Modelosnumericosdeelementosfinitos2Dy3Dparaelestudiodelavibracioninducidaporelf

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DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECANICA 
 
ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIERIA 
eman ta zabal zazu 
 
 Universidad Euskal Herriko 
 del País Vasco Unibertsitatea 
 
 
INGENIARITZA MEKANIKOA SAILA 
 
BILBOKO INGENIARITZA GOI ESKOLA TEKNIKOA 
 
 
Master en Ingeniería Mecánica: Diseño 
y Fabricación 
 
 
Proyecto Fin de Master 
 
 
 
 
Modelos numéricos de elementos 
finitos 2D y 3D para el estudio de la 
vibración inducida por el ferrocarril 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alumno: Josean Galván Fernández 
 
Director del Trabajo: Ernesto G. Vadillo 
 
Curso 2013-2014 
 
 
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
I 
Indice 
 
RESUMEN 
1. INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................... 1 
1.1. ESTADO ACTUAL DEL CONOCIMIENTO .................................................................................................... 4 
1.1.1. Descripción del problema .............................................................................................................. 4 
1.1.2. Modelos para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril .......................................... 19 
1.1.3. Modelización numérica del problema.......................................................................................... 22 
1.2. OBJETIVOS DEL PFM ............................................................................................................................ 36 
1.3. ORGANIZACIÓN DEL DOCUMENTO ........................................................................................................ 37 
2. MODELOS MATEMÁTICOS DESARROLLADOS ................. ........................................................... 38 
2.1. RESOLUCIÓN DE LOS MODELOS NUMÉRICOS MEDIANTE ANSYS APDL ................................................. 40 
2.2. MODELOS NUMÉRICOS DEL VEHÍCULO .................................................................................................. 41 
2.2.1. Representatividad del modelo numérico del vehículo ................................................................. 41 
2.2.2. Comparación de los modelos de vehículo .................................................................................... 43 
2.2.3. Modelos de vehículo empleados en este PFM ............................................................................. 46 
2.3. MODELOS ANALÍTICOS Y NUMÉRICOS DE LA VÍA .................................................................................. 48 
2.3.1. Descripción de los modelos ......................................................................................................... 48 
2.3.2. Receptancia de la vía ................................................................................................................... 62 
2.4. MODELOS NUMÉRICOS ACOPLADOS: VEHÍCULO – VÍA .......................................................................... 68 
2.4.1. Passby de una carga puntual ....................................................................................................... 68 
2.4.2. Modelización del contacto rueda – carril .................................................................................... 73 
2.4.3. Passby de un vehículo utilizando el contacto elástico ................................................................. 80 
2.4.4. Irregularidades de vía, rueda y carril ......................................................................................... 83 
2.5. MODELOS NUMÉRICOS DEL TERRENO ................................................................................................... 96 
2.5.1. Descripción de los modelos ......................................................................................................... 96 
2.5.2. Condiciones de contorno para un medio MEF infinito................................................................ 99 
2.6. MODELOS NUMÉRICOS ACOPLADOS: VÍA – TERRENO .......................................................................... 112 
2.6.1. Descripción de los modelos ....................................................................................................... 112 
2.6.2. Receptancia de la vía y movilidad entre vía y campo libre ....................................................... 118 
3. EVALUACIÓN DE LA VIBRACIÓN INDUCIDA: UN CASO EXPERI MENTAL ........................ 123 
3.1. MOVILIDAD DEL TERRENO .................................................................................................................. 123 
3.2. RECEPTANCIA DE LA VÍA Y MOVILIDAD DEL TERRENO ........................................................................ 127 
3.2.1. Descripción de la vía y el ensayo de receptancia ...................................................................... 127 
3.2.2. Curvas de receptancia calculadas ............................................................................................. 129 
3.2.3. Ajuste de los modelos vía – terreno “simplificados” ................................................................. 135 
3.2.4. TrackSoil3D_Conventional: receptancia y movilidad ............................................................... 138 
3.3. RESPUESTA ANTE EL PASO DE THALYS HST ....................................................................................... 143 
3.3.1. Irregularidades de la vía ........................................................................................................... 144 
3.3.2. Descripción del modelo de vehículo .......................................................................................... 146 
3.3.3. Modelos acoplados para la respuesta la vía ............................................................................. 147 
3.3.4. Modelo vía – terreno 3D para la respuesta en campo libre ...................................................... 149 
4. CONCLUSIONES ................................................................................................................................... 152 
4.1. TRABAJO FUTURO Y RECOMENDACIONES ........................................................................................... 155 
5. REFERENCIAS ....................................................................................................................................... 156 
 
ANEXO: CD 
Proyecto de Fin de Master en Ingeniería Mecánica J. Galván 
 
II 
Nomenclatura 
 
 
 
t tiempo [s] 
c velocidad de traslación del vehículo [m/s] 
f frecuencia temporal [ciclo/s] 
φ frecuencia espacial [ciclo/m] 
λ longitud de onda [m] 
ur vector de desplazamientos nodales 
BE en inglés: Boundary Element(s), elemento(s) de contorno. 
CC Condición de Contorno, en inglés: Boundary Condition (BC) 
EC Elemento(s) de Contorno, en ingles: Boundary Element (BE) 
EF Elemento(s) Finito(s), en ingles: Finite Element (EF) 
EI Elemento(s) Infinito(s) o semi-infinitos, en inglés: Infinite Element (IE) 
FE en inglés: Finite Element(s), elemento(s) finito(s). 
MDF Método de las Diferencias Finitas, en inglés: Finite Difference Method (FDM) 
MEC Método de los Elementos de Contorno, en inglés: Boundary Element Method (BEM) 
MEF Método de los Elementos Finitos (MEF), en inglés: Finite Element Method (FEM) 
MB del inglés: Multi-Body, multicuerpo. 
PSD del inglés: Power Spectral Density, densidad espectral de potencia. 
 
 
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
III 
Resumen 
La vibración generada por el ferrocarril puede suponer una molestia para las 
personas, el desarrollo de actividades e incluso hasta el deterioro de las 
edificaciones que se encuentran en sus inmediaciones. Por este motivo los estudios 
de vibraciones inducidas por el tráfico ferroviario son necesarios en numerosas 
ocasiones, como: en las reordenaciones municipales cuando existen líneas cerca 
de las edificaciones o cuandose proyectan nuevas líneas o proyectos de 
soterramiento de vías, entre otros. 
A lo largo de este Proyecto de Fin de Master se presentan los modelos numéricos 
de vehículo, vía y terreno necesarios para analizar la vibración que se percibe en el 
terreno. Estos modelos que alcanzan diferente grado de detalle se desarrollan 
utilizando Ansys APDL junto con su lenguaje de programación propio para la 
integración de capacidades externas a las disponibles en el software comercial. Los 
modelos se pueden resolver tanto en el dominio del tiempo como de la frecuencia, 
aunque dado las limitaciones de tiempo de computación la respuesta en terreno se 
obtiene mediante su espectro. Se utilizan los métodos implícitos disponibles en 
Ansys, ya que el uso de métodos explícitos requiere de la adquisición de una nueva 
licencia. 
En el documento los modelos se describen en profundidad y se comparan entre sí y 
frente a casos de validación seleccionados para cada una de las fases en las que 
se puede dividir el complejo problema que aquí se aborda. Con el objetivo de poner 
a prueba los modelos con un caso real se analiza un caso publicado que recoge 
medidas experimentales. Mediante este estudio se pretende validar el 
procedimiento completo empleando un caso diferente a los empleados en el 
desarrollo de los modelos, reduciendo de esta forma las posibilidades de cometer 
errores. 
Finalmente las conclusiones valoran la capacidad de los modelos para enfrentarse a 
casos prácticos y se presenta una serie de recomendaciones para aquel que 
continúe con el desarrollo de modelos numéricos para el estudio de la vibración 
inducida por el ferrocarril mediante el método de los elementos finitos.
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
1 
1. Introducción 
La evolución de los sistemas de transporte ferroviarios nos permite ver vehículos de 
pasajeros rodando a velocidades superiores a 300 km/h. Para alcanzar este logro 
se han tenido que resolver numerosos problemas técnicos, sin embargo, esta 
hazaña arrastra consigo una estela de problemas aún, algunos de los cuales 
afectan la cotidianeidad de la vida fuera del ámbito de la línea ferroviaria, como son 
el ruido y las vibraciones inducidas por el tráfico ferroviario. 
El ruido emitido por los vehículos y la vía es un campo sobre el que se han 
dedicado grandes esfuerzos, antes incluso de la aparición de la alta velocidad. Sin 
embargo, las altas velocidades de circulación de los vehículos llevaron a fijar la 
atención sobre otras fuentes de ruido, como la aerodinámica, lo que permitió 
continuar dando pasos en dicho campo. 
El estudio de las vibraciones inducidas por el tráfico ferroviario, es un campo 
relativamente más reciente que el del ruido y de gran complejidad en el que aún se 
trabaja en la definición de unas normas internacionales para su evaluación 
[ISO2005]. 
 
