9 Introducción a la astrofísica relativista (Presentación) autor Gustavo E Romero

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INTRODUCCIÓN A LA 
ASTROFÍSICA RELATIVISTA
Gustavo E. Romero
Cursada 2020, FCAyG/UNLP
Astronomía: estudio del universo, los objetos que lo forman y los 
procesos que les acontecen, a partir de la detección y medición de 
partículas y ondas que estos emiten. 
Astrofísica: investigación de la naturaleza de los objetos de estudio 
de la astronomía a partir de nuestro conocimiento de las leyes 
físicas. Aplica la física conocida a fin de poder generar 
representaciones conceptuales adecuadas de los objetos y procesos 
descubiertos por las astronomía. 
En forma similar podemos caracterizar la astroquímica y la 
astrobiología como la investigación de los sistemas químicos y 
biológicos cuya existencia se infiere por la astronomía. 
Durante la mayor parte de su historia, la Astronomía se ha limitado a un 
tipo muy específico de partículas de origen cósmico: fotones con una 
longitud de onda en el rango 
300 nm ≤ λ ≤ 1 µm, 
lo que corresponde a frecuencias entre 3×1014 y 1015 Hz. La radiación 
formada por estos fotones es conocida como “luz visible”. 
Espectro térmico
Los fotones rojos tienen aproximadamente 1.8 electrón-Volt (eV) de energía, 
mientras que cada fotón azul transmite aproximadamente 3.1 eV.
¿Qué es la astrofísica relativista?
Estado de la Física a fines del siglo XIX
1643-17271564-1642
Mecánica clásica: la masa se conserva, la energía se conserva, 
el momento se conserva. El cambio de movimiento de la 
materia se debe a interacciones locales entre cuerpos, 
excepto para la gravitación, que parece actuar a distancia. 
E = ρe +
1
2
ρu2
 Las ecuaciones anteriores representan la conservación de la masa, el momento y la energía.
 Velocidad del sonido.
 Ecuación de Navier-Stokes (incompresible):
p = ρw
Gravitación Newtoniana: acción a distancia
Las fuerzas sobre una partícula concreta debida a 
otras partículas depende de las posiciones de esas 
otras partículas en el mismo instante.
Michael Faraday introduce el concepto de campo
1791-1867
Campo: sistema 
físico con infinitos 
grados de libertad. 
James Clerk Maxwell (1831-1879): electromagnetismo
Oliver Heaviside (1850 – 1925)
 
Henrik Lorentz (1853 – 1928)
Ondas electromagnéticas
 
 
 
Heinrich Hertz 1857-1894
1887
Las ondas electromagnéticas existen y se propagan por el vacío
Hertz’s lab
Campo gravitational Newtoniano
Heaviside 1893
Tensión entre la mecánica clásica y la electrodinámica
Hendrik Lorentz (1853-1928)
Transformaciones de Galileo
Ann.Physik 17 (1905), 891-921. 
Albert Einstein
Electrodinámica de los cuerpos en movimiento
Relatividad Especial
E = γm0c2
• Primer postulado. Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de 
referencia inerciales. 
• Segundo postulado. La velocidad de la luz en el vacío es una constante 
universal, c, que es independiente del movimiento de la fuente de luz. 
γ =
1
1 − (v/c)2
⃗p = γm0 ⃗v
(ct)2 = L2 + (Vt)2
L = ct0
L2 = (ct)2 − (Vt)2
L/c = t[1 − (V/c)2]1/2
t0 = t 1 − (V/c)2
t = γt0
L = ct0
El tiempo es diferente en ambos sistemas. 
No hay simultaneidad absoluta. 
IAR
La astrofísica relativista investiga los sistemas astrofísicos 
donde se genera radiación de origen no-térmico. Esta 
radiación es producida por partículas relativistas, que 
están fuera del equilibrio termodinámico. 
El universo no-térmico, invisible al ojo humano, es donde 
se dan las manifestaciones más extremas de la naturaleza. 
Multi-wavelength astronomy New astrophysics
La nebulosa del Cangrejo
Otras señales que llegan del cosmos:
Astronomía de neutrinos, ondas gravitacionales, rayos cósmicos
El espacio-tiempo
El espacio-tiempo es un sistema físico 
que “incluye” a todos los eventos. 
Todo lo que ha ocurrido, ocurre o ocurrirá a 
alguna cosa es un punto (elemento) del 
espacio-tiempo. Un proceso (sucesión de 
cambios) es una línea (o parte) del espacio-
tiempo. 
Al ser es espacio-tiempo una colección de 
eventos y no un mero conjunto es una entidad 
física, y no un concepto matemático. 
El espacio-tiempo se representa por una variedad real cuadri-dimensional diferencia-
ble.
Una variedad real es un conjunto que puede ser completamente cubierto
por subconjuntos cuyos elementos pueden ser puestos en correspondencia 1 a
1 con subconjuntos de R4 (si la variedad es cuadri-dimensional; Rn si es n-
dimensional).
<latexit sha1_base64="t5BSiGhC1/1TcT0DfIOsHCVrYJg=">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</latexit>
M es una variedad real n-dimensional diferenciable si y solo si:
1. M es un conjunto.
2. 9O/O = {O↵ ⇢ M}.
