Medidor de tensiones sin contacto

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Universidad de La Salle Universidad de La Salle 
Ciencia Unisalle Ciencia Unisalle 
Ingeniería Eléctrica Facultad de Ingeniería 
2020 
Medidor de tensiones sin contacto Medidor de tensiones sin contacto 
Jimmy Alexander Calderón Trujillo 
Universidad de La Salle, Bogotá 
Juan Sebastián Cortés Murcia 
Universidad de La Salle, Bogotá 
Juan Felipe Godoy Sabogal 
Universidad de La Salle, Bogotá 
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MEDIDOR DE TENSIONES SIN CONTACTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Juan Sebastián Cortés Murcia 
Juan Felipe Godoy Sabogal 
Jimmy Alexander Calderón Trujillo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD DE LA SALLE 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
PROGRAMA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA 
BOGOTÁ D.C. 
2020 
 
 
MEDIDOR DE TENSIONES SIN CONTACTO 
 
 
 
 
 
 
 
Juan Sebastián Cortés Murcia 
Juan Felipe Godoy Sabogal 
Jimmy Alexander Calderón Trujillo 
 
 
 
 
 
 
Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al título de 
Ingeniero Electricista 
 
 
 
 
 
Director 
Hugo Fernando Velasco Peña, PhD. 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD DE LA SALLE 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
PROGRAMA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA 
BOGOTÁ D.C. 
2020
3 
 
 
 
 
Nota de Aceptación: 
 
_______________________________ 
_______________________________ 
_______________________________ 
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_______________________________ 
 Firma del presidente del jurado 
 
 
 
 
 
 
_______________________________ 
 Firma del jurado 
 
 
 
 
 
 
_______________________________ 
 Firma del jurado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bogotá D.C., 7 de diciembre de 2020 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Juan Sebastián Cortés Murcia 
A mi familia y amigos 
 
 
Juan Felipe Godoy Sabogal 
A mi familia y amigos 
 
 
 
Jimmy Alexander Calderón Trujillo 
A mi familia y amigos 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
Principalmente agradezco a mi familia, a mis padres y hermanas que gracias a su esfuerzo, 
dedicación y paciencia han logrado darme la oportunidad de tener una formación profesional de 
excelente calidad. 
 
A los docentes que compartieron su conocimiento y experiencia durante de todo mi proceso de 
formación profesional, a mis amigos Efraín Baracaldo y Brayan Carrillo con los que compartí 
grandes experiencias de vida dentro y fuera de clases las que fueron de ayuda para mi crecimiento 
profesional. 
 
A mis compañeros de proyecto grado, que gracias a sus conocimientos, paciencia, apoyo y 
dedicación hicieron posible que culmináramos este proyecto de grado 
 
Al Ingeniero Hugo Fernando por brindarnos su confianza y aportarnos sus conocimientos, 
paciencia y guía durante el desarrollo de este trabajo. 
 
Juan Sebastián Cortés Murcia 
 
Principalmente agradezco a Dios y mi familia, en especial a mis padres y hermana por su esfuerzo 
y apoyo incondicional en todo momento de la carrea por brindarme la posibilidad de acceder a 
una educación profesional. 
 
A los docentes que a lo largo de mi carrera estuvieron comprometidos con mi proceso de 
aprendizaje poniendo su esfuerzo, conocimiento y experiencia, a mis amigos Efraín Baracaldo, 
Brayan Carrillo y muchos más con los que quedan grandes recuerdos, experiencias y enseñanzas 
a lo largo de nuestra formación, a mis amigos de toda la vida por estar ahí en cada momento y 
motivarme a salir adelante. 
 
Por último, agradecer al Ingeniero Hugo F. Velasco y mis compañeros de tesis por todo el apoyo, 
la comprensión y la capacidad de crear un campo prospero para el aprendizaje con el que logramos 
superar cada uno de los escollos presentes a lo largo de nuestro trabajo. 
 
 
Juan Felipe Godoy Sabogal 
 
Agradezco primeramente a Dios fuente fundamental de mi salud y vida espiritual. 
 
A mi familia, en especial a mis padres porque he sido testigo de los sacrificios que han hecho para 
verme cumplir uno de mis mayores logros en la vida. 
 
A toda mi alma mater, en especial al Ingeniero Hugo Fernando Velazco Peña por su 
acompañamiento y guía en el desarrollo del proyecto de grado. 
 
6 
 
 
Por último, agradezco a cada una de las personas que hicieron parte de mi carrera, compañeros 
que se vuelven casi hermanos, profesores que se convierten en amigos, y todos aquellos personajes 
con los cuales se vivieron experiencias que quedaran guardadas para siempre en el recuerdo. 
 
Jimmy Alexander Calderón Trujillo 
 
 
 
7 
 
 
ÍNDICE GENERAL 
 
RESUMEN ................................................................................................................................... 14 
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................ 16 
1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA........................................................................................ 18 
1.1. Descripción del problema .......................................................................................... 18 
1.2. Formulación del problema ........................................................................................ 19 
2. OBJETIVOS .......................................................................................................................... 20 
2.1. Objetivo general ......................................................................................................... 20 
2.2. Objetivos específicos .................................................................................................. 20 
3. MARCO TEÓRICO............................................................................................................... 21 
3.1. Deducción teórica de capacitancia ............................................................................ 21 
3.2. Deducción teórica mediante método de diferencias finitas .................................... 24 
3.3. Divisor capacitivo ....................................................................................................... 28 
4. METODOLOGÍA .................................................................................................................. 31 
 Diseño mecánico ......................................................................................................... 31 
4.1.1. Modelo tipo 1......................................................................................................... 31 
4.1.2. Modelo tipo 2......................................................................................................... 33 
4.1.3. Modelo tipo 3.........................................................................................................34 
 Simulaciones ............................................................................................................... 34 
4.2.1. Simulación por medio de diferencias finitas ......................................................... 35 
4.2.2. Simulación por medio de elementos finitos .......................................................... 36 
4.2.3. Comportamiento de campo eléctrico ..................................................................... 37 
4.2.4. Simulación de capacitancia estimada .................................................................... 39 
 Diseño eléctrico ........................................................................................................... 41 
8 
 
 
4.3.1. Diseño del divisor de tensión capacitivo. .............................................................. 41 
4.3.2. Diseño de valor de referencia para interfaz. .......................................................... 42 
 Programación tarjeta adquisición de datos e interfaz. ........................................... 44 
4.4.1. Adquisición de datos ............................................................................................. 44 
4.4.2. Transformación de datos para medición ................................................................ 45 
 Parámetros de diseño ................................................................................................. 46 
 Descripción del equipo patrón .................................................................................. 51 
 Parámetros de medición ............................................................................................ 52 
5. RESULTADOS ...................................................................................................................... 54 
 Escalamiento ............................................................................................................... 54 
 Calibración .................................................................................................................. 55 
5.2.1. Calibración para conductor 10 AWG .................................................................... 56 
5.2.2. Calibración para conductor 8 AWG ...................................................................... 57 
 Comparación de capacitancias .................................................................................. 59 
 Pruebas finales ............................................................................................................ 62 
5.4.1. Interfaz gráfica ....................................................................................................... 62 
5.4.2. Error en la medición .............................................................................................. 65 
5.4.3. Incertidumbre y exactitud. ..................................................................................... 67 
6. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS..................................................................... 70 
 Conclusiones generales .............................................................................................. 70 
 Recomendaciones ....................................................................................................... 71 
 Trabajos futuros ......................................................................................................... 71 
9 
 
 
7. BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................... 75 
Apéndice ....................................................................................................................................... 76 
Anexo 1. Matrices de capacitancias simuladas .................................................................. 76 
Anexo 2. Código utilizado para el método de diferencias finitas ..................................... 79 
Anexo 3. Pruebas para caracterización de los sensores ................................................... 82 
Anexo 4. Manual de instrucciones ...................................................................................... 86 
10 
 
 
ÍNDICE DE TABLAS 
 
 
Tabla 1. Simulación capacitancias para prototipo propuesto...................................................... 39 
Tabla 2. Características del equipo patrón. ................................................................................. 52 
Tabla 3. Capacitancia promedio placas de los sensores para el calibre 8 AWG. ....................... 55 
Tabla 4. Capacitancia promedio placas de los sensores para el calibre 10 AWG. ..................... 55 
Tabla 5. Capacitancias calibre 10 AWG respecto a la placa 3.................................................... 60 
Tabla 6. Resultados y error de las pruebas finales del equipo de medida desarrollado para el 
calibre 10AWG.............................................................................................................................. 65 
Tabla 7. Resultados y error de las pruebas finales del equipo de medida desarrollado para el 
calibre 8AWG................................................................................................................................ 66 
Tabla 8. Tensión normalizada, tensión desnormalizada e incertidumbre de cada fase en las 
pruebas con conductor calibre 8AWG. ......................................................................................... 68 
Tabla 9. Tensión normalizada, tensión desnormalizada e incertidumbre de cada fase en las 
pruebas con conductor calibre 10AWG. ....................................................................................... 68 
Tabla 10. Incertidumbre en el peor de los casos en las pruebas con conductor calibre 8AWG y 
10AWG. ......................................................................................................................................... 69 
Tabla 11. Matriz de capacitancia para cable numero 8 AWG en posición 0. .............................. 76 
Tabla 12. Matriz de capacitancia para cable numero 8 AWG en posición 8mm. ........................ 76 
Tabla 13.Matriz de capacitancia para cable numero 8 AWG en posición 6,4 mm. ..................... 76 
Tabla 14. Matriz de capacitancia para cable numero 8 AWG en posición -6,4 mm.................... 77 
Tabla 15. Matriz de capacitancia para cable numero 8 AWG en posición -8 mm....................... 77 
Tabla 16. Matriz de capacitancia para cable numero 10 AWG en posición 0. ............................ 77 
Tabla 17. Matriz de capacitancia para cable numero 10 AWG en posición 8 mm. ..................... 77 
Tabla 18. Matriz de capacitancia para cable numero 10 AWG en posición 6,4 mm. .................. 77 
Tabla 19. Matriz de capacitancia para cable numero 10 AWG en posición -6,4 mm.................. 78 
Tabla 20. Matriz de capacitancia para cable numero 10 AWG en posición -8 mm..................... 78 
Tabla 21. Matriz de capacitancia para cable numero 12 AWG en posición 0 mm. ..................... 78 
Tabla 22. Matriz de capacitancia para cable numero 12 AWG en posición 8 mm. ..................... 78 
Tabla 23. Matriz de capacitancia para cable numero 12 AWG en posición 6,4 mm. .................. 78 
Tabla 24. Matriz de capacitancia para cable numero 12 AWG en posición -6,4 mm.................. 79 
Tabla 25. Matriz de capacitancia para cable numero 12 AWG en posición -8 mm..................... 79 
Tabla 26. Pruebas para escalar la medida de los sensores para cable numero 10 AWG. .......... 82 
Tabla 27. Pruebas para escalar la medida de los sensores para cable numero 8 AWG. ............ 83 
Tabla 28. Resultados de las pruebas para calibración conductor 10 AWG. ............................... 84 
Tabla 29. Resultados de la prueba de Calibración Conductor 8 AWG........................................ 85 
 
