02

Vista previa del material en texto

El cálculo infinitesimal: una alternativa para la enseñanza en escuelas de Ingeniería 
 
 
EL CÁLCULO INFINITESIMAL: UNA ALTERNATIVA PARA 
LA ENSEÑANZA EN ESCUELAS DE INGENIERÍA 
Ismael Arcos Quezada 
Facultad de Ingeniería, UAEMéx 
iarcos@fi.uaemex.mx 
RESUMEN 
El cálculo infinitesimal, creado a finales del siglo XVII, fue exitosamente utilizado 
tanto en el desarrollo de la misma ciencia como en la solución de una gran 
cantidad de problemas de ingeniería, a lo largo de todo el siglo XVIII y las primeras 
décadas del XIX. 
Al aparecer la aproximación de Cauchy – Weierstrass, con base en el conjunto de 
los números reales, se fue dejando de recurrir a los infinitesimales, hasta que 
fueron literalmente desechados en el quehacer profesional de los matemáticos, a 
principios del siglo XX. 
Sin embargo, los físicos, y sobre todo los ingenieros, siguieron utilizando con 
mucho provecho los infinitesimales, situación que podemos observar actualmente 
en prácticamente cualquier libro de texto de ciencias básicas y de la ingeniería 
utilizado en la enseñanza en las escuelas de ingeniería. 
Así, mientras que la versión del cálculo que se enseña en estas escuelas es 
cercana a la versión de Cauchy – Weierstrass, la que es utilizada en los cursos de 
ciencias básicas y de la ingeniería es más bien próxima a la infinitesimalista de 
Leibniz y Euler, lo que provoca una discordancia didáctica con las consecuentes 
deficiencias en el aprendizaje. 
En este trabajo se expone una presentación infinitesimalista del cálculo que ya ha 
sido publicada y utilizada en las aulas. 
Las matemáticas en las escuelas de ingeniería 
Cuando se habla de los objetivos de los cursos de matemáticas, como parte del 
plan de estudios de las carreras de ingeniería, generalmente se indican aquellos 
que aluden a la matemática como herramienta y a los que le infieren un carácter 
formativo. 
Ahora bien, tal parece que se ha dado prioridad al carácter formativo de la 
matemática, en el entendido de que si el estudiante ha alcanzado un cierto 
dominio de ésta, como una disciplina formal, con toda su estructura lógica, estará 
capacitado, indudablemente, para utilizarla en cualquier contexto, en particular en 
el de las ciencias de la ingeniería, pues en éstas no aparecen sino aplicaciones 
particulares de los conceptos matemáticos que el estudiante conoce de manera 
general. 
Sin embargo, la experiencia muestra y la historia también, que en el aula las 
cosas no se dan de esa manera; los estudiantes no alcanzan el nivel mínimo 
deseado de dominio teórico de los conceptos matemáticos, resultando, además, 
que no son capaces de utilizar la matemática como una herramienta que les 
El cálculo infinitesimal: una alternativa para la enseñanza en escuelas de Ingeniería 
 
permita entender y manipular con habilidad los conceptos referentes a las ciencias 
de la ingeniería. 
Esta desvinculación o discontinuidad entre los cursos de matemáticas y los de 
ciencias es sólo uno de los problemas presentes en torno a la enseñanza y el 
aprendizaje de las matemáticas en las escuelas de ingeniería. Además de este 
podemos indicar que los cursos de matemáticas son, por lo general, el principal 
mecanismo de selección en las escuelas de ingeniería, situación que no resulta 
justificable, sobre todo si se considera que en la actividad profesional del ingeniero 
se tiene poca presencia de la matemática. 
Debido a lo anterior, en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma del 
Estado de México (FIUAEM) se ha venido trabajando la búsqueda de propuestas 
para la enseñanza de las matemáticas, y más precisamente del cálculo, que 
resulten lo más apropiadas posible para las escuelas de ingeniería. 
Análisis de textos 
Reconociendo que no debía fundamentarse el estudio de la matemática en su 
utilización por parte de los profesionales de la ingeniería, se centró la atención en 
la vinculación con los cursos de ciencias básicas y de la ingeniería. Desde esta 
perspectiva resulta de fundamental importancia identificar la manera en que los 
conceptos matemáticos son utilizados en las ciencias básicas, para así buscar 
hacer una presentación de dichos conceptos matemáticos, acorde con los usos 
que habrán de darles los estudiantes al abordar las ciencias básicas y de la 
ingeniería. 
Así pues, se procedió a hacer un análisis de textos, primeramente de algunos 
textos de ciencias básicas (mecánica, electromagnetismo y termodinámica), 
seguido de uno de textos de matemáticas (más precisamente de cálculo), para 
observar, entre otros aspectos, si la manera como se presentan los conceptos 
básicos del cálculo es congruente con aquella en que esos conceptos son 
utilizados en las ciencias básicas. Dicho análisis de textos se puede observar en 
mi tesis doctoral [1]. 
Además de los textos de uso actual se recurrió a algunos textos antiguos de 
cálculo, particularmente al Análisis de los infinitamente pequeños de L’Hôpital [2], 
el Cálculo infinitesimal de Bezout [3], y el Curso de análisis de Cauchy [4]. A partir 
del análisis de estos textos se puede concluir lo siguiente: 
(a) El uso que del cálculo se hace en los textos de ciencias básicas y de la 
ingeniería está más acorde con una presentación infinitesimalista que con 
la tradicional, basada en los límites. 
(b) Las cantidades infinitamente pequeñas son reconocidas y utilizadas 
ampliamente en la mayoría de los textos de ciencias básicas y de la 
ingeniería, mientras que no son ni siquiera aceptadas en los textos de 
cálculo. 
(c) La presentación tradicional se originó y desarrolló por la necesidad de un 
rigor lógico, y esta no es una necesidad, ni del ingeniero ni mucho menos 
El cálculo infinitesimal: una alternativa para la enseñanza en escuelas de Ingeniería 
 