3. Todo elemento p 2 M es tal que 9O↵ 2 O/p 2 O↵.
4. 8↵9�↵ : O↵ ! U↵, con U↵ subconjunto abierto de Rn.
5. Si existen dos conjuntos O1 y O2/O1\O2 6= ; (; = vaćıo) ) 9�2 ·��11 que
pone en correspondencia 1 a 1 los puntos de U1 ⇢ Rn con los de U2 ⇢ Rn.
De esta definición se desprende por qué se postula una variedad para rep-
resentar el espacio-tiempo: independientemente de la estructura geométrica de
éste, pueden adoptarse coordenadas (números reales) para describir procesos
que ocurren en él.
<latexit sha1_base64="4bx6iBhhgZmbmIrvBZAmIQ4GeMo=">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</latexit>
Dado un elemento p 2 M podemos describirlo usando distintos sistemas de
coordenadas. Por ejemplo,
p ! {xµ}
p ! {x0µ}
9 x0µ = x0µ({xµ})
donde µ = 0, 1, 2, 3.
<latexit sha1_base64="gizu5HwXU1ytLEqNGmrE3LMP1ho=">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</latexit>Objetos sobre la variedad
Los objetos sobre la variedad se definen por sus propiedades de transfor-
mación frente a cambios de coordenadas {xµ} ! {x0µ}. El objeto más simple
es un escalar :
�(xµ) = �0(x0µ).
El valor del escalar no cambia cuando el sistema coordenado cambia de {xµ} a
{x0µ}. Notar que la forma � śı puede cambiar.
<latexit sha1_base64="8q/+eiOFThj6qbKORi4lmDnecQ0=">AAADyHicbZJLb9NAEMfdhEcxrxaOXEY0VdtLlJQDCAmpAlVCCKEi0YfUTav1epws3Ye7j7aR5QsfkRsXPgtjJ0BfK1kez8zOzP/nyUolfRgMfi10unfu3ru/+CB9+Ojxk6dLy8/2vI1O4K6wyrqDjHtU0uBukEHhQemQ60zhfnbyoYnvn6Hz0ppvYVriSPOxkYUUPJDreHnh92frwWbfMdDb28whKA5n3EnMeQ4eIceCihsorQMfPZTOlm0QPcUgOG58YZ3mQrI1ayAtHJqAwEHQHNK2WcJal6PhOffQY9XFEdOR1cCUNWOFRXByPAncOXsOrIKLo4qVTmqkrJrVvT6k22o+JWi2RkW81KVCoBmiAYa6nFToBVfc1W/T1ZRlOJamwtPYCq1TVk7kelOXKm7AO2i+/3ap16803OgDM9ZEnaFLGZr8UhmqbKw0JCUAjTRrfMYJc00yFcxnAGNn6glC5Ca3QDFPvxM1/8/iXw4BSlsq1VwwwevdyuGLJUpwGtu/1FKnRJLSA8/WJJQRG9htVUfU0uOllUF/0B64aQznxkoyPzvHSz9ZbkXUJFAo7v3hcFCGUcVdkEIhcYweSy5O+BgPyTRcox9V7SLWsEqevBmLHgLUei/fqLj2fqozytQ8TPz1WOO8LXYYQ/FmVElTxoBGzBoVUQGtQ7PVkEuHIqgpGVw4SbOCmHDHRaDdbyAMr0u+aext9oev+ptfN1e23s9xLCYvkpfJejJMXidbycdkJ9lNRGe7c9IJndj91C27593pLLWzML/zPLlyuj/+AOniOWE=</latexit>
Introduzcamos ahora un objeto de cuatro componentes Aµ. Si ante un cam-
bio de coordenadas {xµ} ! {x0µ}, este se transforma como
A0µ =
4X
⌫=1
A⌫
@x0µ
@x⌫
,
entonces Aµ es un vector contravariante.
<latexit sha1_base64="r59Kg3hQ9qjO+rUUSHDBQCrw/Lg=">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</latexit>
A0µ = A⌫
@x0µ
@x⌫
.
Ejemplo:
dx0µ =
@x0µ
@x⌫
dx⌫ .
<latexit sha1_base64="cb4qKdUvYeBcIzWtMKeAkmmF9aw=">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</latexit>
Los vectores covariantes se definen por medio de la siguiente ley de trans-
formación ante cambios de coordenadas:
B0µ =
@x⌫
@x0µ
B⌫ .
Un ejemplo es el gradiente de un campo escalar:
@�
@x0⌫
=
@xµ
@x0⌫
@�
@xµ
.
<latexit sha1_base64="Cti58RjQ1vwwFBHxQwED2yuwZ6g=">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</latexit>
Podemos definir tensores contravariantes (o covariantes) de rango arbitrario:
T
0
nz }| {
. . . µ . . .
. . . ⌫ . . .| {z }
m
= . . .
@x0µ
@x⇢
. . .
@x�
@x0⌫
. . . T ...⇢......�...
El tensor T es, en este caso, n veces contravariante y m veces covariante.
<latexit sha1_base64="O2RXHW+1xrgENHvZjOftOjUxz6E=">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</latexit>
Un campo tensorial definido sobre alguna región de la variedad es una aso-
ciación de un tensor de la misma variedad a cada punto de la región:
p �! T ...µ......⌫... (p),
donde T ...µ......⌫... (p) es el valor del tensor en p. El campo tensorial se llama continuo
o diferenciable si las componentes del tensor lo son.
