CEM337237

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INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES 
DE MONTERREY 
CAMPUS ESTADO DE MEXICO 
DIVISION DE GRADUADOS E INVÉS-TIGACION 
DIRECCION DE MAESTRIAS EN INGENIERIA 
BIBLl(1'fECJ.A 
DISEÑO PARAMETRIZADD DE CONECTORES CILINDRICOS DE 
ROBOT. POR MEDID DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
TESIS QUE PARA OPTAR EL GR_,\DO DE 
MAESTRO EN SISTEMAS DE MANUFACTURA 
PRESENTA 
RICARDO JUAN GONZALEZ JIMENEZ 
ASESOR: DR. PEDRO LUIS·1GRASA SOLER 
COMITE DE TESIS: DR. JAROMIR ZELENY STEISKAL 
M. EN C. CARLOS PEDROZA MONTES DE OCA 
JURADO: DR. JAROMIR ZELENY STEISKAL 
DR. PEDRO LUIS GRASA SOLER 
M. EN C. CARLOS PEDROZA MONTES DE OCA 
PRESIDENTE. 
SECRETARIO 
VOCAL 
A TIZAP AN DE ZARAGOZA, MEXICO, JUNIO DE 1995 
CONTENIDO GENERAL 
DISEÑO PARAMETRIZADO DE CONECTORES CILÍNDRICOS DE 
ROBOT, POR MEDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES. 
AGRADECIMIENTOS 
JUSTIFICACIÓN 
INTRODUCCIÓN 
1.- ANTECEDENTES (PARTE DE UN PROYECTO MAYOR) 
1.1. ALCANCE DE LA TESIS 
2.-.CONSIDERACIONES TEÓRICAS GENERALES 
2.1. DE LA ROBÓTICA A NUESTRO DISEÑO 
2.2. RECOMENDACIONES PARA EL DISEÑO DE DETALLE. 
2.3. MÉTODO GENERAL DE SOLUCIÓN 
3.- DISEÑO PARAMETRIZADO DEL CONECTOR 
3.1. DISEÑO POR CARGAS ELEMENTALES 
3.1.1. CARGA DE TORSIÓN 
3.1.1.1. TEORÍA 
3.1.1.2. DESARROLLO DE FÓRMULAS 
3.1.1.3. MÉTODO DE SOLUCIÓN 
3.1.2. CARGA TRANSVERSAL (VIGA) 
3.1.2.1. TEORÍA 
3.1.2.2. DESARROLLO DE FÓRMULAS 
3.1.2.3. MÉTODO DE SOLUCIÓN 
3.1.3. CARGA AXIAL (COLUMNA) 
3.1.3.1. TEORÍA 
3.1.3.2. DESARROLLO DE FÓRMULAS 
3.1.3.3. MÉTODO DE SOLUCIÓN 
3.2. DISEÑO POR CARGAS COMBINADAS 
3.2.1. TEORÍA 
3.2.2. DESARROLLO DE FÓRMULAS 
3.2.3. MÉTODO DE SOLUCIÓN 
3.3. DISEÑO POR DEFLEXIÓN 
3.3.1. TEORÍA 
3.3.2. DESARROLLO DE FÓRMULAS 
3.3.3. MÉTODO DE SOLUCIÓN 
¡¡ 
vi 
1 
1 
8 
9 
16 
18 
22 
23 
25 
25 
26 
27 
39 
45 
47 
48 
59 
61 
62 
63 
68 
72 
73 
74 
82 
83 
4.- ASISTENCIA COMPUTARIZADA PARA EL DISEÑO I (PROGRAMAS) 84 
4.1. INTRODUCCIÓN 85 
4.2. DESARROLLO DEL PROGRAMA 86 
4.3. PROGRAMAS 87 
4.3.1. disint2 87 
4.3.2. paso1 88 
4.3.3. paso2 88 
4.3.4. paso3 88 
4.3.5. disesp2 88 
5.- ASISTENCIA COMPUTARIZADA PARA EL DISEÑO 11 89 
(APLICACIONES PARA EL ANÁLISIS DEL DISEÑO) 
5.1. ANÁLSIS DIMENSIONAL DEL CONECTOR 90 
5.1.1. PROCEDIMIENTO 90 
5.1.2. GRÁFICAS 90 
5.1.3. CONCLUSIONES 91 
5.2. ANÁLISIS DEL ELEMENTO ESTRUCTURAL EQUIVALENTE 93 
5.2.1. PROCEDIMIENTO 93 
5.2.2. GRÁFICAS 93 
5.2.2.1. ELEMENTO ESTRUCTURA EQUIVALENTE 94 
5.2.2.2. ELEMENTO DE IGUAL RESISTENCIA 95 
5.2.2.3. ELEMENTO DE RESISTENCIA Y DIMENSIÓN 95 
RESTRINGIDA. 
