 
ejemplo, son más resistentes a la fatiga y a la fractura, tienen una mayor rigidez y resistencia específica, son más 
ligeros y pueden ser diseñados para tener una gran variedad de propiedades. Estas características los hacen muy 
útiles en una amplia gama de aplicaciones, como en la construcción de aeronaves, automóviles, barcos, equipos 
deportivos, entre otros. 
Sin embargo, el diseño y la fabricación de materiales compuestos pueden ser bastante complejos debido a su 
estructura heterogénea. Es decir, la disposición de la fase dispersa dentro de la matriz no es homogénea, lo que 
significa que las propiedades mecánicas del material pueden variar significativamente en diferentes direcciones. 
Para abordar este problema, se han desarrollado varias técnicas de homogeneización, que tienen como objetivo 
obtener una descripción de las propiedades macroscópicas del material compuesto, considerando su estructura 
microscópica.(Ryzińska et al., 2021) 
El uso de materiales compuestos supone un mayor reto a nivel de ingeniería con respecto a los metales 
tradicionales, debido a que sus propiedades finales son dependientes del proceso de fabricación, calidad de los 
materiales que lo componen, configuración geométrica, etc., lo que genera incertidumbres durante todo el 
proceso de diseño. La investigación experimental no es suficiente para obtener información precisa de las 
propiedades y comportamiento mecánico para materiales heterogéneos(Jagadeesh & Gangi Setti, 2020). 
Como solución a la comprensión de dichos materiales se utiliza la homogenización de las propiedades de la 
microestructura que da un valor aproximado de las propiedades elásticas efectivas del material homogéneo. 
(Omairey et al., 2019) 
Se consideran materiales heterogéneos aquellos que a nivel de microestructura se componen de una matriz de 
un material y múltiples fases o inclusiones que puedes ser fibras cortas, plaquetas, micro fisuras o micro 
cavidades. Algunos ejemplos de materiales heterogéneos pueden ser los polímeros reforzados con fibra de 
vidrio, composites de matriz polimérica, composites de matriz metálica, concreto reforzado con acero, 
biomateriales, entre otros. Con el modelado microestructural y haciendo uso de técnicas de homogenización se 
pretende aproximar el comportamiento de las propiedades macroscópicas (MSC Sofware Belgiumm SA, 2021) 
2.2 Homogenización utilizando Volúmenes representativos RVE 
Para realizar la homogeneización de materiales compuestos, es necesario definir un volumen representativo 
(RVE) del material compuesto. El RVE es una porción del material compuesto que se considera lo 
suficientemente grande como para representar las propiedades macroscópicas del material, pero lo 
suficientemente pequeña como para que el análisis de sus propiedades microscópicas sea factible.(Shen & Gong, 
2016) 
La selección del tamaño y forma del RVE depende del tipo de material compuesto, su estructura microscópica 
y las propiedades macroscópicas que se quieran modelar. En general, el RVE puede ser de forma cúbica, esférica 
o cilíndrica, y su tamaño puede variar desde algunos micrómetros hasta varios centímetros.(Trzepieciński et al., 
2018) 
El RVE se utiliza para calcular las propiedades efectivas del material compuesto a nivel macroscópico, como la 
elasticidad, la conductividad térmica o la permeabilidad. Estas propiedades efectivas se obtienen a partir del 
análisis de las propiedades microscópicas del RVE, como la orientación, la distribución y la forma de la fase 
dispersa dentro de la matriz. En otras palabras, el RVE se utiliza para promediar las propiedades microscópicas 
del material compuesto y obtener una descripción más simple y homogénea de sus propiedades macroscópicas. 
Digimat proporcionaherramientas para la definición del RVE, como la generación automática de geometrías 
representativas a partir de imágenes microscópicas del material o la definición manual del RVE parámetros 
específicos para geometrías predefinidas. Además, Digimat permite la simulación de las propiedades 
microscópicas del RVE a través del uso de modelos micromecánicos, que tienen en cuenta la interacción entre 
las fases del material compuesto a nivel microscópico.(Amirmaleki et al., 2016) 
La generación y manipulación de estos RVE puede controlar el comportamiento macroscópico de materiales 
compuestos a partir de su microestructura, Digimat es una herramienta poderosa para la generación de estos 
RVE los cuales se pueden exportar a otros solver de cálculo permitiendo integrarlo en diferentes proyectos de 
ingeniería. El presente trabajo se centra en el entendimiento y correcto uso de este software para sacar todas las 
ventajas que puede ofrecer para el análisis de materiales compuestos a partir de su microestructura. 
 
 
Figura 2-1. Esquema de la homogenización.(Korneev et al., 2020) 
 
 
18 
 
 
2.3 Modelos de homogenización 
Varios autores han propuesto múltiples modelos de comportamiento micromecánico que corresponden a la 
obtención de las propiedades mecánicas representativas de los materiales compuestos. Entre los más utilizados 
se encuentra el método Eshelby, el método de Hashin and Shtrikman, método de Mori-Takana, entre otros. 
El método de Eshelby es un enfoque de homogeneización utilizado para calcular las propiedades macroscópicas 
de materiales compuestos con inclusiones elásticas. Fue desarrollado por el matemático y físico John D. Eshelby 
en la década de 1950 y se basa en la teoría de la elasticidad. 
El método de Eshelby considera una inclusión elástica aislada en un medio continuo elástico y uniforme. El 
objetivo del método es determinar cómo se deformará el medio continuo alrededor de la inclusión debido a las 
tensiones internas en la inclusión. Este enfoque es especialmente útil para materiales compuestos con inclusiones 
esféricas o elipsoidales, ya que el problema se reduce a una geometría simple y simétrica.(Sauer et al., 2008) 
El método de Eshelby utiliza una técnica llamada tensor de inclusión para describir las tensiones y 
deformaciones dentro de la inclusión. El tensor de inclusión se utiliza para calcular la energía almacenada en la 
inclusión y, a partir de ahí, se pueden obtener las propiedades macroscópicas del material compuesto, como la 
rigidez y la conductividad térmica. 
El método de Eshelby es particularmente útil para calcular las propiedades de materiales compuestos con 
inclusiones muy pequeñas o distribuidas aleatoriamente, ya que el método no requiere una definición explícita 
de un RVE. En lugar de esto, a partir de la distribución estadística de las inclusiones se puede utilizar para 
calcular las propiedades macroscópicas promedio del material compuesto.(Nayak & Sahu, 2019) 
El método de Hashin-Shtrikman es un enfoque de homogeneización utilizado para calcular las propiedades 
macroscópicas de materiales compuestos. Fue desarrollado por los matemáticos Avraham Hashin y Sol 
Shtrikman en la década de 1960 y se basa en la teoría de la media de campos efectivos o la teoría de medios 
homogéneos. 
El método de Hashin-Shtrikman utiliza límites superiores e inferiores para estimar las propiedades 
macroscópicas del material compuesto. El límite inferior se basa en la hipótesis de que las inclusiones son 
esféricas y están distribuidas aleatoriamente en el medio continuo. Este límite se utiliza para obtener una 
estimación mínima de las propiedades del material compuesto.(Wall, 1995) 
 