<latexit sha1_base64="f9sGtzh+hLHHImjCddhIxbohXAA=">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</latexit>
Estructura métrica
¿Cómo medimos distancias sobre la variedad?
Introducimos un tensor de rango 2 llamado tensor métrico. El mismo nos
dice cómo calcular la distancia ds entre dos eventos arbitrariamente próximos
✏1 y ✏2:
ds2 = gµ⌫ dx
µ dx⌫ ,
donde gµ⌫ es el tensor métrico. En un espacio-tiempo eucĺıdeo, por ejemplo,
gµ⌫ = �µ⌫ =
⇢
+1 si µ = ⌫
0 si µ 6= ⌫
y
ds2 = (dx0)2 + (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2.
<latexit sha1_base64="7evD+QhLNHQTfB31OUgYyv02GzE=">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</latexit>
Minkowski propuso que el tensor métrico del espacio-tiempo es un tensor
pseudo-eucĺıdeo de rango 2 y traza �2:
gµ⌫ = ⌘µ⌫ =
0
BB@
1 0 0 0
0 �1 0 0
0 0 �1 0
0 0 0 �1
1
CCA ,
conocido como tensor de Minkowski. Es inmediato establecer que
⌘µ↵⌘
↵⌫ = �⌫µ.
<latexit sha1_base64="xLSijHWJXEd/Ndl1tO/qGVCfGww=">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</latexit>En este espacio-tiempo de Minkowski el intervalo (distancia infinitesimal)
entre dos eventos resulta ser:
ds2 = ⌘µ⌫dx
µdx⌫
= (dx0)2 � (dx1)2 � (dx2)2 � (dx3)2.
La geometŕıa resultante es pseudoeucĺıdea
<latexit sha1_base64="fm3MAqzy+oEc1BjefUMPnGtO3ds=">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</latexit>
A las tres coordenadas que aparecen con signo negativo en el intervalo se las
suele denominar espaciales:
x1 = x , x2 = y , x3 = z. (1)
La coordenada que aparece con el signo opuesto es llamada temporal :
x0 = c t. (2)
Aqúı c es una constante que permite uniformizar las dimensiones, que en prin-
cipio no tienen por qué ser iguales. El valor de esta constante coincide con el
de la velocidad de la luz en el vaćıo.
En coordenadas esféricas polares tenemos:
xµ = (ct, r, ✓, �),
donde
x = r sin(✓) cos(�)
y = r sin(✓) sin(�)
z = r cos(✓).
Luego, el intervalo en estas coordenadas resulta:
ds2 = c2dt2 � dr2 � r2d✓2 � r2 sin2(✓) d�2.
<latexit sha1_base64="MHwBUwpwvCM1Qc4b2nedw14WVHs=">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</latexit>
El tensor métrico introduce una estructura causal en el 
espacio-tiempo 
ds2 < 0 : región tipo espacio,
ds2 = 0 : región tipo luz,
ds2 > 0 : región tipo tiempo.
<latexit sha1_base64="WOuiemTEQUkx0I2BcoCAkiB7jCA=">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</latexit>
ds2 = dt2

c2 � dx
2 + dy2 + dz2
dt2
�
= dt2[c2 � v2],
ds2 < 0 () v > c.
ds2 = 0 () v = c.
ds2 > 0 () v < c.
<latexit sha1_base64="cC4H7LWS/MI9AWdOwl3WYdcLhes=">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</latexit>
Minkowski, 
Klön, 1908
Es posible definir el tiempo propio de un sistema f́ısico que se mueve con
velocidad v respecto de un cierto sistema coordenado como
d⌧2 =
1
c2
ds2.
Este es el tiempo que mide un reloj fijo al sistema f́ısico.
d⌧2 =
1
c2
(c2dt2 � dx2 � dy2 � dz2)
= dt2
(
1� 1
c2
"✓
dx
dt
◆2
+
✓
dy
dt
◆2
+
✓
dz
dt
◆2#)
= dt2
✓
1� v
2
c2
◆
,
y si introducimos el factor de Lorentz
� =
1p
1� �2
donde
� =
v
c
,
obtenemos:
d⌧ =
dt
�
.
Debido a que � � 1, el tiempo respecto al sistema propio se dilata. Para un
sistema con � = �(t):
⌧ =
Z t2
t1
dt
�(t)
.