Fig. 1 – Croquis del problema donde intervienen las 3 fases: emisión, 
propagación e inmisión. Extraída de [ISO2005]. 
El problema de las vibraciones inducidas por el tráfico ferroviario comienza en la 
interfaz rueda - carril, donde se generan las vibraciones que se propagan por la vía 
hacía el terreno y a través de éste hacía las edificaciones colindantes a la línea 
Introducción J. Galván 
2 
ferroviaria, provocando molestia a personas, fauna, instrumentación sensible y 
hasta el deterioro de edificaciones (Fig. 1). La evaluación de las vibraciones 
inducidas por el tráfico ferroviario es una tarea necesaria, dependiendo la legalidad 
vigente del emplazamiento, cuando se da algunas de estas situaciones [ISO2005]: 
• Proyecto de una nueva línea o ampliación de alguna existente. 
• Construcción de edificaciones cercanas a líneas ferroviarias existentes. 
• Cambios en la explotación de la vía, p.e.: aumento del tráfico ferroviario. 
• Modificación de las propiedades dinámicas de la vía o de los vehículos que 
circulan por ella. 
• Evaluación de la eficiencia de medidas reductoras de vibración aplicadas 
sobre vehículo, vía, terreno o edificación. 
Se aprecia así la existencia de numerosas situaciones que potencialmente 
requieren de un estudio de las vibraciones inducidas por el ferrocarril. No obstante, 
y debido a la complejidad del problema y su relativa juventud, las empresas de 
ingeniería aparecen aún, junto a universidades o centros tecnológicos en las 
licitaciones de estos estudios, lo que demuestra que no se han generado las 
herramientas suficientes para transmitir el conocimiento adquirido en este campo, 
aún bajo investigación. Algunos de estas licitaciones muestran una clara preferencia 
por el uso de modelos numéricos basados en el método de elementos finitos (MEF) 
o elementos de contorno (MEC) frente a modelos analíticos o empíricos, cuyo uso 
ha de justificarse. 
A lo largo de este Proyecto de Fin de Master (PFM) se desarrollan una serie de 
modelos paramétricos de vehículo, vía y terreno basados en el MEF que permiten la 
evaluación de la vibración en el terreno colindante a la línea ferroviaria. Los motivos 
para no incluir la propagación por el terreno hasta la cimentación (campo lejano) de 
las edificaciones han sido los siguientes: 
• Las dimensiones del modelo numérico de terreno son muy grandes lo que 
provoca un aumento considerable del tiempo de cálculo o de la potencia de 
cálculo. 
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
3 
• La propagación por el terreno es el fenómeno de mayor incertidumbre de los 
involucrados en el problema debido a la gran variabilidad espacial de las 
propiedades geométricas y dinámicas del suelo [RIV2011-1]. Es por ello que 
se recomienda el uso de métodos semiempíricos para la determinar los 
niveles de inmisión. 
Los modelos numéricos se han desarrollado utilizando Ansys APDL, en lugar de 
desarrollar un código propio de EF, al considerarse que es un software extendido 
que puede estar presente en las empresas de ingeniería a quienes, en un plazo 
corto de tiempo, les correspondería la realización de estos estudios en solitario. A 
pesar de las muchas bondades de este código, Ansys APDL presenta algunas 
carencias que dificultan la implementación de la traslación del vehículo junto con el 
contacto rueda – carril y las irregularidades propias de las superficies de estos dos 
elementos y la propia vía [BOW2009]. 
Los modelos numéricos se han validado en etapas intermedias mediante casos 
bibliográficos y se ha determinado el nivel de vibración en el terreno de un caso 
experimental, incluido en los artículos de referencia. 
 
Introducción J. Galván 
4 
1.1. Estado actual del conocimiento 
A lo largo de esta sección se introduce el problema de la vibración inducida por el 
tráfico ferroviario así como conceptos clave para la comprensión de éste y su 
modelización numérica. Estos conocimientos permiten fijar los objetivos del PFM 
que se presentan en la siguiente sección 1.2 de este capítulo introductorio. 
1.1.1. Descripción del problema 
El estudio de la vibración inducida por el tráfico ferroviario se puede organizar en 
tres fases interrelacionadas entre sí (1, 2 y 3 en Fig. 1): 
1. Emisión , el origen de la vibración surge a causa de la interacción del 
vehículo trasladándose por la vía, convirtiéndose en la fuente de las 
vibraciones. La línea ferroviaria puede estar en superficie, soterrada o sobre 
obra civil (1 en Fig. 1). El peso propio del vehículo, la excitación debida a las 
irregularidades, las características geométricas y dinámicas del vehículo y la 
vía, etc. son algunos de los parámetros que determinan las características 
espectrales de la vibración causada por el paso de los vehículos (Fig. 2). 
 
Fig. 2 - Ejemplo de las frecuencias excitadas en la interfaz rueda/carril por 
un tren circulando a 250 km/h. X, frecuencia [Hz]; Y, magnitud medida; 1, 
espaciado entre traviesas; 2, distanciaentre ejes intra-bogie; 3, distancia 
entre ejes interbogie; 4, distancia entre ejes intra-vehículo; 5, distancia 
entre ejes inter-vehículo; 6, rugosidad efectiva de rueda y carril. Extraída 
de [ISO2005]. 
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
5 
Un vehículo ferroviario dispuesto sobre la vía, transmite su peso a ésta a través de 
la superficie de contacto rueda – carril. Su peso es una carga estática capaz de 
flectar el conjunto del sistema de vía. Si consideramos que las superficies de 
contacto de la rueda y el carril son perfectamente lisas y que la rigidez de la vía es 
invariante en su dirección longitudinal (no varía debido a un apoyo continuo en lugar 
de sobre traviesas), cuando esta carga constante se desplaza a una velocidad c 
igual a la del vehículo en marcha, genera un frente de onda en la zona de contacto. 
Esta excitación, a pesar de ser constante, recibe el nombre de excitación 
cuasistática . 
Su influencia en el nivel de vibración registrado en el terreno, depende de la 
velocidad del vehículo c y de la velocidad natural de propagación de las ondas en 
el terreno Rc (velocidad de las ondas de Rayleigh). Así, cuando el vehículo viaja a 
una velocidad Rcc < , la vibración generada por la carga cuasistática queda recluida 
en el campo cercano, mientras que por el contrario, las ondas alcanzan importantes 
distancias (hasta 70 a 100 m) cuando ambas velocidades son cercanas o cuando la 
velocidad natural de las ondas del terreno es menor que la del vehículo [RIV2011-
1], [GAL2007]. 
La fuerza de contacto nominal generada por la carga estática adquiere una 
componente dinámica debida a (1) la rugosidad de las superficies de contacto de 
rueda y carril (5 y 6 en la Fig. 3b), también si la vía presenta irregularidades, o (2) 
cuando existen discontinuidades discretas (plano de rueda, junta de carril, etc.), lo 
cual da lugar a la aparición de la componente dinámica del fenómeno de 
excitación . 
El primer tipo de irregularidad conlleva una excitación armónica, mientras que el 
segundo tipo de defecto genera un impulso [RIV2011-1]. Generalmente, la 
influencia de la componente dinámica será importante, excepto cuando la velocidad 
de circulación del vehículo alcance la velocidad de propagación de las ondas del 
terreno, caso que se busca evitar debido a los problemas de seguridad que 
provocan las grandes deflexiones de carril asociadas a este tipo de terreno 
[RIV2011-1]. 
Introducción J. Galván 
6 
a) b) 
Fig. 3 – a) Abaco relacionando las frecuencias de excitación f , la longitud 
de onda λ , cuando el vehículo circula a diferentes velocidades c . 
Extraída de [CEM2009]; y b) ejemplo de modelo acoplado de vehículo y 
vía. Extraída de [ISO2005]. 
Como se deduce de la Fig. 3a, cuando el vehículo se desplaza sobre una vía con 
traviesas discretas, experimenta una variación de la rigidez en el apoyo del carril, lo 
que conlleva una flexión relativa entre las partes apoyadas y no apoyadas del carril. 
Este hecho provoca una excitación también de carácter dinámico que recibe el 
nombre de excitación paramétrica y cuya frecuencia natural (también 
denominada, frecuencia de paso por traviesas) de excitación es función de la 
velocidad de circulación del vehículo c y la distancia entre traviesas d . Para un 
vehículo que circula entre 100 y 200 km/h sobre una vía con un espaciado de 0.6 m, 
la excitación paramétrica se localiza entre 45 y 90 Hz, dentro del rango de 
vibraciones molesto para las personas. 
Las frecuencias naturales f que excitan las imperfecciones superficiales o la 
excitación armónica paramétrica quedan determinadas mediante la velocidad de 
circulación del vehículo c y la longitud de onda del defecto λ (longitudes 
características del vehículo, espaciado de las traviesas, defectos de rueda y vía) en 
función de la expresión: λcf = (Fig. 3a). 
Longitudes 
características 
del vehículo 
 
 
 