Figura 2-2. Representación del ciclo de homogenización para transformación de propiedades de 
microestructura a macroestructura. (Zhou et al., 2016) 
Por otro lado, el límite superior se basa en la hipótesis de que el material compuesto es homogéneo y anisótropo. 
Este límite se utiliza para obtener una estimación máxima de las propiedades del material compuesto. El límite 
superior se puede calcular utilizando la técnica de auto consistencia, que asume que el material compuesto es 
uniforme y que las inclusiones tienen un efecto mínimo en las propiedades macroscópicas. 
El método de Hashin-Shtrikman utiliza estas dos estimaciones para obtener una banda de posibles valores de las 
propiedades macroscópicas del material compuesto. Esta banda se llama banda de Hashin-Shtrikman y es útil 
para determinar el rango de propiedades mecánicas, térmicas o eléctricas del material compuesto. 
Además, es especialmente útil para materiales compuestos con inclusiones no esféricas o distribuidas de manera 
no uniforme. También se puede utilizar para materiales compuestos con inclusiones grandes y homogéneas que 
no se pueden tratar como inclusiones puntuales en el análisis.(Omairey et al., 2019) 
La teoría de Mori-Tanaka, desarrollada en 1973, se basa en el cálculo de las tensiones internas promedio de un 
material compuesto que contiene precipitados. Este método utiliza los eigenstrain, que son deformaciones 
mecánicas en un material que no son causadas por esfuerzos mecánicos externos. Este enfoque asume que la 
deformación promedio del material puede estimarse considerando una única inclusión en una matriz 
infinita.(Turégano Pérez, 2020) 
También se utiliza una técnica llamada campo autoconsistente para describir las interacciones entre las 
inclusiones y el medio continuo. La técnica considera una estructura celular del material compuesto, en la cual 
las inclusiones están distribuidas de manera periódica en una matriz continua. 
El método de Mori-Tanaka asume que las inclusiones tienen una geometría y distribución conocidas y que el 
medio continuo es homogéneo e isotrópico. A partir de estas hipótesis, se puede calcular la deformación y las 
tensiones en el volumen representativo y, a partir de ahí, obtener las propiedades macroscópicas del material 
compuesto. 
Este método es particularmente útil para materiales compuestos con inclusiones alargadas o no esféricas, ya que 
la técnica de campo autoconsistente puede considerar las interacciones entre las inclusiones en una estructura 
periódica. El método también puede considerar la influencia de las fuerzas interfaciales entre la matriz y las 
inclusiones. 
El método de Mori-Tanaka ha sido utilizado en una variedad de campos, incluyendo la mecánica de materiales, 
la física de materiales y la ingeniería civil. Una de las ventajas del método es que puede manejar una variedad 
de geometrías y distribuciones de inclusiones, lo que lo hace útil para una amplia gama de aplicaciones.(Liu & 
Huang, 2014) 
El método de doble inclusión es una técnica de homogeneización utilizada para calcular las propiedades 
efectivas de materiales compuestos que contienen dos tipos de inclusiones en una matriz continua. Este método 
fue desarrollado por el físico David C. Drucker en la década de 1950. 
El método de doble inclusión considera una matriz continua con dos tipos de inclusiones distribuidas de manera 
aleatoria: las inclusiones principales y las inclusiones secundarias. Las inclusiones principales son grandes en 
comparación con las inclusiones secundarias y se asume que no interactúan directamente entre sí. En cambio, 
las inclusiones secundarias interactúan tanto con las inclusiones principales como con la matriz continua.(MSC 
Sofware Belgiumm SA, 2021) 
Para calcular las propiedades efectivas del material compuesto, el método de doble inclusión utiliza una técnica 
iterativa en la que se calculan las tensiones y deformaciones locales en las inclusiones secundarias y se 
promedian a través de la matriz continua para obtener las propiedades macroscópicas del material compuesto. 
La técnica de iteración se repite hasta que se alcanza una solución convergente. 
Una de las ventajas del método de doble inclusión es que puede manejar una amplia gama de tamañosy 
geometrías de inclusiones. Además, el método puede considerar las interacciones entre inclusiones secundarias 
y con la matriz continua, lo que lo hace útil para una variedad de aplicaciones. 
20 
 
 
El método de doble inclusión ha sido utilizado en campos como la mecánica de materiales, la física de materiales 
y la ingeniería civil. Es particularmente útil para materiales compuestos con dos tipos de inclusiones que no 
interactúan directamente entre sí, pero que interactúan con la matriz continua.(Trzepieciński et al., 2017) 
2.4 Fallo de materiales compuestos 
Los métodos de homogeneización que hemos visto hasta ahora nos permiten calcular las propiedades 
macroscópicas de los materiales compuestos a partir de las propiedades de sus componentes, y nos dan una idea 
de cómo se comportará el material a nivel macroscópico. Sin embargo, es importante tener en cuenta que, al 
igual que cualquier otro material, los materiales compuestos también pueden sufrir daños o colapso total. 
El concepto de daño en materiales compuestos puede ser complejo debido a la naturaleza heterogénea del 
material, lo que significa que los criterios de fallo pueden ser más difíciles de definir que en materiales 
homogéneos. Algunas de las fallos que pueden ocurrir en materiales compuestos incluyen la fractura de la 
matriz, la delaminación de las capas, la rotura de las fibras y el aplastamiento de las fibras.(Montero-Chacón 
et al., 2017) 
Por lo tanto, para garantizar que los materiales compuestos sean seguros y confiables, es necesario desarrollar 
criterios de fallo que puedan predecir la ocurrencia de daños. Estos criterios de fallo se basan en las propiedades 
del material, como la resistencia y la rigidez, así como en la geometría y las cargas aplicadas al material. 
La fractura de la matriz es una de los daños más comunes que pueden ocurrir en materiales compuestos. La 
matriz es el material que rodea y sostiene las fibras en un material compuesto y es generalmente un polímero o 
una cerámica. Debido a la naturaleza frágil de algunos materiales de matriz, la fractura de la matriz puede ocurrir 
bajo cargas de tracción, compresión o corte.(Abhilash et al., 2021) 
La fractura de la matriz puede ser inducida por diferentes mecanismos. En algunos casos, puede ser causada por 
cargas transversales que generan tensiones de cortadura en la matriz y provocan su fractura. En otros casos, 
puede ser causada por cargas axiales que provocan la apertura de fisuras en la matriz. Estas fisuras pueden crecer 
debido a tensiones cíclicas, lo que puede llevar finalmente a la fractura completa de la matriz.(Doghri & Friebel, 
2005) 
Es importante tener en cuenta que la fractura de la matriz no solo afecta la resistencia del material compuesto, 
sino que también puede afectar su rigidez. Cuando la matriz se rompe, las fibras quedan desprotegidas y pueden 
comenzar a deformarse y a deslizarse, lo que puede reducir la rigidez del material. Además, la fractura de la 
matriz también puede provocar la exposición de las fibras a agentes externos, como la humedad, lo que puede 
acelerar el proceso de degradación del material. 
Por lo tanto, es importante tener en cuenta la fractura de la matriz al diseñar y evaluar la seguridad de los 
materiales compuestos. Los ingenieros y científicos deben desarrollar métodos de prueba y modelos teóricos 
que permitan predecir y evaluar la fractura de la matriz en diferentes condiciones de carga y ambientes de 
servicio.(Guillén et al., 2016) 
3 TEORÍA DE HOMOGENIZACIÓN 
3.1 Inclusiones y autodeformaciones (Eigenstrains) 
En teoría, una deformación que existe en un material en ausencia de tensiones puede ser interpretado como 
autodeformación. Si se considera una distribución espacial de autodeformación 𝜀𝑖𝑗
𝑡 (𝑥), se obtienen las llamadas 
deformaciones libres de tensiones, (stress-free transformation strains). A nivel de pequeñas deformaciones la 
deformación total 𝜀𝑖𝑗, es la suma de las deformaciones elásticas 𝜀𝑖𝑗
𝑒 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙
−1 𝜎𝑘𝑙 y las autodeformaciones 𝜀𝑖𝑗 =
𝜀𝑖𝑗
𝑒 + 𝜀𝑖𝑗
𝑡 , por lo tanto, las tensiones se pueden obtener de la forma: 
𝜎 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙(𝜀𝑘𝑙 − 𝜀𝑘𝑙
𝑡 ) 
Si las autodeformaciones no nulas permanecen solo en una subregión acotada Ω de material homogéneo, esta 
región es llamada inclusión y el material que la rodea se llama matriz. Cabe resaltar que las propiedades elásticas 
de la inclusión y de la matriz son las mismas, de lo contrario la región Ω se definiría como inhomogeneidad. 
 
Figura 3-1. Inclusión. (Gross & Seeling, 2006) 
En el caso general de una inclusión de geometría aleatoria Ω en un campo de autodeformaciones también 
aleatorio, no es posible representar la distribución de tensiones, campos totales de deformación y los 
desplazamientos de forma cerrada. (Gross & Seeling, 2006) 
3.2 Teoría de Eshelby 
El aporte más importante a las soluciones en micromecánica fue descubierto por J. D. Eshelby. Esta es válida 
para un dominio infinito, en el cual existe una inclusión elipsoidal Ω con ejes principales 𝑎𝑖: 
(𝑥1/𝑎1)
2 + (𝑥2/𝑎2)
2 + (𝑥3/𝑎3)
2 ≤ 1 
Si la autodeformación en la inclusión es constante, 𝜀𝑘𝑙
𝑡 = const, la solución sostiene que la deformaciń total 𝜀𝑘𝑙 
dentro de la inclusión Ω es también constante. Viendo el tensor de cuarto orden de Eshelby 𝑆𝑖𝑗𝑘𝑙, las 
deformaciones totales dependen linealmente de las autodeformaciones: 
𝜀𝑖𝑗 = 𝑆𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀𝑘𝑙
𝑡 = const en Ω 
 
22 
 
 
 
