Resistencia_de_Materiales (3)

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Laboratorio de Resistencia de Materiales II 
José Carlos Lima 
1248414 
 
Introducción 
En el presente informe de laboratorio, realizado en los laboratorios del Tec de la 
Universidad Rafael Landívar, se resumen las prácticas realizadas para el curso 
Resistencia de Materiales II en el periodo de Interciclo 2016. 
En la primera práctica, se utilizó una probeta de concreto utilizando la norma ASTM 
C-31 y una viga de concreto reforzado con el objetivo de visualizar las fallas 
generadas por esfuerzos de compresión y utilizar el círculo de Mohr para comprobar 
los resultados debido a los esfuerzos principales. 
En la segunda práctica, se utilizó una simulación de viga con el objetivo de observar 
la deflexión y compararla con los resultados obtenidos al resolver las ecuaciones 
diferenciales. Para esto, se utilizó aluminio simulando una viga simplemente 
apoyada y acero simulando un empotrado en un lado y un apoyo simple en el otro 
extremo. 
En la última práctica, se realizó una columna con un perfil W soldado con el objetivo 
de visualizar el pandeo en columnas y una viga, utilizando el mismo perfil, simulando 
apoyos simples y agregándole una carga concentrada en un punto. 
A continuación, se hace una explicación del procedimiento y un análisis de los 
resultados obtenidos a través del curso. 
 
Marco teórico 
Esfuerzos en un elemento 
Las condiciones de esfuerzo que se encuentran al analizar elementos a tensión y a 
compresión, ejes sometidos a torsión y vigas a flexión son llamados esfuerzos 
planos. Se pueden encontrar esfuerzos mayores sobre secciones inclinadas. Para 
estudiarlos, asumiendo que se conocen los esfuerzos � , � y � mostrados en la 
figura 1a , y que se ha rotado un ángulo � como la figura 1b , los esfuerzos � , � y � se pueden descomponer en componentes y nombrarlos � , � y � . 
 
 (a) (b) 
Figura 1. Esfuerzos en un elemento. (Gere & Goodno, 2008) 
Para encontrar el valor de los esfuerzos � , � y � se debe hacer una sumatoria 
de fuerzas en las respectivas direcciones. Para expresar las ecuaciones de una 
forma más conveniente, se utilizan identidades trigonométricas, dando como 
resultado las siguientes ecuaciones � = ( � + � ) + � − � cos � + � � 
� = ( � + � ) − � − � cos � − � � 
� = − � − � � + � � 
Las ecuaciones de transformación de esfuerzos muestran que los esfuerzos 
normales � , � y los esfuerzos cortantes � varían continuamente a medida 
que varía el ángulo �. Los esfuerzos normales y cortantes alcanzan valores 
máximos y mínimos en intervalos de 90°, que suelen requerirse para diseños . (Gere 
& Goodno, 2008) 
Para encontrar los valores máximos y mínimos, llamados esfuerzos principales se 
deriva la ecuación de � con respecto a � y se iguala a cero. Una vez encontrados 
estos valores se puede hacer lo mismo para encontrar los valores de esfuerzo 
cortante máximo, derivando también la ecuación de � .con respecto a �. 
(Hibbeler, 2011) 
El esfuerzo normal que actúa sobre los planos de esfuerzo de cortante máximo es 
igual al promedio de los esfuerzos normales sobre los planos x y y. 
Las ecuaciones de transformación para esfuerzo plano se pueden representar de 
forma gráfica mediante un trazo conocido como círculo de Mohr como el mostrado 
en la figura 2c 
 