 
Distancia entre 
traviesas 
Rugosidad 
rueda - 
carril 
Planos de 
rueda 
0.001
0.01
0.1
1
10
100
1 10 100 1000
L
o
n
g
it
u
d
 d
e
 o
n
d
a
 -
m
Frecuencia - Hz
26.4
7.5
3.2
3
2.5
1.5
1
0.75
0.65
0.6
0.1
0.04
0.01
50
350
100
150
250
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
7 
A medida que se aumenta la velocidad, la excitación tiene mayor influencia en el 
nivel de vibración global, hasta que alcanza la frecuencia de resonancia del sistema 
vehículo – vía, es decir, la frecuencia natural del contacto, donde la magnitud es 
máxima. Por encima de esa frecuencia, la amplitud de la excitación paramétrica 
disminuye puesto que la masa del bogie y del coche o caja quedan desacoplados 
del problema [RIV2011-1]. 
2. Propagación : las ondas generadas en la vía se propagan a través de la 
infraestructura de la vía alcanzando el terreno y continuando su recorrido a 
través de éste hasta amortiguarse. 
Thompson [THO 2009] clasificó el problema de vibración inducida por los 
ferrocarriles en 3 categorías, de acuerdo con los escenarios posibles (en función del 
vehículo, la configuración de la línea y el terreno): 
• Tráfico de vehículos de ejes pesados (mercancías, locomotoras, vehículos 
con eje de ancho autoajustable, etc.). Su velocidad de circulación es baja, 
pero generan grandes niveles de vibración en la vía. En presencia de suelos 
blandos, el problema puede alcanzar a los residentes que se encuentran 
hasta a 100 metros de distancia. 
• Tráfico de vehículos de alta velocidad. Este tipo de vehículos puede llegar a 
superar la velocidad de las ondas del terreno o de la plataforma 
(infraestructura de la vía). 
Cuando este hecho ocurre, sucede un fenómeno que impide que las ondas que se 
propagan sean capaces de evacuarse de las inmediaciones de la vía antes de que 
se genere una nueva onda, es decir, la velocidad de aparición de las ondas es 
mayor que su velocidad de propagación. Este hecho incrementa notablemente la 
vibración de los elementos de la superestructura así como de la aparamenta de vía 
al “taponarse” la propagación de la vibración lejos de la vía. La vibración inducida en 
estos escenarios puede alcanzar grandes niveles a distancias muy elevadas, pero 
es raro que esto suceda. 
• Tráfico en túnel. El contenido espectral de la vibración que alcanza los 
edificios tiene un contenido en alta frecuencia mayor que en el caso de la vía 
en superficie, alcanzando el límite inferior del rango audible, desde unos 30 
Introducción J. Galván 
8 
Hz hasta 250 Hz, dando aparición al molesto problema de ruido inducido. Si 
el túnel está en contacto con la cimentación, las ondas de volumen serán las 
de mayor influencia [ISO2005]. 
Una vez atisbada la complejidad de los fenómenos que pueden llegar a suceder en 
el terreno, se considera necesario introducir al lector “industrial” en los 
conocimientos básicos de un medio como el terreno. 
El suelo es un medio continuo, heterogéneo, y donde los materiales que lo 
componen presentan un comportamiento no lineal en mayor o menor medida. Sus 
propiedades muestran diferente orden de magnitud cuando se analizan 
estáticamente o dinámicamente [RIC1970]. Por este y otros motivos la geotecnia y 
la geofísica cuenta con un gran abanico de ensayos de laboratorio y campo que 
permiten determinar estas propiedades [RIV2011-1]. 
La gran característica o diferencia del terreno respecto a los sistemas analizados 
por la ingeniería industrial radica en el carácter infinito del dominio, hecho que no 
permite la utilización del concepto de modo de vibración que tanto se emplea en 
dinámica dentro del mundo industrial. En lugar de modos, el terreno se caracteriza 
por una serie de ondas de propagación. Para describir estas ondas, se recurre al 
caso de un terreno elástico infinito, homogéneo e isotrópico para analizar estas 
ondas. Inicialmente se analiza el espacio, y posteriormenteel semiespacio (z ≤ 0), 
infinito. 
Un espacio elástico, infinito , homogéneo e isotrópico presenta dos tipos de ondas 
que se derivan del análisis elástico de un elemento infinitesimal y las leyes de 
Hooke utilizando la descomposición de Helmholtz. Estas ondas quedan 
desacopladas y representan diferentes movimientos del cuerpo del terreno (2a en 
Fig. 1) y por lo tanto tienen velocidades diferentes, lo cual es cierto cuando las 
fuerzas gravitacionales son despreciables y cada capa del terreno es homogénea 
[RIV2011-1]. 
La velocidad de la onda de dilatación (primaria, onda de compresión, irrotacional u 
onda P) en el espacio infinito queda determinada por las constantes de Lamé del 
material ( λ , µ ) y su densidad ρ mediante la expresión [RIC1970]: 
ρ
µλ 2+=Pc . 
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
9 
Recordando: ( )( )υυ
υλ
211 −+
= E y ( )υµ +== 12
E
G , donde: E es el módulo de Young 
del material, υ su coeficiente de Poisson y G su módulo ante esfuerzos cortantes. 
 
Fig. 4 - Propagación de la onda P en una probeta. 
En una probeta libre, la onda de compresión se desplaza a una velocidad 
ρ
E
c probetaP =, , inferior a la velocidad de esa onda en el terreno. Esto se debe a que 
la probeta se puede desplazar lateralmente (Fig. 4), mientras que el terreno está 
rodeado por otras partículas que limitan su desplazamiento en estas direcciones. 
La velocidad de onda de distorsión (secundaria, onda transversal, equivolúmica u 
onda S) es igual en el semiespacio infinito y en las probetas libres [RIC 1970] y su 
movimiento se desarrolla en el plano transversal: 
ρ
G
cS = . 
 
Fig. 5 - Propagación de la onda S. 
El semiespacio infinito da lugar a la aparición de dos nuevas ondas que se 
desarrollan cerca de la superficie del terreno (2b en Fig. 1). Estas ondas se 
conocen por onda de Rayleigh (movimiento vertical) y onda de Love (movimiento 
transversal) y aparecen debido a la condición de superficie libre del semiespacio 
infinito, lo que se traduce en ausencia de tensiones en la superficie. 
La velocidad de las ondas de Rayleigh , cuando se considera amortiguamiento 
nulo, se puede aproximar por la expresión [RIV2011-1]: SR cc υ
υ
+
+≈
1
14.1862.0
. 
Introducción J. Galván 
10 
 
 
Fig. 6 - Propagación de la onda de Rayleigh. 
La influencia de estas ondas superficiales disminuye rápidamente con la 
profundidad (Fig. 6 y Fig. 7), pero es muy importante en la evaluación de la molestia 
de vibraciones inducidas por el ferrocarril, ya que la amplitud de sus ondas puede 
llegar a ser del doble de la que presentan las partículas que se mueven más 
alejadas de la superficie. La velocidad de propagación de estas ondas es menor 
que la correspondiente a las ondas P y S. 
 
Fig. 7 - Propagación de la onda de Love. 
Las expresiones de velocidad de las ondas descritas varían al considerar el 
amortiguamiento histerético (independiente de la frecuencia) β de las ondas de 
cuerpo por medio de un amortiguamiento de tipo complejo. La velocidad de las 
ondas se transforma en una magnitud compleja, donde los numeradores de las 
expresiones dadas anteriormente se modifican de acuerdo a las expresiones 
siguientes [RIV2011-1]: 
( ) ( ) ( )iP
rβµλµλ 2122 * +++=+ 
( )iS
rβµµ 21* += 
 
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
11 
Con el objetivo de obtener unos resultados precisos, se debe tener un conocimiento 
muy detallado del amortiguamiento del terreno, p.e., la saturación de un suelo 
poroso modifica el amortiguamiento a alta frecuencia introduciendo amortiguamiento 
viscoso [ISO2005]. Cuando existe alta presencia de agua, es necesario utilizar las 
constantes de Lamé modificadas en función de la porosidad y del módulo de 
compresión del fluido llena los poros [RIV2011-1]. 
A efectos físicos, el contenido de agua (tabla de saturación, 4 en Fig. 1) entre los 
poros del suelo genera 2 ondas primarias de alta frecuencia, generalmente muy por 
encima de la frecuencia máxima de interés de los estudios de vibraciones inducidas 
por ferrocarriles. Así en el rango de frecuencia bajo estudio el terreno se comporta 
como una mezcla única de granos de material y fluido que causan una única onda 
primaria (además de la secundaria y la onda de Rayleigh). La presencia de agua 
genera ondas primarias de gran velocidad, lo cual sirve de indicativo para estimar la 
saturación del medio [RIV2011-1]. 
Las ondas ya descritas aparecen cuando, p.e., se impacta sobre una cimentación 
circular instalada en un semiespacio infinito. Se observa (Fig. 8) la propagación 
semiesférica de las ondas de cuerpo (ondas P y S), y la propagación radial de la 
onda de Rayleigh, la cual forma un frente de onda cilíndrico. 
 
Fig. 8 – Representación de las ondas de terreno generadas a través de un 
impacto sobre una cimentación circular en un semiespacio infinito, 
elástico, isotrópico y homogéneo. Extraída de [RIC1970]. 
Introducción J. Galván 
12 
Todas las ondas se encuentran con más volumen a medida se alejan del punto de 
aplicación del impacto, por lo que su densidad de energía disminuye al propagarse. 
Este motivo de pérdida de energía o de amplitud en los desplazamientos que 
sucede con la distancia recibe el nombre amortiguamiento geométrico. 
La amplitud de los desplazamientos es inversamente proporcional a un coeficiente 
en el que interviene la distancia, r, desde la fuente al receptor. Las ondas de cuerpo 
decrecen proporcionalmente al factor r1 , excepto en la superficie donde lo hacen 
siguiendo la relación 21 r . Las ondas superficiales por su parte, reducen su amplitud 
en función de la distancia con un factor r1 . 
Se entiende así que la energía transportada por cada onda sea diferente, la cual se 
puede estimar para el caso analizado (Fig. 8), y se presenta en la Tabla 1. 
Tabla 1. Distribución de la energía en la propagación de las ondas del 
terreno. Adaptada de [RIC1970]. 
Onda Energía [%] 
Primaria 10 
Secundaria 23 
Rayleigh 67 
El terreno además de influir en la fase de propagación de las vibraciones del tráfico 
ferroviario también lo hace en la fase de emisión. El terreno influye en todo el 
espectro de la curva de receptancia de la vía (Fig. 9), principalmente en la zona de 
baja frecuencia (aquella de mayor percepción para las personas y zona de confort 
del pasajero) aumentando su nivel, lo que provoca un descenso de éste a 
frecuencias mayores al repartirse la energía generada, la cual no cambiaría. 
Al disminuir la rigidez del terreno, la resonancia se desplaza hacia la izquierda y 
alcanza mayor nivel, de acuerdo a los principios de dinámica que indican que los 
movimientos a menor frecuencia alcanzan mayores desplazamientos. 
Knothe et al. [KNO1998][KNO1998], sitúan la frecuencia de máxima influencia del 
terreno y la capa de forma de la infraestructura de vía sobre la receptancia de ésta 
en 250 Hz. Por lo que si se desea estudiar la generación de vibraciones a 
frecuencias superiores, no sería necesario considerar el terreno. 
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
13 
 