Figura 3-2. Inclusión elipsoidal. (Gross & Seeling, 2006) 
Utilizando la relación: 
𝜎𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙(𝜀𝑘𝑙 − 𝜀𝑘𝑙
𝑡 ) 
las tensiones dentro de Ω que también son constantes, pueden ser representadas por: 
𝜎𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙(𝑆𝑚𝑛𝑘𝑙 − 𝐼𝑚𝑛𝑘𝑙)𝜀𝑘𝑙
𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 en Ω 
donde 
𝐼𝑚𝑛𝑘𝑙 =
1
2
(𝛿𝑚𝑘𝛿𝑛𝑙 + 𝛿𝑚𝑙𝛿𝑛𝑘) en Ω 
Este el tensor identidad de cuarto orden. El tensor de Eshelby es simétrico en el primer y segundo par de índices, 
pero en general no lo es: 
𝑆𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝑆𝑗𝑖𝑘𝑙 = 𝑆𝑖𝑗𝑙𝑘 , 𝑆𝑖𝑗𝑘𝑙 ≠ 𝑆𝑘𝑙𝑖𝑗 
En el caso de un material isotrópico sus componentes dependen solamente del coeficiente de Poisson 𝜈, la 
relación de los ejes principales 𝑎𝑖, y su orientación con respecto al sistema de ejes cartesianos utilizado. Fuera 
de la inclusión Ω las tensiones y deformaciones no son constantes: Al aumentar la distancia 𝑟 de la inclusión, 
decrece asintóticamente según la relación 𝜀𝑖𝑗 , 𝜎𝑖𝑗 ≈ 𝑟
−3 para 𝑟 → ∞. El resultado dado por Eshelby, es para un 
material anisotrópico arbitrario. Aun así, solo para un material isotrópico es posible la representación de forma 
cerrada del tensor 𝑆𝑖𝑗𝑘𝑙 y los campos fuera de la inclusión Ω. La solución de Eshelby para inclusiones 
elipsoidales es de fundamental importancia para las técnicas de homogenización analíticas. (Gross & Seeling, 
2006) 
3.3 Propiedades elásticas efectivas 
De manera simplificada un medio heterogéneo se comporta macroscópicamente de la misma forma que sus 
constituyentes, pero con diferentes valores de las constantes de los materiales, llamadas Propiedades Elásticas 
Efectivas. 
En los análisis micromecánicos los campos de tensiones y deformaciones en un material heterogéneo se dividen 
en las contribuciones correspondientes a diferentes escalas. Se asume que esas escalas son suficientemente 
diferentes, tal que: 
• Las fluctuaciones de los campos de tensiones y deformaciones en la microescala (microcampos) 
tienen influencia en el comportamiento macroscópico en la escala mayor, solamente a través de su 
media volumétrica. 
• Los gradientes de los campos de tensiones y deformaciones, en la macroescala, no son significativos a 
nivel micro; donde estos campos aparentan ser constantes. 
Formalmente, esta división de tensiones y deformaciones en campos de contribuciones microscópicas y 
macroscópicas puede ser expresada como: 
𝝈(𝑥) = �̅� + 𝝈′(𝑥) y 𝜀(𝑥) = 𝜀‾ + 𝜀′(𝑥) 
donde �̅� y �̅� son los macrocampos y 𝝈′(𝑥)y 𝜺′(𝑥) las fluctuaciones microscópicas. 
Para cada región de un material heterogéneo (más adelante definidas como Elementos de Volumen 
Representativo) los campos microscópicos de tensiones y deformaciones, 𝝈(𝑥) y 𝜀(𝑥), y sus correspondientes 
respuestas macroscópicas �̅� y 𝜀‾ pueden ser relacionadas mediante las siguientes expresiones: 
𝝈(𝑥) = 𝐀(𝑥): �̅� y 𝜀(𝑥) = 𝑩(𝑥): 𝜀‾ 
Donde : es un producto de doble contracción. Además, si el dominio es lo suficientemente grande y a la vez no 
contiene gradientes significativos de tensiones y deformaciones la relación de homogenización puede definirse 
como: 
𝜀‾ =
1
𝑉
∫  
𝑉
 𝜀(𝑥)𝑑𝑉 =
1
2𝑉
∫ 
𝑆
  (𝐮(𝑥)⊗ 𝐧𝑆 + 𝐧𝑆⊗𝐮(𝑥))𝑑𝑆
𝜀‾𝑖𝑗 =
1
2𝑉
∫ 
𝑆
  (𝑢𝑖𝑛𝑗 + 𝑢𝑗𝑛𝑖𝑑𝑆)
�̅� =
1
𝑉
∫  
𝑉
 𝝈(𝑥)𝑑𝑉 =
1
𝑉
∫ 
𝑆
 𝒕(𝑥) ⊗ 𝑥𝑑𝑆
𝜎‾𝑖𝑗 =
1
2𝑉
∫ 
𝑆
  (𝑡𝑖𝑥𝑗 + 𝑡𝑗𝑥𝑖𝑑𝑆)
 
Donde 𝑉 y 𝑆 corresponden al volumen y a la superficie de la región considerada, 𝐮(𝑥) es el vector de 
desplazamiento infinitesimal, 𝐭(𝑥) = 𝝈(𝑥)𝐧𝑠 es el vector de tensión de la superficie, 𝐧𝑠 el vector normal a la 
superficie. 𝐀(𝑥) y 𝐁(𝑥) son llamados "tensores de concentración de tensiones y deformaciones mecánicas" (o 
tensores de influencia), respectivamente, el símbolo ⊗ corresponde al producto diádico. 
Se destaca que la fluctuación de las medias de volumen desaparece para un volumen de integración 
suficientemente grande, 
1
𝑉
∫  
𝑉
𝜀′(𝑥)𝑑𝑉 = 0 y 
1
𝑉
∫  
𝑉
𝜎′(𝑥)𝑑𝑉 = 0 
Para materiales heterogéneos donde ambas escalas se diferencian claramente, la relación: 
∫ 
𝑉
𝜎∗(𝑥)𝜀∗(𝑥)𝑑𝑉 = ∫  
𝑉
𝜎∗(𝑥)𝑑𝑉∫  
𝑉
𝜀∗(𝑥)𝑑𝑉 
24 
 
 
puede demostrarse para campos de tensiones estáticamente admisibles 𝝈∗, y campos de deformaciones. 
El dominio o volumen representativo de homogenización debe ser definido de manera tal que sea 
estadísticamente representativo de las micro heterogeneidades del material. Dicho volumen de referencia se 
denomina en la literatura especializada Elemento de Volumen Representativo, cuya sigla en inglés es RVE. 
Alternativamente el RVE puede ser definido como un volumen que muestra las mismas propiedades globales, 
independientemente de las condiciones de contorno aplicadas. Esta definición da lugar a una dependencia del 
tamaño del RVE en la propiedad física considerada. 
Dicho RVE debe ser lo suficientemente grande para permitir una significativa toma de muestras del microcampo 
y suficientemente pequeño para que la influencia de los gradientes macroscópicos sea despreciable y que un 
análisis del microcampo sea posible. Este requisito se denota simbólicamente con la expresión 𝑀𝐼𝐶𝑅𝑂 ≪
𝑀𝐸𝑆𝑂 ≪ MACRO, donde Micro y Macro tienen su significado habitual y Meso se refiere a una escala de 
observación intermedia. 
Los campos homogeneizados de tensiones y deformaciones, de un material heterogéneo elástico, �̅� y 𝜀‾, 
obtenidos, pueden relacionarse mediante el tensor constitutivo elástico efectivo 𝐂∗ tal que 
�̅� = 𝐶∗𝜀‾ 
el cual puede considerarse como el tensor elástico de un material homogéneo equivalente. Este tensor 
constitutivo elástico efectivo puede obtenerse mediante el tensor constitutivo elástico local (o de la 
microestructura) 𝐶(𝑥) y el tensor de concentración 𝐴(𝑥) empleando la media volumétrica 
𝐶∗ =
1
𝑉
∫  
𝑉
𝐶(𝑥)𝐴(𝑥)𝑑𝑉 
El número de constantes independientes en 𝐶∗ viene dado en función de las hipótesis constitutivas adoptadas en 
el comportamiento mecánico del medio homogeneizado según el grado de la isotropía considerada. (Gross & 
Seeling, 2006) 
3.4 Elemento de Volumen Representativo (RVE) 
Previa a la obtención de las propiedades efectivas de un material heterogéneo, se debe estudiar el tamaño del 
RVE, dado que las Propiedades Elásticas Efectiva pueden variar con el tamaño de aquel, por lo que es necesario 
encontrar las dimensiones adecuadas cuyas propiedades sean objetivas. 
En el marco de la mecánica de medios continuos, el proceso de homogenización y el papel de los niveles 
microscópico y macroscópico, con sus escalas características, se pueden apreciar en la Figura 3-3. En algún 
punto arbitrario 𝑥macro en el nivel macroscópico, donde los materiales se describen como homogéneos con 
propiedades efectivas constantes, un acercamiento hasta un nivel microscópico indica que esta condición de 
homogeneidad no se cumple en absoluto.(Bargmann et al., 2018) 
Asumiendo que el comportamiento del material a nivel micro es conocido y elástico lineal, y que además se 
puede describir su comportamiento mediante el tensor constitutivo elástico 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙(𝑥) consideramos un volumen 
𝑉 a nivel microscópico, que debe ser representativo de la totalidad del material. Para esto se debe cumplir lo que 
se conoce como Distribución Estadísticamente Homogénea de los Defectos (Heterogeneidades) a lo largo de 
todo el material. 
 