del estudiante de ingeniería, por lo que tal presentación resulta poco 
entendible y carente de sentido para la mayoría de los estudiantes. 
(d) La misma presentación tradicional presupone, por parte de los estudiantes, 
un buen manejo de gran cantidad de conceptos relativos a las funciones y 
la teoría de conjuntos, lo cual implica dedicar una gran cantidad de tiempo 
en ello. 
(e) La aceptación de las cantidades infinitesimales no requiere negar el límite 
como concepto importante en el curso de cálculo. 
Así pues, a partir de 1997 se está trabajando en una propuesta infinitesimalista del 
cálculo en la FIUAEM. En ese año se publicó la primera edición del Cálculo para 
estudiantes de Ingeniería [5], y en 1999 la segunda edición [6] de este primer 
volumen, que trata del cálculo en una variable y la primera del cálculo II para 
estudiantes de Ingeniería [7]. 
Actualmente se trabaja en una nueva versión, en la que se propone orientar el 
curso hacia el acercamiento infinitesimalista aún más que como ocurre en las 
primeras ediciones. 
La propuesta 
Sabemos que a partir del siglo XIX se comienza a distinguir con claridad entre las 
actividades que se espera realicen, por una parte, los ingenieros, y por otra, los 
físicos o los matemáticos; igualmente desde entonces comienza a hablarse de 
matemática pura y matemática aplicada. Por otro lado, más o menos a principios 
de este siglo, los matemáticos terminan por desechar los infinitesimales, con base 
en la consideración de que al usarlos se cometen errores e imprecisiones. 
Sin embargo, en la enseñanza los cambios no se dieron de la misma manera en 
las distintas áreas del conocimiento. Mientras que en el caso de las matemáticas 
prevaleció el criterio de los matemáticos, y por lo tanto, se fue eliminando 
gradualmente el uso de los infinitesimales, quienes enseñaban ciencias básicas o 
de la ingeniería los siguieron utilizando. 
Desde la propuesta de 1997 se hizo una presentación del cálculo centrada en el 
uso de las cantidades infinitamente pequeñas o infinitesimales. Ahora se piensa 
que el primer curso de cálculo puede tener mucho mayor congruencia con los 
cursos de ciencias básicas y de la ingeniería si se da más importancia al concepto 
de diferencial y al proceso deintegración como el inverso de la diferenciación. 
Además, el recurso de la tecnología nos permite mostrar algunos resultados de la 
geometría infinitesimalista de finales del siglo XVII1, lo que a su vez posibilita el 
estudio de los problemas básicos del cálculo mucho más rápidamente que con el 
tratamiento tradicional. Algunos de estos resultados son los siguientes: 
a) Sustitución del arco por la cuerda 
Para una curva dada, un arco de la misma, correspondiente a dos puntos 
infinitamente próximos entre sí (es decir, situados a una distancia 
 