<latexit sha1_base64="kiGyGbgJ/VSWihjM6d1CyN4/PYo=">AAAGzniclVVLj9NIEDaPBPCyywDHvZSYzJIRQxSHAwgJCcEirbQcZiUGkMZJ1G6XMw12t9PdjjZjWVz5fdz2vj9kyw8STyYR2j60qx9V9X31aAdpLIwdDv+5cvXa9U73xs1b7k+3f/7lzt7de++NyjTHE65ipT8GzGAsJJ5YYWP8mGpkSRDjh+Dz6/L8wwK1EUq+s8sUxwmbSREJzixtTe9e/9d9YyBVRpAGhBgJKTRgDD4m6VluBX0UpFqlQhV0DpkEQ7AwYRD5D4URXME8QzAISYYLBK4kuAuMFRchC6G36IFGkyK3qtHnAjUtvpvhSukQJQsViYlyD1w/wJmQOc6zCmXh+gmzZzrJw8K3LJuM4AX4kWY894qcT0bF+txMRgNfKpklAWrXRxm2zBwQV4uApiTYUCuxJ6IGpgn1J4jEJwUsvkRzAGtoLBazbbjgtw1kfZrWtyxdeQzr9d8b6+XG+nwyOoQVHfB9cPMCqlE6atv1Y4ysn3ul/oXQlPun1dyvD1rui9bCEh0tZmf2sOTxCGC7zvKizlrl0Q6F8x0KtTCuP37xf2j2vce1lwURrFnWVo9WRqrMN1k6cJeUTBDSahVmXCTKrCs8YlSYuqzMt0qjtOfF1gKcsYRKoZVc38y1rcMdoGWEobjovF12oZIhbrVb6q7MLohMcbTbjAosSiT4z3/UIiuT7dDnNYtisNvD7xgI6kNWtUWvYe3PcA5e76jVNauObvVJ/UiUD0EoYmbZAI6ZZmVfuetWl2S15Pyimvv2sPd8a1waDpSzaW6nXjGheVTsJkWWdvNyp3v7w8GwGnBZ8Bph32nG8XTvmx8qniVUEDxmxpx6w9SOc6at4DESvsxgyvhnNsNTEiVL0Izz6jku4IB2QoioqiIlLVS7bY2cJcYsk4BulkTM5lm5ue3sNLPRs3EuZJpRHfDaUZRRUhSUbzvFXVNS4iUJjGtBWIGfUQ64pT9AGQRvk/Jl4f1o4D0ZjP4a7b981YTjpvOr88DpO57z1Hnp/OEcOycO7/zZmXfOO3n3uLvoFt0v9dWrVxqd+86F0f36HybJVtI=</latexit>
El grupo de Lorentz
El grupo de Lorentz es el grupo de transformaciones lineales homogéneas de 
de coordenadas que deja invariable al intervalo en la métrica de Minkowski. 
L = {xµ �! x0µ = Lµ⌫x⌫} ,
Lµ⌫ =
@x0µ
@x⌫
.
<latexit sha1_base64="HBXoxu8oFHU6B34uQpkZeOb18cI=">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</latexit>
Definición de grupo
Sea L un conjunto no vaćıo y sea ⇤ una función sobre L. El par ordenado
(L, ⇤) es un grupo si y solo si ⇤ es una ley interna en L, asociativa, con elemento
neutro y tal que todo elemento de L admite inverso respecto de ⇤.
En forma simbólica, (L, ⇤) es grupo si y solo si:
• ⇤ : L2 �! L,
• (8a, b, c)L (a ⇤ b) ⇤ c = a ⇤ (b ⇤ c),
• (9e)L/(8a)L (a ⇤ e = e ⇤ a = a),
• (8a)L(9a�1)L (a ⇤ a�1 = a�1 ⇤ a = e).
Si además se cumple que
• (8a, b)L (a ⇤ b = b ⇤ a)
se dice que el grupo es conmutativo o abeliano.
<latexit sha1_base64="kXokicyBzLFXzv3wlTtjFYayQHk=">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</latexit>Debido a que la invariancia del intervalo exige la invariancia del tensor
métrico, se cumple que:
ds2 = ⌘µ⌫ dx
0µ dx0⌫
= ⌘µ⌫ L
µ
↵ dx
↵ L⌫� dx
�
= ⌘µ⌫ L
µ
↵ L
⌫
� dx
↵ dx� = ⌘↵� dx
↵ dx�
<latexit sha1_base64="nmI6W7BqgZwmIrEIqqyfOK+WjOU=">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</latexit>
⌘↵� = ⌘µ⌫ L
µ
↵ L
⌫
� .
El elemento neutro del grupo de Lorentz es �µ⌫ :
�µ⌫ =
@xµ
@x⌫
= ⌘µ↵⌘↵⌫ .
El elemento inverso es la inversa de la matriz Lµ⌫ . Esta siempre tiene inversa,
ya que
det (Lµ↵ L
⌫
� ⌘µ⌫) = det (⌘↵�) =) (detLµ⌫ )2 = 1 =) detLµ⌫ = ±1.
O sea que Lµ⌫ es no singular y por lo tanto invertible. Se puede demostrar,
derivando Lµ↵ L
⌫
� ⌘µ⌫ = ⌘↵� respecto de x
✏
, que las tranformaciones son únicas.