Figura 2 . Representación de esfuerzos en el círculo de Mohr. (Gere & Goodno, 
2008) 
Deflexiones en vigas 
Una viga puede ser lo suficientemente resistente como para soportar varias cargas 
en dirección perpendicular a su eje longitudinal, lo que genera una deformación en 
el eje con una forma curva. Esa curva formada es llamada curva de deflexión en la 
viga; pero si se pasa del límite que puede soportar, la viga fallará. La deflexión se 
define como el desplazamiento de cualquier punto sobre el eje de la vida en sentido 
perpendicular al mismo. (Gere & Goodno, 2008) 
Cuando una viga se flexiona, se forma un ángulo de rotación entre el eje de la viga 
y la tangente a la curva de deflexión. 
Para calcular la deflexión en una viga, se debe recordar que = = − 
En el rango elástico, todos los materiales se comportan siguiendo los enunciados 
de la Ley de Hooke. Como las curvas de deflexión de la mayor parte de vigas y 
columnas tienen ángulos muy pequeños, haciendo algunas aproximaciones 
podemos llegar a la conclusión que la pendiente de la curva de deflexión es la 
primera derivada de la expresión para la deflexión � = 
 
 
Y que = �� 
Por lo que = � = � � = � � ( ) = −� � 
Sabiendo esto, se pueden determinar las deflexiones de una viga por el método de 
integración aprendido en estática. Se debe tomar en cuenta las condiciones de 
continuidad que se presentan en puntos donde las regiones de integración 
confluyen. Además, se deben aprovechar las condiciones de simetría en apoyos y 
cargas para encontrar deflexiones máximas. (Gere & Goodno, 2008) 
 
Pandeo en columnas 
En el análisis de estructuras, se debe tomar en cuenta la rigidez y resistencia de los 
materiales. Otro tipo de falla es llamada pandeo, que es la flexión lateral de un 
elemento estructural. 
Si a una columna se le agrega una carga de compresión muy grande, el efecto de 
la columna será flexionarse lateralmente. Si la carga excede las condiciones críticas, 
la columna será inestable y fallará por pandeo. Para el análisis de cargas y las 
formas flexionadas de una columna ideal, se utiliza la ecuación diferencial del 
momento flexionante por simplicidad, cuya solución general es = � + � . 
Para resolver las condiciones de dicha ecuación, existen dos opciones. La primera, 
que la constante C1 sea cero, lo que representa que la columna está en equilibrio; 
la segunda, está dada por la ecuación siguiente, llamada ecuación de pandeo: = 
Como P no puede ser igual a cero, entonces se toma que KL=n� en donde n, 
llamado modo de pandeo, toma valores de 1,2,3,… Por lo tanto, obtenemos que � = � �� 
Para esta ecuación, dependiendo del tipo de apoyos, n toma un valor diferente. 
Por lo tanto, los valores de P dados por la ecuación se denominan carga crítica 
para una columna. El tipo de pandeo descrito anteriormente se le conoce como 
Pandeo de Euler gracias al matemático Leonhart Euler, quien investigó por 
primera vez el pandeo de una columna esbelta. (Gere & Goodno, 2008) 
Al dividir la carga crítica dentro del área de la sección, se determina el valor del 
esfuerzo crítico � � = � � = � �� 
 
Procedimiento 
Para realizar las probetas de concreto, se utilizaron unos moldes fabricados en el 
laboratorio cumpliendo con la norma ASTM C-31 utilizando cilindros con el doble de 
altura respecto a la base. Para la práctica se realizó una mezcla de mortero con 
proporción de 1:1 iniciando a mezclar la arena el cemento y la proporción necesaria 
de agua. Se aplicó aceite mineral al molde para poder retirar el testigo sin 
complicaciones. Se introdujo la mezcla en la probeta y se compactó según las 
indicaciones de la norma. Se fraguó y se probó luego de 7 días de fraguado 
aplicándole una carga de compresión utilizando una máquina universal Instron 
hasta hacerlo fallar (Imagen 1 ). Se analizaron los resultados y se comprobó 
mediante cálculos de esfuerzos. 
 