1 A este respecto, ver [8], que es otro artículo que se presenta en este mismo Foro. 
El cálculo infinitesimal: una alternativa para la enseñanza en escuelas de Ingeniería 
 
infinitamente pequeña) puede ser sustituida por el la cuerda 
correspondiente. 
b) Una curva es una poligonal con un número infinito de lados 
Una curva se puede considerar como una poligonal que une una infinidad 
de puntos de la curva. Cada uno de los lados de esta poligonal es 
infinitamente pequeño. 
c) Recta tangente 
La recta tangente a una curva, en uno de sus puntos, es aquella que une al 
punto dado con otro punto de la misma, situado a una distancia 
infinitamente pequeña. 
De esta manera, una vez que se define el diferencial como un incremento 
infinitamente pequeño, es posible decir que “La pendiente de la recta tangente, en 
cualquiera de sus puntos, es la razón existente entre el diferencial de la función 
(variable dependiente) y el diferencial de la variable (independiente)”. 
Consecuentemente, si se conoce la razón (de cambio), o sea la pendiente, y se 
desea estimar el incremento de la función, tenemos que: “El diferencial de la 
función (variable dependiente) es igual al producto de la pendiente de la recta 
tangente y el incremento de la variable (independiente)”. 
Todos estos resultados pueden abordarse desde las primeras dos o tres semanas 
del curso y no tener que esperarse hasta definir derivada, como ocurre en los 
textos tradicionales. A fin de cuentas primero se miden el tiempo y el 
desplazamiento y luego se define la velocidad, no al contrario. 
Por otra parte, resulta que los teoremas correspondientes al cálculo del diferencial 
de cualquier función algebraica pueden obtenerse recurriendo exclusivamente a 
las reglas de la aritmética infinitesimalista, a la serie binomial y a la definición de 
diferencial. Esto quiere decir que la parte algorítmica del cálculo diferencial puede 
abordarse también en las primeras semanas del curso. Posteriormente se pueden 
obtener otros resultados que permiten calcular el diferencial de cualquier función 
trascendente.2 
Así, por ejemplo, para las funciones polinomiales, tenemos que, si 
nxaxf =)( , 
entonces 
nnn xadxxaxfdxxfdxxdfxad −+=−+== )()()(),()( 
nnnnn xadxoxdxnxaxaxdxxaxad −++=−+= )](/1[)]/1([)( 2 
( es una expresión del orden de dx , es decir, un infinitesimal de 
segundo orden ya que dx es un infinitesimal) 
)( 2dxo 2
 
2 Estoy hablando aquí de las funciones de uso común en el cálculo: circulares o trigonométricas 
(directas e inversas), exponenciales (y logarítmicas) e hiperbólicas. 
El cálculo infinitesimal: una alternativa para la enseñanza en escuelas de Ingeniería 
 
dxxadxodxxanxadxodxxanxaxad nnnnnn 12121 )()()( −−− =+=−++= 
Para las funciones trigonométricas (directas), tenemos, por ejemplo, para la 
función seno: 
xdxxdxxxdxxxd sensencoscossensen)(sen)sen( −+=−+= 
dxxxdxxxxd cossencos)1(sen)sen( =−+= 
Y para las funciones trigonométricas (inversas), si 
uw sen= , 
entonces 
 , y , wu arcsen= duudw cos=
de manera que 
dw
w
dw
u
dw
u
duwd
22 1
1
sen1
1
cos
1)arcsen(
−
=
−
=== 
Este proceso de diferenciación será utilizado, tanto en el curso de Ecuaciones 
Diferenciales como en cursos de Ciencias Básicas y de la Ingeniería. Además, de 
esta manera los teoremas parta la derivación se obtienen inmediatamente y sin 
recurrir a teoremas absolutamente dispensables como la regla de la cadena y el 
de la derivada de la función inversa.3 
Por ejemplo, en el caso de la función , tenemos que: uufw sen)( ==
 u
du
duu
du
uduDuf u cos
cos)sen()sen()( ====′ 
Y también: 
 
dx
duu
dx
duu
dx
uduDx cos
cos)sen()sen( === 
De manera que la regla de la cadena es un resultado implícito con la presentación 
infinitesimalista. 
Por último me referiré a una situación muy importante, la del proceso de 
integración. Uno de los conceptos del cálculo infinitesimal que fue utilizado desde 
los primeros trabajos de Leibniz y que continúa empleándose actualmente en los 
textos de Ciencias Básicas y de la Ingeniería, es el de elemento (de una 
magnitud), el cual puede definirse como una parte infinitamente pequeña de la 
magnitud. 
La obtención de elementos de longitud (de una curva), de área (de una región 
plana o de una superficie alabeada) y de volumen (de un cuerpo sólido) es un 
 