<latexit sha1_base64="RJZEXDf5N6Hr898ndFRdrnm20s0=">AAAGLXiclVRba1NBED7VRGu8tfroy2ATbSGEJD4oglAsBR8CVrQXyEnL5mSSLN2ze7q7p5oe8od88a+I4ENFfPVvOLtJai4F7cKBOTPf7sw33862E8GNrVbPl65dz+Vv3Fy+Vbh95+69+yurD/aMSnWEu5ESSh+0mUHBJe5abgUeJBpZ3Ba43z7ecvH9U9SGK/nBDhJsxawneZdHzJLraDW3Fbaxx2WGJ6l3DQshWnaUhUwkfUZBy4bwCsbOOA1lOgzLjUNnDyewsUd6j99SCaWSadxGTefJztTxpcK2ABQYo7QKJKZWK+iggJ5OE2dBQ2mKnQEaKIYUsewiG2UovqQjFotewLmiu5pFWZgwbTkT8GkUHs56CEpYz9rHJ4ymu0CY/yXEpWu3csULNv5jjhX9xcxqfgbFxgyfCmwby8BwjEk6sBwlTjaWYcDgJEVKUhpzZoL3XFZibJv/1CEszyjXgifUFrdzUeUWXFCEMCyUmg4HM7W2DuvugNocchHo0yQx1KbaVvJ9m5Q/kbDDTSLYgFrT9yrabP2qpDa81n7rIqsNOrWhZE/zXt8yrdVHWPfYmXqHG8TMEVsAX4KFCTcYXYUZCqXCWzDoRZsX2t0JqUho2UsF0zCARGkQCiy7uDmW0+RW4D1CkiLdmg7GyljNdJlMzU+Z7KhC8aod+jvAU50pgkaTYGT90BXdLGBiuKA7XSwXXP2CGaDcsqt0zCK67ETAKElnxUk/C5+mkt4RM6wcraxVK1W/YNGojY21YLx2jla+hR0VpW5iIkpimrVqYluZm8pIICmWGkxYdMx62CRTshhNK/Ov3RBK5OkA1USftOC90zsyFhsziNuEdJKY+ZjX6ZJYM7XdF62MyyS1KKNRom4qgBrknk7ocE3dEgMyWKQ51QpRn9ETY2lUC9SE2jzlRWOvXqk9q9Tf1dc2X4/bsRw8Ch4H60EteB5sBm+CnWA3iHKfc19z57kf+S/57/mf+V8j6LWl8Z6HwczK//4DTKskFg==</latexit>
⌘↵� = ⌘µ⌫L
µ
↵L
⌫
� ,
con lo cual resulta que la componente
⌘00 = 1 = ⌘µ⌫L
µ
0L
⌫
0
= ⌘00(L
0
0)
2 + ⌘11(L
1
0)
2 + ⌘22(L
2
0)
2 + ⌘33(L
3
0)
2
= (L00)
2 � (L10)2 � (L20)2 � (L30)2.
(L00)
2 � [(L10)2 + (L20)2 + (L30)2] = 1
(L00)
2 = 1 + [(L10)
2 + (L20)
2 + (L30)
2] � 1 =) L00 � 1 _ L00  �1.
Esto significa que existe un conjunto de transformaciones de Lorentz prohibidas.
<latexit sha1_base64="9Uc0T5NDNURgs7rZyGs1Bk2zGvI=">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</latexit>
Hay 4 casos posibles:
1. det(L) = 1 ^ L00 � 1 �! grupo propio de Lorentz,
2. det(L) = 1 ^ L00  �1 �! inversiones espacio-temporales
L =
0
BB@
�1 0 0 0
0 �1 0 0
0 0 �1 0
0 0 0 �1
1
CCA ,
3. det(L) = �1 ^ L00 � 1 �! inversiones espaciales
L =
0
BB@
1 0 0 0
0 �1 0 0
0 0 �1 0
0 0 0 �1
1
CCA ,
4. det(L) = �1 ^ L00  �1 �! inversiones temporales
L =
0
BB@
�1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
CCA .
Los casos 2, 3 y 4 no son grupos porque no contienen la identidad.
<latexit sha1_base64="ppIaORauEHoHV9PuyX+wgR9bkeA=">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</latexit>
El grupo de Lorentz es un subgrupo propio del más general grupo de Poincaré.
Este consiste en las transformaciones lineales inhomogéneas que dejan la métrica
⌘µ⌫ invariante. Se trata de transformaciones de Lorentz más una traslación ar-
bitraria en el espacio-tiempo:
P = {xµ �! x0µ = Lµ⌫x⌫ + tµ} .
<latexit sha1_base64="A15IKy/kgvorEuNW/8j5o32g/XE=">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</latexit>
Consideremos, como ejemplo, el caso simple de una transformación con tµ =
0 que consista en un cambio entre sistemas que se mueven sobre el eje x con
velocidad v (usualmente llamado boost):
Lµ⌫ =
0
BB@
� �� � 0 0
�� � � 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
CCA ,
0
BB@
ct0
x0
y0
z0
1
CCA =
0
BB@
� �� � 0 0
�� � � 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
CCA
0
BB@
ct
x
y
z
1
CCA
donde � = v/c y � = 1/
p
1� �2.
<latexit sha1_base64="V25zJahqfeX5CJRwpv/He5/c6DE=">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</latexit>
t0 = � (t� vx/c2)
x0 = � (x� vt)
y0 = y
z0 = z.
<latexit sha1_base64="PUnVDXe7siXUI+oYv63bJdRMTh4=">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</latexit>Transformaciones de Lorentz entre 
sistemas de referencia que se mueven en la 
dirección x con velocidad v.
Dinámica relativista
Trayectoria de una part́ıcula moviéndose en el espacio-tiempo:
xµ = xµ(⌧),
siendo ⌧ el tiempo propio.