5.2.3. CONCLUSIONES 96 
6.- EJEMPLOS 97 
6.1. EJEMPLO 1 (RDE ÓPTIMA) 98 
6.2. EJEMPLO 2 (ROBOT ESFÉRICO) 100 
6.3. EJEMPLO 3 (ROBOT CILINDRICO) 101 
APENDICES "SACD-PCCR" 
APENDICE 1 - SINTONIZACION DE RANGOS DE CARGA 103 
APENDICE 2 - PROGRAMAS 107 
APENDICE 3 - ELEMENTO ESTRUCTURAL EQUIVALENTE 129 
APENDICE 4 - RESUMEN DE CONFIGURACIONES 132 
APENDICE 5- RESUMEN DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES 138 
APENDICE 6-SUGERENCIAS PARA INCREMENTAR PcrY le. 143 
ANEXOS 
ANEXO 1 - GRÁFICAS 145 
ANEXO 2 -TABLAS 165 
?.-CONCLUSIONES GENERALES 174 
8.- BIBLIOGRAFIA 176 
JUSTIFICACIÓN 
El problema que se propone resolver es parte de un proyecto mayor1 del Centro 
de Tecnología y Productividad del ITESM-CEM. 
Como sabemos los robots son sistemas mecatrónicos, por lo que su diseño se 
convierte en un tópico multidisciplinario. Nuestro problema se ubica en los elementos 
óptimos del sistema mecánico2. Consiste básicamente en generar una serie de datos 
de los elementos, que muestre sus características mecánicas de diseño. Por lo que es 
necesario realizar un estudio parametrizable de: 
• Ensamblabilidad 
• Dimensionamiento 
• Esfuerzos 
• Materiales 
• Forma geométrica 
Como podemos apreciar, el estudio de cada elemento óptimo es muy amplio , 
por lo que es necesario dividirlo en submódulos. En nuestro caso estudiaremos los 
conectores cilindricos para generar dichos datos. 
Debido a la independencia de cada submódulo ( en el sentido de que el alcance 
de nuestro estudio no depende de los resultados obtenidos por los demás submódulos) 
es necesario hacer un estudio generalizado de los conectores cilíndricos que nos 
permita generar una serie de datos que en el futuro un sistema experto analizará, para 
determinar las características del conector que requiera el ROBOT, para lograr la o las 
aplicaciones que la industria Mexicana demande. 
A continuación se hará una breve explicación de la importancia de construir 
robots en México e implícitamente se entenderá la razón de nuestro trabajo. 
1 Diseno y manufactura de robots, este consiste en manufacturar robots modulares para cualquier 
aplicación requerida por le industria Mexicana. La modularidad, previene la obsolescencia y permite 
desarrollar los componentes del robot (hombro, codo, muneca, conectores ... ) individualmente. 
'2Ver pg. del teme "ALCANCE DE LA TESIS" 
ii 
La robótica siempre ha sido una área multidisciplinaria de investigación y 
desarrollo que involucra diferentes ingenierías como: mecánica, eléctrica, computación 
o manufactura. Debido a la competencia global por producción de calidad y a la 
necesidad de crecimiento económico de las naciones, la automatización en la 
manufactura se está convirtiendo en una prioridad en la agenda de las grandes 
organizaciones. El buen estado económico y la sobrevivencia de cualquier sector 
manufacturero depende del nivel de automatización y el impacto de los robots 
involucrados en las tareas de producción. En estos días se incrementa cada vez más 
el uso de los robots, ya sea en la manufactura y el manejo de materiales peligrosos, o 
bien en ambientes como el espacio o bajo el mar [R1]. 