Figura 3-3. Escalas de la homogenización. (Gross & Seeling, 2006) 
Este volumen 𝑉 debe contener una cantidad suficiente de heterogeneidades y su tamaño 𝑑 debe ser mucho más 
grande que el 𝑙 característico de la microescala. A su vez, 𝑉 debe ser lo suficientemente pequeño para ser 
asimilado a un punto en el nivel macroscópico. Una longitud característica 𝐿 en este nivel puede determinarse 
según la geometría, la variación espacial en las cargas, o mediante los campos de tensión y deformación. 
Ambas condiciones anteriores pueden resumirse en la siguiente desigualdad: 
𝑙 ≪ 𝑑 ≪ 𝐿 
El volumen 𝑉 es llamado Elemento de Volumen Representativo. Los límites impuestos pueden impedir la 
existencia del RVE, y así la posibilidad de realizar la homogenización, lo que se da en casos particulares.(Gross 
& Seeling, 2006) 
3.5 Métodos analíticos 
3.5.1 Límites de Voigt y Reuss 
Los límites más elementales y rigurosos, basándose en módulo de elasticidad, son las de Voigt (media aritmética) 
y Reuss (media armónica). En términos de Módulo de Elasticidad Volumétrico Isotrópico, 𝐾 y Módulo de Corte 
𝐺, estas condiciones pueden ser expresadas como: 
• Límites de Voigt 
𝐾𝑈
∗ = 𝐾𝑓𝑉𝑓 +𝐾𝑚𝑉𝑚
𝐺𝑈
∗ = 𝐺𝑓𝑉𝑓 + 𝐺𝑚𝑉𝑚
 
• Límites de Reuss 
1
𝐾𝐿
∗ =
𝑉𝑓
𝐾𝑓
+
𝑉𝑚
𝐾𝑚
1
𝐺𝐿
∗ =
𝑉𝑓
𝐺𝑓
+
𝑉𝑚
𝐺𝑚
 
Donde 
26 
 
 
• 𝑉𝑓 ≡ fracción de volumen de las partículas 
• 𝐾𝑓 ≡ módulo de elasticidad volumétrico de las partículas 
• 𝐺𝑓 ≡ módulo de corte de las partículas. 
• 𝑉𝑚 ≡ fracción de volumen de la matriz 
• 𝐾𝑚 ≡ módulo de elasticidad volumétrico de la matriz 
• 𝐺𝑚 ≡ módulo de corte de la matriz. 
• 𝐾∗ ≡ módulo de elasticidad volumétrico efectivo del compuesto 
• 𝐺∗ ≡ el módulo de corte efectivo del compuesto 
El subíndice 𝑈 indica límite superior (upper) y el 𝐿 límite inferior (lower). 
3.5.2 Hashin-Shtrikman 
Hashin y Shtrikman extendieron el análisis en su trabajo al incluir el Tensor Elástico de Polarización, mediante 
la derivación de límites superiores e inferiores para el módulo de elasticidad efectivo de materiales multifase 
cuasi-isotrópicos y cuasi-homogéneos, en una geometría arbitraria. Cuando no existe mucha diferencia entre los 
módulos de las fases, los límites derivados son lo suficientemente cercanos para proveer una buena estimación 
del módulo de elasticidad (Gross & Seeling, 2006). Para un material compuesto por dos fases estos límites, el 
superior 𝐾𝐿
∗ y el inferior 𝐾𝑈
∗ pueden desarrollarse tal que: 
𝐾𝑈
∗ = 𝐾𝑓 +
𝑉𝑚
1
𝐾𝑚 − 𝐾𝑓
+
3𝑉𝑓
3𝐾𝑓 + 4𝐺𝑓
𝐺𝑈
∗ = 𝐺𝑓 +
𝑉𝑚
1
𝐺𝑚 − 𝐺𝑓
+
6(𝐾𝑓 + 2𝐺𝑓)𝑉𝑓
5𝐺𝑓(3𝐾𝑓 + 4𝐺𝑓)
𝐾𝐿
∗ = 𝐾𝑚 +
𝑉𝑓
1
𝐾𝑓 −𝐾𝑚
+
3𝑉𝑚
3𝐾𝑚 + 4𝐺𝑚
𝐺𝐿
∗ = 𝐺𝑚 +
𝑉𝑓
1
𝐺𝑓 − 𝐺𝑚
+
6(𝐾𝑚 + 2𝐺𝑚)𝑉𝑚
5𝐺𝑚(3𝐾𝑚 + 4𝐺𝑚)
 
Donde 𝐾𝑓 > 𝐾𝑚; 𝐺𝑓 > 𝐺𝑚; 𝑉𝑓 + 𝑉𝑚 = 1 
3.5.3 Modelo de Mori-Tanaka 
El método de Mori-Tanaka consistía originalmente en calcular la tensión media interna en una matriz de un 
material que contiene inclusiones con auto deformaciones. Benveniste reformuló el método para quepueda ser 
aplicado a materiales compuestos. Este considero fases anisotrópicas e inclusiones elipsoidales considerando las 
condiciones de limite homogéneas 
𝐮(𝑆) = 𝜀0𝐱 , 𝐭(𝑆) = 𝝈0𝐧 
donde 𝐮(𝑆) y 𝐭(𝑆) son los desplazamientos y los vectores de tracción, respectivamente, 𝑆 es la superficie externa 
del compuesto, 𝜎0 y 𝜀0 son los tensores constantes de tensión y deformación, y 𝐧 el vector normal exterior de 
la superficie 𝑆. Estas condiciones de limite son muy útiles para definir la rigidez efectiva y su inversa del medio 
compuesto (Gross & Seeling, 2006). Bajo estas condiciones de limite tenemos: 
𝜀‾ = 𝑉𝑚𝜀‾
𝑚 + 𝑉𝑓 < 𝜀‾
𝑓 >= 𝜀0
�̅� = 𝑉1�̅�
𝑚 + 𝑉2 < �̅�
𝑓 >= 𝝈0
 
donde < 𝜀‾𝑓 > 𝑦 < �̅�𝑓 > son los tensores de deformación y tensión medios en una inclusión, �̅�𝑚 y �̅�𝑚 son los 
tensores de deformación y tensión en la matriz y finalmente �̅� y �̅� son los tensores de deformaciones y tensiones 
del medio homogeneizado. 
El Tensor de Rigidez Efectivo se define como: 
�̅� = C∗𝜀‾ 
Y con la idea de una matriz de concentración, tenemos que las propiedades efectivas pueden definirse como: 
𝐂∗ = 𝐂𝑚 + 𝑉2(𝐂
𝑓 − 𝐂𝑚)𝐀2𝜀‾ 
donde 𝐂𝑚 y 𝐂𝑓 son los tensores constitutivos de ambas fases, y la orientación depende del tensor 𝐀2, llamado 
en la literatura Factor de Concentración, definido tal que: 
𝜀‾2 = 𝐀2𝜀
0 
Se define al tensor de concentración, 𝐀2, tal que: 
𝐀2 ≡ 𝐓 
donde 𝐓 puede ser descripto en términos del tensor de Eshelby, 𝐏 : 
𝐓 = [𝐈 + 𝐏[𝐂𝑚]−1(𝐂𝑓 − 𝐂𝑚)]
−1
 
siendo I el tensor identidad de cuarto orden. Esta aproximación, debido al modelo diluido, no tiene en cuenta la 
interacción entre partículas y por lo tanto es más válida como concentración de dilución. Para extender este 
método se asume la existencia de un tensor, tal que: 
𝜀‾𝑓 ≈ 𝐌𝜀‾𝑚 
Utilizando el tensor de deformación y las tensiones del medio homogeneizado, junto con el tensor de 
deformación en una inclusión, la aproximación en este método implica que: 
𝐌 = 𝐓 
Y, por lo tanto: 
𝐂∗ = 𝐂𝑚 + 𝐕𝑓(𝐂
𝑓 − 𝐂𝑚)𝐓(𝐕𝑚𝐈 + 𝐕𝑓𝐓)
−1
 
Y de manera similar al respectivo tensor inverso 
𝐒∗ = (𝐂∗)−1 
Finalmente: 
28 
 
 
𝜀𝑘𝑘
𝑓
𝜀𝑘𝑘
0 = (3𝐾𝑚 + 4𝐺𝑚)/(3𝐾𝑓 + 4𝐺𝑓) 
Y los módulos de elasticidad volumétrico y de corte efectivos son: 
𝐾∗ = 𝐾𝑚 +
𝐾𝑚𝑉𝑓(𝐾𝑓 − 𝐾𝑚)
(1 − 𝑉𝑓)(𝐾𝑓 − 𝐾𝑚)𝛼𝑚 + 𝐾𝑚
𝐺∗ = 𝐺𝑚 +
𝐺𝑚𝑉𝑓(𝐺𝑓 − 𝐺𝑚)
(1 − 𝑉𝑓)(𝐺𝑓 − 𝐺𝑚)𝛼𝑚 + 𝐺𝑚
 
Donde: 
𝛼𝑚 =
3𝐾𝑚
(3𝐾𝑚 + 4𝐺𝑚)
 
 
 
 
 
 
 
4 DIGIMAT 
Como es normal, el uso de herramientas de cálculo se hace necesario para la implementación e interpretación 
de estos modelos analíticos que pasan a ser demasiado complejos con la simple modificación de geometrías, 
orientación de las inclusiones o configuraciones en el material, limitando el alcance que tiene dichos modelos 
teóricos. El método de los elementos finitos se viene usando ampliamente en la caracterización de materiales, y 
más específicamente en el análisis de celdas unitarias para determinar las propiedades y mecanismos de fallo de 
los composites. En el presente trabajo se presenta el análisis micromecánico de materiales compuestos usando 
elementos finitos aplicado al modelo de elemento de volumen representativo a través del uso del software 
DIGIMAT. 
Digimat es un software especializado en el análisis de comportamientos micromecánicas no lineales de 
materiales compuestos multifase complejos (Polymer Matrix Composites, Rubber Matrix Composites, Metal 
Matrix Composites, nanocomposites…). Dispone de varios módulos de desarrollo, de los cuales se profundizará 
en el uso del módulo Digimat-MF para homogenización de microestructuras y Digimat-FE para modelado de 
materiales compuestos con elementos finitos 
4.1 Digimat MF 
Digimat MF es el módulo de homogenización de campo medio de Digimat software suite. Usa la aproximación 
de homogenización de Eshelby (Eshelby-based semi-analytical mean-field homogenization) que logra incluir 
propiedades termo mecánicas y eléctricas a los materiales modelados como función de la morfología de su 
microestructura, lo cual incluye forma, orientación y volumen de cada fase. 
 