Acción:
S =
Z 2
1
L dt
donde L = T � U es el Lagrangiano de la part́ıcula, siendo T y U la enerǵıa
cinética y potencial, respectivamente, y los ĺımites 1 y 2 representan los puntos
inicial y final de la trayectoria. Sobre trayectorias reales �S = 0.
Como la part́ıcula se mueve libremente, lo hace sobre una geodésica y su
acción es:
S = �↵
Z ⌧2
⌧1
ds
donde ↵ es constante y ds2 = ⌘µ⌫ dxµ dx⌫ = c2dt2/�2.
S = �↵
Z ⌧2
⌧1
c
p
1� �2 dt = �↵
Z ⌧2
⌧1
p
c2 � v2 dt.
<latexit sha1_base64="riQGL22LLFbBE4cJnu6KCBdeQ+E=">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</latexit>
El Lagrangiano es L = �↵
p
c2 � v2. Para v ! 0,
L ⇡ �↵ c + 1
2
↵
c
v2 + . . . .
Comparando con la expresión newtoniana, L = (1/2)mv2, obtenemos que ↵ =
mc y por lo tanto
L = �mc
p
c2 � v2.
<latexit sha1_base64="MQQmQ6Gsi9wrKY9P/jmJogAK3yM=">AAADj3icfVLJbhNBEJ3YLGEIkMCRS4k4IgjHeIZDkAIoIkICKYcgkUVKO1FNu2230su4uyexNZrP4Ye48TfU2D6EBKhTdW2v3uvKciV96HZ/LTWad+7eu7/8IH648ujxk9W1p0feFo6LQ26V 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</latexit>
Definimos el cuadrivector velocidad como:
vµ ⌘ dx
µ
d⌧
=
dxµ
dt/�
= (�c, �~v) = ẋµ,
y la cuadri-aceleración como:
aµ ⌘ d
2xµ
d⌧2
= ẍµ.
El cuadri-impulso es:
pµ = �
@L
@ẋµ
,
<latexit sha1_base64="KpANKyA+tvagV69Fl5RfPREWCgg=">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</latexit>
~P =
mc
p
c2 � v2
~v = �m~v
p0 = �mc.
Usando el Hamiltoniano H definimos la enerǵıa como
E = H = ~P · ~v � L = �mc2.
Pµ ⌘ (�mc, �m~v) =
✓
E
c
, ~P
◆
Pµ = ⌘µ⌫ P⌫ = mv
µ.
PµPµ = m
dxµ
d⌧
m
dxµ
d⌧
= m2
dxµdxµ
d⌧2
= m2
ds2
d⌧2
= (mc)2
donde hemos usado que ⌘µ⌫ dx⌫ = dxµ. Luego, E2/c2 � p2 = m2 c2 y
E2 = m2c4 + c2p2,
que es la expresión para la enerǵıa de una part́ıcula libre y tiene un término de
enerǵıa en reposo y otro dinámico.
<latexit sha1_base64="iLXbIN8o8sMRfQ/R/iE2A7tYn+A=">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</latexit>
 
Ecuaciones del movimiento
S = �mc2
Z tb
ta
r
1� v
2
c2
dt = �mc2
Z b
a
d⌧
�S = �mc2
Z b
a
�d⌧.
Utilizando que
�(ds2) = �(c2 d⌧2)
2⌘↵� dx
↵ �dx� = c22d⌧�d⌧
se obtiene
�d⌧ =
1
c2
⌘↵�
dx↵
d⌧
�dx� =
1
c2
⌘↵�v
↵d�x�
=
1
c2
⌘↵�d(v
↵�x�)� 1
c2
⌘↵��x
�dv↵
=
1
c2
d(v↵�x↵)�
1
c2
⌘↵��x
� dv
↵
d⌧
d⌧
y por lo tanto
�S = �mv↵�x↵
���
b
a
+m
Z b
a
�x↵
dv↵
d⌧
d⌧.
<latexit sha1_base64="Haxo97vAAUGa/QuU0Isgpw+u/zU=">AAAG73iclVXLbtNAFHULDsU82sKSzRVVUCvaKDYL2FSqyoZlEfQhdRJr7EzSUcdjxzOOCJZ/gg0LEGLL77Djbxg/6tiOq8Aoiib3cc6599o3TsCokP3+n7X1O3f1zr2N+8aDh48eb25tPzkTfhS65NT1mR9eOFgQRjk5lVQychGEBHsOI+fO9dvUfz4joaA+/yjnARl4eMLpmLpYKpO9revIIRPKYzKNMlNiwAc4hAMP7btDC1Eu7VjaOBmqbycBJKahjE04ADQOsRvPhlYSq8BEufYBeVhehV48SmQDIgVI08sAJHEEiPs88hwSGojwUUVD11CfJWVoRJjEhb4GdOGrE/RKgiV81SxGP2M+8mEakQUbZnRSUu0u4MTQ2oMXh1A4FLsquM6WRiwIkWEhIrEdI8yCK6zgJU6qKZ+GhSu1NtWnziwj5UzJLKNOlmc0bLVqi0q6hiDgO5ISvlwmtLYNFKmRz9fMp9tSSeZuqyaJ62jFaIy24g5hBc2shK1qzAEXMGXhgBAYcda0VfpLtN0qR96OEnkPDlY2opFS0VkFXqmwTc8N9g1jqqeeBsZqRc1RzW4fFfzTAzWHwA+B+SAxl/7KN1UthpYW2wvLMZ0ACtWaUotm6MBL8CB7tdMfS+HGf5TT2AZw6zqwt3b6vX52YPliFpcdrTgn9tZvNPLdyCNcugwLcWn2AzmIcSipy4gSGQkSYPcaT8ilunLsETGIs32dQFdZRjBWPRz7XEJmrWbE2BNi7ql92U0LEE1famzzXUZy/GYQUx5EknA3JxpHDKQalVr+MKIhcSWbqwt2Q6q0gnuFVTul+oswVBPMZsnLlzOrZ77qWe+tnaPjoh0b2jPtubarmdpr7Uh7p51op5qrM/2L/k3/3pl2vnZ+dH7moetrRc5TrXY6v/4C0ChycA==</latexit>
En los ĺımites (�x↵)a = (�xµ)b = 0 la trayectoria real satisface �S = 0,
entonces:
0 = m �x↵
dv↵
d⌧
d⌧.