Como otras máquinas, los robots industriales mejoran la eficiencia del trabajo y 
la seguridad, pero las características de lo que hacen, son únicas. Ellos perfeccionan 
movimientos constantes y repetitivos como lo hacen otras máquinas, pero ellos lo 
hacen en rangos más estrechos, con gran flexibilidad de movimiento y mucho más 
libertad de movimiento. Por lo tanto, los estándares de operaciones meticulosas deben 
ser dirigidas sobre la base de esas características particulares [R2]. 
Los expertos de manufactura ven que la necesidad de la robótica en la 
manufactura es cada vez mayor. Ellos sienten que una media-implementación de la 
tecnología robótica provocaría que algunos países desarrollados fueran menos 
competitivos en los mercados mundiales. Además, la efectividad en· el costo de los 
sistemas robóticos puede ser un aspecto que marque la diferencia entre un futuro 
brillante y la ruina de las industrias estadounidenses [4]. 
"Un robot es un manipulador reprogramable y multifuncional diseñado para mover 
materiales, partes, herramientas, o dispositivos especiales, por medio de variados 
movimientos programados para el performance de una variedad de tareas"[3]. 
En un primer análisis, las consecuencias más evidentes de la utilización de los 
robots son el aumento de la productividad ( cuando surge como una necesidad en el 
sistema de manufactura) y la mejora de la calidad de los productos fabricados, pues la 
repetibilidad y la precisión son dos de sus características fundamentales. Las causas 
que ocasionan la mejora de la productividad se pueden resumir como sigue[1 ]: 
iii 
1. Aumento de la velocidad en los procesos productivos. 
2. El elevado tiempo de funcionamiento sin fallos que es previsible esperar. 
3. Mantenimiento reducido y empleo de módulos normalizados en la 
reparación de averías 
4. Optimización substancial del empleo del equipo en la que el robot 
alimenta numerosas aplicaciones. 
5. Acoplamiento ideal para producciones de series cortas y medianas. 
6. Rápida amortización de la inversión. 
Las ventajas de los robots industriales se enlistan a continuación: 
1. Flexibilidad 
2. Alta Productividad 
3. Mejor calidad de productos 
4. Mejoramiento de la calidad humana de vida por medio del perfeccionamiento de 
trabajos peligrosos[2].5. Reducción de los costos de producción 
6. Incremento de la productividad 
7. Mejoramiento de la calidad del producto 
8. Cumplimiento de los normas de la OSHA3 
9. Sistemas integrados[6] 
1 O. Trabajos repetitivos 
11 . Automatización flexible[5] 
Los robos industriales son principalmente usados en las siguientes aplicaciones: 
• Carga y descarga de máquinas 
• Soldadura 
• Pintura 
• Ensamble 
• Inspección 
• Operaciones de forja y fundición 
• Manejo de materiales 
3 Occupational Safety and Health Act -Ley sobre segundad y sanidad profesionales. 
iv 
Cinco factores han servido para frenar el crecimiento e implementación de la 
tecnología robótica: 
1. Carencia de tecnología. 
2. Necesidad de invertir en investigación y desarrollo. 
3. Costos de nuevos accesorios y herramientas en la industria. 
4. Oposición de obreros y uniones laborales. 
5. Microconcepciones acerca de los robots.[4] 
Por lo anteriormente expuesto, podemos decir que: debido a la necesidad de 
competir en un mercado abierto y cambiante, en el que el consumidor exige productos 
de calidad, se requiere de la aplicación de técnicas modernas de manufactura, en la 
que los robots juegan un papel importante. 
La utilidad que se espera es: 
• Satisfacer al mercado nacional en el momento en que estén dispuestos a 
implantar tecnologías modernas de manufactura en sus empresas. 
• Crear tecnología propia en la manufactura de robots para desarrollar 
nuestro país y no depender tecnológicamente de los países desarrollados. 
• Gozar de las ventajas de la tecnología Robótica. 
Por lo: tanto al desarrollar el diseño parametrizado de conectores cilíndricos 
estaremos colaborando con los puntos anteriores. 