 
 
 
11 
 
 
ÍNDICE DE FIGURAS 
 
Figura 1. Geometría sensor primario. ..........................................................................................21 
Figura 2. Vista isometrica prototipo en 3D .................................................................................. 25 
Figura 3. Vista lateral del prototipo 3D ....................................................................................... 26 
Figura 4. Vista frontal del prototipo............................................................................................. 26 
Figura 5. Malla implementada para solucion de diferencias finitas............................................ 27 
Figura 6. Diagrama divisor capacitivo. ....................................................................................... 29 
Figura 7. Diseño mecánico del modelo tipo 1. ............................................................................. 32 
Figura 8. Diseño mecánico del modelo tipo 2 visualizado en AutoCAD 3D 2013. ..................... 33 
Figura 9. Impresión 3D del modelo tipo 2. .................................................................................. 33 
Figura 10. Diseño modelo mecánico tipo 3. ................................................................................. 34 
Figura 11. Diseño parte superior modelo tipo 3. ......................................................................... 34 
Figura 12. Capacitancia con respecto a numero de puntos en malla .......................................... 36 
Figura 13. Distribución de placas en sensor primario................................................................. 37 
Figura 14. Comportamiento campo eléctrico, vista frontal. ........................................................ 38 
Figura 15. Comportamiento campo eléctrico, vista lateral. ........................................................ 38 
Figura 16. Comportamiento capacitivo con respecto a la posición del conductor...................... 40 
Figura 17. Simulación efectuada para evidenciar la sensibilidad al valor de la capacitancia C2.
....................................................................................................................................................... 42 
Figura 18. Topología de un amplificador operacional sumador. ................................................ 43 
Figura 19. Esquema circuito para establecer nivel de referencia. .............................................. 44 
Figura 20. Implementación de circuito para establecer nivel de referencia. .............................. 44 
Figura 21. Diagrama de flujo lógica del programa para la adquisición y envió de datos con la 
tarjeta Núcleo F767ZI................................................................................................................... 45 
Figura 22. Diagrama de flujo del programa para transformación y graficación de datos 
adquiridos mediante el uso de Matlab .......................................................................................... 46 
Figura 23. Modelo placa plana paralela. ..................................................................................... 47 
Figura 24. Modelo placa cilíndrica. ............................................................................................. 47 
Figura 25. Gráfico comparativo entre las tensiones medidas y tensiones calculadas por divisor 
capacitivo. ..................................................................................................................................... 49 
Figura 26. Modelo de sensor cilíndrico ....................................................................................... 49 
Figura 27. Comparación entre voltajes medidos y calculados mediante divisor capacitivo. ...... 50 
Figura 28. Variación de capacitancia con respecto al radio del sensor. ..................................... 51 
Figura 29. Tensión medida en la fase 1 por el equipo patrón contra tensión medida en la fase 1 
por el equipo desarrollado para conductor 10AWG. .................................................................. 56 
Figura 30. Tensión medida en la fase 2 por el equipo patrón contra tensión medida en la fase 2 
por el equipo desarrollado para conductor 10AWG. ................................................................... 56 
Figura 31. Tensión medida en la fase 3 por el equipo patrón contra tensión medida en la fase 3 
por el equipo desarrollado para conductor 10AWG. ................................................................... 57 
Figura 32. Tensión medida en la fase 1 por el equipo patrón contra tensión medida en la fase 1 
por el equipo desarrollad para conductor 8 AWG. ...................................................................... 57 
Figura 33. Tensión medida en la fase 2 por el equipo patrón contra tensión medida en la fase 2 
por el equipo desarrollado para conductor 8AWG. ..................................................................... 58 
Figura 34. Tensión medida en la fase 3 por el equipo patrón contra tensión medida en la fase 3 
por el equipo desarrollado para ................................................................................................... 58 
12 
 
 
Figura 35. Medida de tensión en el tiempo (120 V). .................................................................... 63 
Figura 36. Medida de tensión en el tiempo (210 V). .................................................................... 63 
Figura 37. Conductor con topología trifásica antifraude. ........................................................... 72 
Figura 38. Nueva distribución de placas conductoras. ................................................................ 72 
Figura 39. Vista frontal de la nueva distribución de placas ........................................................ 73 
 
 
13 
 
 
 
NOMENCLATURA 
 
 
 
 
 
 
 
𝐷: Densidad de flujo eléctrico. 
𝜀: Permitividad del vacío. 
𝑉: Diferencia de potencial a la que se somete el censor primario. 
𝐸: Campo eléctrico. 
𝑄: Carga encerrada dentro de la superficie. 
𝜌: Coordenada radial en coordenadas cilíndricas. 
𝑑𝑠: Diferencial de superficie. 
𝑑𝜃: Diferencial de coordenada azimutal en coordenadas cilíndricas. 
𝑑𝑧: Diferencial de coordenada vertical en coordenadas cilíndricas. 
𝑑𝜌: Diferencial de coordenadas radial en coordenadas cilíndricas 
𝑙: Longitud del sensor primario. 
𝑏: Radio formado desde el centro del modelo a placa del sensor primario 
𝑎: Radio formado desde el centro a la culminación del conductor a medir. 
𝑉𝑒: Tensión de entrada al divisor capacitivo. 
𝑉𝑠: Tensión de salida del divisor capacitivo. 
𝐶1: Capacitor formado por el sensor primario. 
𝐶2: Capacitor seleccionado para la obtención de la señal deseada. 
𝐶𝑒𝑞𝑢𝑖 : Capacitor formado de la suma en serie de 𝐶1 y 𝐶2. 
𝑉𝑠𝑎𝑙: Tensión de salida del Ampliador operacional. 
𝑅1: Resistencia de entrada al ampliador operacional con referencia D.C. 
𝑅2: Resistencia de entrada al amplificador operaciones con señal de salida del 
divisor de tensión capacitivo. 
𝑅3: Resistencia de retroalimentación. 
𝑉𝑀𝐸𝑃: Tensión medida equipo patrón 
𝑉𝑀𝐸𝐷: Tensión medida equipo desarrollado. 
�̅� Promedio. 
14 
 
 
RESUMEN 
Los sistemas de potencia a nivel mundial vienen experimentando cambios sustanciales en 
la medida que el consumo de energía eléctrica crece debido a que tanto la población y como la 
economía a nivel mundial crece. 
Si a la alta demanda de energía eléctrica se le suma el agotamiento de recursos naturales y 
la alta contaminación por fuentes tradiciones de generación, crean un desafío para la comunidad 
científica, que se puede dividir en dos frentes. El primero de ellos, ingenieros que buscan la 
generación de energía eléctrica por fuentes no convencionales amigables con el medio ambiente. 
Mientras que el segundo de ellos se enfoca en el desarrollo y manutención de sistemas de potencia 
inteligente que son de suma importancia en la medida de que todos buscan una mejor 
administración de energía eléctrica por ser este un recurso crítico y sujeto a limitaciones 
(Villablanca Martínez,2008). 
Con el ánimo de tener sistemas de potencia más eficientes, el poder conocer las 
características de la red toman una gran importancia. Las dos principales variables para conocer 
la red son la tensión y la corriente. Esta una de las razones por las que este proyecto se enfocará 
en la medición de la primera, de forma que se superen limitaciones que existen hoy en día. 
Actualmente, la mayoría de los dispositivos de medida eléctrica obtienen registros de 
tensión. La adquisición de este dato típicamente se hace por contacto directo con el conductor, 
pero esto conlleva un riesgo eléctrico potencial, tal como generación de arco eléctrico debido a 
que es necesario retirar el aislamiento del conductor. 
En este proyecto, se propone un instrumento que facilita la medición de tensión efectuando 
este proceso de manera no intrusiva, con el fin de salvaguardar la integridad física tanto del 
operador, como de los equipos. El dispositivo de medición está diseñado para operar entre los 
15 
 