Como la variación �x es arbitraria:
dv↵
d⌧
= 0.
<latexit sha1_base64="nglZXQ7WzZu+fOyuj/GgH1evwTU=">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</latexit>
dPµ
d⌧
= 0.
En caso de que haya una fuerza externa fµ:
fµ =
dPµ
d⌧
.
Cuando no hay fuerza, Pµ = lµ con lµ un cuadrivector constante. Esto expresa
la conservación del momento lineal.
<latexit sha1_base64="AzZ5M3P+yfTA9uqB+1BbCrqgeTk=">AAADXnicjVLfaxNBEN4kWuvV2lRfBF8Wk6IPclzSB0UQiqXgYwTTFnIxzO3NNUv3dq/7IxiP+yd9E1/8U9xLjhIbEedp5vtmZ76Z2aQQ3Ngo+tFqd+7d33mw+zDYe7T/+KB7+OTcKKcZjpkSSl8mYFBwiWPLrcDLQiPkicCL5Pq05i8WqA1X8rNdFjjN4UryjDOwHpodtmwQJ3jFZYk3boVVQZxpYGWcg53rvEyr0RcfuKragGILrqLvaRTGUkmXJ6iDGGW6UeUoOJOUgVE0RXrjkM5hCdRJoJlD/Q0ofrWofdjP1vX77/ybLTEN6Xv9r6yQ/kPTqQOZKipVLadR8pr2R7ddRCOGMiVp/zZyfhYHqeYLZFbpmjUWpMWQBmfGKj+N37sBKmDFoV4A4/FLXyRFQXOVo/RZ9ZlAhLNuLwqjldFtZ9A4PdLYaNb9HqeKuboIE2DMZBAVdlqCtpwJ9CdzBgtg13CFE+9KyNFMy9X3qOiRR1KaedWZkpau0M0XJeTGLPPEZ9abNHe5GvwbN3E2ezstuSycRcnWjTInqB+0/ms05dpvSyy9A0xzr5WyOfgr+sObwC9hcHfkbed8GA6Ow+GnYe/kQ7OOXfKcvCCvyIC8ISfkIxmRMWGtn+1WO2jvtX91djr7nYN1arvVvHlK/rDOs98hYBQY</latexit>E = �mc2.
Cuando � �! 0, E �! mc2.
E2 = c2p2 +m2c4
Pµ =
✓
E
c
, �m~v
◆
fµ =
dPµ
d⌧
= �
✓
1
c
dE
dt
,
d~p
dt
◆
.
<latexit sha1_base64="qzmY84xMMIvwlQoBikfDodluI70=">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</latexit>
Resultados importantes
Elementos de relatividad general
¿Es posible generalizar la relatividad para que las 
ecuaciones de la física sean válidas en cualquier 
sistema de referencia? (Einstein 1907)
Principio de covariancia general: 
Las leyes de la física deben ser representadas por ecuaciones que no 
dependan en su forma del sistema de coordenadas utilizado. 
En otras palabras: las ecuaciones que representan las leyes físicas deben 
ser invariantes de forma bajo transformaciones generales de 
coordenadas. 
Disco de Ehrenfest 
La geometría no puede ser euclídea
La circunferencia de un disco 
giratorio debe contraerse, pero 
no el radio, ya que el radio es 
perpendicular a la dirección del 
movimiento.
El modelo de Lorentz 
de la teoría del campo 
La ecuación de campo: fuente determina campo 
- Operador diferencial (CAMPO) = FUENTE 
- Representación del CAMPO = tensor métrico 
- Representación de la FUENTE = tensor de 
energía-momento 
 
 Problema: 
 ¿Cuál es el OPERADOR DIFERENCIAL ?
 
 
 
F(gab)=k Tab
Einstein quiere representar la gravitación por los 10 
coeficientes independientes del tensor métrico del 
espacio-tiempo. Estos deberían ser determinados por la 
materia del universo, de acuerdo a las ideas de Mach…
Einstein quiere representar la gravitación por los 10 
coeficientes independientes del tensor métrico del 
espacio-tiempo. Estos deberían ser determinados por la 
materia del universo, de acuerdo a las ideas de Mach…
La doble estrategia de Einstein: 
la matemática parte de la física y es controlada por ella. 