Fig. 9 – Receptancia de vía calculada utilizando un modelo de vía/terreno 
acoplado. ---, vía sobre terreno blando; ─, sobre terreno duro; ···, terreno 
totalmente rígido. Extraída de [THO2009]. 
La presencia de terrenos estratificados provoca la aparición de múltiples ondas de 
Rayleigh de tipo dispersivo (Fig. 10, inferior). Los modos (forma) y velocidad de fase 
de estas ondas de Rayleigh (hasta 6 modos a 80 Hz, Fig. 10 superior) permiten 
identificar la profundidad de la interfaz entre estratos. 
Por lo general el suelo no es un medio homogéneo y su caracterización necesita de 
su estratigrafía además de las propiedades dinámicas de cada uno de los estratos. 
La profundidad considerada debe aumentar cuandose desea analizar problemas en 
baja frecuencia o en el caso de suelo muy rígidos [RIV2011-1]. En los estudios de 
vibraciones que alcanzan a los edificios, la profundidad de mínima de investigación 
se fija entorno a 20 m, mientras que los casos de problemas en baja frecuencia o 
suelos muy rígidos debería alcanzar los 30 m, lo que coincide con la definida para 
los análisis sísmicos de edificaciones. 
La propagación a frecuencia alta (80 Hz, en Fig. 10 inferior) ocurre en el primer 
estrato, quedando confinada en él la onda de Rayleigh (en el caso del 
emplazamiento de Lincent presentado). A medida que se desciende en el espectro, 
mayor profundidad del terreno se involucra en el movimiento incluso hasta llegar a 
movilizar el último estrato, el cual se considera como un semiespacio infinito. 
Introducción J. Galván 
14 
 
 
Fig. 10 – Velocidad de la fase en función de la frecuencia (superior).Parte 
real (__) e imaginaria (-·-·-) de la componente vertical de los modos de la 
onda de Rayleigh a una frecuencia de a) 20 Hz, b) 40 Hz, c) 60 Hz, d) 80 
Hz (inferior). Extraída de [RIV2011-1], emplazamiento de Lincent. 
3. Inmisión : en su recorrido las ondas que avanzan por el terreno interfieren 
con la cimentación de las edificaciones, agitando la estructura de la 
edificación y radiando ruido a causa de la vibración. 
La vibración que alcanza las edificaciones sufre una primera atenuación 
(generalmente) debida a la interacción de las ondas con los sistemas de 
cimentación (zapata aislada, zapata corrida, pilotes, etc.). Parte de la energía de la 
onda incidente continúa su propagación por el terreno en forma de ondas 
difractadas mientras que otra parte de la energía se transmite a través del edificio, 
siendo este fenómeno el responsable de la atenuación debida al tipo de 
cimentación (Fig. 11). 
Saurenman et al. [SAU1982] agruparon la pérdida de inserción debida a la 
cimentación en función de 4 tipos de sistemas de cimentación básicos: 
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
15 
• Losa de cimentación (slab-on-grade) 
• Zapatas (spreads-footings) 
• Pilotes de fricción (piles founded in earth) 
• Pilotes apoyados en roca (piles supported by rock) 
 
Fig. 11 - Pérdidas por acoplamiento en las cimentaciones de edificios. ○, 
grandes edificios de masonería sobre pilotes; □, grandes edificios de 
masonería sobre zapata corrida; ▲, edificio de masonería entre 2 y 4 
plantas sobre zapata corrida; ◊, edificio comercial entre 1 y 2 plantas; X, 
vivienda unifamiliares. Extraída de [SAU1982]. 
En el caso de las losas de cimentación, su superficie es grande y los niveles de 
vibración hasta la frecuencia natural de la losa, sobre la losa, son similares a los del 
terreno si no existiese la losa. Esto quiere decir que la pérdida por inserción de la 
cimentación es 0 dB hasta llegar a la frecuencia de resonancia de la losa. 
Resulta importante conocer las características del sistema de cimentación utilizado 
en el estudio vibratorio ya que la selección errónea del tipo de cimentación (p.e., 
sobre pilotes en lugar de zapatas) incrementa de manera muy notable (+6 dB) el 
nivel de vibración ponderado Law que experimenta un receptor. 
Introducción J. Galván 
16 
La vibración que se transmite por el edificio se ve atenuada debido al 
amortiguamiento de la estructura. Dado que en la transmisión de la vibración por la 
edificación contribuye un gran número de parámetros, la respuesta de los suelos, 
paredes y techos son difíciles de determinar, al ser una naturaleza compleja. Por 
este motivo suele ser común caracterizar la atenuación debida a la planta de 
manera experimental. Esta es la atenuación que se produce en la estructura al 
elevarnos una planta (Fig. 12). 
 
Fig. 12 - Rango de atenuación de la vibración aproximada por planta a medida 
que la vibración se transmite planta a planta. Extraída de [SAU1982]. 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
31 63 125 250 500 1000
Frecuencia [Hz]
La
 [d
B
 r
ef
. 2
e-
6 
m
/s
2 ]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
 
Fig. 13 - Atenuación por planta de un edificio de 10 plantas + planta baja, en 
bandas de octava. Adaptada de [ISH1978]. 
Ishii et al. [ISH1978] indican niveles de atenuación suelo-a-suelo de 1 dB en baja 
frecuencia en las plantas superiores y de hasta 3 dB en las plantas inferiores. El 
edificio caracterizado consta de 10 plantas y planta baja con una altura entre planta 
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
17 
de 3 m, de estructura metálica, y hormigón armado sobre un punto de excitación 
debajo del edificio (impacto en el suelo de un túnel cercano y bajo el edificio). 
Las habitaciones o estancias del edificio donde se desarrollan las actividades 
constan de un forjado (suelo y techo). Las dimensiones de la sala, la unión del 
forjado con la estructura, su estado, la distribución del mobiliario en el forjado 
influirán en la respuesta dinámica de éste, generándose la amplificación en el 
centro del forjado respecto al nivel en los pilares de la estructura e incluso al nivel 
experimentado por la cimentación. Al parecer este efecto es más notable en 
construcciones donde la estructura es de madera. 
Teóricamente, la amplificación de los forjados, apoyados en columnas o muros 
verticales, se sitúa entre 16 y 80 Hz observándose incrementos del nivel de 
vibración entre 5 y 15 dB (Fig. 14). La mayor amplificación aparece en el rango de 
frecuencia de 10 a 30 Hz. 
El problema de vibraciones se agudiza cuando los picos del espectro de la vibración 
transmitida por el terreno coinciden con la frecuencia de resonancia de estos 
elementos del edificio. 
 
Fig. 14 - Rango de amplificación de la vibración debida al forjado apoyado 
sobre columnas. Extraído de [NEL1983]. 
 
 
Introducción J. Galván 
18 
La única norma publicada hasta la fecha abordando el problema de la vibración 
inducida por el tráfico ferroviario es la ISO 14387-1:2005. Esta ofrece una visión 
general del problema, lo describe y aporta consejos sobre la construcción de los 
modelos predictivos y su validación. En este documento destacan los efectos 
potenciales debidos a la circulación de los vehículos, los cuales aparecen en 
diferentes rangos del espectro [ISO2005]. 
• La percepción de la vibración por los humanos se localiza en el rango de 
1 a 80 Hz. La ISO 2631-1:1997 ofrecen indicadores y curvas de ponderación 
de la vibración percibida por las personas. 
• El ruido inducido o reradiado es aquel percibido en el interior de una 
estancia del edificio y el cual se genera a causa del movimiento del aire en 
ésta, impulsado por la vibración de las paredes que forman la estancia. 
debido a la vibración de La percepción del ruido reradiado Este efecto se 
localiza en el rango de baja frecuencia del oído humano afectando hasta 250 
Hz (e incluso superiores 400 Hz). Su percepción está más asociada a 
circulación soterrada que en superficie debido a que el edificio está 
completamente aislado del ruido aéreo del túnel. 
• Si los trenes generan niveles de vibración extremadamente altos (del orden 
de 10 a 100 veces los asociados a la molestia de las personas, p.e.) durante 
un gran número de ciclos, pueden causar riesgos de deterioro de la 
edificación . Estos niveles de vibración resultarían intolerables para las 
personas que ocupan el edificio. Su efecto se acota entre 1 y 500 Hz, aunque 
el mayor daño se localiza entre 1 y 150 Hz. 
• La vibración también puede alcanzar edificaciones en las que se realizan 
tareas o equipamiento sensibles a la vibración . Un ejemplo puede ser la 
fabricación de microprocesadores. La principal solución a este problema 
localizado entre 1 y 200 Hz es el aislamiento de los equipos o procesos. 
 