Imagen 1. Prueba de resistencia para probeta de concreto 
Para realizar la viga de concreto reforzado, se realizó la formaleta de la viga, para 
una viga de 16”x2”x4”. Luego, se realizaron los estribos con alambre de amarre. Se 
colocaron dos varillas de acero de refuerzo en la parte inferior, para soportar la 
tensión en la prueba con un recubrimiento de ¼” a una distancia de 1” entre ellas 
unidos mediante los estribos. Se realizó la mezcla de concreto y se fundió la viga. 
Se fraguó correctamente y luego de algunos días, se procedió a probarla 
colocándola como una viga simplemente apoyada y sometida a una carga 
concentrada en un punto. 
Para la práctica de la deflexión en vigas, primero se dedujo la ecuación de la 
deflexión en función dela posición utilizando el método de integración. Se calculó 
la deflexión máxima en función de la rigidez de la siguiente forma. 
 
Figura 3 . Idealización de una viga simplemente apoyada con una carga 
concentrada en un punto. 
Utilizando estática sabemos que � = � = � 
Como existe un salto en la función de corte se deben realizar dos ecuaciones de 
momento ∑ = � � � � � � �ℎ � � 
= { � ≤ <−� + � ≤ < } 
Integrando respecto a x para sacar las ecuaciones de deflexión y rotación, tomando 
en cuenta las condiciones de continuidad que se presentan y las condiciones de 
simetría en apoyos se obtiene que: 
��� = { 
 �4 − � ≤ <−�4 + � − �4 ≤ < } 
 
 
�� = { 
 � − � ≤ <− � + �4 − �4 − � + �4 ≤ < } 
 
 
Como es simétrica en apoyos y la carga se encuentra en el centro, entonces ��� = ( ) = �4 �� 
 
 
 
 
 
P 
L/2 A 
B L/2 
 
Figura 4 . Idealización de una viga empotrada en un lado y simplemente apoyada 
en el otro con una carga concentrada en un punto. 
Para la viga empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro, 
resolviendo las ecuaciones diferenciales se obtuvo que ( ) = � �� 
Para continuar con la práctica, se utilizó un equipo que contaba con un indicador 
digital de flexión llamado deflectómetro. Se colocó la viga simulando una viga 
simplemente apoyada con una luz efectiva de 540 mm y se le agregaron masas a 
una distancia específica respecto a un apoyo. Se tomaron los datos de la deflexión 
a medida que se aumentaba la carga y se dedujo la razón de cambio para verificar 
que se encontraba en el rango elástico y que la pendiente era lineal. Se repitió el 
análisis simulando una viga empotrada en un lado y simplemente apoyada en el 
otro. 
 
Imagen 2. Prueba de deflexión en vigas 
Para la práctica de la prueba de una columna, se empezó por tomar las medidas 
sobre una pieza de lámina negra. Se cortó siguiendo las medidas establecidas por 
el catedrático y se procedió a cortar las piezas con una máquina de corte plasma. 
Una vez cortadas las piezas, se procedió a soldarlas utilizando una mig-mac. Se 
colocaron las piezas simulando una viga de perfil W. Se soldaron siguiendo las 
especificaciones del encargado del laboratorio. Luego, se procedió a arreglar unos 
detalles menores con un esmeril y por último, se probó la columna a compresión 
hasta hacerla fallar. 
Adicionalmente, se utilizó uno de los perfiles fabricados para probarlo como una 
viga simplemente apoyada con una carga concentrada en un punto. 
P 
L/2 
A 
B L/2 
Datos y resultados 
Práctica 1. 
Probetas de concreto 
Para la prueba de concreto, se utilizaron 4 testigos aplicándole una carga de 
compresión 
Altura 6 in 
Diámetro 3.25 in 
Tabla 1. Datos generales 
Nombre Fuerza máxima Esfuerzo 
Beliceña 7432 lb 1051 psi 
Colopito 18878 lb 2651psi 
La nena 9325 lb 1319 psi 
Baldetti 3853 lb 545.3psi 
Tabla 2. Esfuerzos de compresión en probetas de concreto 
Viga de concreto 
Ejemplar Carga máxima 
1 2757.4 lb 
2 6571.8 lb 
3 3659.3 lb 
4 1073.7 lb 
Tabla 3. Esfuerzos en vigas de concreto reforzado 
 