 
niveles de tensión de 100V y 440V, los que se encuentran en el rango de operación de baja tensión 
acatando a la norma del articulo 12° del RETIE (Ministerio de Minas y Energía, 2013).
16 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
En los sistemas eléctricos, la corriente y tensión son dos datos esenciales para el monitoreo, 
detección de fallas e incluso para realizar la medición inteligente de energía (Shenil, Arjun, & 
George, 2015). La medición sin contacto de las magnitudes eléctricas es requerida en la industria 
y en lo posible, la medida debe ser no intrusiva, con una mínima interrupción en el sistema y sin 
afectar o fisurar el aislamiento del conductor de alimentación (Shenil et al., 2015). 
En el caso de medición de corriente de manera no intrusiva, se conoce el método de 
medición de campo magnético por bobina de Rogowski; el que por medio de unas placas de hierro 
de ferrita detecta, concentra y mide el campo magnético que genera la corriente cuando fluye a 
través de un conductor, este instrumento es comúnmente conocido como pinza amperimétrica. 
El instrumento característico cuando es necesario conocer la magnitud de la diferencia de 
potencial (tensión) entre dos puntos es el voltímetro, cuyo concepto de funcionamiento gira 
entorno a la disposición de un divisor netamente resistivo que, al percibir el flujo de corriente, 
ejecuta la deflexión de la escala de este. Para efectuar este proceso se hace necesario que las sondas 
de entrada del dispositivo hagan contacto directo con el conductor. 
En la actualidad se ha trazado un esfuerzo investigativo de gran utilidad orientado a la 
medición de tensión por medio de sensores capacitivos con la finalidad de efectuar el proceso de 
medición sin necesidad de hacer una intrusión en la línea. Este tipo de medición nos permite 
salvaguardar la integridad tanto de equipos como de personas; además, permite la agilización del 
proceso de medición (Cortés Murcia, Godoy Sabogal, & Calderon Trujillo, 2018b). 
Existen diversos métodos que permite la medición de tensión de manera no intrusiva, uno 
comúnmente empleado es el de la sonda de voltaje capacitiva (CVP). Este método puede medir 
17 
 
 
las tensiones de perturbación de modo común sin contacto con los conductores. Sin embargo, se 
hace necesario obtener un factor de corrección para cada cable. No obstante, el enfoque de la sonda 
capacitiva simple convencional no es preciso y podría verse afectado fácilmente por factores 
ambientales. Las sondas capacitivas pueden variar dada la geometría de su sensor primario, pero 
su principio de funcionamiento se mantendrá inherente a esto (Tsang & Chan, 2011). 
Por consiguiente, este proyecto presenta un prototipo basado en el funcionamiento de la 
sonda capacitiva para la medición de tensiones sin contacto. Para ello, es necesario conocer los 
aspectos teóricos de los campos eléctricos tales como distribución del campo y el concepto de 
capacitancia, para así diseñar y construir un modelo funcional con la capacidad de medir tensiones 
de un sistema trifásico cuadrifilar a un rango de tensión desde los 100 V hasta los 400 V. Por 
último, se valoran los parámetros de funcionamiento del equipo comparándolo con otros equipos 
de medición existentes en el mercado. 
Las secciones presentadas en este trabajo se dividen de la siguiente forma: en la sección 1 
se realiza la definición del problema a desarrollar. La sección 2 muestra los objetivos propuestos 
para abarcar el problema. La sección 3 contiene el marco teórico con todos los conceptos 
necesarios para entender la temática a desarrollar. La sección 4 describe una metodología para la 
creación, fase de pruebas y análisis de datos obtenidos por el equipo. En la sección 5, se muestran 
los resultados con las pruebas realizadas para entender el comportamiento del equipo. 
18 
 
 
1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA 
En este capítulo se define la descripción del problema, que muestra las consecuencias y 
riesgos a los que se encuentran todos expuestos, principalmente el trabajador a la hora de realizar 
una medición de tensión con la red energizada. Se cuestiona como construir un instrumento de 
medición que mitigue el riesgo eléctrico a la hora de realizar dicha medida en la red de baja 
tensión. 
1.1. Descripción del problema 
Un total de 899 muertes por electrocución fueron registradas entre enero de 2010 y 
diciembre de 2014 en Colombia. De estas, el 21.4 % ocurrieron en los departamentos de Atlántico 
y Valle del Cauca. Los accidentes laborales para el año del 2016 tuvieron un total 655.570 caso 
superando en cantidad a los accidentes ocurridos en las actividades que realizan las personas 
regularmente (“Preocupante cifra de muertes por electrocuciones en Colombia,” n.d.). 
Teniendo cuenta las consideraciones anteriores, en el ámbito laboral siempre están 
presentes los riesgos eléctricos, específicamente en el caso de la medición de tensión debido a que 
esta acción requiere, necesariamente, retirar los aislamientos presentes y hacer contacto directo 
con la parte energizada. En tal sentido, toma vital importancia incursionar en métodos de medición 
que permitan salvaguardar la integridad fisca de las personas que efectúan tal medida. 
Añadido a lo anteriormente descrito, este equipo buscar ser una solución de ingeniería para 
transformadores viejos que no cuentan con herramientas de comunicación, dificultando así el 
proceso de medición de manera remota. Además, presentan características como las de un sistema 
cuadrifilar trifásico que como se muestra a continuación son cruciales para efectuar la medida. 
19 
 
 
1.2. Formulación del problema 
A partir del problema descrito anteriormente, teniendo como eje central de la problemática 
el riesgo potencial que conlleva el proceso de realizar la medición de tensión ya que se hace 
necesario hacer contacto con el conductor estando este energizado. ¿Cómo construir un medidor 
de tensión no intrusivo para un sistema cuadrifilar trifásico de baja tensión a partir de la detección 
de campo eléctrico?
20 
 
 
 
2. OBJETIVOS 
 
2.1. Objetivo general 
Diseñar e implementar un medidor de tensión no intrusivo para baja tensión trifásico (según 
articulo Nº 12 del RETIE) 
2.2. Objetivos específicos 
• Establecer parámetros de diseño para la construcción de la sonda capacitiva que 
permita la medición de tensiones sin contacto en redes trifásicas. 
• Diseñar la sonda capacitiva para la medición de tensión en redes trifásicas de baja 
tensión. 
• Crear una interfaz que permita la visualización de los datos adquiridos mediante la 
sonda capacitiva. 
• Valorar los parámetros de funcionamiento del dispositivo diseñado. 
 
 
21 
 
 
3. MARCO TEÓRICO 
En esta sección se presentan los conceptos asociados a la medición de tensión sin contacto, 
iniciando por la deducción teórica del valor de capacitancia y finalizando con los conceptos 
utilizados para el divisor de tensiónutilizado en el proyecto. 
3.1. Deducción teórica de capacitancia 
Dos conductores separados por un medio aislante (o vacío) constituye un capacitor. Se 
establece que en un capacitor el campo eléctrico en cualquier punto de la región entre los 
conductores es proporcional a la magnitud 𝑄 de carga en cada conductor. Por lo tanto, la diferencia 
de potencial 𝑉𝑎𝑏 entre los conductores también es proporcional a 𝑄. Si se duplica la magnitud de 
la carga en cada conductor, también se duplica la densidad de carga superficial en cada conductor 
y el campo eléctrico en cada punto, al igual que la diferencia de potencial entre los conductores; 
sin embargo, la razón entre la carga y la diferencia de potencial no cambia. Esta razón se llama 
capacitancia 𝐶 del capacitor (Sears, F. W., Zemansky, M. W., Young, H. D., & Freedman, 2009): 
 
Figura 1. Geometría sensor primario. 
 
22 
 
 
𝐶 =
𝑄
𝑉𝑎𝑏
 (1) 
Dada la constitución del sensor primario es posible calcular la capacitancia si se encuentra 
la diferencia de potencial 𝑉𝑎𝑏 entre los conductores que a este conforman, pero la diferencia de 
potencial se puede expresar en términos del campo eléctrico, definiendo la capacitancia 𝐶 como: 
𝐶 =
𝑄
− ∫ 𝐸 ∙ 𝑑𝑙
 (2) 
 
 
Así mismo el campo eléctrico puede expresare en términos de la densidad de flujo 
eléctrico, por consiguiente, queda: 
𝐷 = 𝜀 × 𝐸 (3) 
 
De los anterior 𝐸: 
𝐸 =
𝐷
𝜀
 
(4) 
 
𝐷 la densidad de flujo eléctrico se obtiene por de la ley de Gauss, mientras que 𝜀, la 
permitividad, es un dato que se supone conocido. En ese sentido se procede a calcular la densidad 
de flujo eléctrico encerrando el conductor dentro de geometría simétrica como un cilindro. En este 
caso se tiene: 
𝑄 = ∮ 𝐷 ∙ 𝑑𝑠 
(5) 
 
Suponiendo que 𝑑𝑠 está en dirección de ρ 
𝑄 = ∬(𝐷. 𝑎𝜌) ∙ ( 𝑑𝑆𝜌) 
(6) 
 
𝑑𝑆𝜌 = 𝜌𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑎𝜌 (7) 
 
23 
 
 
Reemplazando la Ec. (7) en la Ec. (6) se tiene: 
𝑄 = ∬(𝐷. 𝑎𝜌) ∙ ( 𝜌𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑎𝜌) 
(8) 
 
Teniendo en cuenta que 𝑎𝜌 ∙ 𝑎𝜌 = 1. La carga para todo un cable coaxial la integral está 
definida por: 
𝑄 = ∫ ∫ 𝐷𝜌
𝑙
𝑜
2𝜋
0
𝑑𝜃𝑑𝑧 
(9) 
 
Pero dada la configuración del sensor primario tan solo abarcaría un segmento de 1.5 
centímetros de un cable coaxial. Por lo tanto, la integral queda definida de la siguiente manera: 
𝑄 = ∫ ∫ 𝐷𝜌
𝑙
𝑜
1.1811
0
𝑑𝜃𝑑𝑧 
(10) 
 
Como la distribución de campo es una constante, este sale de la integral obteniendo: 
𝑄 = 𝐷 𝜌 𝜃 |
1.1811
0
 𝑧 |
𝑙
0
 
(11) 
 
Por lo tanto, la carga estará definida como: 
𝑄 = 𝐷 𝜌 ∙ 1.1811 ∙ 𝑙 (12) 
 
Teniendo en cuenta que la capacitancia está dada en termino de diferencia de potencial, 
este se puede obtener al despejar la densidad de flujo eléctrico de la Ec. (12) y al reemplazar en la 
Ec. (3) se obtiene: 
𝐷 =
𝑄
𝜌 ∙ 1.1811 ∙ 𝑙
 . 𝑎𝜌 
 
Al reemplazar se obtiene que el campo eléctrico es igual a: 
 
 
(13) 
 
 
 