 
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
19 
1.1.2.Modelos para el estudio de la vibración indu cida por el 
ferrocarril 
El desarrollo de modelos matemáticos para predecir la vibración en inmisión debida 
al paso de un vehículo en la línea cercana a la edificación ( )fA requiere computar 
los efectos de la fuente ( )fS , el camino de propagación ( )fP y el receptor ( )fR . 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]fRfPfSfA ,,f= 
Como ya se ha explicado, la relación entre estos subsistemas presentar mayor o 
menor grado de acoplamiento entre los parámetros de los subsistemas. Cuando 
esto ocurre, resulta difícil diferenciar cada uno de los subsistemas (p.e., tranvía en 
casco antiguo) y el problema ha de afrontarse de forma acoplada dada la 
interacción entre las fases del problema. Esta capacidad es característica de los 
modelos de detalle [ISO2005]. 
La entrada al problema se efectúa por medio de la determinación del espectro (o 
historia temporal) de la fuente, la cual puede ser fuerza en el contacto rueda carril o 
el nivel de vibración (aceleración o velocidad) de un punto próximo a la vía 
[ISO2005]. 
En función del grado de detalle del estudio vibratorio a realizar , la ISO 14387-
1:2005 diferencia 3 niveles, con objetivos diferentes: 
A. Modelo de ámbito general, se utiliza en las etapas más tempranas de los 
estudios con el objetivo de comparar emplazamientos de forma rápida e 
identificar los más problemáticos. Busca la sencillez y la rapidez por medio 
del nivel global dado que contará con pocos parámetros de entrada, al 
encontrarse el Plan en su inicio, por lo que no habrá mucha información 
disponible. 
B. Modelo de evaluación medio ambiental, su empleo resulta útil para predecir 
los niveles de vibración en una etapa preliminar del diseño de una nueva 
línea, p.e., y determinar el tipo de medida correctora se podría aplicar y el 
rango de atenuación necesario para cumplir con la normativa medio 
ambiental aplicable, por lo que a la salida han de presentar, al menos el 
espectro en frecuencia del nivel de vibración. 
Introducción J. Galván 
20 
C. Modelo de diseño de detalle, es el más complejo de todos. Busca definir la 
solución final para su construcción y presta gran atención al comportamiento 
del vehículo y el diseño de vía final. Ha de ser capaz de ofrecer el espectro 
de vibración y sus resultados también pueden utilizarse para nutrir el modelo 
de evaluación ambiental o calibrar modelos numéricos de menor detalle. 
Los parámetros más influyentes en la predicción de la vibración inducida por el 
ferrocarril se enumeran en la lista presentada en [ISO2005], de entre los cuales 
habrá que determinar cuáles influyen en cada emplazamiento que se analiza. 
Además del grado de detalle de los modelo matemáticos estos también se clasifican 
en función del tipo de modelo, bien sea paramétrico, empírico o una combinación de 
ambos tipos. 
Los modelos paramétricos son deterministas, es decir, obtienen la misma solución 
para la misma combinación de parámetros y por este motivo suelen ser modelos en 
los que la calidad o precisión de los parámetros de entrada tienen gran influencia 
sobre los resultados. Suele ser común realizar un estudio paramétrico para 
determinar la influencia de los parámetros en los resultados. Entre éstos se 
diferencian los modelos algebraicos y los numéricos. 
Los modelos pueden representarse en 1D, 2D o 3D, además del dominio 2.5D 
ampliamente utilizado en el que el modelo 3D se secciona en planos transversales 
bidimensionales consecutivos a lo largo del eje longitudinal de la línea. Resulta muy 
importante asumir las hipótesis correctas al seleccionar el tratamiento que se dará 
al terreno, siendo vital la correcta estimación del módulo a cortante por medio de 
ensayos dinámicos y prestando atención a que las propiedades de los materiales 
obtenidos de bibliografía correspondan con el rango de deformaciones propia de los 
estudios de la vibración inducida por el ferrocarril. 
Las soluciones algebraicas asumen simplificaciones que permiten resolver el 
problema. En algunas ocasiones se considera el aporte de un único tipo de onda de 
propagación en el terreno [KRY1994-1], lo que puede conllevar errores significativos 
[ISO2005]. Mediante este método de resolución se pueden llegar a modelizar 
terreno multicapa con interfaz plana, pero la modelización de la transmisión por el 
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
21 
edificio no se suele abordar mediante estos métodos debido a la complejidad que 
este problema conlleva. 
La resolución numérica del problema paramétrico se suele resolver mediante 
alguno de los métodos siguientes: 
• Método de los elementos finitos: MEF (en inglés: Finite Element Method, 
FEM). Discretiza el dominio en elementos finitos caracterizados por sus 
matrices de masa, rigidez y amortiguamiento abordando las ecuaciones de la 
continuidad. A pesar de ser un método establecido cuando se resuelven 
modelos mediante el MEF es necesario implementar ciertas condiciones con 
cautela: las interfaces entre los subsistemas, el contacto elástico o la 
implementación de las irregularidades en el contacto, entre otras. Las 
condiciones de propagación libre son complejas de implementar [ISO2005], 
utilizándose métodos como las fronteras viscosas o los elementos infinitos 
[ROS2004],[KOU2009], [KOU2011]. 
• Método de las diferencias finitas: MDF (en inglés: Finite Difference Method, 
FDM) utiliza avanzados tratamientos algebraicos en los que interviene la 
solución numérica de la ecuación de la onda. El modelo se discretiza en 
elementos de los que se determina su estado en cada paso de tiempo finito 
resolviendo las ecuaciones diferenciales. 
• Método de los elementos de contorno: MEC (en inglés: Boundary Element 
Method, BEM) es un método muy útil en aquellos dominios en las que se 
pueden aplicar las funciones de Green. Únicamente se discretizan las 
superficies del modelo con lo que el número de GDL en el problema es 
sustancialmente menor que en el caso del MEF o el MDF. 
• Métodos híbridos, en los que el BEM que resuelve la propagación por el 
terreno se acopla con el MEF o el MDF responsables de determinar la 
respuesta en la emisión y la inmisión. Se combinan así la robustez del MEF o 
el MDF en la resolución del problema estructural de dimensiones finitas 
mientras que el BEM resuelve el dominio infinito sin encontrar problemas de 
reflexión de ondas en el contorno y reduciendo el número de GDL del 
problema respecto al caso MEF o MDF. 
Introducción J. Galván 
22 
Los modelos empíricos basan sus predicciones en registros de medidas de campo 
y métodos matemáticos para estimar por medio de métodos de interpolación / 
extrapolación los resultados partiendo de un set de medidas de experimentales. Se 
fundamentan en el principio de superposición y comportamiento lineal al considerar 
los subsistemas del problema de forma aislada, desacoplada. 
La forma de los modelos empíricos se basa en el concepto de las funciones de 
transferencia, de forma que [ISO2005]: ( ) ( ) ( ) ( )fRfPfSfA ⋅⋅= , donde cada 
componente concentra la influencia de los parámetros (de dicho subsistema) 
empleados en la predicción. 
Los modelos semiempíricos son una combinación de los modelos paramétricos y 
empíricos en donde alguna de las fase se caracteriza de forma experimental y el 
resto de calcula de forma numérica o algebraica, o viceversa. Al igual que los 
métodos empíricos se asume que las fases del problema quedan desacopladas. 
1.1.3. Modelización numérica del problema 
La modelización de este complejo problema con cierto grado de detalle se 
diferencia en dos grandes tipos de modelos numéricos: (1) híbridos FE/BE y (2) 
modelos únicamente de EF. Ambos tipos, con sus ventajas e inconvenientes, se 
describen en secciones dedicadas, no obstante ambos problemas comparten 
aspectos comunes en la representación matemática de los vehículos, loscomponentes de la vía y en el comportamiento de los materiales que intervienen, 
por ello se presenta un somero resumen de estas similitudes. 
Los modelos de vehículo consideran un conjunto de masas concentradas, dotadas 
de GDL, unidas mediante elementos muelles-amortiguador discretos para modelizar 
los vehículos (Fig. 15). Su resolución se puede abordar mediante métodos 
característicos de los sistemas multicuerpo (en inglés: Multi Body Dynamics), MEF u 
otros métodos algebraicos. 
La conexión entre el modelo de vehículo y el modelo de vía, es decir, la 
modelización del contacto entre la rueda y el carril; se realiza generalmente por 
medio de un resorte cuya rigidez corresponde con la rigidez del contacto de Hertz 
linealizada para la carga que se analiza [LOM2006]. En ocasiones también se 
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
23 
considera la teoría de Hertz no linealizada, siendo relevante su aplicación no 
simplificada cuando la irregularidad efectiva en el contacto es severa [WU2000]. 
 