Práctica 2. Deflexión en vigas 
Material Aluminio Material Acero 
Luz efectiva 540 mm Luz efectiva 400 mm 
Tipo de apoyos Simple/simple Tipo de apoyos Empotrado/simple 
Altura 3.05 mm Altura 3.05 mm 
Ancho 1.90 cm Ancho 1.90 cm 
Inercia 44,92 Inercia 44,92 
E 70 GPa E 200 GPa 
Tabla 4. Datos generales de la viga 
 
 
 
Masa 
(kg) 
Peso 
(N) 
Deflexión 
(mm) 
Promedio 
(mm) 
0.04 0.392 -0.36 0.343 
-0.32 
-0.35 
0.1 0.98 -0.95 0.957 
-0.96 
-0.96 
0.15 1.47 -1.56 1.54 
-1.51 
-1.55 
 0.25 2.45 -2.38 2.41 
-2.40 
-2.44 
-2.40 
Tabla 5. Masa y deflexiones en la viga simplemente apoyada 
 
Gráfica 1. Deflexión vs carga de una viga simplemente apoyada 
Masa 
(kg) 
Peso 
(N) 
Deflexión 
(mm) 
Promedio 
(mm) 
0.04 0.392 -0.03 0.03 
-0.03 
-0.03 
0.1 0.98 -0.06 0.066 
-0.07 
-0.07 
0.15 1.47 -0.10 0.10 
-0.10 
-0.10 
0.25 2.45 -0.16 0.163 
-0.16 
-0.17 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
C
a
rg
a
 P
Deflexión �
Tabla 6. Masa y deflexiones en la viga empotrada en un lado y simplemente 
apoyada en el otro 
 
Gráfica 2. Deflexión vs carga de una viga empotrada en un extremo y 
simplemente apoyada en el otro 
 
Práctica 3. Pandeo en columnas 
Ejemplar Longitud Carga máxima Esfuerzo 
1 30 cm 12,460.7 lb 37,511.32 psi 
2 20 cm 9071 lb 27,307.07 psi 
3 26 cm 12456.4 lb 37498.38 psi 
Tabla 7. Datos y resultados de columnas de acero 
Área: 0.33 in2 
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18
C
a
rg
a
 P
Deflexión �
Análisis de resultados 
Práctica 1. 
En los cilindros de mortero, se pudo observar en la gráfica que el material se 
comporta como un material frágil, además se pudo ver en los testigos el plano de 
falla que tiene un plano con una tendencia a formar los 45° en todos los sen tidos. 
Debido a ser un cilindro, se forma un cono provocado por el esfuerzo cortante 
como se observa en la imagen 3 
Este fenómeno se puede explicar haciendo un análisis del círculo de Mohr ya que 
el esfuerzo cortante máximo estaría a 90° en el círculo de Mohr, pero en el círculo 
de Mohr, el ángulo es el doble que el ángulo real, entonces el plano de falla sería 
a 45°. 
 
 
Gráfica 3. Curva deformación – 
esfuerzo de las probetas de concreto 
 
 
 
 
 
 
 
Imagen 3. Resultados de las probetas 
 
En las vigas de concreto reforzado, no se pueden analizar las gráficas ya que no 
fueron proporcionadas las gráficas reales de nuestro horario de laboratorio pero la 
gráfica 4 es representativa de las vigas de concreto reforzado. 
 
Gráfica 3. Curva deformación – esfuerzo de una viga de concreto reforzado 
Se puede observar una zona en donde existe un endurecimiento por deformación 
previo al esfuerzo último. En la zona en donde el esfuerzo disminuye ligeramente 
pasados las 7500 libras se debe a rupturas ocasionadas en la viga que no 
representaron la falla final en la estructura, ya que el acero estaba trabajando y 
absorbiendo la tensión en el elemento 
Al analizar los resultados de la viga en la imagen 4, se puede observar que la viga, 
por ser tan corta, tiene un pedazo con un ángulo cercano a 45° en don de se forma 
una armadura, lo que significa que en una distancia tan corta, sería más inteligente 
usar una armadura para soportar las cargas. 
 
