2019-12 6t0o FM -mat II

Vista previa del material en texto

Liceo Nº35 - IAVA
Examen Matemática II
23 de diciembre de 2019
Ejercicio 1
a) Define Hipérbola como lugar geométrico y usando la definición deduce la ecuación de una hipérbola
centrada en el origen y de vértices A = (a,0), A′ = (−a,0) y focos F = (c,0), F ′ = (−c,0) con a > 0 y
c > a.
b) Considera la hipérbola H de ecuación
x2
a2
− y
2
b2
= 1
y un punto P = (x0,y0) variable en en (H ). La tangente a (H ) en P corta a las asíntotas de la hipérbola
en los puntos R y S. Prueba que el área del triángulo ORS es constante y halla ese valor.
c) Representa gráficamente la siguiente región del plano:
y2−1 ≤ x2
x2 + y2 < 2y
y ≥ x
Ejercicio 2
Se considera la familia de rectas ecuación:
(rλ ) : λx+
(
λ 2
4
−1
)
y+
λ 2
4
−λ +1 = 0
a) Investiga si hay algún recta de la familia que pase por el punto (1,−1).
b) Halla la envolvente de (rλ ) y grafícala.
c) Indica en un gráfico las regiones del plano por donde pasan dos una o ninguna recta de la familia.
Ejercicio 3
a) Define parábola como un lugar geométrico y deduce -utilizando su definición- la ecuación de una
parábola de vértice el origen de coordenadas, y su foco F de coordenadas F = ( p2 ,0) con p ∈ R
+.
b) Deduce la ecuación de la tangente a la parábola de la parte a) en su forma desdoblada y por un punto
genérico de ella.
c) Sea P una parábola de ecuación
P : y2 = 2px
Por un punto (x0,y0) genérico de ella se traza la recta normal (recuerda que es la recta perpendicular a
la tangente en ese punto) que corta al eje Ox en un punto N. La distancia entre los puntos (x0,0) y N se
denomina sub-normal. Prueba que dicha sub-normal es constante e indica su valor.
Ejercicio 4
Sea la familia de cónicas
Ca : (1−a)x2 +(a−2)xy+ y2− (a+3)x+ y(a+3)+2 = 0
a) Discute género y naturaleza de las cónicas de Ca, según a real.
b) Escribe factorizada la ecuación de la cónicas degenerada de Ca.
c) Halla el lugar geométrico de los centros de Ca.
1
Liceo Nº35 - IAVA
Examen Matemática II
23 de diciembre de 2019
Ejercicio 5 (libres)
a) Define elipse como lugar geométrico y usando la definición deduce la ecuación de una elipse centrada
en el origen y de vértices A = (a,0), A′ = (−a,0), B = (0,b) y B′ = (0,−b) con a > 0 y b > 0.
b) Considera la elipse E y la parábola P de ecuaciones respectivas
E : x2 +
y2
4
= 1 y P : y2 = 4x
Halla el lugar geométrico de los polos de la familia de rectas tangentes a E con respecto a P .
c) Dada la elipse E de ecuación
E :
x2
25
+
y2
16
= 1
Prueba que el producto de distancias de los focos de E a una recta tangente cualquiera es constante y vale
16.
2