Fig. 15 - Modelo de vehículo con dos bogies en TGV. 
Extraída de [RIV2011-2]. 
Los modelos de vía para el análisis de las vibraciones inducidas por el ferrocarril 
representan muy comúnmente el carril mediante la formulación vigas de Euler – 
Bernoulli en lugar de utilizar la teoría de Timoshenko dado que la influencia de la 
cizalladura y la rotación de la sección en la deflexión vertical del carril no se 
presenta hasta 500 Hz [KNO1998]. El uso de la teoría de Timoshenko es habitual 
sin embargo en los estudios acústicos de ruido aéreo debidos al tráfico ferroviario 
[THO2009], donde se alcanzan frecuencias de hasta 5 kHz [WU2000]. 
El sistema de sujeción del carril compuesto por la fijación y el railpad es un sistema 
no-lineal cuya rigidez depende de la precarga que actúe sobre éste. Se conoce que 
el aumento de la rigidez de la placa incrementa las sobrecargas dinámicas debidas 
a la masa no suspendida de los vehículos, mientras que un valor muy bajo provoca 
grandes deflexiones del carril, debido al hundimiento, y por lo tanto grandes 
tensiones en el carril [CAR2005],[THO2009]. Una de las conclusiones de Grassie al 
comparar resultados experimentales frente a modelos numéricos de vía es que es 
necesario incluir el conjunto sujeción-railpad en la modelización para obtener 
resultados precisos. 
Un método común para representar este componente de vía es el uso de elementos 
muelle-amortiguador de rigidez linealizada (Fig. 16 y Fig. 17) y distribuida en la 
dirección longitudinal de forma que el carril queda apoyado continuamente apoyado 
Introducción J. Galván 
24 
[LOM2006], dado que el modo pined-pined de la vía aparece alrededor de 1 kHz 
[THO2009]. La masa de los sistemas de fijación no se tiene en cuenta. 
Existen diferentes aproximaciones para modelizar las traviesas, desde: elementos 
masa concentrados en los modelos 2D de vía [WU2000], hasta elementos sólidos 
rígidos y continuos (Fig. 16a) o flexibles y espaciados periódicamente en modelos 
más complejos (Fig. 16b). Dahlberg y Nielsen concluyen que la traviesa se puede 
modelizar como un sólido rígido hasta 100 Hz, para frecuencias hasta 300 – 400 Hz 
se puede emplear la teoría de vigas de Euler – Bernoulli, rango donde los dos 
primeros modos muestran un buen ajuste entre la experimentación y la simulación 
numérica. Si se desean analizar frecuencias superiores es necesario emplear la 
teoría de Rayleigh – Timoshenko o modelos de EF sólidos [FCH2008]. 
Las traviesas apoyan sobre el balasto el cual se considera el elemento más no-
lineal de la vía debido a los huecos entre éste y la traviesa (dificultan la 
determinación del área de apoyo) y los huecos entre las propias partículas de 
balasto. 
Su representación mediante elementos muelle-amortiguador viscoso actuando en la 
dirección vertical es común en los modelos 2D [WU2000] (Fig. 17). Algunos autores, 
como Oscarsson, según [FCH2008], proponen considerar la interacción longitudinal 
entre estos resortes disipativos verticales por medio de muelles-amortiguadores que 
relacionan los esfuerzos cortantes de la capa de balasto con el desplazamiento 
vertical de las masas concentradas con que queda representada. 
Los modelos de vía 3D disponen de la ventaja de poder considerar la capa de 
balasto (elemento granular) como una capa de material homogéneo, isótropo y 
lineal cuando el tamaño de las partículas es lo suficientemente pequeño 
[NGU2002],[RIV2012] dado que la predicción de vibraciones inducidas por el 
ferrocarril en campo libre considera que prevalecen las pequeñas deformaciones y 
que por lo tanto se puede asumir un comportamiento lineal de los materiales. No 
obstante el estudio mediante elementos discretos en contacto y el medio continuo 
no lineal también ha sido estudiado [NGU2002]. 
 
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
25 
Gran parte de los trabajos centrados en el análisis de la vía no consideran la masa 
del balasto, quienes lo hacen en los modelos bidimensionales como p.e., DIFF 
(Dynamic Interaction between Train and Track) u otros 
[KNO1998],[FER2013],[KOU2009]; consideran la masa que vibra bajo cada traviesa 
y proponen valores de rigidez y masa en función de la dimensión de la base de la 
traviesa, el espesor de la capa de balasto y el módulo de Young considerado para 
éste. 
a) 
b) 
Fig. 16 – Modelos utilizados en el proyecto RIVAS [RIV2012] y otros estudios 
[LOM2006]: a) modelo EF-BE 2.5D de vía convencional de longitud infinita 
(traviesa rígida y continua) utilizado por KUL y b) modelo de EF 3D de vía 
convencional de 6.6 m completamente elástico utilizado por BAM. 
Los componentes de la infraestructura de la vía como el sub-balasto, la capa de 
forma, etc. se suelen incluir en los modelos de terreno [GAL2007] de forma que se 
modelizan, al igual que las capas de terreno, como materiales: homogéneos, 
isótropos y de comportamiento elástico lineal. Estas capas suelen considerarse 
horizontales con unas propiedades que varían únicamente al cambiar de estrato 
[RIV2011-1] y reposan sobre un semiespacio infinito donde la formulación BEM 
muestra sus ventajas sobre la resolución MEF (Fig. 17). Resulta difícil encontrar, sin 
embargo, modelos de vía en los que el terreno se considere como capas EF 
Introducción J. Galván 
26 
sólidos, al menos en el cálculo de la fase de generación la cual requiere un modelo 
de vía detallado; en su lugar el terreno se considera como una capa elástica de 
rigidez equivalente a la del terreno [KOU2009]. 
 
 
Fig. 17 - Modelo de vía y terreno implementado en el software TGV. 
Extraída de [RIV2011-2]. 
A continuación se describen los dos métodos generales más comunes utilizados por 
los modelos de evaluación de la molestia debida a las vibraciones propagadas por 
el terreno para la resolución del problema plateado. 
1.1.3.1. Modelos híbridos FE/BE: modelos 2.5D y mod elos 
periódicos 
El BEM se caracteriza por emplear el teorema de Green sobre dominios convexos 
para trasladar el problema de volumen a la superficie del contorno, es por ello que 
la resolución de la dinámica de los elementos de la vía queda fuera de sus 
capacidades y constituye la razón de los modelos híbridos EF/BE para el análisis de 
los subsistemas de vía y terreno. El BEM es un método computacionalmente 
eficiente cuyas limitaciones principales son: (1) comportamiento lineal del sistema y 
(2) la dificultad en resolver dominios de geometrías complejas [KOU2011]. 
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
27 
La eficiencia computacional y pequeños tiempos de cálculo es una característica 
deseada en todo tipo de análisis, para potenciar este factor, se puede considerar la 
hipótesis de que la sección transversal de la vía y el terreno ysus propiedades 
dinámicas son invariantes a lo largo del eje de la vía, lo cual deriva en modelos 2.5D 
y modelos periódicos. 
 
Fig. 18 – Modelo 2.5D empleado por TRAFFIC y modelo periódico, 
respectivamente. Extraída de [LOM2011]. 
Los modelos 2.5D consideran una sección de referencia ( jj SA , en Fig. 18) mientras 
que los modelos periódicos consideran un volumen de referencia de longitud L 
( eSj ΩΩ
~,~ en Fig. 18) el cual se repite de forma infinita. Este tipo de modelos aplican 
la transformada de Fourier sobre el dominio temporal y la dimensión longitudinal ( y 
en Fig. 18) de forma que trabajan en el dominio de la frecuencia f y del número de 
onda yk . Son modelos eficientes al aprovechar estas transformaciones en su 
resolución, las cuales conllevan la linealización del contacto (y comportamiento de 
los componentes) y con ello, la imposibilidad de predecir eventuales separaciones 
entre rueda y carril. 
Los modelos 2.5D, además presentan la limitación de ser incapaces de modelizar la 
separación entre traviesas y las variaciones de la rigidez de la vía o el terreno en la 
dirección longitudinal. Ejemplo de estos modelos 2.5D son los códigos: TGV (Train 
Ground Vibration, Fig. 19), desarrollado en lenguaje FORTRAN 77 por el ISVR de 
Southampton [RIV2011-2] o TRAFFIC, desarrollado bajo Matlab por la Universidad 
Católica de Lovaina (KUL) [LOM2006], [RIV2011-2]. 
Introducción J. Galván 
28 
Ambos toman la acción del vehículo y la rugosidad como información de partida 
(mediante la PSD o información en el dominio yk determinada mediante MEF o 
formulación analítica como TRAFFIC) y acoplan el modelo de vehículo con las 
matrices de rigidez dinámica de la vía y el terreno calculadas mediante los modelos 
numéricos 2.5D o periódicos. 
El uso de los modelos periódicos ha sido también una práctica habitual en el estudio 
de la vibración de vías en túnel, como en el proyecto europeo CONVURT (CONtrol 
of vibrations from Underground Railway Traffic), donde el volumen de terreno 
involucrado puede ser mayor que en caso de vía en superficie, por lo que la 
eficiencia computacional del método juega un importante papel. 
En el citado proyecto, Arnst [ARN2003] utilizó el BEM con un modelo periódico 
(Matlab) para la modelización del túnel - terreno acoplado a un modelo 3D de la 
edificación en mediante el MEF (Ansys) por medio de la reducción de éste último 
por códigos externos para la generación de la matriz de comportamiento de la 
edificación, con el objetivo de conocer la respuesta ante un impacto en la solera del 
túnel. Así considerando la influencia del edificio próximo al túnel sobre la 
propagación consigue superar la limitación de TGV o TRAFFIC que son 
presentados en [RIV2011-2] para el estudio de la propagación de las ondas en 
condiciones de campo libre. 
1.1.3.2. Modelos numéricos mediante el MEF 
Se ha visto que los métodos híbridos EF/BE son de amplia aplicación y que la 
formulación de Green puede ser conectada con el MEF por medio del acoplamiento 
de subsistemas independientes [ARN2003], lo que como cabe esperar, supone una 
tarea laboriosa. Esto no ocurre si se utilizan modelos no híbridos, para lo que 
resulta necesario utilizar el MEF o el MDF, ya que los subsistemas quedan 
representados en las matrices globales del problema. 
La ventaja de trabajar con el MEF consiste en disponer de un código capaz de 
modelizar geometrías complejas y considerar las no-linealidades del problema, sin 
embargo esta ventaja queda empañada por dos grandes problemas que tienen un 
mismo origen: el MEF está ideado para la resolución de modelos finitos, lo que 
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
29 
conlleva la utilización de EF especiales o condiciones de contorno (CC) ficticias 
capaces de absorber la energía de las ondas que inciden sobre el contorno del 
modelo y evitar su reflexión al interior del dominio de EF. 
El primer inconveniente consiste en implementar y validar las CC o los elementos 
infinitos (EI, también conocidos como elementos semi-infinitos) que no todos los 
códigos de EF disponen (p.e., Ansys en su versión implícita del MEF). 
Las soluciones anteriores son un paliativo del segundo inconveniente, el cual es 
más grave, ya que depende de los avances en el campo de la computación y de la 
informática. Como se intuye, el tamaño del dominio a modelizar dT puede resultar 
importante (decenas de metros, Fig. 19), además el tamaño de los EF EFT ha de 
cumplir con la relación de 10 a 20 por longitud de onda para captar adecuadamente 
la propagación de las ondas [KOU2009],[ANS2004]. Ambos factores unidos 
provocan que la resolución del problema acoplado mediante los métodos implícitos 
del MEF requiera de grandes tiempos de computación cuando se dispone de 
recursos computacionales medios [KOU2009]. Es por ello que los propios 
fabricantes de software [ANS2004] y algunos autores [KOU2009],[KOU2013] 
aconsejan el uso de los métodos de resolución explícitos al reducirse de esta forma 
los tiempos de cálculo, aunque es necesario vigilar la convergencia del problema. 
 