 
24 
 
 
𝐸 =
𝑄
𝜌 ∙ 1.1811 ∙ 𝜀 ∙ 𝑙
 . 𝑎𝜌 
 
(14) 
 
Pero: 
𝑉 = − ∫ 𝐸. 𝑑𝑙 
(15) 
𝑑𝑙 es la dirección en la que se mueve el campo, por lo tanto, 𝑑𝑙𝜌 = 𝑑𝜌𝑎𝜌 y como se 
expresó con anterioridad 𝑎𝜌 ∙ 𝑎𝜌 = 1 razón por la que la diferencia de potencial quedará expresada 
como: 
𝑉 = − ∫
𝑄
𝜌 ∙ 1.1811 ∙ 𝜀 ∙ 𝑙
 𝑑𝑝
𝑏
𝑎
 
(16) 
Al resolver la integral se obtiene: 
𝑉 =
𝑄
1.1811 ∙ 𝜀 ∙ 𝑙
 ln
𝑏
𝑎
 
(17) 
 
Ahora, como el objetivo era conocer el valor de la capacitancia se reemplaza la Ec. (17) en 
la Ec. (1) esto da como resultado: 
𝐶 =
𝑄
𝑄
1.1811 ∙ 𝜀 ∙ 𝑙
 ln
𝑏
𝑎
 
(18) 
 
 
 
𝐶 =
1.1811 ∙ 𝜀 ∙ 𝑙
 ln
𝑏
𝑎
 
(19) 
 
 
3.2. Deducción teórica mediante método de diferencias finitas 
 
En este apartado se deducen las ecuaciones numéricas necesarias para la aplicación del 
método de diferencia finitas. El método de diferencia finitas es comúnmente utilizado en campos 
como la biomedicina, la mecánica de fluidos, radar/sonar y el electromagnetismo, en este caso en 
particular el método brinda una solución en términos de electromagnetismo con el que se calcula 
25 
 
 
la capacitancia formada entre el conductor y las placas del sensor primario (B. Holman & 
Kunyansky, n.d.). 
Las técnicas de diferencia finita se basan en aproximaciones que permiten reemplazar 
ecuaciones diferenciales por ecuaciones de diferencia finita. Estas diferencias finitas de 
aproximación son de forma algebraica; relacionan el valor de la variable dependiente en un punto 
de la región de solución con los valores en algunos puntos vecinos (Sadiku, 2000). Por lo tanto, 
una solución de diferencia finita implica básicamente tres pasos: 
 
• Dividir la región de la solución en una cuadrícula de nodos 
• Aproximar la ecuación diferencial dada por diferencia equivalente finita que relaciona la 
variable dependiente en un punto de la región de solución con sus valores en los puntos 
vecinos 
• Resolver las ecuaciones de diferencia sujetas a las condiciones límite prescritas y/o a las 
condiciones iniciales 
 
Las Figuras 2, 3 y 4 representan el modelo en 3D de la geometría utilizada para resolver el 
método de diferencias finitas. 
 
 
Figura 2. Vista isométrica prototipo en 3D 
26 
 
 
 
 
Figura 3. Vista lateral del prototipo 3D 
 
 
 
 
Figura 4. Vista frontal del prototipo 
 
Teniendo en cuenta la geometría del sensor primario, la aplicación de una malla circular, 
y expresar las ecuaciones en términos de coordenadas polares facilitara el cálculo de los 
potenciales. La malla circular será uniforme, la distancia entre los nodos es igual y conocida para 
los nodos de estudio, cabe resaltar, que entre mayor sea el número de nodos que conformen la 
malla, el valor de capacitancia obtenido será más ajustado a la realidad. 
27 
 
 
 
Figura 5. Malla implementada para solución de diferencias finitas 
En ese sentido, para obtener la diferencia de potencial que hay entre las placas y el 
conductor, la ecuación de LaPlace para campos eléctricos en coordenadas polares es: 
 
 
𝛻2𝑉 =0 
 
𝜕2𝑉
𝜕𝑟2
+
1
𝑟
𝜕𝑉
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝜕2𝑉
𝜕𝜃2
= 0 
 
(20) 
 
 
 
Las derivadas parciales se pueden aproximar de la siguiente manera 
𝜕𝑉
𝜕𝑟
≅
𝑉𝑖+1,𝑗 − 𝑉𝑖−1,𝑗
𝛥𝑟
 
(21) 
 
𝜕2𝑉
𝜕𝑟2
≅
𝑉𝑖+1,𝑗 − 2𝑉𝑖,𝑗 + 𝑉𝑖−1,𝑗
Δ𝑟2
 
(22) 
 
CONDUCTOR AISLAMIENTO
PLACA CONDUCTORA5V
0V
desplazamiento en i
desplazamiento en j
(n divisiones)
(m divisiones)
28 
 
 
 
𝜕2𝑉
𝜕𝜃2
≅
𝑉𝑖,𝑗+1 − 2𝑉𝑖,𝑗 + 𝑉𝑖,𝑗−1
Δ𝜃2
 
 
(23) 
 
 
Como el objetivo es desarrollar un código que permita obtener una solución al problema 
por medio de diferencias finitas. Se procede a despejar de las ecuaciones 21, 22 y 23 el termino 
Vi,j, dando como resultado: 
 
𝑉𝑖,𝑗 =
2 (𝑉𝑖+1,𝑗 + 𝑉𝑖−1,𝑗)𝑟
2Δ𝜃2 + (𝑉𝑖+1,𝑗 + 𝑉𝑖−1,𝑗)𝑟Δ𝜃
2𝛥𝑟 + 2(𝑉𝑖,𝑗+1 + 𝑉𝑖,𝑗−1)Δ𝑟
2
4(𝑟2Δ𝜃2 + Δ𝑟2)
 
(24) 
 
Del método de diferencia finitas se obtiene la diferencia de potencial, pero para obtener la 
capacitancia es necesario calcular la densidad de flujo D que es igual a: 
 
𝐷 = −𝜀
𝑑𝑉
𝑑𝑟
 
(25) 
 
 
Posteriormente, Integrando la densidad de flujo sobre la superficie, se obtiene: 
 
𝑄 = ∮ 𝐷 𝑑𝑆 
 
(26) 
 
Y así, finalmente calcular la capacitancia 
𝐶 =
𝑄
𝑉
 
 
(27) 
 
 
3.3. Divisor capacitivo 
Una vez definida la capacitancia que se formará en el sensor primario, se procede a hacer 
la transducción de los datos de tensión. Esto se efectúa a través de un divisor de tensión que se 
define como un circuito que reparte la tensión en una o más impedancias conectadas en disposición 
29 
 
 
serie. Como se demostró anteriormente, la combinación del conductor con el sensor forma una 
capacitancia. Partiendo de esto se procedió a seleccionar el tipo de configuración para el divisor 
de tensión, teniendo en cuenta que se pueden implementar dos tipos, capacitivo resistivo o 
netamente capacitivo. La Figura6 muestra el diagrama del divisor de tensión seleccionado, 
optando por un divisor netamente capacitivo (ver sección 4.3.1.). 
 
Figura 6. Diagrama divisor capacitivo. 
 
1
𝐶𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒
=
1
𝐶1
+
1
𝐶2
 
(28) 
 
𝐶𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 =
𝐶1 × 𝐶2
𝐶1 + 𝐶2
 
(29) 
De la Ec. (1) se puede despejar la tensión que hay en un capacitor así que: 
𝑉𝑒 = 
𝑄
𝐶𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒
 
(30) 
Reemplazando 22 en 23 se tiene que: 
𝑉𝑒 = 
𝑄
𝐶1 × 𝐶2
𝐶1 + 𝐶2
 
(31) 
+
30 
 
 
 
Por otra parte, se puede definir a la tensión de salida 𝑉𝑠 en términos de Q y capacitancia: 
 
𝑉𝑠 = 
𝑄
𝐶2
 
(32) 
En esa perspectiva, cuando se aplica una diferencia de potencial los capacitores en 
disposición serie se cargarán tomando la misma magnitud de carga en todas las placas. Lo que 
permite deducir que Q en la Ec. (23) como la Ec. (24) es la misma permite igualar dando como 
resultado: 
 
𝑉𝑠 × 𝐶2 = 𝑉𝑒 ×
𝐶1 × 𝐶2
𝐶1 + 𝐶2
 
(33) 
 
 
De la Ec. (25) si 𝐶2 se puede determinar la tensión que se tiene a la salida de la disposición 
de divisor de tensión netamente capacitivo, dando como resultado: 
 
𝑉𝑠 = 𝑉𝑒 ∗
𝐶1
𝐶1 + 𝐶2
 (34) 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
4. METODOLOGÍA 
 
A continuación, se describen los modelos y las consideraciones empleadas para obtener 
los resultados necesarios. Siendo consecuentes con el cumplimiento de los objetivos del proyecto, 
se realizaron tres tipos de modelos diferentes, los que convergían con el mismo propósito de 
comprobar el funcionamiento del instrumento de medición. Los modelos implementados son: 
modelo mecánico, modelo simulado y modelo eléctrico, siendo cada uno de ellos parte 
fundamental del desarrollo del proyecto. 
 Diseño mecánico 
En esta sección se presenta la descripción de los diferentes modelos mecánicos, diseñados 
e implementados en el transcurso del desarrollo del proyecto, dando a conocer las funcionalidades 
principales de cada prototipo y las variaciones que se efectuaron con el fin de obtener una medición 
acertada y una funcionalidad viable al momento de su implementación. Cabe resaltar que la forma 
geométrica del prototipo transductor es cilíndrica hueca con una longitud de 7.5 cm y un diámetro 
interno de 1”. Los modelos mostrados en esta sección se basan en contener de alguna manera la 
forma geométrica del sensor primario. Sin embargo, el modelo tipo 1 y tipo 2 fueron descartados 
porque sus características mecánicas o eléctricas presentaban ineficiencias a la hora de realizar las 
mediciones de tensión. 
4.1.1. Modelo tipo 1 
32 
 
 
 
Figura 7. Diseño mecánico del modelo tipo 1. 
 