Figura 4-1. Diagrama de flujo Digimat MF. (MSC Software Belgiumm SA, 2021) 
El problema a resolver en la homogenización para elasticidad lineal es encontrar la rigidez efectiva homogénea 
que se comporta de igual modo al modelo heterogéneo bajo unas determinadas condiciones de carga. Este 
módulo utiliza la homogenización de campo medio (MFH) el cual tiene como ventaja principal el bajo costo 
computacional y la cantidad de parámetros reducida necesaria para determinar el modelo. 
Partiendo de un RVE con una matriz de rigidez 𝐶0 y un refuerzo de multiples inclusiones con rigidez 𝐶1, se 
imponen una carga de contorno 𝐸 . Este modelo no tiene solución analítica, al contar con múltiples inclusiones, 
30 
 
 
sin embargo, se pueden usar modelos de MFH basándose en ciertos parámetros. En este caso, Digimat puede 
utilizar el modelo de Mori-Tanaka o el método de Doble Inclusión de Nemat-Nasser y Hori. 
El modelo propuesto por Mori-Tanaka se basa en el uso aproximado de la solución de Eshelby. Se ha descubierto 
que el tensor de concentración de deformación que relaciona la media del volumen de deformación en todas las 
inclusiones con la deformación media de la matriz esta dado por: 
𝐁𝜀 = 𝐇𝜀(𝐼, 𝐂0, 𝐂1) 
que es exactamente el tensor de concentración de deformación del problema de una sola inclusión. Esto llevó a 
Benveniste (1987) a dar la siguiente interpretación sencilla del modelo Mori-Tanaka (M-T). Cada inclusión en 
la RVE real se comporta como si estuviera aislada en la matriz real. El cuerpo es infinito y se somete a las 
deformaciones promedio de la matriz en la RVE real como deformación de campo lejano (remota). El modelo 
M-T es muy exitoso para predecir las propiedades efectivas de los compuestos de dos fases. En teoría, está 
restringido a fracciones volumétricas moderadas de inclusiones (menos del 25% digamos) pero en la práctica 
puede dar buenas predicciones más allá de este rango. 
El modelo de doble inclusión (D-I) fue propuesto por Nemat-Nasser y Hori. Se basa en las siguientes ideas. 
Cada inclusión (I) de rigidez 𝐶1 está rodeada en sus alrededores cercanos por el material real de la matriz de 
rigidez 𝐶0, mientras que fuera de esas áreas, hay un medio de referencia de rigidez 𝐶𝑟. En otras palabras, el RVE 
compuesto real se sustituye por un compuesto modelo compuesto por una matriz ficticia de referencia de rigidez 
𝐶𝑟 en la que están incrustadas inclusiones de rigidez 𝐶1 revestidas con un material de rigidez 𝐶0. 
 
Figura 4-2. Modelo de doble inclusión. (MSC Software Belgiumm SA, 2021) 
Se supone que la siguiente desigualdad entre los volúmenes y las fracciones volumétricas se cumple: 
𝑉(𝐼)
𝑉(𝐼0)
≥
𝜈1
1 − 𝜈1
 
En realidad, el modelo D-I es una familia de modelos MFH, ya que se pueden diseñar numerosos esquemas 
dependiendo de la elección específica de la rigidez del medio de referencia. En particular, se pueden demostrar 
los siguientes tres casos: 
• C𝑟 = �̅� (composite): modelo autoconsistente; 
• 𝐂𝑟 = 𝐂0 (matriz): modelo Mori-Tanaka, 𝐁
𝜀 = 𝐇𝜀(𝐼, 𝐂0, 𝐂1) ≡ 𝐁𝑙
𝜀; 
• 𝐂𝑟 = 𝐂1 (inclusión): modelo Mori-Tanaka inverso, 𝐁
𝜀 = [𝐇𝜀(𝐼, 𝐂1, 𝐂0)]
−1 ≡ 𝐁𝑢
𝜀 . 
El tercer caso, el modelo M-T inverso se puede obtener directamente del RVE real con una permutación entre 
las propiedades del material de las inclusiones y la matriz. Esto se puede ver como la situación en la que la 
fracción volumétrica de inclusiones es tan alta que las inclusiones casi forman una fase continua de la matriz. 
También se demostró que las estimaciones M-T e inverso M-T corresponden a los límites Hashin-Shtrikman 
(H-S). Si se asume que las inclusiones son más rígidas que la matriz, entonces M-T corresponde al límite 
inferior H-S, mientras que inverso M-Tda el límite superior H-S. 
Los resultados anteriores sobre M-T e inverso M-T llevaron a Lielens (1999) a proponer un modelo D-I 
interpolativo definido por el siguiente tensor de concentración de deformación que relaciona la deformación 
media sobre las inclusiones con su contraparte sobre la matriz: 
𝐁𝜀 = [(1 − 𝜉(𝜈1))(𝐁𝑙
𝜀)−1 + 𝜉(𝜈1)(𝐁𝑢
𝜀)−1]
−1
, 
donde 𝜉(𝜈1) es una función de interpolación cuadrática simple: 
𝜉(𝜈1) =
1
2
𝜈1(1 + 𝜈1). 
Para los compuestos bifásicos elásticos lineales, el modelo D-I suele dar predicciones excelentes de las 
propiedades efectivas, en todos los rangos de fracciones volumétricas de inclusiones, relaciones de aspecto y 
contrastes de rigidez (razón entre la rigidez de las inclusiones y la matriz). Este modelo está disponible en 
Digimat. 
Un parámetro importante que se tiene en cuenta es la orientación aleatoria de inclusiones, que complica la 
solución de la homogenización. Antes de la homogenización, se utiliza algunas herramientas matemáticas para 
describir la orientación de la inclusión. 
 
Figura 4-3. Vector de orientación. (MSC Software Belgiumm SA, 2021) 
La orientación de cada una de las inclusiones es descrita por un vector 𝑝 a lo largo del eje de revolución. Un 
ángulo para modelos 2D y dos para modelos 3D 
32 
 
 
 
Figura 4-4. Ejemplos inclusiones con diferentes orientaciones Orientación θ, φ 
Como el vector varía entre inclusiones en un mismo RVE aparece la que llamaremos función de distribución de 
orientaciones (ODF) 𝜓(𝑝), y que su derivada es la probabilidad de encontrar una fibra entre los ángulos 
[𝑝, 𝑝 + 𝜕𝑝] 
Para el caso de 𝑁 inclusiones se tiene: 
𝑣𝑜 +∑𝑣𝑖
𝑁
𝑖=1
= 1 
𝜓𝑖(𝑝) = 𝜓𝑖(−𝑝), ∮ 𝜓𝑖(𝑝) 𝑑𝑝 = 1 
Donde 𝑣𝑜 es la fracción de volumen de la matriz 
La homogenización de composites con inclusiones orientaciones en múltiples direcciones se lleva a cabo en dos 
pasos. El RVE real es reemplazado por un RVE de pseudo-granos. Cada pseudo-grano tiene su propio dominio 
𝜔𝑖,𝑝comprendido por un composite de dos fases con inclusiones orientadas dentro del rango 𝑝, 𝑝 + 𝑑𝑝. El 
primer step se soluciona con métodos de homogenización de dos fases simples mencionados anteriormente, 
luego en el segundo step se computa utilizando el modelo de Voigt 
 