3 Esto ocurre debido a que en la presentación infinitesimalista la derivada es un cociente de 
diferenciales, de manera que dy es una fracción, así que du / dx = (du / dy) (dy / dx) y dx / dy = 
1 / (dy / dx). En cambio, en la presentación tradicional la derivada no es un cociente, sino el límite 
de un cociente por lo que estos resultados deben ser demostrados. 
dx/
El cálculo infinitesimal: una alternativa para la enseñanza en escuelas de Ingeniería 
 
recurso básico en el estudio de las Ciencias Básicas y de la Ingeniería, por lo cual 
resulta importante que el estudiante se familiarice con este concepto. 
Supongamos que deseamos calcular la magnitud desconocida Ρ, y que podemos 
escribir una parte infinitesimal de P en función de una variable x y un diferencial de 
la misma, dx. Es decir, 
 , (donde P ) dxxdxxPxdP )()()( ρ=′= )()(' xx ρ=
de manera que P es una primitiva de ρ. Tenemos entonces que 
 CxPdxxxdPP +=== ∫∫ )()()( ρ
así que el proceso para la obtención de P consiste en (a) escribir una parte 
infinitesimal de P en la forma dP , (b) encontrar una primitiva 
P de ρ, de manera que podremos entonces escribir , y (c) Obtener el 
valor de la constante C, a partir de un par ( conocido. 
dxxdxxPx )()()( ρ=′=
P
), Px
CxP += )(
 
dx x 
dy 
ds 
y 
Fig. 1 Calculando la longitud de la circunferencia 
Por ejemplo, supóngase que se desea calcular la longitud de una circunferencia 
de radio a. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio a es 
, así que para el cuadrante correspondiente a , , tenemos 
que 
222 ayx =+ 0>x 0>y
2x−2ay = y 
22 xa
dxx
−
−
=dy 4, así que el elemento de arco (ver figura 1) será: 
 dx
xa
xxa
xa
dxxdxdydxds 22
222
22
22
222
−
+−
=
−
+=+= 
 dxx
xa
dxadx
xa
ads )(
2222
2
σ=
−
=
−
= 
con 
22
)(
xa
ax
−
=σ 
 
4 Obsérvese que, como dx > 0, entonces dy < 0, así que el segmento señalado en la figura es, en 
realidad, – dy. 
El cálculo infinitesimal: una alternativa para la enseñanza en escuelas de Ingeniería 
 
Ahora bien, una primitiva de 
22
)(
xa
ax
−
=σ es 
a
xarcsena , de manera que 
 C
a
xadx
xa
adss +=
−
== ∫∫ arcsen22 
Además, para , , así que C , por lo tanto 0=x 0=s 0=
 
a
xaxs arcsen)( = 
Por último, para obtenemos la cuarta parte de la circunferencia: ax =
 
2
1arcsen)( aaas π== 
Así que la longitud total de la circunferencia es aa ππ 2)2/(4 =
Esta es sólo una muestra de cómo se puede presentar el proceso de integración 
en el primer curso de cálculo. Si observamos este proceso es el que se sigue en 
los textos de ciencias básicas y de la ingeniería. 
El cálculo infinitesimal: una alternativa para la enseñanza en escuelas de Ingeniería 
 
REFERENCIAS 
[1] Arcos, I., Acerca de la enseñanza del cálculo en escuelas de 
ingeniería. Un acercamiento infinitesimalista, CINVESTAV-IPN, 
México, 2000. 
[2] L’Hôpital, Marqués de; Análisis de los infinitamentepequeños para el 
estudio de las líneas curvas, colección MATHEMA, UNAM, México, 
1998. Versión en español del original en francés: Analyse des 
infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, de 1696. 
Traducción e introducción de Rodrigo Cambray. 
[3] Bezout, E., Cálculo infinitesimal, Limusa-IPN, México, 1999. 
Traducción de la edición original en francés del siglo XVIII. 
[4] Cauchy, A. L.; Curso de análisis, colección MATHEMA, UNAM, 
México, 1994. Versión en español basada en los trabajos originales 
en francés: cours d’analyse (1821) y Résume des leçons sur le 
calcul ininitésimal (1823). Selección, traducción directa del francés y 
notas de Carlos Alverez e introducción de Jean Dhombres. 
[5] Arcos, I., Cálculo para estudiantes de ingeniería, Fundación ICA, 
UAEM, México, 1997. 
[6] Arcos, I., Cálculo I para estudiantes de ingeniería, 2ª edición, 
Fundación ICA, UAEM, México, 1999. 
[7] Arcos, I., Cálculo II para estudiantes de ingeniería, Fundación ICA, 
UAEM, México, 1999. 
[8] Arcos, I., Osorio, A., “Uso de la microcomputadora para la 
visualización en el cálculo infinitesimal”, Segundo Foro “La 
Enseñanza de las Matemáticas para Ingenieros”, UNAM, Octubre 
de 2003.