Cabe mencionar que los lugares en donde se están realizando proyectos 
semejantes son en la Universidad de Carnegie Mellon en Pittsburgh y la Universidad 
de Austin Texas en E.U.A. En el caso de Texas se realizó una investigación muy 
detallada de la necesidad industrial de la robótica, se determino que, debido al tipo de 
industrias establecidas es un lugar potencialmente factible para el uso de esta 
tecnología. 
V 
INTRODUCCIÓN 
Debido a la necesidad de competir en un mercado abierto y cambiante, donde el 
consumidor exige productos de calidad, se requiere de la aplicación de tecnologías 
modernas de manufactura, en la que los robots juegan un papel muy importante. 
Desde mi punto de vista, las etapas de creación de la parte mecánica de un 
robot, son las siguientes: 
1. Idea 
2. Estructura.- Tiene por objetivo ser rígida, no hay movimiento relativo entre 
sus conectores. 
3. Mecanismo.- Su propósito es transformar el movimiento. 
4. Robot.- Su propósito es mover objetos. Es multifuncional y reprogramable. 
Tienen en común ser la unión de conectores, por medio de: 
• Apoyos-En el caso de la estructura 
• Articulaciones-En el caso del mecanismo y del robot. 
El objetivo general de este trabajo es proponer un método, que permita realizar 
el diseño parametrizado de conectores cilíndricos de robot. Con el fin de reducir el 
problema de diseño a problema de selección y así colaborar con el diseño de robots 
modulares. 
Beneficios: 
• Reducción del ciclo de diseño. 
• Incremento en la velocidad de respuesta al cliente interno. 
• Creación de tecnología que se puede aplicar en otros campos. 
El método es el siguiente: 
1. Obtención de los elementos estructurales típicos de un conector cilíndrico 
de robot 
2. Diseño por resistencia 
3. Parametrización 
4. Velocidad en la obtención de resultados. 
• Programas y procedimientos 
• Base de datos (próximo paso) 
vi 
1. - Obtención de los elementos estructurales típicos de un conector cilíndrico de 
robot. El problema de este punto es conocer los tipos de apoyo y carga a los que 
usualmente se somete el conector en estudio. Se resolvió por medio del análisis de las 
posiciones críticas de las estructuras de robot, que tienen y podrían tener al menos un 
conector cilíndrico. 
2. - Diseño por resistencia. - En esta etapa el problema consiste en comprender 
los principios de esta área de la ciencia, para aplicarlos satisfactoriamente en el diseño 
de los elementos estructurales de los conectores. 
3. - Parametrización: El problema de la parametrización consiste en organizar la 
gran cantidad de datos que se pueden obtener. Entendiendo por datos las opciones 
estructurales y dimensionales de los conectores. Esto se resolvió: 
• Estandarizando la dimensiones por medio de la Relación de Esbeltez 
(RDE) 
• Formando grupos y subgrupos.- El primer grupo de conectores 
corresponde al diseñado por deflexión y el segundo al diseñado por 
esfuerzo. 
• Para el caso del problema de la gran cantidad de opciones dimensionales, 
se establecieron procedimientos para trabajar en rangos. 
4.- Velocidad en la obtención de resultados. Ahora lo que se requiere es tener 
resultados rápidos. Esto se logró por medio del desarrollo de programas. Como el 
lenguaje de programación es escalable, se puede crear una base de datos a partir de 
los programas propuestos. La tesis se compone de los siguientes capítulos: 
• En el capítulo uno, se expone el proceso de diseño de robots y se aclara 
el alcance de la tesis 
• En el Capítulo dos se expone el procedimiento de obtención de los 
elementos estructurales típicos de un conector cilíndrico de robot. 
• En el capítulo tres se exponen los criterios de diseño por resistencia y se 
plantea el problema de la organización de datos. 
• En el capítulo cuatro se generan los programas 
• En el capítulo cinco se establecen los procedimientos para trabajar en 
rangos para casos específicos y generales, así como una serie de 
sugerencias. 