El espacio-tiempo es pseudo-Riemanniano
Geodésicas
 25 de noviembre de 1915
Título: 
“Las Ecuaciones de Campo de la Gravitación”
Rµ⌫ �
1
2
Rgµ⌫ + ⇤ gµ⌫ =
8⇡G
c4
�
Tmatµ⌫ + T
EM
µ⌫
�
,
donde ⇤ es la constante cosmológica, Rµ⌫ = g��R��µ⌫ y R = gµ⌫Rµ⌫ son el
tensor y el escalar de Ricci, respectivamente, y R��µ⌫ es el tensor de Riemann (o
de curvatura). Este tensor de curvatura se anula si el espacio-tiempo es plano.
Tmatµ⌫ = (⇢+ p)uµu⌫ + p gµ⌫ ,
donde ⇢, p y uµ son la densidad, la presión y la cuadri-velocidad, respectiva-
mente.
TEMµ⌫ =
1
4⇡
✓
Fµ↵F
↵
⌫ �
1
4
F↵�F
↵�gµ⌫
◆
.
En la ecuación anterior, Fµ⌫ = Aµ;⌫ �A⌫;µ donde Aµ es el cuadri-potencial.
<latexit sha1_base64="oJp1M8M0WpefvM+YrNlGe7QGI8w=">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</latexit>
Ecuaciones de Einstein-Maxwell:
La estructura causal del espacio-tiempo está determinada por la 
densidad de energía y momento. 
Objetos compactos
M87
Agujeros negros
Agujero negro de Schwarzschild 
Métrica de Schwarzschild: corresponde a un espacio tiempo determinado
por una masa M que no rota y con carga neta nula. Viene dada en coordenadas
esféricas (de Boyer-Lindquist) por:
ds2 =
✓
1� 2GM
rc2
◆
c2dt2 �
✓
1� 2GM
rc2
◆�1
dr2 � r2(d✓2 + sin2 ✓d�2).
<latexit sha1_base64="1BjlBdF+/JopvffL33qcLHn3DsE=">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</latexit>
Agujero negro de Schwarzschild 
(1 − RSr ) c2dt2 = 1(1 − RSr )
dr2 dr
dt
= ± (1 − RSr )
Agujero negro de Kerr 
Métrica de Kerr: corresponde a un espacio tiempo determinado por una
masa M en rotación y con carga neta nula.
ds2 = gttdt
2 + 2gt�dtd�� g��d�2 � ⌃��1dr2 � ⌃d✓2
gtt = (c
2 � 2GMr⌃�1)
gt� = 2GMac
�2⌃�1r sin2 ✓
g�� = [(r
2 + a2c�2)2 � a2c�2� sin2 ✓]⌃�1 sin2 ✓
⌃ ⌘ r2 + a2c�2 cos2 ✓
� ⌘ r2 � 2GMc�2r + a2c�2.
<latexit sha1_base64="VC1Jt+Nw7lOAer49KyOZ2S5cHh0=">AAAER3icdVNNb9NAEHWTAsV8tXDkMqIlbYUSxeYAQkKqAAkkVKkI+iFlk2i9niSr2rvu7rpSZPnfceHKjb/AhQMIcWQSR61pyx7Ws2/nzZsZ70RZIq3rdr8tNZrL167fWLnp37p95+691bX7B1bnRuC+0Ik2RxG3mEiF+066BI8ygzyNEjyMjl/P7g9P0Vip1Sc3zbCf8rGSIym4I2i41uj7BYtGsMs20RmCIUZ4j8aUL0BoY9BmWhHEIVdABy6kBicxzbQfo0OTSsVjDZk25MEh5ZbDxu4GoAKjHbmzTa1gSsEUCG7GHBQ62vKEd3yfRTiWqsATxY3h0xJiOwhbL1vjYeFcGbtB+CSc2SybSDrGs2+bgNm3wmb7IGyzj3KccvYGE8cHRTsoY3OGQszchEQHIUt4hEkxr48prfI0QsMYVHKkC1uCaOHbXVNR56G2/RovuESc50FcYnFBhLCscQ2zUpHwPIELzLMiiNzbonyfUIpVhO1BCO2zU1UW1ENBvybyHw2/cmkxPMnlaQsWCrAIKrS9glRp1TmzdlQUc55gp96TsITzCKji8/85XF3vdrrzBZeNYGGse4u1N1z9ymIt8hSVEwm3thd0M9cvuHFSJFj6LLdIj/CYj7FHpuIp2n4xn4MSHhMSw4ie4kgrB3O0zih4au00jcgz5W5iL97NwKvuerkbPe8XUmW5QyUqoVGegKNZoKGCWBoULpmSwYWRlCuICTdc0IBYn5oQXCz5snEQdoKnnfBDuL7zatGOFe+h98jb8gLvmbfjvfP2vH1PND43vjd+Nn41vzR/NH83/1SujaUF54H3z1pe+gtmr2hX</latexit>
Todos los agujeros negros astrofísicos se 
piensa son descriptos por la métrica de Kerr.
Agujero negro de Kerr 
Agujero negro de Kerr 
Efectos astrofísicos a través de la ergósfera. 
LEM ∼ 4π
B2
8π
cR2g ∼ cB2R2g
M87