Figura 4-5. Homogenización de inclusiones con diferentes orientaciones. (MSC Software Belgiumm SA, 
2021) 
Para el caso de desconocer la orientación, se puede homogenizar el RVE conociendo el ODF. Sin embargo, este 
valor no es medido experimentalmente ni se realiza aproximaciones numéricas. El valor que se tiene controlado 
durante la fabricación es el conocido como tensor de orientación. Para definir este tensor se requiere explicar la 
siguiente notación. Tomando un ODF 𝜇(𝑝) dentro de un RVE, se tiene que su orientación promedio es: 
⟨𝜇(𝑝)⟩𝜓1 = ∮𝜇(𝑝)𝜓1(𝑝)𝑑𝑝 
El tensor de segundo y cuarto orden 𝑎 y 𝐴 respectivamente 
𝑎 ≡ ⟨𝑝⊗ 𝑝⟩𝜓, 𝐴 ≡ ⟨𝑝⊗ 𝑝⊗ 𝑝⊗ 𝑝⟩𝜓 
Ambos tensores dan información sobre la orientación promedio de las inclusiones dentro del RVE. 
Al normalizar estos tensores (Advani & Tucker, 1987), se tiene que: 
𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , 𝑎11, 𝑎22, 𝑎33 ≥ 0, 𝑎𝑖𝑖 = 1 
𝐴𝑖𝑗𝑖𝑗 ≥ 0 (sin sumatorias) 𝐴𝑖𝑗𝑙𝑙 = 𝑎𝑖𝑗 
En el caso de un compuesto con inclusiones desalineadas, generalmente solo se proporciona el tensor de 
orientación de segundo rango a, en lugar de la Función de Distribución de Orientación. Esto suele ocurrir en 
materiales termoplásticos reforzados con fibras de vidrio cortas, donde la orientación de las fibras se predice 
utilizando un software de moldeo por inyección. 
Con esta normalización se puede determinar el tensor con los valores organizados en una matriz 3x3 para una 
orientación en tres dimensiones. Con el tensor determinado se puede continuar con la homogenización del 
RVE con diferentes orientaciones de fibra. 
Este método de solución en dos pasos puede generar malos resultados o inclusive predicciones físicamente 
inaceptables para ciertos compuestos multifase, por esta razón existe otro método de homogenización es 
seleccionable en el software, el método multinivel. 
El método homogeniza agrupando dos fases por nivel, se obtiene un nuevo grupo de fase homogénea el cual se 
agrupa con otra fase de ese nivel hasta completar todos los niveles. Si en un nivel las inclusiones están 
desalineadas y descrita por un ODF, entonces la homogenización será con el método de dos pasos Mori-
Tanaka/Voigt en ese nivel. 
 
Figura 4-6. Homogenización multinivel. (MSC Software Belgiumm SA, 2021) 
Si el modelo cuenta con espacios vacíos, el método multi nivel es obligatorio. Este método es más restrictivo en 
cuanto a configuración del composite. Para composites lineales se requiere una de las siguientes configuraciones: 
34 
 
 
Matriz elástica o termoelástica con: 
• Una inclusión elástica con revestimiento 
• Una inclusión elástica con aglomeración 
• Una inclusión elástica junto con cavidades de vacío 
• N inclusiones elásticas donde máximo una de ellas tiene un relación de aspecto mayor a uno y una 
orientación diferente a theta=90 y phi=0 
Matriz elastoplástica, elastoviscoplástica con: 
• Una inclusión elástica junto con una fase de vacío 
• En el caso de simple matriz elastoplástica, la inclusión debe incluir revestimiento o con aglomeración 
 
Figura 4-7. Homogenización para inclusiones con revestimiento. (MSC Sofware Belgiumm SA, 2021) 
4.1.1 Microestructura 
Digimat permite crear combinaciones de dos o más fases, donde una de las fases debe ser definida como la 
matriz del material. La definición de las fases de la microestructura son la parte más importante de cara a obtener 
comportamientos lo más aproximados a los modelos de material reales. La parametrización de cada fase incluye 
desde la relación de aspecto y orientación de la inclusión, o la presencia o no de revestimientos de dichas 
inclusiones, y las diferentes combinaciones entre dichos parámetros. 
Para este módulo, Digimat MF permite 4 tipos de microestructuras. 
Generic: combinación de matriz, inclusión, vacíos, y/o fibras continúas definidas por el usuario. 
Fabric: Combinación de matriz e hilos con diferentes patrones de tejidos 
Lattice: Definición de la sección de ligamentos no reforzados de enrejados 
Sheet Molding Compound: Definición de láminas reforzada por fibras continuas 
 
 
 
Figura 4-8. Tipos de microestructuras 
Generic. 
El modelo genérico es el caso general de homogenización de matriz con inclusiones definidas como elipsoides. 
Una vez asignado el material de la matriz (obligatoriamente será la primer fase creada), se puede añadir 
diferentes fases que serán asumidas como inclusiones de la matriz definida anteriormente. 
Las inclusiones, además de requerir el material, será necesario completar una lista de parámetros de 
comportamiento y de definición geométrica. 
El comportamiento de las inclusiones se refiere a cómo será su respuesta mecánica en el RVE durante el cálculo. 
Puede considerarse como Deformable, Incrementalmente rígido o Rígido. 
El comportamiento deformable es el estándar para cualquier tipo de material. El caso incrementalmente rígido 
está diseñado para reducir el tiempo de cálculo al permitir comportamiento deformable de la inclusión a lo largo 
del régimen elástico, al alcanzar el régimen plástico se asume que la inclusión es mucho más rígida que la matriz 
por lo que los incrementos de deformación en esta fase serán despreciados para el cálculo de las deformaciones 
macroscópicas del RVE. 
Para el comportamiento rígido está enfocado a inclusiones de fibras elásticas de alta rigidez dentro de una matriz 
hiperelástica de baja rigidez. Con este tipo de comportamiento activado, el tiempo de cálculo se reduce 
drásticamente. 
Con el comportamiento seleccionado y el material asignado se puede pasar a la selección de parámetros 
geométricos para determinar la inclusión. 
Digimat trabaja confracción volumétrica en todas las formulaciones de homogenización. El primer parámetro 
es esta fracción que puede ser definida directamente o como fracción de masa que automáticamente será 
transformada a fracción volumétrica por lo que cual se requiere el valor de la densidad de los materiales 
importados. 
36 
 
 
 
Figura 4-9. Definición fracción de la inclusión en la matriz 
 
EL siguiente parámetro define la forma de la inclusión y se determina con la relación del largo con el diámetro 
de la inclusión modelada como un elipsoide revolucionado. El parámetro requerido es dicha relación de aspecto 
L/D, donde L es la longitud a lo largo del eje de revolución y D es el diámetro del plano ortogonal al eje de 
revolución. 
 
Figura 4-10. Inclusiones con diferentes L/D. 
Se consideran como fibras cortas a inclusiones con L/D entre 15 a 30, superiores a 30 se consideran como fibras 
largas. Los laminados de fibras continuas se pueden considerar como inclusiones de L/D muy alto, para 
L/D>1000 Digimat los considera como fibras continuas (relación de aspecto infinito) 
Además de añadir este parámetro como fijo, se puede incluir como una función de distribución la cual puede ser 
determinada por toma de datos experimentales. Esta función debe estar previamente añadida en la opción ‘Tool 
– Function’ para visualizarla en el desplegable, luego se pide la cantidad de valores de L/D que se quieren 
computar. La fracción local de cada fase es calculada como: 
𝑣𝑖 =
𝐴𝑅(𝑖)𝑁(𝑖)
∑ 𝐴𝑅(𝑖)𝑁(𝑖)
𝑛
𝑗=1
𝑣𝑝ℎ𝑎𝑠𝑒 
Donde 𝑁(𝑖) denota el numero de cada relación de aspecto local 𝐴𝑅(𝑖). Esto quiere decir que entre más número 
de L/D diferentes, más tiempo de cálculo será requerido por lo que se recomienda discretizar esta distribución 
lo más óptimamente posible. 
 
Figura 4-11. Definición forma de inclusión. 
 
El siguiente parámetro es el radio de inclusión, pero este valor solo se tomará en cuenta si la inclusión tiene 
revestimiento, Digimat lo usara para calcular la fracción volumétrica de esta fase de revestimiento. Para otras 
configuraciones, el radio no es un parámetro necesario para resolver la homogenización. 
Determinada la forma, queda por definir la orientación de la inclusión. Como se describió anteriormente, la 
orientación está determinada por un vector 𝑝 que va alineado al eje de revolución de la inclusión. Digimat tiene 
tres opciones para definir el vector 𝑝. 
 