• En el capítulo seis se exponen tres ejemplos 
• Finalmente en capítulo siete se exponen las conclusiones generales 
vii 
ANTECEDENTES 
CAPITULO} 
TAREA 
DEMANDAS 
ELEMENTOS OPTIMOS 
CARACTERfSTICAS DE 
CADA ELEMENTO 
MODELADO 
CINEMATICO Y 
DINÁMICO 
Dimensionamiento 
de las partes més 
importantes del 
robot 
RESISTENCIA DE 
MATERIALES 
, Estudio del 
---7 performance 
Antes de escoger 
CONFIGURACIÓN _ __.,.) cualquier confl~uracl6n 
.___ ______ -.J se deben considerar 
los aspectos anteriores 
Fía. 1. 1. 2. Proceso de dlae/fo de robots 
1.-ANTECEDENTES 
El problema que se propone resolver es parte de un proyecto mayor llamado 
"Diseño y Manufactura de Robots" a cargo del Centro de Tecnología y Productividad 
del ITESM-CEM. El objetivo es crear robots en función de la aplicación específica que 
la industria Mexicana requiera. El proyecto se basa en la modularidad1 y se considera 
que un robot es un sistema mecatrónico formado por los siguientes módulos. 
A 
Control de tareas Preactuador c 
t 
Controlador u Sistema 
a Mecánico 
d 
Algoritmos de control Sensor o 
r 
Fig. 1. 1. 1. Módulos del sistema mecatrónico o robot 
1Concepto que esta ganando gran aceptación en la industria, ya que el tipo de arquitectura resultante 
previene la obsolescencia. Además los módulos como son: hombro codo y muneca pueden ser 
parametrizados y desarrollados individualmente. 
2 
1.1. ALCANCE DE LA TESIS 
El objetivo de este capítulo es aclarar el alcance de la tesis, basado en tres 
argumentos; dos de la robótica y uno de la resistencia de materiales, que son: 
• Diseño total del robot en base a la robótica. 
• Diseño de un elemento del robot en base a la robótica. 
• Lógica mecánica. 
DISEÑO TOTAL DEL ROBOT 
Tradicionalmente las decisiones en el diseño del robot se han basado en 
simples especificaciones relacionadas al número de articulaciones, dimensiones, 
capacidad de carga y velocidad. 
Esto genera que el performance dinámico sea impredecible y como resultado, 
que las especificaciones del performance sean inciertas. Es preferible considerar la 
capacidad de carga como una función del performance y no simplemente como carga 
máxima. 
Por lo anterior, el Centro de Tecnología·y Productividad ha considerado el 
procesode diseño que se ilustra en la siguiente figura2: 
2Shymon Y. Nof "Handbook of industrial robotics" pg. 29 
3 
TAREA 
DEMANDAS 
ELEMENTOS OPTIMOS 
CARACTERÍSTICAS DE 
CADA ELEMENTO 
MODELADO 
CINEMATICO Y 
DINÁMICO 
Dimensionamiento 
de las partes más 
importantes del 
robot 
RESISTENCIA DE 
MATERIALES 
Estudio del 
--) performance 
Antes de escoger 
CONFIGURACIÓN --) cualquier configuración 
'------------ se deben considerar 
los aspectos anteriores 
Fig. 1.1.2. Proceso de diseno de robots 
Desde este punto de vista, podemos decir que nuestro trabajo de tesis será un 
antecedente para el dise~o total del robot, ya que el estudio abarca la parte de 
dimensionamiento en base a la resistencia de materiales. 
4 
DISEÑO DE UN ELEMENTO DEL ROBOT 
CONECTORES 
-Prismáticos 
-Cilíndricos 
-Cónicos 
-Cualquier forma 
Se requiere estudiar 
-Ensambabilidad 
-Dimensionamiento 
-Cargas máximas 
-Material 
ARTICULACIONES 
-Hombro 
-Cilíndricas 
-Prismáticas 
-Muñecas 
Se requiere estudiar 
-Modelado cinemático, 
-Modelado dinámico 
Base de datos con características de los elemento 
Fig. 1. 1. 3. Elementos óptimos 
Antes de continuar es necesario ubicar la parte del proceso de diseño que se 
considerará en esta tesis. 
Nuestro problema se ubica en los conectores cilíndricos de los elementos 
óptimos del sistema mecánico. Consiste en generar datos que muestren las 
características necesarias para el diseño parametrizado de conectores cilíndricos de 
robot. 
En la figura 1.1.2. se indica que para el diseño total del robot, lo más importante 
que deben indicar los elementos óptimos son las dimensiones. 