Imagen 4. Viga pequeña de concreto reforzado con comportamiento como 
armadura 
 
Imagen 5 . Viga pequeña 
En la imagen 5 se puede observar una viga de concreto reforzado de mayor 
longitud. Al analizar las 3 vigas se puede notar que en las tres existe una falla a 
debida al esfuerzo cortante. También se puede notar en la imagen 6 la función del 
acero de refuerzo en la parte inferior que actúa para soportar la tensión. 
 
Imagen 6 . Vigas después de la prueba de resistencia 
Práctica 2 . 
Para analizar las vigas de aluminio y de acero, se realizó el procedimiento 
anteriormente mencionado en donde se obtuvo que la pendiente para el primer 
caso, debía ser = 4 �� 
 
Al introducir los valores respectivos en la ecuación de la pendiente, el resultado es 
9585.12MN/m. Para realizar los cálculos de la pendiente real, se trazó la gráfica 1 
 
Gráfica 1. (Repetida) Deflexión vs carga de una viga simplemente apoyada 
Con los valores tomados de la práctica, el resultado obtenido de la pendiente es 
9880.71MN/m. Al comparar los resultados se obtiene que el error es únicamente un 
2.99%. Claramente se puede ver que la tendencia es una línea recta, en donde los 
puntos obtenidos están a muy poca distancia de una recta ideal. 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
C
a
rg
a
 P
Deflexión �
La pendiente en el segundo caso, en donde la viga está empotrada de un lado y 
simplemente apoyada en el otro, se obtiene que = �� 
Al introducir los valores en esta ecuación se obtiene que m= 15.4011kN/m 
Para realizar los cálculos de la pendienteexperimental se trazó la gráfica 2 en 
donde también se puede observar que la ecuación es lineal y los puntos están muy 
cerca de la recta. 
 
Gráfica 2. (Repetida) Deflexión vs carga de una viga empotrada en un extremo y 
simplemente apoyada en el otro 
Al analizar la pendiente del caso real, se obtiene que es 15.3916kN/m 
El error porcentual es de 0.06%. 
Los errores en ambas prácticas se deben a que el material ha sido utilizado muchas 
veces y que el deflectómetro no ha sido calibrado a la perfección. A pesar de que el 
material no está en las mejores condiciones, se puede tomar como válida la prueba 
ya que los errores son menores a un 3% 
Práctica 3 . 
Al someter las columnas a compresión, una característica que presentaron todos 
los ejemplares fue el ajuste en ambos extremos. Como las columnas fueron 
realizadas con poco control de calidad, las piezas no eran uniformes en longitud, 
por lo que al ser sometidas a la carga, la máquina trató de “uniformizar” las 
columnas. Este fenómeno se ve reflejado en la gráfica 3 y 4 al inicio y se puede 
observar en la imagen 8 . 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18
C
a
rg
a
 P
Deflexión �
 
Gráfica 3. Curva de deformación – 
esfuerzo para una columna de acero 
 
Gráfica 4. Curva de deformación – 
esfuerzo para una columna de acero 
 
 
Imagen 8. Perfil no uniforme 
 
 
En los tres casos, hubo fallas por pandeo pero resultaron ser fallas locales, al 
contario de como se esperaba observar una deformación sinodal. En el primer caso, 
se logra apreciar en la gráfica que la columna se comporta como un elemento frágil. 
En el segundo caso, podemos observar que hubo una disminución en el esfuerzo 
entre 4500 y 6000 psi. Esto se debe a que hubo una falla local de soldadura, como 
se puede observar en la imagen 7 . 
 
Imagen 7. Falla local por soldadura 
en una columna con perfil W 
Gráfica 5. Curva de deformación – 
esfuerzo para una columna de acero
En el último caso de las columnas, se logra apreciar que hubo pandeo tanto en el 
eje “x” de la viga, como en el eje “y”, además de que la sección presenta cierta 
rotación respecto a su eje. Este fenómeno es llamado pandeo flexotorsionante. 
 