Este modelo se basa en el funcionamiento mecánico de una pinza de madera con un eje 
central en su articulación y un resorte en la parte interna del mango que condicionaba el cierre 
automático de la pinza. En la punta de la pinza, se posicionaba un cilindro hueco de Empack 
UHMW (Polietileno de Ultra Alto Peso Molecular). Ese cilindro fue torneado y cortado a la mitad 
con una cierra, con el fin de ubicar en cada extremo de la pinza un semicilindro. En el interior de 
cada semicilindro se incorporaron las placas conductoras de cobre para constituir el sensor 
primario y se soldó un conductor a cada placa de cobre para obtener la señal de tensión de cada 
placa capacitiva. Sin embargo, este modelo presentó algunos inconvenientes asociados con la 
variación de la capacitancia y la estabilidad de la medida de la señal de tensión, debido a que el 
conductor de la señal de entrada no tenía una posición definida al interior del sensor primario, 
como consecuencia de esto la señal de tensión variaba con respecto a la posición del conductor 
agregando otra variable que no se pude determinar al momento de su implementación. Debido a 
lo anterior, este modelo fue descartado sin realizar estudios detallados sobre su comportamiento 
eléctrico. 
 
 
 
 
33 
 
 
4.1.2. Modelo tipo 2 
 
Figura 8. Diseño mecánico del modelo tipo 2 visualizado en AutoCAD 3D 2013. 
 
Figura 9. Impresión 3D del modelo tipo 2. 
Al tener en cuenta las limitaciones del modelo anterior, se diseñó un prototipo al que se le 
modificó su funcionamiento mecánico y su geometría exterior para otorgar una mejor 
aplicabilidad; inicialmente se realizó un diseño en el software AutoCAD 3D que permitió una 
mejor visualización, además de variar cualquier aspecto en su diseño a partir del boceto inicial. Se 
planteó un modelo en forma de cubo rectangular donde interiormente se posicionó el cilindro 
hueco que alberga las placas conductoras de cobre, posteriormente se llevó a cabo la impresión 
del modelo mecánico mediante una impresora 3D. En este nuevo modelo se estableció una 
posición fija para 3 calibres de conductores diferentes comúnmente utilizados en baja tensión, 12 
34 
 
 
AWG, 10 AWG y 8 AWG. Sin embargo, este prototipo no contaba con un sistema de cierre y 
ajuste del cubo rectangular, el que dificultaba el funcionamiento al momento de su aplicación. 
4.1.3. Modelo tipo 3 
Finalmente se diseñó un prototipo basado en la forma geométrica del modelo tipo 2, con 
la diferencia de que este vinculaba un sistema de apertura tipo cofre y un cierre sencillo tipo prensa, 
esto ofrecía una mejora en su funcionalidad y aplicación, siendo este el modelo mecánico 
definitivo. La Figura 10 y Figura 11 muestran el diseño definitivo del prototipo utilizado. 
 
Figura 10. Diseño modelo mecánico tipo 3. 
 
Figura 11. Diseño parte superior modelo tipo 3. 
 Simulaciones 
En esta sección se presentan las simulaciones realizadas por medio de diferencias finitas y 
elementos finitos (usando un software especializado), a través de modelos que se aproximan a las 
condiciones reales. 
35 
 
 
4.2.1. Simulación por medio de diferencias finitas 
En esta sección se muestran los resultados de la implementación del método de diferencias 
finitas descrito en la sección 3.2. Mediante el uso del software Matlab se creó un código que 
determina la diferencia de potencial en cada punto de la malla construida y posteriormente permite 
calcular el valor de la capacitancia que se forma entre el conductor y la placa conductora. En el 
Anexo 2. Código utilizado para el método de diferencias finitas, se muestra el código creado para 
la implementación del método de diferencias finitas. 
Con el fin de demostrar la estabilidad en el valor de capacitancia obtenida, se realizó una 
variación en el número de nodos de la malla. Para estas pruebas se realizaron variaciones que 
inician con un arreglo de 4x4 y finalizan en un arreglo de 28x64. 
La Figura 12 muestra la variación de capacitancia con respecto al número de puntos que 
conforman la malla descrita. Al aumentar las particiones del radio y ángulo (n y m) del arreglo 
descrito, el valor de capacitancia no presenta cambios sustanciales motivo por el que se establece 
que el valor de capacitancia converge. 
36 
 
 
 
Figura 12. Capacitancia con respecto a numero de puntos en malla 
 
Como se mencionó en la sección 3.2, entre mayor sea el número de nodos que conforma 
la malla más ajustado a la realidad será el valor de capacitancia. En la Figura 12 se puede observar 
como a medida que aumenta el número de nodos que conforman la malla la curva exponencial 
decreciente presenta un aplanamiento, en donde el valor final de capacitancia respecto al anterior 
no presenta una variación superior al 3%. 
 
 
4.2.2. Simulación por medio de elementos finitos 
En esta sección se presentan las simulaciones que fueron realizadas para el sensor primario, 
con el fin de obtener el comportamiento del campo eléctrico y estimar un valor de capacitancia 
entre conductor y placas. La Figura 13 muestra la distribución de las placas conductoras en el 
sensor primario. 
37 
 
 
 
Figura 13. Distribución de placas en sensor primario. 
4.2.3. Comportamiento de campo eléctrico 
Las simulaciones realizadas a continuaciónfueron basadas en la guía “Computing the 
Effect of Fringing Fields on Capacitance” disponible en la biblioteca de aplicaciones del software 
COMSOL Multiphysics. 
El modelo físico consta de una esfera de aire de 200 mm de radio, cuyo objetivo es limitar 
el área de simulación; en su interior se encuentran tres cilindros, el de radio mayor representa el 
sensor primario y consta de dos tipos de materiales (polietileno para la parte aislante y cobre para 
las placas conductoras), seguido a este se encuentran los cilindros que constituyen el cable, uno 
representa el aislante y el otro el conductor. Para realizar las simulaciones se establecieron unos 
valores iniciales de tensión, para el conductor V0 =1 V y para las 3 placas conductoras V0 = 0 V. 
la Figura 14 y Figura 15 muestran el comportamiento del campo eléctrico obtenido para el modelo 
creado. 
Placa 1
Placa 2
Placa 3
Conductor
Aislante del conductor
38 
 
 
 
Figura 14. Comportamiento campo eléctrico, vista frontal. 
 
 
Figura 15. Comportamiento campo eléctrico, vista lateral. 
39 
 
 
Como se observa en la Figura 14 y Figura 15, el campo eléctrico se ve limitado por las 
placas conductoras de cobre, esto indica la presencia de una capacitancia. A partir de esta 
información, se procede a determinar el valor de la capacitancia que se forma entre el conductor 
y cada una de las placas conductoras. 
 
4.2.4. Simulación de capacitancia estimada 
Teniendo en cuenta el calibre del conductor utilizado para cada prueba, se procede a 
calcular con ayuda del software la capacitancia que se forma entre el conductor y los electrodos 
del sensor, partiendo de la matriz de capacitancia que se obtiene en cada posición del conductor 
simulado, así como se observa en el Anexo 1. Matrices de capacitancias simuladas. La Tabla 1 
muestra los diferentes valores de capacitancia dependiendo del diámetro del conductor en AWG 
y con respecto a su posición en el eje horizontal teniendo en cuenta que el punto cero está ubicado 
en el centro del sensor. 
 
Tabla 1. Simulación capacitancias para prototipo propuesto 
Diámetro del 
conductor [AWG] 
Posición [mm] 
Capacitancia [pF] 
Placa 1 Placa 2 Placa 3 
12 6.4 1,4067 0,71038 0,43595 
10 0 0,85135 0,85135 0,85135 
8 -6.4 0,52376 0,8639 1,7515 
 
Utilizando los valores de las matrices de capacitancia, teniendo en cuenta que se extraen 
los valores de la primera columna de cada matriz debido a que estas cantidades representan los 
efectos capacitivos del conductor con respecto a las placas. Partiendo de lo anterior, en la Figura 
16 se muestra comportamiento capacitivo de cada conductor mientras se desplaza en el eje 
horizontal del sensor. 
40 
 
 
 
Figura 16. Comportamiento capacitivo con respecto a la posición del conductor. 
Como se observa en la Figura 16, el efecto capacitivo aumenta a medida que la distancia 
entre el conductor y la placa de cobre disminuye. Teniendo en cuenta lo anterior, los máximos 
valores de capacitancia se presentan en las placas 1 y 3 debido a su disposición en el prototipo 
propuesto; mientras que el comportamiento capacitivo de la placa 2 no presenta una variación 
importante, esto se debe a que se encuentra en un punto central, equidistante a todas las posiciones 
del conductor. 
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Posición [mm]
0.5
1
1.5
2
2.5
c
a
p
a
c
it
a
n
c
ia
 [
n
f]
10
-3 Conductor 8 AWG
Placa 1
Placa 2
Placa 3
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Posición [mm]
0.5
1
1.5
2
c
a
p
a
c
it
a
n
c
ia
 [
n
f]
10
-3 Conductor 10 AWG
Placa 1
Placa 2
Placa 3
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Posición [mm]
0.5
1
1.5
2
c
a
p
a
c
it
a
n
c
ia
 [
n
f]
10
-3 Conductor 12 AWG
Placa 1
Placa 2
Placa 3
41 
 
 
 Diseño eléctrico 
En esta sección se presenta los detalles ultimados para el funcionamiento eléctrico del 
medidor de tensión. 
4.3.1. Diseño del divisor de tensión capacitivo. 
Como resultado de las simulaciones, se puede establecer que el sensor primario en 
disposición paralelo al conductor forma un capacitor C1, si a esta impedancia se conecta en serie 
otra impedancia ya sea resistiva o capacitiva, formaría un divisor de tensión. Este permite obtener 
una relación que de manera directa brinda la posibilidad de conocer la tensión que atraviesa el 
conductor. 
Se establece que un divisor de tensión netamente capacitivo presenta ventajas sobre el 
divisor de tensión capacitivo resistivo. Esto se debe a que el divisor resistivo capacitivo forma en 
su topología un filtro pasa bajas que presupone una limitación en el rango de frecuencias en el que 
el equipo puede operar. Además, al presentar variaciones en frecuencia su comportamiento puede 
variar. Por otra parte, el divisor netamente capacitivo no presenta estos inconvenientes, y en 
términos de carga para equipos que conforman las redes es aceptable. Asimismo, presentan un 
buen comportamiento ante tensiones variables (Fresneda, 2017). 
En ese sentido, al establecer que para esta aplicación el divisor capacitivo tiene mayores 
beneficios, se vuelve de vital importancia poder obtener un valor prudente para la impedancia C2 
teniendo en cuenta que la impedancia C1, será de un valor pequeño. Para esto se efectuaron una 
serie de simulaciones que permitieron evidenciar la sensibilidad de la tensión que se presenta en 
la impedancia C2 variando el valor de esta, fijando el valor de un 1pF para la capacitancia C1 y 
110V para la fuente de tensión. 
 