5 
Lo anterior se complementa con las recomendaciones típicas del diseño 
mecánico que dicen: " ... el diseño por resistencia3 debe ser considerado en la etapa 
inicial del diseño, ya que nos da la certeza de que la resistencia de la parte que se 
diseña es mayor que el esfuerzo atribuido a cualquier carga que se le pueda aplicar, 
aunque la rigidez y no el esfuerzo, sea con frecuencia el factor que determina el diseño 
de una parte4." 
Entonces, el medio adecuado de dimensionar un elemento en una etapa inicial, 
es aplicando la resistencia de materiales, ya que se garantiza que la resistencia del 
conector que se diseña, es mayor que el esfuerzo atribuido a cualquier carga que se le 
pudiera aplicar. 
También sabemos que la característica más importante del performance de la 
estructura del robot es la rigidez. Por esta razón hemos incluido un estudio de deflexión 
estáticos, obviamente basado en la resistencia de materiales. 
Es posible calcular la carga máxima que soporta un elemento estructural en 
función de la rigidez requerida. Debido a esto, el dimensionamiento de los conectores 
estará dado en función de la carga. 
Por lo tanto, la carga máxima o la resistencia de materiales puede ser un amigo 
o un enemigo dependiendo de la etapa de diseño en la que nos encontremos. 
Ya que, si estamos diseñando un elemento, es decir; si nos encontramos en la 
etapa de determinar las características mecánicas de los elementos óptimos, el diseño 
por resistencia es un excelente amigo. 
Pero si nos encontramos en la etapa del diseño total del robot y sólo 
consideramos el diseño por resistencia, estaremos cometiendo un grave error, ya que, 
ésta por sí sola no nos dice nada acerca del comportamiento dinámico del robot. 
3Diseno por resistencia se refiere a que esta basado en la resistencia de materiales o mecánica de 
materiales, en este trabajo se manejarán ambas palabras indistintamente. 
4J. E. Shigley "Diseno en ingeniería mecánica" Ed. McGraw-Hill pg. 5 
sver cap. 3.3. "Diseno por deflexión" 
6 
LÓGICA MECÁNICA 
La mecánica es una rama de la física que se divide en estática y dinámica. La 
dinámica estudia los cuerpos en movimiento y se basa en los resultados de la estática. 
La estática estudia cuerpos rígidos en reposo, sus resultados indican las cargas 
externas a las que se somete el elemento. 
Pero la estática no nos dice si el elemento es capaz de soportar las cargas, por 
lo que se hace necesario un análisis de resistencia de materiales, que es un área de la 
mecánica aplicada que estudia el comportamiento de los cuerpos sólidos sometidos a 
diferentes tipos de carga. Lo anterior nos permite dimensionar elementos para 
establecer el tamaño de un mecanismo o una estructura y así poder iniciar un estudio 
dinámico. Lo anterior se ilustra en la figura siguiente. 
I MECÁNICA I 
1 
1 1 
DINAMICA ESTATICA 
- Para iniciar, usar resultados de la estatica Considera cuerpos rígidos 
Sus resultados indican las cargas externas 
' 
a las que se somete el elemento 
La estática no nos dice nada acerca de 
si el elemento es capaz de soportar las cargas, -por lo que se hace necesario el estudio de: 
r '\ 
MECANICA DE MATERIALES 
Area de la mecánica aplicada que estudia el comportamiento 
de los cuerpos sólidos sometidos a diferentes tipos de carga 
Sus objetivos son: la determinación de esfuerzos, 
deformaciones y deflexiones 
1 Dimensionar elementos ~ 
1 
I Tamaño de una estructura o mecanismo¡ 
1 
Fíg. 1. 1. 4. Argumento de la lógica mecánica 
Por lo tanto, no se puede realizar un estudio dinámico confiable, si antes no se 
ha realizado un estudio estático, ya que es la única manera de tener una idea clara del 
tamaño de la estructura o mecanismo a analizar. 
7 
CONSIDERACIONES , 
TE O RICAS 
GENERALES 
CAPITUL02 
/ F ,, 
1- .• 1// 
l ) 
ir 
................. 
T.- ........ a.1611 
2.- CONSIDERACIONES TEÓRICAS GENERALES 
, . 