Fig. 19 – Distinto tamaño de elemento en función de la frecuencia 
estudiada para incrementar la eficiencia computacional. Extraída de 
[CEM2009]. 
Introducción J. Galván 
30 
Un campo que ha lidiado con este problema de forma continua, es el de la 
ingeniería civil [NGU2002],[BAL2005],[LIV2008] principalmente enfocado al análisis 
de los efectos de terremotos sobre estructuras “comprometidas”. Aquí y en otros 
campos como la acústica o el análisis de vibraciones ferroviarias 
[KOU2009],[FAT2012], se encuentran diferentes estrategias para resolver la 
reflexión de las ondas debido al modelo finito y co nvexo empleando CC sobre 
un modelo de EF utilizando para ello: (1) elementos Kelvin, (2) elementos viscosos, 
(3) elementos infinitos o (4) PML (del inglés: Perfectly Matched Layers) [ROS2004]. 
Los elementos Kelvin (muelle-amortiguador en paralelo) aportan rigidez ante la 
carga estática (p.e. cuando interviene la gravedad) y absorben energía en el análisis 
dinámico por medio de amortiguadores en el contorno del modelo, tal y como se 
describe a continuación para el caso de los elementos viscosos. Un ejemplo del uso 
de resortes conjuntamente con elementos viscosos se encuentra en [ZHE], donde 
observan una mejora de la eficiencia de la solución viscosa al añadir la rigidez en el 
contorno. Para determinar la rigidez de los elementos en el contorno BLk emplea la 
expresión: r
GkBL α= , donde: G es el módulo ante esfuerzos cortantes del material 
del estrato, r la distancia entre la fuente y el contorno ficticio y α es un parámetro 
que depende del tipo de modelo numérico y el plano sobre el que actúa el elemento 
muelle-amortiguador y toma los valores de la tabla siguiente. 
Tabla 2 - Valor del parámetro alfa en el contorno muelle-amortiguador 
artificial. Extraída de [ZHE]. 
 
El concepto de contorno viscoso fue propuesto originalmente por Lysmer y 
Kuhlemeyer en 1969 bajo el título: “Finite dynamic model for infinite media” y 
extendida por White et al. en 1977. Actualmente sigue siendo la condición de 
contorno más utilizada en análisis dinámicos dado que su implementación es 
relativamente sencilla en los análisis mediante EF y a pesar de representar una 
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
31 
aproximación y no absorber completamente a energía de la onda incidente 
[EFL1997]. El contorno se encarga de absorber la energía de las ondas incidentes 
donde la tensión normal y tangencial σ y τ de un punto del contorno (también 
corresponde con la densidad de amortiguamiento por unidad de superficie) queda 
expresada por: NPuca &ρσ = , TSucb &ρτ = , donde: ρ es la densidad del material del 
terreno, Pc y Sc corresponde con la velocidad de propagación de las ondas primariay secundaria del terreno, Nu& y Tu& es la velocidad normal y tangencial en el contorno 
del modelo y a y b son constantes1 pensadas para corregir el amortiguamiento en 
función del ángulo de incidencia entre la onda y el contorno (θ en Fig. 20). 
La eficiencia de este tipo de CC varía en función de θ , tal y como muestra G. 
Kouroussis (Fig. 21), quien corrige la formula presentada por Lysmer et al. cruzando 
los términos de la velocidad, y presentan su desarrollo bajo el título: “Finite dynamic 
model for infinite media: Corrected solution of viscous boundary efficiency”, para 
quedar de la siguiente forma: 
TPuca &ρσ = y NSucb &ρτ = 
 
Fig. 20 – Concepto de contorno viscoso amortiguado. Extraída de 
[ROS2004]. 
Kouroussis [KOU2009] determina que el valor unitario de a y b es la mejor relación 
posible para la absorción de las ondas de cuerpo (primarias y secundarias) al igual 
que otros autores quienes además acotan este valor a º30<θ [ROS2004]. 
 
1 Contorno libre: 0== ba , contorno fijo o empotrado: 100== ba [KOU2009]. 
Introducción J. Galván 
32 
 
Fig. 21 - Relación de energía efectiva de una onda P y una onda S 
incidente con ángulo θ ( 25.0=ν ), respectivamente. Extraída de 
[KOU2009]. 
Kouroussis et al. [KOU2011] indican y demuestran que para la absorción de las 
ondas de Rayleigh, el valor de los coeficientes 2== ba mejora la solución 
reduciendo los niveles de la onda reflejada (la cual sigue existiendo). Este valor 
tiende a la unidad a medida que se aleja de la superficie. Sus trabajos se centran en 
el dominio del tiempo al entender que la propagación de ondas ocurre en el tiempo 
y que el funcionamiento de los amortiguadores en la frontera queda relegado a la 
frecuencia natural del sistema en el dominio de la frecuencia [KOU2009]. 
a) b) 
Fig. 22 - Condiciones de contorno absorbentes: a) locales y b) no-locales, 
con respecto al espacio. Extraída de [EFL1997]. 
Existe además una diferenciación entre condiciones aplicadas localmente y de 
forma distribuida o no-local (Fig. 22), donde las últimas pueden conllevar problemas 
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
33 
computacionales [EFL1997],[NIE] y que no son otra cosa que las matrices de 
rigidez, impedancia o transferencia entre las fuerzas y desplazamientos entre el 
contorno ficticio y el campo lejano. 
 
Fig. 23 - Transformación paramétrica del EI. Extraída de [KOU2009]. 
Otra solución, más elegante tal vez, son los elementos infinitos o semi-infinitos , 
muy comunes en los códigos acústicos y electromagnéticos. En un análisis 
estructural, estos elementos son capaces de aportar rigidez y amortiguamiento, por 
lo que resultan útiles tanto en análisis estáticos como dinámicos. Los dos métodos 
de implementación más extendidos [KOU2009] se basan en: (1) la multiplicación de 
las funciones de forma de los elementos del contorno por una función de 
decaimiento o (2) por medio de la modificación de las funciones de forma del EF y el 
posicionamiento de los nodos exteriores del elementos en el infinito por medio de la 
transformación paramétrica al EF de referencia (Fig. 23). 
Kouroussis et al. [KOU2011] demuestran que el uso combinado de EI y CC 
absorbentes ofrece soluciones ligeramente mejores que el uso único de 
amortiguadores en los nodos del contorno. 
Por último, el reciente método PML de Berenger (1994) permite la absorción total 
de cualquier onda incidente para todos los ángulos de incidencia y todo el espectro, 
cuyo uso está creciendo rápidamente en campos como el electromagnetismo, 
estudio de turbulencia mediante CFD o problemas de propagación de ondas en 
medios elásticos como el que nos atañe. La capa de EF exterior del dominio finito 
(modelizada con los mismos EF) tiene la misma formulación, pero las propiedades 
del material son ligeramente diferentes por lo que su implementación resulta sencilla 
[ROS2004]. 
Introducción J. Galván 
34 
En la práctica el uso de estas soluciones se puede completar con estrategias en la 
discretización (cuando se trabaja en el dominio de la frecuencia) para utilizar 
tamaños de elemento acordes a la frecuencia máxima de estudio lo que se traduce 
en la utilización de mallas de diferente tamaño de elemento para un mismo análisis 
(Fig. 19). 
El desarrollo de los modelos numéricos mediante códigos de EF comerciales puede 
entrañar alguna otra dificultad añadida que de implementarse mediante código 
propio no surgiría. Estas dificultades aparecen (en función del código empleado) en 
la fase de excitación del problema [BOW2009]: (1) en el tratamiento de las 
irregularidades de rueda, carril y vía en el contacto donde los elementos de contacto 
no suelen disponer de la capacidad de considerar un perfil de rugosidad, (2) en el 
desplazamiento del vehículo lo que constituye una variación de las matrices del 
problema a lo largo del tiempo. La principal ventaja de disponer de un código 
comercial es la diversidad de EF y métodos de resolución de los que se dispone, 
además de un preprocesador de mallado y la seguridad de utilizar herramientas 
validadas en mayor o menor medida. 
Debido a estas dificultades, en ocasiones los modelos han separado la excitación 
cuasiestática de la dinámica y la segunda se ha determinado de forma desacoplada 
mediante el desplazamiento del perfil de irregularidades de rueda, carril y vía 
manteniendo el vehículo inmóvil [WU2000] (Fig. 24). 
 