42 
 
 
 
Figura 17. Simulación efectuada para evidenciar la sensibilidad al valor de la capacitancia C2. 
Como se evidencia en la Figura 17, La tensión que se presenta en el capacitor es 
inversamente proporcional al valor de capacitancia, es decir, que entre menor sea la capacidad de 
C2 mayor será la diferencia de potencial. De acuerdo con lo anterior se opta en este caso por un 
capacitor de 1nF para C2, el que asegura una tensión adecuada para el funcionamiento de la tarjeta, 
evita el diseño de una parte de opto acoplamiento entre las tensiones a la salida del divisor de 
tensión y la tarjeta dispuesta para la adquisición de datos y por último es un valor de capacitancia 
comercialmente distribuido. 
4.3.2. Diseño de valor de referencia para interfaz. 
 
Previo al procesamiento de la señal se hace necesario una etapa en la que se creó una 
tensión de referencia DC. Esto se debe a que en el momento en el que se adquieren los datos, estos 
se posicionan en un nivel de referencia aleatorio entre 0 y 3,3V. 
sensibilidad capacitor C2
10
-16
10
-14
10
-12
10
-10
10
-8
10
-6
10
-4
capacitancia C2 [F]
0
20
40
60
80
100
120
T
e
n
s
ió
n
 d
e
 s
a
lid
a
 [
V
]
43 
 
 
Para solucionar este problema, fue necesario la implementación de una serie de 
amplificadores operaciones que son un elemento activo con una alta relación de ganancia, 
diseñado para emplearse con otros elementos de circuito y efectuar una operación especifica de 
acoplamiento de señales. 
En esta ocasión se aplicó para la implementación de amplificador sumador. Con la 
finalidad de que la tensión de salida del divisor capacitivo se sumara a una señal DC de -1.33V 
como referencia. La topología tradicional de un sumador se puede observar en la Figura 18 y su 
comportamiento ideal esta descrito por la siguiente ecuación: 
 
Figura 18. Topología de un amplificador operacional sumador. 
 
𝑉𝑠𝑎𝑙 = −
𝑅3
𝑅1
× (𝑉1 + 𝑉2) (35) 
 
El amplificador operacional implementado es el LF353, este es seleccionado con el 
propósito de que al ser un ampliador tipo FET disminuye la probabilidad de acoplamiento entre 
las impedancias del circuito, con el integrado y las resistencias que conforman el sumador. 
Por último, de la Ecuación 27, suponiendo que la tensión V1 es la tensión de salida del 
divisor capacitivo y V2 la tensión D.C de -1.33V. Al definir un valor de resistencias de 1 MΩ se 
44 
 
 
evita la amplificación de la señal original y disminuye la probabilidadde acoplamiento. El 
diagrama del circuito a implementar y su posterior implementación se puede observar en las Figura 
19 y Figura 20. 
 
Figura 19. Esquema circuito para establecer nivel de referencia. 
 
Figura 20. Implementación de circuito para establecer nivel de referencia. 
 Programación tarjeta adquisición de datos e interfaz. 
4.4.1. Adquisición de datos 
Para la programación de la tarjeta de desarrollo Núcleo F767ZI es necesario el uso de la 
plataforma de programación Mbed, esta utiliza un lenguaje de programación C++. La tarjeta 
cuenta con un puerto de comunicación serial el que es utilizado para la transmisión de datos debido 
3
2
1
8
4
U1:A
LF353
R1
1M
V1
VSINE
R2
1M
R3
1M
+VCC
+5
-VCC
-5V2
-1.7V
5
6
7
8
4
U1:B
LF353
R4
1M
V3
VSINE
R5
1M
R6
1M
1
+5
2
-5V4
-1.7V
3
2
1
8
4
U2:A
LF353
R7
1M
V5
VSINE
R8
1M
R9
1M
3
+5
4
-5V6
-1.7V
5
6
7
8
4
U2:B
LF353
R10
1M
V7
VSINE
R11
1M
R12
1M
5
+5
6
-5V8
-1.7V
3
2
1
8
4
U3:A
LF353
R13
1M
V9
VSINE
R14
1M
R15
1M
7
+5
8
-5V10
-1.7V
5
6
7
8
4
U3:B
LF353
R16
1M
V11
VSINE
R17
1M
R18
1M
9
+5
10
-5V12
-1.7V
3
2
1
8
4
U4:A
LF353
R19
1M
V13
VSINE
R20
1M
R21
1M
11
+5
12
-5V14
-1.7V
5
6
7
8
4
U4:B
LF353
R22
1M
V15
VSINE
R23
1M
R24
1M
13
+5
14
-5V16
-1.7V
3
2
1
8
4
U5:A
LF353
R25
1M
V17
VSINE
R26
1M
R27
1M
15
+5
16
-5V18
-1.7V
Fase 1 Fase 2 Fase 3
45 
 
 
a su velocidad de envío, facilidad de adquisición y transformación de los datos. La Figura 21 
muestra la lógica del programa implementado en la tarjeta de adquisición. 
 
Figura 21. Diagrama de flujo lógica del programa para la adquisición y envió de datos con la tarjeta Núcleo F767ZI. 
4.4.2. Transformación de datos para medición 
Para el manejo de los datos adquiridos se utilizó el software Matlab. El programa consiste 
básicamente en la recepción y transformación de los datos enviados por la tarjeta mediante el 
puerto serial. La interfaz codifica los datos adquiridos debido a que estos están expresados en 
46 
 
 
hexadecimal. Consecutivo a esto, el programan grafica y actualiza los datos indefinidamente para 
una medición en tiempo real. La Figura 22 muestra la lógica de programación implementada en el 
software Matlab. 
 
Figura 22. Diagrama de flujo del programa para transformación y graficación de datos adquiridos mediante el uso de Matlab 
 Parámetros de diseño 
En esta sección se muestran algunos de los modelos previos que fueron desarrollados en 
artículos anteriores en los que se evidencia el proceso de diseño, buscando una versión optima del 
prototipo que se adapte y cumpla con los objetivos en cada etapa de desarrollo. Además, se 
sustentan los criterios establecidos para el diseño del instrumento de medida implementado, 
47 
 
 
abarcando criterios como geometría, distancia a la que se establecerá el sensor primario del 
conductor y características principales de la tarjeta de adquisición de datos elegida. 
En el articulo “Medición de tensiones sin contacto” (Cortés Murcia, Godoy Sabogal, & 
Calderón Trujillo, 2018a) se llevo a cabo una revisión de literatura, para así proponer dos diseños 
de sensor de tensión capacitivo los que fueron simulados e implementados para comprobar su 
exactitud al momento de realizar mediciones. 
 
Figura 23. Modelo placa plana paralela. 
 
 
Figura 24. Modelo placa cilíndrica. 
 
El primer modelo comparte algunas características de un capacitor de placas paralelas, este 
se forma, a partir de adaptar una placa en paralelo al conductor como se muestra en la Figura 23. 
48 
 
 
Donde se forma una capacitancia C1 entre el conductor y la placa conductora separados por un 
medio aislante. 
El segundo modelo que se implementó en este artículo constaba de formar un capacitor, 
producto de envolver el conductor con la placa conductora como se ilustra en la 
Figura 24. El conductor contaba con un radio ra y la placa con un radio rb, los que estaban 
separados por el dieléctrico que aísla el conductor del medio circundante. 
A ambos modelos se le realizaron sus respectivas simulaciones de campo eléctrico y un 
estudio experimental, dando como resultado mas influyente un error porcentual menor al 10% en 
las mediciones de la sonda cilíndrica capacitiva. 
Al graficar los valores de tensión medidos contra los valores de tensión calculados (Ver 
Figura 25), se observa que a partir de una tensión de salida de 1.7 V se presenta un error sistemático 
de multiplicación debido a que la línea de tendencia experimental se aleja de la línea de tendencia 
calculada. De lo anterior se concluye que es necesario realizar ajustes en la medida del equipo para 
obtener el valor exacto de tensión que pasa por el conductor (Cortés Murcia, Godoy Sabogal, & 
Calderón Trujillo, 2018a). 
49 
 
 
 
Figura 25. Gráfico comparativo entre las tensiones medidas y tensiones calculadas por divisor capacitivo. 
En el articulo “Non-contact voltage meter” (Cortés Murcia, Godoy Sabogal, & Calderón 
Trujillo, 2018b), se propuso un modelo capacitivo cilíndrico que se simuló y se implementó para 
verificar su funcionamiento. 
 