 
 
 
Imagen 9. Pandeo en columnas con fallas 
locales 
 
 
 
 
 
Proyecto 
El proyecto consistía en realizar un marco a momento con el objetivo de analizar el 
comportamiento ante cargas puntuales. 
El marco debía ser construido con zapatas de 15x15x3 cm, con dos columnas de 
6x6x24 cm y una viga de 4x48x6 cm. La separación de los estribos de la columna 
debía ser de 4 cm entre cada uno y en la viga debía de tener una distancia de 2cm 
en el primer y último tercio y a 4 cm en el tercio medio. 
Para la realización, se utilizó alambre de galvanizado simulando el acero en 
construcción. Para realizar los estribos se utilizó alambre de amarre y para las 
uniones estribo-viga/estribo-columna se utilizó alambre de flores. Se realizaron 
todo los estribos y se procedió a agregar cada estribo a la columna. Se realizó la 
zapata y la formaleta y se fundió con mortero. 
Se fabricó una viga utilizando las medidas mencionadas anteriormente y se realizó 
la formaleta. Por último se fundieron las columnas y la viga y se dejó fraguar. 
 
Imagen 10. Marco 
Una semana después, se probó el marco utilizando la máquina universal Instron 
como se muestra en la imagen 11. 
 
Imagen 11. Prueba de resistencia de un marco a momento 
 
 
 
 
 
Los resultados se pueden observar en las siguientes imágenes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imagen 12. Marco fallado 
En la imagen 12, se puede visualizar en el centro de la viga que, debido a que el 
cortante es cero, el momento es máximo, por lo que la falla se debe a flexión 
únicamente, además se puede apreciar que en las esquinas existe fallas con planos 
inclinados, esto se debe a que la fuerza cortante domina en esta parte de la viga 
Se puede observar también en las columnas que debido a que las conexiones con 
la viga llegaban cerca de la mitad de la columna, en esa parte la columna falló por 
flexión 
 
Imagen 13. Falla en una columna por flexión
Conclusiones 
La falla por esfuerzo cortante máximo se da en un plano de 45°. 
El cono formado por los cilindros a compresión se dio debido a que el esfuerzo 
cortante hizo fallar la probeta. 
Una viga muy pequeña se comporta como armadura. 
A medida que aumenta la longitud de una viga, las cargas se distribuyen de una 
mejor forma y los planos de falla se pueden apreciar de diferentes formas. 
La colocación del acero de refuerzo en una viga es de suma importancia para 
mejorar la resistencia, ya que soporta los esfuerzos de tensión. 
La deflexión máxima en una viga con apoyos uniformes y carga uniforme se da en 
el centro de la viga. 
La ecuación de la deflexión de una viga mientras se encuentre en el rango elástico 
se puede obtener mediante la resolución de las ecuaciones diferenciales. 
Se pudo comprobar prácticamente que el método de la resolución de ecuaciones 
diferenciales y el método de pendiente-deflexión son exactos para determinar la 
deflexión de una viga. 
El control de calidad para la realización de una viga de acero de patín ancho debe 
ser muy estricto ya que una mala soldadura puede generar fallas locales, así como 
una diferencia en la longitud de los patines o del alma puede generar pandeo local. 
Una columna puede tener fallas en su eje “x”, en el eje “y” o en ambos, así como 
presentar un fenómeno de torsión. 
Se puede determinar la curva de la deformación de una columna utilizando las 
ecuaciones de pandeo de Euler. 
Las columnas de mayor longitud son más esbeltas, por lo que la carga crítica que 
pueden aguantar es menor que una no esbelta. 
 
Referencias 
 
Carrillo, Osman (2016) Introducción al análisis de estabilidad 
Gere, J., & Goodno, B. (2008). Mecánica de materiales. Ciudad de México: Cengage Learning. 
Hibbeler, R. (2011). Mecánica de Materiales. Ciuda de México: Pearson Educación.