Figura 4-12. Definición orientación de la inclusión 
Fixed: Todas las inclusiones dentro del RVE están alineadas en la misma dirección, por lo que le vector 𝑝 se 
determina con los dos ángulos esféricos 𝜃 y 𝜑. 
Tensor: La distribución de orientaciones del RVE se determina con el tensor de orientación. La función 𝜓(𝑝) 
(ODF) da la probabilidad de encontrar una inclusión con vector de orientación 𝑝. Esta funcion se determina con 
el tensor de segundo orden 𝑎𝑖𝑗 de la ODF. 
𝑎𝑖𝑗 = ∫ 𝑝𝑖𝑝𝑗𝜓(𝑝) 𝑑𝑝 
Este tensor es simétrico por lo que se determina con 6 parámetros. Digimat define este tensor como una matriz 
simétrica 3x3. Los términos de la diagonal determinan la intensidad de fibras orientadas en la dirección 1,2 y 3. 
Los otros términos son más abstractos y se utilizan en procesos de aproximación numéricas al trabajar con un 
números enteros de inclusiones. 
38 
 
 
Este tensor tiene unas reglas generales en su construcción. Los valores en su diagonal tienen que estar entre 0 y 
1, y la suma de estos valores debe ser igual a 1. Los valores fuera de la diagonal deben estar entre -0.5 y 0.5. 
Algunas expresiones especiales de este tensor son: 
Diag. (1, 0, 0) para orientación alineada en la dirección 1. Para casos de inclusiones alineadas en la misma 
dirección se recomienda usar la opción ‘fixed’ en lugar de usar el tensor. 
Diag. (1/2, 1/2, 0) para orientación aleatoria en el plano ortogonal a la dirección 3 
Diag. (1/3, 1/3, 1/3) para orientación aleatoria en 3D 
 
Figura 4-13. Ejemplos tensor de orientación 
Random 2D y Random 3D: son casos particulares de distribución, como se menciona anteriormente, al 
seleccionar esta opción los valores del tensor de orientación serán Diag. (1/2, 1/2, 0) para el caso 2D, y Diag. 
(1/3, 1/3, 1/3) para el caso 3D. 
Luego de definir la orientación, se pueden mencionar parámetros avanzados de las inclusiones que tienen que 
ser previamente activados. 
Si la opción de revestimiento fue seleccionada en los parámetros de la fase, se solicitará incluir además de los 
parámetros ya mencionados, el valor de fracción volumétrica de este revestimiento ya sea directo o indirecto 
con el valor del espesor. Los revestimientos solo están permitidos para inclusiones de material elástico y para 
vacíos. 
Para el caso de que se active la opción de agrupamiento, se requiere definir la fracción relativa de fibras 
agrupadas en el RVE y la relación de aspecto de la agrupación. Una vez se determina la fracción relativa de 
fibras agrupadas, Digimat recomienda unos valores para los otros parámetros basados en resultados anteriores 
generados con Digimat FE. 
Para el solver, las fibras agrupadas se tomarán como una fase distinta a la de las fibras aisladas, se recomienda 
usar el método multinivel para casos de clustering. 
 
Figura 4-14. Izq. Inclusiones con revestimiento (Coating). Der. Inclusiones con agrupamiento (Clustering) 
Como observación final del modelo de microestructura genérica, existe la opción de elegir inclusiones como 
vacíos y como fibras continuas, los cuales son casos particulares de los parámetros que puede modificar el 
usuario. Para el caso de inclusiones de vacíos, Digimat asigna un material de rigidez despreciable. Y para el caso 
de fibras continuas, Digimat asigna un valor de relación de aspecto L/D>1000, los demás parámetros serán los 
mismo descritos anteriormente. 
4.1.2 Criterio de Fallo de Digimat 
Los materiales compuestos también son propensos a diferentes tipos de daños, como la delaminación, la fractura 
interlaminar, la fallo por fatiga y la fallo por impacto. Para evitar estos daños, se utilizan diferentes criterios de 
diseño y análisis, como el criterio de Tsai-Hill o el criterio de la energía de deformación. 
Es importante determinar cuál de ellos es el más apropiado para cada tipo de aplicación. De esta manera, se 
busca mejorar la seguridad y la eficiencia de los materiales compuestos utilizados en esta industria en constante 
evolución.(Castillo & Pérez, 2016) 
Los criterios de fallo se implementan en Digimat por medio de funciones paramétricas que comparan el estado 
de cargas del modelo contra los valores de daño, ya sea por tensión o deformación. Se utiliza la teoría para daño 
de materiales laminados y se generaliza para los casos no laminados utilizando el método de daño del primer 
pseudo grano (FPGF – First Pseudo-Grain Failure). El criterio de fallo se aplica en el post procesado por lo que 
el comportamiento del material no cambia durante el proceso de homogenización. 
Se pueden utilizar los siguientes criterios de fallo: Máximo componente, Tsai-Hill 2D y 3D, Tsai-Wu 2D y 3D 
transversalmente isotrópico. Estos criterios pueden usarse basados en el valor de carga o de deformación. 
También existen los siguientes criterios de fallo basados solo en los valores de carga: Azzi-Tsai-Hill 2D, Tsai-
Wu 3D, Multi-component 2D y 3D, Hashin-Rotem 2D y 3D, SIFT, Christensen, Camanho y por Acumulación 
de deformación plástica. 
Cada uno de los modelos requiere su propio set de parámetros de resistencia para ser determinados. 
En Digimat la superficie de daño es descrita por una función en el campo tensión-deformación. El daño ocurre 
cuando el valor de esta función de daño llega a un valor de 1, 𝐹(𝜎, 𝜖) ≥ 1. El output de Digimat es el valor de 
𝑓, el cual es implícitamente la solución positiva de esta ecuación (no)lineal 
𝐹 (
𝜎
𝑓
,
𝜖
𝑓
) = 1. 
Para criterios basados en carga se tiene que 𝑓 = 𝐹(𝜎), y para criteriosde fallo basados en deformación la 
ecuación a resolver es 𝑓 = 𝐹(𝜖) 
40 
 
 
Componente de tensión y deformación 
Las cargas son comparadas por separado para este criterio de fallo. Es el criterio más sencillo que se puede 
aplicar teniendo los valores de resistencia máxima para tensión 𝑋𝑡 y compresión 𝑋𝑐. 
EL indicador de fallo por tensión seria: 
𝑓𝐴 = 𝐹𝐴(𝜎) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝐴(𝜎) = {
𝜎1
𝑋𝑡
; 𝑠𝑖 𝜎1 > 0
0; 𝑠𝑖 𝜎1 ≤ 0
 
𝑓𝐵 = 𝐹𝐵(𝜎) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝐵(𝜎) = {
−
𝜎3
𝑋𝑐
; 𝑠𝑖 𝜎3 < 0
0; 𝑠𝑖 𝜎3 ≥ 0
 
Para el indicador de fallo por deformación seria: 
𝑓𝐴 = 𝐹𝐴(𝜖) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝐴(𝜖) = {
𝜖1
𝑋𝑡
; 𝑠𝑖 𝜖1 > 0
0; 𝑠𝑖 𝜖1 ≤ 0
 
𝑓𝐵 = 𝐹𝐵(𝜖) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝐵(𝜖) = {
−
𝜖3
𝑋𝑐
; 𝑠𝑖 𝜖3 < 0
0; 𝑠𝑖 𝜖3 ≥ 0
 
El fallo ocurre si al menos uno de los dos criterios es igual o mayor al valor critico de 𝑓 = 1 
Tsai-Hill 2D 
Para utilizar el criterio de Tsai-Hill, se deben conocer las propiedades mecánicas de las capas o fibras del material 
compuesto, así como la orientación de las mismas en la estructura del material. Con esta información, se pueden 
calcular las tensiones en cada una de las capas o fibras, y compararlos con sus respectivos límites de resistencia. 
Si alguna tensión supera el límite de resistencia de la capa o fibra correspondiente, se considera que el material 
ha fallado. 
Este criterio de fallo tiene cinco parámetros para estar determinado. Resistencia ultima a tensión en las 
direcciones principales del plano 𝑋𝑡 𝑌𝑡, resistencia ultima a compresión 𝑋𝑐 𝑌𝑐, y resistencia ultima a cortante 𝑆, 
pero considera el límite de la tensión igual que la compresión 𝑋𝑡 = 𝑋𝑐 = X, 𝑌𝑡 = 𝑌c = Y 
El indicador de fallo se plantea de la siguiente manera: 
𝑓𝐴 = √𝐹𝐴(𝜎) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝐴(𝜎) =
𝜎11
2
𝑋2
−
𝜎11𝜎22
𝑋2
+
𝜎22
2
𝑌2
+
𝜎12
2
𝑆2
 
El fallo se alcanza cuando el indicador 𝑓𝐴 es igual o mayor a 1. 
Tsai-Hill 3D 
Este criterio generaliza el utilizado para 2D a un estado de tensiones en 3D. Se requieren los valores de resistencia 
ultima en las tres direcciones principales y sus valores de cortante. El criterio de fallo se expresa de la siguiente 
forma: 
𝑓𝐴 = √𝐹𝐴(𝜎) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 
𝐹𝐴(𝜎) = 𝐴(𝜎11 − 𝜎22)
2 + 𝐵(𝜎11 − 𝜎22)
2 + 𝐶(𝜎11 − 𝜎22)
2 + 2𝐿𝜎12
2 + 2𝑀𝜎23
2 + 2𝑁𝜎13
2 
Los parámetros A, B, C, L, M, N, simplifican la ecuación general. Estos parámetros son la combinación de las 
propiedades mecánicas. 
𝐴 =
1
2
(
1
𝑋2
+
1
𝑌2
−
1
𝑍2
) 𝐵 =
1
2
(−
1
𝑋2
+
1
𝑌2
+
1
𝑍2
) 𝐶 =
1
2
(
1
𝑋2
−
1
𝑌2
+
1
𝑍2
) 
𝐿 =
1
2𝑆12
2 𝑀 =
1
2𝑆23
2 𝑁 =
1
2𝑆13
2 
Azzi-Tsai-Hill 2D 
El criterio de fallo de Azzi tiene no tiene en cuenta la dirección de las tensiones en el material. Este criterio puede 
permitir mejores predicciones para algunos casos. 
𝑓𝐴 = √𝐹𝐴(𝜎) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝐴(𝜎) =
𝜎11
2
𝑋2
−
|𝜎11𝜎22|
𝑋2
+
𝜎22
2
𝑌2
+
𝜎12
2
𝑆2
 