 
Figura 26. Modelo de sensor cilíndrico 
 
En la Figura 26 se observa el sensor que está formado por dos láminas conductoras de 
cobre, cada una con 25 mm de ancho, las dos láminas están apoyadas en un cilindro dieléctrico de 
50 
 
 
cloruro de polivinilo que tiene un diámetro interno de 27 mm y una longitud de 75 mm; Las dos 
placas tienen una separación de 25 mm para evitar el contacto entre ellas. Esta disposición de las 
placas tenia el objetivo de mitigar la variación de la medida de tensión cuando el conductor 
cambiaba su posición dentro del sensor. 
Los resultados de este artículo evidenciaron que la sonda cilíndrica permite obtener la 
medición en la magnitud de la tensión de una manera aproximada a la realmente inducida, así 
como se muestra en la Figura 27 . Partiendo de estos resultados, se procedió a realizar mejoras en 
el sensor primario para el desarrollo de este proyecto. 
 
Figura 27. Comparación entre voltajes medidos y calculados mediante divisor capacitivo. 
 
 
Se determinó que la dimensión del sensor en el eje longitudinal afecta el comportamiento 
de la capacitancia haciendo que sea directamente proporcional a su longitud (Cortés Murcia et al., 
2018b), esto también se puede evidenciar de manera teórica utilizando la ecuación (19). Por otra 
parte, se determinó mediante un estudio de sensibilidad que el diámetro en el que se disponen las 
51 
 
 
placas del sensor primario respecto al conductor no debe superar el de una pulgada dado que la 
capacitancia disminuye de manera drástica. Así como se muestra en la Figura 28. 
 
Figura 28. Variación de capacitancia con respecto al radio del sensor. 
De acuerdo con los estudios mencionados anteriormente, se presenta un nuevo modelo 
cilíndrico con tres placas conductoras (Ver Figura 13). Esto se efectúa para realizar un promedio 
de las señales obtenidas con el fin de disminuir el error de la señal medida. 
Así mismo, se escoge como tarjeta para el procesamiento de la señal la Núcleo F767Z1 de 
STMicroelectronics, porque es una tarjeta que se encuentra disponible en los laboratorios, es de 
fácil programación, presenta una mayor velocidad de procesamiento con respecto a las tarjetas 
utilizadas a nivel académico, con la capacidad de realizar funciones en paralelo y como se 
mencionó anteriormente en la sección 4.4.1, cuenta con un puerto serial para una transmisión de 
datos más rápida. Además, dispone de las 9 entradas análogo-digital requeridas. 
 Descripción del equipo patrón 
Durante el desarrollo del proyecto se utilizó un equipo patrón para realizar la comparación 
de los datos adquiridos por el prototipo desarrollado. El equipo seleccionado fue el osciloscopio 
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Radio del cilindro [mm]
0.10.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
C
a
p
a
c
it
a
n
c
ia
 [
p
F
]
Variación de capacitancia con respecto al radio del prototipo
52 
 
 
RIGOL MSO7014 que cuenta con 4 canales analógicos, permite la visualización de las señales en 
simultaneo del sistema trifásico utilizado para la prueba. La Tabla 2 muestra las características 
generales del equipo. 
Tabla 2. Características del equipo patrón. 
Modelo MO7014 
Ancho de banda 100 MHz 
Canales 4 
Frecuencia de muestreo en tiempo real 10 GSa/s 
Memoria 100 Mpts (un canal) 
Frecuencia de grabación de oscilogramas 600 000 oscilogramas/segundo 
Rango se sensibilidad vertical 1 mV/div - 10 V/div 
Resolución vertical 8 bit 
Impedancia de entrada 1 MΩ ± 1%, 50 Ω ± 1% 
Voltaje máximo de entrada CAT I 300 Vrms, 400 Vpk 
 
Este equipo se seleccionó debido a que es uno de los dispositivos más recientes adquiridos 
por la universidad, por esta razón cuenta con calibración de fábrica y en consecuencia lo hace un 
buen elemento de referencia. 
 
 Parámetros de medición 
 
En este apartado del documento, se establecen los lineamientos llevados a cabo en las 
pruebas efectuadas para evitar las alteraciones en la medida sobre el equipo desarrollado, como 
también la disminución de incidencia del error humano. 
53 
 
 
• Para evitar el movimiento de los sensores y una disposición diferente en cada 
prueba estos fueron fijados a una tabla. 
• Para evitar pérdidas en los conductores que se encargaban de la conexión entre los 
transductores y los capacitores secundarios, los conductores fueron cortados 
disminuyendo su longitud en lo posible. Además, estos conductores fueron fijados 
a la tabla evitando posibles interferencias. 
• El prototipo contaba con una placa de apantallamiento para evitar la introducción 
de ruido en la señal de tensión proveniente de pomonas cercanas. 
• Para evitar problemas de conexión las pomonas y conductores utilizados fueron 
construidos por el equipo de trabajo. 
• Para todas las pruebas se solicitaron los mismos equipos. (Modulo de Lorenzo, 
osciloscopios, sondas, multímetros y fuente D.C). 
• Las sondas de los osciloscopios antes de cada prueba eran debidamente calibradas. 
 
54 
 
 
5. RESULTADOS 
En este apartado se muestra el procedimiento realizado para efectuar el escalamiento del 
instrumento de medida desarrollado. Así mismo se podrá evidenciar el proceso de calibración 
implementado para ajustar la medida del instrumento respecto a un equipo patrón debidamente 
calibrado. Añadido a esto también se realiza una comparación entre los valores de capacitancia 
experimental, teórica y simulada para el calibre 10 AWG respecto a la placa 3. Finalmente, se 
encontrarán las pruebas finales efectuadas al equipo desarrollado con su porcentaje de error en 
cada medida, con su respectiva incertidumbre y exactitud. 
 
 Escalamiento 
El proceso de escalamiento efectuado en el instrumento de medida desarrollado consistió 
en aprovechar la relación matemática de un divisor capacitivo, expresada anteriormente en la 
ecuación (34). 
Para realizar este proceso, se hizo necesario determinar un valor experimental de la 
capacitancia formada entre las placas del sensor primario y el conductor. Si de la ecuación (34) se 
despeja la variable 𝐶1 se obtendrá: 
𝐶1 = 
𝐶2 × 𝑉𝑠
𝑉𝑒 + 𝑉𝑠
 (36) 
 
Con la ecuación 30, se puede determinar el valor de capacitancia experimental, realizando 
una prueba donde se controlaron los parámetros de tensión de entrada al divisor capacitivo, tensión 
de salida y la capacitancia 𝐶2. Los resultados obtenidos de esta prueba se encontrarán en la sección 
de anexos en la Tabla 26 y Tabla 27. 
55 
 
 
De la prueba reseñada anteriormente, se puede sustraer los valores experimentales 
promedio de la capacitancia 𝐶1 para cada calibre respecto a las 3 placas que conforman el sensor 
primario, los valores de capacitancia obtenidos se muestran en la Tabla 3 y Tabla 4. 
Tabla 3. Capacitancia promedio placas de los sensores para el calibre 8 AWG. 
 Capacitancia Placa1 [pF] Capacitancia Placa 2 [pF] Capacitancia Placa 3 [pF] 
Sensor 1 0,677315 0,231567 0,654033 
Sensor 2 0,693439 0,277022 0,350961 
Sensor 3 0,746142 0,310965 0,598271 
 
Tabla 4. Capacitancia promedio placas de los sensores para el calibre 10 AWG. 
 Capacitancia Placa1 [pF] Capacitancia Placa 2 [pF] Capacitancia Placa 3 [pF] 
Sensor 1 0,330162 0,303197 0,353129 
Sensor 2 0,288836 0,319343 0,356506 
Sensor 3 0,404241 0,434294 0,556166 
 
A partir de estos valores, se puede determinar un valor estimado de la ganancia que tendrá 
cada placa del sensor para cada fase. Por consiguiente, la tensión de entrada está representada por: 
𝑉𝑒 = 𝑉𝑠 ×
𝐶1 + 𝐶2
𝐶1
 
 Calibración 
En esta etapa, una vez se obtienen los valores medidos de tensión en una escala requerida, 
se puede ejecutar un proceso de ajuste en la medida. Por tal razón, se realizó la comparación de 
los valores medidos entre un equipo patrón debidamente calibrado y los obtenidos por el equipo 
desarrollado. En ese orden de ideas, el equipo patrón como el equipo desarrollado midieron 
diferentes valores de tensión y así se pudo determinar la desviación que presentan entre sí, de esta 
manera permitió realizar una regresión lineal que ajustó la medida obtenida del equipo 
56 
 
 
desarrollado. Los resultados de este proceso se encontrarán en la Figura 29, Figura 30 y Figura 31 
para el calibre 10 AWG y la Figura 32, Figura 33 y Figura 34 para 8 AWG. 
5.2.1. Calibración para conductor 10 AWG 
 
Figura 29. Tensión medida en la fase 1 por el equipo patrón contra tensión medida en la fase 1 por el equipo desarrollado para 
conductor 10AWG. 
 
Como resultado de efectuar la regresión lineal se obtiene que: 
𝑉𝑀𝐸𝑃 = 1.1014 × 𝑉𝑀𝐸𝐷 − 16.58 (37) 
 
 
Figura 30. Tensión medida en la fase 2 por el equipo patrón contra tensión medida en la fase 2 por el equipo desarrollado para 
conductor 10AWG. 
Como resultado de efectuar la regresión lineal se obtiene que: 
𝑉𝑀𝐸𝑃 = 1.2273 × 𝑉𝑀𝐸𝐷 − 64.18 (38) 
50 100 150 200 250 300
Tensión sensor [V]
0
50
100
150
200
250
300
350
T
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n
s
ió
n
 e
q
u
ip
o
 p
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tr
ó
n
 [
V
]
Corrección de datos sensor 1
50 100 150 200 250 300
Tensión sensor [V]
0
50
100
150
200
250
300
T
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s
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o
 p
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n
 [
V
]
Corrección de datos sensor 2
50 100 150 200 250 300
Tensión sensor [V]
50
100
150
200
250
300
350
T
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o
 p
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n
 [
V
]
Corrección de datos sensor 3
50 100 150 200 250 300
Tensión sensor [V]
0
50
100
150
200
250
300
350
T
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n
 [
V
]
Corrección de datos sensor 1
50 100 150 200 250 300
Tensión sensor [V]
0
50
100
150
200
250
300
T
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n
 [
V
]
Corrección de datos sensor 2
50 100 150 200 250 300
Tensión sensor [V]
50
100
150
200
250
300
350
T
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 [
V
]
Corrección de datos sensor 3
𝑉𝑀𝐸𝑃 = 1.1014 × 𝑉𝑀𝐸𝐷 − 16.58 
𝑉𝑀𝐸𝑃 = 1.2273 × 𝑉𝑀𝐸𝐷 − 64.18 
57 
 
 
 
 
Figura 31. Tensión medida en la fase 3 por el equipo patrón contra tensión medida en la fase 3 por el equipo desarrollado para 
conductor 10AWG. 
Como resultado de efectuar la regresión lineal se obtiene que: 
𝑉𝑀𝐸𝑃 = 1.0978 × 𝑉𝑀𝐸𝐷 − 3.757 (39) 
 
5.2.2. Calibración para conductor 8 AWG 
 
Figura 32. Tensión medida en la fase 1 por el equipo patrón contra tensión medida en la fase 1 por el equipo desarrollad para 
conductor 8 AWG. 
 