Fig. 24 – Método de la irregularidad móvil, donde la irregularidad se 
desplaza y el vehículo se mantiene inmóvil. 
Al alejarnos del campo de la predicción de vibraciones inducidas y los modelos de 
gran tamaño se pueden encontrar metodologías para la implementación de las 
dx = cte. 
dz(t) 
mW 
x 
c 
mc 
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
35 
irregularidades en el contacto en códigos comerciales de EF, como la desarrollada 
por Bowe [BOW2009], la cual se utiliza y describe en profundidad en este PFM. 
Básicamente, el procedimiento consiste en modificar la rigidez de los elementos del 
contacto en función de la posición en la que se encuentra el vehículo, es decir, 
modificar la matriz de rigidez del problema en el tiempo, y aplicar las fuerzas 
debidas a las irregularidades en los nodos del EF del carril sobre el que se 
encuentra el vehículo y la reacción sobre la rueda, aprovechando para ello las 
ventajas de la programación aplicable entre pasos de tiempo del código Ansys 
APDL. Mediante esta metodología la rigidez del contacto queda linealizada, sin 
embargo tiene en cuenta el despegue de la rueda. 
 
 
 
Tras esta visión global (y resumida) del problema, a través de las fases de 
generación y propagación, en donde se han diferenciado los modelos en función de 
su grado de detalle y del método de resolución presentando un atisbo de las 
ventajas e inconvenientes de los métodos más extendidos, se espera haber 
transmitido la información que permita al lector comprender la magnitud del 
problema que aborda este PFM. Esta se considera una información básica para 
comprender los objetivos que se fijan en la sección siguiente. 
 
 
Introducción J. Galván 
36 
1.2. Objetivos del PFM 
El objetivo principal de este PFM es el desarrollo de unos modelos numéricos 2D y 
3D capaces de determinar los niveles de vibración generados por el tráfico 
ferroviario en el terreno próximo a la línea ferroviaria (< 25 m) con el objetivo de 
aplicar estos resultados sobre modelos empíricos para determinar el nivel de 
inmisión del edificio/entorno bajo estudio a través de funciones de transferencia. 
Los modelos paramétricos analizan la dinámica vertical bajo la hipótesis de 
circulación en recta sobre vía en superficie cuya sección y/o propiedades pueden 
variar a lo largo de la vía. Se considera un tratamientodel contacto mediante la 
teoría de Hertz linealizada pero permitiendo la separación entre rueda y carril con el 
objetivo de poder captar las no linealidades debidas a grandes irregularidades en el 
contacto. El objetivo inicial busca alcanzar frecuencias de análisis de hasta 400 Hz, 
de forma que se pueda determinar el ruido reradiado en la vivienda con los 
resultados de vibración extraídos del análisis semiempírico completo. 
Con el propósito de que estos modelos validados puedan ser implementados por 
otros ingenieros de manera sencilla y poder así simplificar la evaluación de la 
vibración inducida por los ferrocarriles, éstos se desarrollan sobre Ansys APDL 
utilizando la versión implícita, al resultar la licencia más barata de este conocido y 
extendido código de elementos finitos. De forma complementaria, se busca conocer 
la viabilidad o limitaciones de la metodología de análisis escogida en este PFM, 
principalmente en términos de tiempo de cálculo. 
El abanico de modelos de evaluación propuestos debe ofrecer la posibilidad de 
detectar, evaluar y diseñar soluciones para evitar la molestia debida a vibración, 
entendiéndose que así se cubren las necesidades de todas la fases de un estudio 
vibratorio en el que tras detectar los posibles focos de vibración, se evalúa su nivel y 
se diseñan y comprueba la eficacia de las soluciones a adoptar. 
 
 
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
37 
1.3. Organización del documento 
Tal y como se ha visto, la introducción de este PFM ha presentado la teoría básica 
para la comprensión de este problema multidisciplinar. En ella se han descrito los 
diferentes tipos de modelos que el estándar ISO 14387-1 diferencia en la resolución 
de todas las fases del problema y se ha descrito las características generales de los 
modelos paramétricos que se utilizan en el análisis de la propagación de 
vibraciones de origen ferroviario para profundizar en los modelos numéricos 
híbridos EF/BE y las peculiaridades de los modelos que utilizan el MEF de forma 
exclusiva. Adquirido este conocimiento, se han planteado los objetivos del PFM. 
La siguiente sección, presenta el desarrollo de los modelos numéricos que 
pretenden cumplir con el objetivo fijado. Se desarrollan y validan de esta forma, los 
modelos numéricos de vehículo, vía y terreno, además de los modelos acoplados 
que surgen de la combinación de los anteriores. 
Se obtiene así una serie de modelos de diferente grado de detalle (y consumo 
computacional) que permiten determinar el nivel de vibración tanto en el vehículo, 
como la vía o el terreno. Con el objetivo de validar los resultados de estos modelos 
desarrollados frente a un caso experimental (presentado por Lombaert et al.) y 
detectar los problemas que se platearían en el estudio de un caso real, la sección 3 
presenta una comparación detallada de los resultados de cada fase del problema. 
Finalmente, se presentan las conclusiones extraídas de este trabajo y se presenta 
un resumen del trabajo futuro que podría contribuir al aumento de la eficiencia de 
estos modelos numéricos de elementos finitos. 
 
 
 
Modelos matemáticos desarrollados J. Galván 
38 
2. Modelos matemáticos desarrollados 
Un modelo eficiente considera los parámetros relevantes en la respuesta del 
sistema bajo estudio [ISO2005]. Dado que cuando se contempla de forma acoplada 
el análisis de las vibraciones de origen ferroviario en las viviendas es un problema 
que consume gran cantidad de recursos computacionales, la reducción del número 
de grados de libertad de los modelos numéricos es una característica deseada. 
Antes de comenzar con la descripción de los modelos, se describen los métodos de 
integración, y demás ajustes de los métodos de resolución algebraicos empleados 
en la resolución de los problemas, tanto en el dominio de la frecuencia como del 
tiempo y algunas generalidades sobre los modelos cuando se utiliza Ansys APDL. 
La descripción de los modelos se inicia con aquellos dedicados al vehículo (2.2), 
donde se analiza el grado de fidelidad ha de considerarse cuando se analiza la 
dinámica de vía junto con el vehículo y se define el modelo de vehículo propuesto 
para este PFM. 
Seguidamente (2.3) se desarrollan y comparan entre ellos 4 modelos numéricos de 
vía los cuales se validan por medio de la receptancia de vía de un caso bibliográfico 
[WU2000]. 
La sección 2.4 conecta los modelos de vía con los modelos de vehículo para 
resolverlos de forma conjunta en el dominio del tiempo. Esta sección recoge el 
desarrollo de los modelos de vehículo y su validación junto con los modelos de vía a 
través de diferentes casos bibliográficos [WU2000], [DEG2001], [GAL2007]. Se 
incluye aquí también el tratamiento de las irregularidades de vía y su 
implementación en el modelo acoplado junto con la teoría que envuelve la 
implementación del contacto elástico. 
La sección siguiente (2.5) se centra en el desarrollo de los dos modelos numéricos 
de terreno, los cuales se dotan del carácter infinito por medio de un contorno 
viscoso. Seguidamente se realiza un estudio sobre estas CC y la dependencia de 
los resultados con la malla y la geometría del modelo. Los resultados de las CC y de 
los modelos se validan por medio de los resultados numéricos obtenidos por 
Kouroussis [KOU2009]. 
Modelos numéricos de EF 2D y 3D para el estudio de la vibración inducida por el ferrocarril 
39 
Una vez que los modelos de vehículo, vía y terreno han sido desarrollados y 
validados, se procede al acoplamiento entre los modelos de vía y terreno (2.6), 
desarrollando modelos acoplados vehículo – vía – terreno enfocados al cálculo de la 
excitación y modelos acoplados vía – terreno para determinar la propagación a 
través del terreno. Los resultados en el dominio de la frecuencia se comparan con 
los obtenidos por KUL y BAM en el proyecto europeo R.I.V.A.S. utilizando sus 
respectivos modelos numéricos [RIV2012]. 
Modelos matemáticos desarrollados J. Galván 
40 
2.1. Resolución de los modelos numéricos mediante A nsys APDL 
Los modelos numéricos que se presentan tras esta sección pueden ser resueltos en 
el dominio de la frecuencia o del tiempo. En ambos dominios se utilizan métodos 
implícitos en la resolución, los cuales presentan mayor convergencia que los 
métodos explícitos, más rápidos estos últimos pero también más inestables. 
No obstante, los métodos implícitos no resultan una opción no resulta muy eficiente 
en el caso de problemas en los que existen grandes no-linealidades o presentan un 
alto número de GDL y se aconseja el uso de métodos explícitos en estos casos 
[ANS2004]. Así los fenómenos rápidos, como aquellos en los que existe contacto y 
pérdida de éste, p.e., entre rueda y carril a causa de un gran nivel de las 
irregularidades de la vía; requieren de incrementos de tiempo en los problemas 
transitorios muy pequeños con lo que se refuerza la necesidad del uso de métodos 
explícitos2, donde incrementos de 1 ns son típicos [ANS2004]. 
Cuando los modelos trabajan en el dominio de la frecuencia simulando un análisis 
de receptancia de la vía, p.e., el sistema se comporta de forma lineal, de modo que 
las eventuales no-linealidades consideradas no se tienen en cuenta. 
Si el problema analiza la propagación de las ondas, como es el caso de la 
propagación de éstas por el terreno, se utiliza la matriz de masa M reducida (en 
inglés lumped), mientras que la matriz de rigidez K y amortiguamiento C se 
emplean sin modificaciones. 
El solver utilizado en el dominio de la frecuencia es un solver frontal. Newmark 
resuelve el problema cuando se trabaja en el dominio del tiempo con modelos 
numéricos de bajo consumo computacional. Cuando el número de GDL es superior 
a 105 EF, se aconseja y se recurre el uso del método de resolución PGC (en inglés: 
Preconditoned Conjugate Gradient) [ANS2004], opciones