Tsai-Wu 2D 
El criterio de Tsai-Wu fue diseñado para ser más general que el caso de Tsai-Hill. Este modelo tiene en cuenta 
la resistencia a tracción y compresión en la misma formulación. Además, es independiente de la selección de la 
dirección de 𝜎11 𝑦 𝜎22 permitiendo mejores predicciones que los modelos anteriormente descritos. Sin embargo, 
tiene una importante limitación, para casos donde el compuesto no presenta fallo a compresión bajo cargas de 
trabajo normales (𝑋𝑐 , 𝑌𝑐se asumen infinito) el criterio de Tsai-Wu no es recomendable, debido a que los valores 
cuadráticos 𝜎11
2, 𝜎22
2 desaparecen. F (Li et al., s. f.) 
𝑓𝐴 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝐴 (
𝜎
𝑓𝐴⁄
) = 1 
𝐹𝐴(𝜎) =
𝜎11
2
𝑋𝑐𝑋𝑡
+
𝜎22
2
𝑌𝑐𝑌𝑡
+
𝜎12
2
𝑆2
+ 2𝐹𝜎11𝜎22 + (
1
𝑋𝑡
−
1
𝑋𝑐
)𝜎11 + (
1
𝑌𝑡
−
1
𝑌𝑐
) 𝜎22 
El fallo se alcanza cuando el indicador 𝑓𝐴 es igual o mayor a 1. 
Tsai-Wu 3D 
Este es el caso general para estados de tensión en 3D, requiriendo el tensor simétrico de segundo orden 𝐻𝑖𝑗, y el 
tensor simétrico de cuarto orden 𝐺𝑖𝑗𝑘𝑙, para un total de 27 parametros (6 y 21 parametros respectivamente) 
𝑓𝐴 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝐴 (
𝜎
𝑓𝐴⁄
) = 1; 𝐹𝐴(𝜎) = 𝐻𝑖𝑗𝜎𝑖𝑗 + 𝐺𝑖𝑗𝑘𝑙𝜎𝑖𝑗𝜎𝑘𝑙 
Multi-component 2D 
Corresponde al criterio de fallo de máxima de tensión y deformación explicado inicialmente incluyendo cargas 
en 2 dimensiones. También se extrapola al caso 3D añadiendo los parámetros de resistencia en la dirección 3. 
𝑓𝐴 = 𝐹𝐴(𝜎) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝐹𝐴(𝜎) = {
𝜎11
𝑋𝑡
; 𝑠𝑖 𝜎11 ≥ 0
0; 𝑠𝑖 𝜎11 < 0
 
𝑓𝐵 = 𝐹𝐵(𝜎) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝐹𝐵(𝜎) = {
−
𝜎11
𝑋𝑐
; 𝑠𝑖 𝜎11 < 0
0; 𝑠𝑖 𝜎11 ≥ 0
 
𝑓𝐶 = 𝐹𝐶(𝜎) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝐶(𝜎) = {
𝜎22
𝑌𝑡
; 𝑠𝑖 𝜎22 ≥ 0
0; 𝑠𝑖 𝜎22 < 0
 
𝑓𝐷 = 𝐹𝐷(𝜎) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝐷(𝜎) = {
−
𝜎22
𝑌𝑐
; 𝑠𝑖 𝜎22 < 0
0; 𝑠𝑖 𝜎22 ≥ 0
 
42 
 
 
𝑓𝐸 = 𝐹𝐸(𝜎) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝐸(𝜎) =
|𝜎12|
𝑆
 
Hashin-Rotem 2D 
El criterio de fallo de Hashin-Rotem 2D es un modelo de fallo de materiales compuestos que se utiliza para 
predecir la carga y la deformación en la matriz y en las fibras que componen el material. Este criterio de fallo se 
basa en el análisis de la tensión y la deformación en una sección transversal del material compuesto. 
Este criterio de fallo se plantea de la siguiente manera: 
𝑓𝐴 = 𝐹𝐴(𝜎) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝐴(𝜎) = {
𝜎11
𝑋𝑡
; 𝑠𝑖 𝜎11 ≥ 0
0; 𝑠𝑖 𝜎11 < 0
 
𝑓𝐵 = 𝐹𝐵(𝜎) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝐹𝐵(𝜎) = {
−
𝜎11
𝑋𝑐
; 𝑠𝑖 𝜎11 < 0
0; 𝑠𝑖 𝜎11 ≥ 0
 
𝑓𝐶 = √𝐹𝐶(𝜎) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝐶(𝜎) = {
𝜎22
2
𝑌𝑡
2 +
𝜎12
2
𝑆2
; 𝑠𝑖 𝜎22 ≥ 0
0; 𝑠𝑖 𝜎22 < 0
 
𝑓𝐷 = √𝐹𝐷(𝜎) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝐷(𝜎) = {
𝜎22
2
𝑌𝑐
2 +
𝜎12
2
𝑆2
; 𝑠𝑖 𝜎22 < 0
0; 𝑠𝑖 𝜎22 ≥ 0
 
Si algún indicador es igual o mayor a 1 se da el fallo del material. 
Hashin 2D 
El criterio de fallo de Hashin 2D es un modelo de análisis de tensiones que se utiliza para predecir el fallo de un 
material compuesto laminado bajo cargas mecánicas. Este criterio se basa en la teoría de la mecánica de medios 
continuos y se aplica a un material compuesto formado por capas de diferentes materiales y orientaciones. El 
modelo considera que el fallo del material se produce cuando se alcanzan ciertos límites de tensiones o 
deformaciones en cada capa individual. 
Este criterio de fallo se plantea de la siguiente manera: 
𝑓𝐴 = √𝐹𝐴(𝜎) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝐴(𝜎) = {
𝜎11
2
𝑋𝑡
2 +
𝜎12
2
𝑆2
; 𝑠𝑖 𝜎11 ≥ 0
0; 𝑠𝑖 𝜎11 < 0
 
𝑓𝐵 = 𝐹𝐵(𝜎) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝐵(𝜎) = {
−
𝜎11
𝑋𝑐
; 𝑠𝑖 𝜎11 < 0
0; 𝑠𝑖 𝜎11 ≥ 0
 
𝑓𝐶 = √𝐹𝐶(𝜎) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝐶(𝜎) = {
𝜎22
2
𝑌𝑡
2 +
𝜎12
2
𝑆2
; 𝑠𝑖 𝜎22 ≥ 0
0; 𝑠𝑖 𝜎22 < 0
 
𝑓𝐷𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝐹𝐷 (
𝜎
𝑓𝐷⁄
) = 1; 𝐹𝐷(𝜎) = {
𝜎22
2
4𝑆𝑡
2 +
𝜎12
2
𝑆2
+ (
𝑌𝑐
2
2𝑆𝑙
2 − 1)
𝜎22
𝑌𝑐
; 𝑠𝑖 𝜎22 < 0
0; 𝑠𝑖 𝜎22 ≥ 0
 
Si algún indicador es igual o mayor a 1 se da el fallo del material. 
 
Hashin 3D 
Este criterio de fallo es la versión extendida del modelo anterior agregando las tensiones en la dirección 3 y sus 
valores cruzados. 
𝑓𝐴 = √𝐹𝐴(𝜎) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝐴(𝜎) = {
𝜎11
2
𝑋𝑡
2 +
𝜎12
2 + 𝜎13
2
𝑆2
; 𝑠𝑖 𝜎11 ≥ 0
0; 𝑠𝑖 𝜎11 < 0
 
𝑓𝐵 = 𝐹𝐵(𝜎) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝐵(𝜎) = {
−
𝜎11
𝑋𝑐
; 𝑠𝑖 𝜎11 < 0
0; 𝑠𝑖 𝜎11 ≥ 0
 
𝑓𝐶 = √𝐹𝐶(𝜎) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝐶(𝜎) = {
𝜎22
2
𝑌𝑡
2 +
𝜎12
2
𝑆2
; 𝑠𝑖 𝜎22 ≥ 0
0; 𝑠𝑖 𝜎22 < 0
 
𝑓𝐷𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝐹𝐷 (
𝜎
𝑓𝐷⁄
) = 1; 𝐹𝐷(𝜎) = {
𝜎22
2
4𝑆𝑡
2 +
𝜎12
2
𝑆2
+ (
𝑌𝑐
2
2𝑆𝑙
2 − 1)
𝜎22
𝑌𝑐
; 𝑠𝑖 𝜎22 < 0
0; 𝑠𝑖 𝜎22 ≥ 0
 
SIFT 
El criterio de fallo de la Teoría de Fallo Invariante de Deformación (SIFT, por sus siglas en inglés) es un modelo 
de análisis de tensiones que se utiliza para predecir el fallo de materiales metálicos y compuestos de fibra-
poliéster. Este criterio se basa en la idea de que la deformación