Como resultado de efectuar la regresión lineal se obtiene que: 
𝑉𝑀𝐸𝑃 = 1.2754 × 𝑉𝑀𝐸𝐷 − 14.582 (40) 
50 100 150 200 250 300
Tensión sensor [V]
0
50
100
150
200
250
300
350
T
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n
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 [
V
]
Corrección de datos sensor 1
50 100 150 200 250 300
Tensión sensor [V]
0
50
100
150
200
250
300
T
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n[
V
]
Corrección de datos sensor 2
50 100 150 200 250 300
Tensión sensor [V]
50
100
150
200
250
300
350
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V
]
Corrección de datos sensor 3
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
Tensión sensor [V]
50
100
150
200
250
300
350
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V
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Corrección de datos sensor 1
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
Tensión sensor [V]
50
100
150
200
250
300
350
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V
]
Corrección de datos sensor 2
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
Tensión sensor [V]
50
100
150
200
250
300
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V
]
Corrección de datos sensor 3
𝑉𝑀𝐸𝑃 = 1.0978 × 𝑉𝑀𝐸𝐷 − 3.757 
 
𝑉𝑀𝐸𝑃 = 1.2754 × 𝑉𝑀𝐸𝐷 − 14.582 
58 
 
 
 
 
Figura 33. Tensión medida en la fase 2 por el equipo patrón contra tensión medida en la fase 2 por el equipo desarrollado para 
conductor 8AWG. 
 
Como resultado de efectuar la regresión lineal se obtiene que: 
𝑉𝑀𝐸𝑃 = 1.2563 × 𝑉𝑀𝐸𝐷 − 8.373 (41) 
 
 
Figura 34. Tensión medida en la fase 3 por el equipo patrón contra tensión medida en la fase 3 por el equipo desarrollado para 
conductor 8AWG. 
 Como resultado de efectuar la regresión lineal se obtiene que: 
𝑉𝑀𝐸𝑃 = 1.0828 × 𝑉𝑀𝐸𝐷 + 0.4807 (42) 
 
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
Tensión sensor [V]
50
100
150
200
250
300
350
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V
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Corrección de datos sensor 1
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
Tensión sensor [V]
50
100
150
200
250
300
350
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V
]
Corrección de datos sensor 2
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
Tensión sensor [V]
50
100
150
200
250
300
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V
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Corrección de datos sensor 3
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
Tensión sensor [V]
50
100
150
200
250
300
350
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Corrección de datos sensor 1
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
Tensión sensor [V]
50
100
150
200
250
300
350
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V
]
Corrección de datos sensor 2
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
Tensión sensor [V]
50
100
150
200
250
300
T
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 [
V
]
Corrección de datos sensor 3
𝑉𝑀𝐸𝑃 = 1.2563 × 𝑉𝑀𝐸𝐷 − 8.373 
𝑉𝑀𝐸𝑃 = 1.0828 × 𝑉𝑀𝐸𝐷 + 0.4807 
59 
 
 
Como se observa en las graficas anteriores, el valor del termino independiente indica que 
el equipo de medida desarrollado presenta un error sistemático de desplazamiento. si bien se espera 
que ese valor independiente este cercano a 0, en este caso por los rangos de operación del equipo 
esto no se cumple, dado que la curva está ajustada a los valores en donde opera el equipo, es decir 
de 90 a 280V. Por otro lado, el valor de pendiente se asocia a un error de multiplicación en el 
instrumento de medida desarrollado. 
 
 Comparación de capacitancias 
En este apartado se procede realizar una comparación entre los valores de capacitancia 
obtenidos de manera teórica, simulada y experimental para el calibre 10 AWG respecto a la placa 
3. 
De la ecuación (19), se puede obtener el valor de capacitancia teórico partiendo de que: 
ε= 8.8541878176×10-12 F/m. 
𝑙 = 0.075 m 
𝑏 = 0.0127 m 
𝑎 = 0.001295 m 
Remplazando los valores en la ecuación se obtiene que: 
 
𝐶 =
1.1811 × (8.8541 × 10 − 12
F
m) × (0.075m)
 ln
0.02127m
0.0021295m
 (43) 
𝐶 = 0.34353 pF (44) 
 
Por otra parte, el valor de la capacitancia simulada para el calibre 10 AWG se puede 
encontrar en la Tabla 1. Del mismo modo, el valor de la capacitancia promedio experimental para 
la placa 3 se puede observar en la Tabla 4. La Tabla 5 muestra el resumen de capacitancias 
obtenidas de manera experimental, simulada y teórica para su respectivo análisis de error. 
60 
 
 
 
Tabla 5. Capacitancias calibre 10 AWG respecto a la placa 3. 
 
Capacitancia 
Experimental [pF] 
Capacitancia 
Simulada [pF] 
Capacitancia 
Diferencias finitas [pF] 
Capacitancia Teórica 
[pF] 
Sensor 1 0,353129 0,85135 0,3419 0,34353 
Sensor 2 0,356506 0,85135 0,3419 0,34353 
Sensor 3 0,556166 0,85135 0,3419 0,34353 
 
Partiendo de estos datos, se procede a calcular el error de cada capacitancia aplicando las 
ecuaciones (45), (46), (47) y (48). 
%𝐸 = |
𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑆𝑖𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 − 𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑇𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑎
𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑇𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑎
| × 100 (45) 
%𝐸 = |
𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝐸𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 − 𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑇𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑎
𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑇𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑎
| × 100 (46) 
%𝐸 = |
𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝐸𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 − 𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠
𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠
| × 100 (47) 
%𝐸 = |
𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑇𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑎 − 𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠
𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠
| × 100 (48) 
Aplicando la ecuación (45) se obtiene que el error porcentual entre el valor de capacitancia 
obtenido por medio de simulación y de forma teórica es de: 
%𝐸 = |
0,85135 − 0,34353
0,34353
| × 100 (49) 
%𝐸 = 147,82% (50) 
 
Ahora, aplicando la ecuación (46) se tendrá que el error porcentual entre la capacitancia 
obtenida de manera teórica y de manera experimental es de: 
%𝐸𝑆𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 1 = |
0,353129 − 0,34353
0,34353
| × 100 (51) 
%𝐸𝑆𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 1 = 2,79% (52) 
%𝐸𝑆𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 2 = |
0,356506 − 0,34353
0,34353
| × 100 (53) 
%𝐸𝑆𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 2 = 3,77% (54) 
%𝐸𝑆𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 3 = |
0,556166 − 0,34353
0,34353
| × 100 (55) 
%𝐸𝑆𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 3 = 61,89% (56) 
61 
 
 
Aplicando la ecuación (47) se determinará que el error porcentual entre la capacitancia 
obtenida mediante el método de diferencias finitas y de manera experimental es de: 
%𝐸𝑆𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 1 = |
0,353129 − 0,3419
0,3419
| × 100 (57) 
%𝐸𝑆𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 1 = 3,28% (58) 
%𝐸𝑆𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 2 = |
0,356506 − 0,3419
0,3419
| × 100 (59) 
%𝐸𝑆𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 2 = 4,27% (60) 
%𝐸𝑆𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 3 = |
0,556166 − 0,3419
0,3419
| × 100 (61) 
%𝐸𝑆𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 3 = 62,66% (62) 
 
 
Por último, Aplicando la ecuación (48) se obtiene que el error porcentual entre el valor de 
capacitancia obtenido por medio del método de diferencias finitas y de forma teórica es de: 
%𝐸 = |
0,34353 − 0,3419
0,3419
| × 100 (63) 
%𝐸 = 0,47% (64) 
 
 
De lo anterior, se puede determinar que la capacitancia simulada presenta un grado de error 
del 147,8%, sin embargo, el objetivo de estas simulaciones era poder establecer el comportamiento 
de la capacitancia y del campo eléctrico de los modelos, lo que resultó beneficioso a la hora de 
elegir los parámetros de diseño del equipo desarrollado. Por otra parte, es válido establecer que 
algunas condiciones de las simulaciones son idealizadas; un ejemplo de ello son los materiales 
como el cobre o el medio dieléctrico seleccionado para recrear su aislamiento, lo que inducirá un 
error en la obtención de la medida. 
Ahora, el error presentado entre el valor teórico y el experimental puede estar asociado en 
primer lugar al error humano que es inherente a la medida experimental. El otro factor 
62 
 
 
determinante puede estar asociación al fenómeno fringe, ya que en la teoría solo tiene en cuenta 
las líneas de campo eléctrico que van de dirección perpendicular a las placas. 
Por último, se puede notar que los errores entre teoría, método de diferencias finitas y 
experimental no es superior al 5%. Sin embargo, entre las diferencias finitas y elementos finitos 
ejecutados por software especializado el error es superior al 100%, esto se asocia a que al momento 
de aplicar elementos finitos por medio de este software se desconocen las condiciones iniciales 
como las de frontera, ocasionando que se generen errores al momento de