2.1. DE LA ROBOT/CA A NUESTRO DISENO 
El objetivo de este capítulo es mostrar cuales son los tipos de sujeción y carga a 
los que usualmente se somete un conector cilíndrico. Para lograrlo, mostraremos una 
serie de robots que se encuentran operando en la industria y que tienen en su 
estructura al menos un conector cilíndrico. Primero obtendremos sus correspondientes 
configuraciones, luego sus diagramas unifilares y finalmente su aproximación a 
elementos estructurales o diagramas de cuerpo libre1. 
Los robots que se muestran a continuación fueron obtenidos del Manual de 
robótica industrial, y del laboratorio de manufactura del ITESM-CEM. 
~-. 
Fíg. 2. 1. 1. Robot 
1Como se indicaré posteriormente, el diagrama de cuerpo libre muestre el tipo de sujeción y carga de un 
elemento mecánico. 
9 
Las configuraciones y sus correspondientes sistemas coordenados son los siguientes: 
Z (ELEVACIÓN) 
X (BASE DE AV~E) 
a) 
b) 
Fig. 2. 1. 2. Robot de configuración rectangular a} Sistema de coordenadas 
b) Diseño tlpico del robot. 
Z (ELEVACIÓN) 
R (ALCANCE) 
e (BASE DE GIRO) 
BASE DE GIRO 
a) ALCANCE 
CEXTENCION Y 
RETRACCION) 
b) 
Fig. 2.1.3. Robot de configuración cillndrica, a} Sistema de coordenadas 
bJ Diseno tlpico 
1 
10 
BASE DE GIRO ,, - -
~ / l~)'l 
.- .. / /lJ - -lDL~ 
.J 1 ¡,. ~ • ,r "':/ _// / 
~-
, . ., 'J 
_,,....-
,:>!-: / ,_ ELEVACIÓN 
( l ~tf íf ... 
1 
~ 
1 
(INCLINACIÓN) 
\\ --------- _-/ ) 
- __________ _,,,,/ 
a) 
/.,, 
ALCANCE 
(EXTENSIÓN Y 
RETRACCIÓN) 
Fig. 2. 1.4. Robot de con1;¡uración esférica. a) Diselfo tlpico 
b) Sistema de coordena as. · 
C> (ELEVACION 
R (ALCANCE) 
<:'° ) e (IASE DE OIRO) 
b) 
1t 
Por lo anterior podemos decir que el robot de la fig. 2.1.1. tiene configuración 
cilíndrica. Aprovechando la simetría, su diagrama de cuerpo libre es el siguiente: 
f. 
b) 
F 
;rM 
e) 
Fig. 2.1.5. Robot cilfndrico. a) Configuración, bJ Diagrama unifilar 
cJ Diagrma de cuerpo libre 
12 
El diagrama de cuerpo libre de la configuración rectangular es: 
T 
M.- Momento fle)tjonante 
T.- Momento de torsión 
e) 
Fig. 2. 1. 7. Robot de configuración rectanaular, aJ Confiauracl6n, 
b) Diagrama unifi/ar y cJ Diagrama de cuerpo libre 
13 
El diagrama de cuerpo libre de la configuración esférica es: 
F 
b) 
e) 
u ración 
14 
Por lo tanto, las condiciones de extremos y tipos de carga son en general vigas y 
columnas sometidasa diversas cargas, las cuales se muestran en la siguiente figura. 
F 
1 
¡ 111 
I a) 
---1 M 
T 
i r ¡ 1 
F 
_/ 
b) 
M.- Momento flexionante 
T.- Momento de torsión 
Fig. 2. 1. 9. Conectores de robot sometidos a distintos tipos de carpa 
aJ Columna sometida a compresión, flexión y torsión: bJ Viga en 
voladizo sometida a flexión y torsión y cJ Viga en voladizo a flexión 
15 
2.2. RECOMENDACIONES PARA EL DISEÑO DE DETALLE 
Basado en el handbook of industrial robotics2, el diagrama de ensamble del Cincinnati 
Milacron3 y el robot Mitsubishi del laboratorio de CIM del ITESM-CEM. Los conectores 
cilíndricos, funcionan de tres formas básicas. 
1.- Como soportes o guías ya sea verticales u horizontales. 
A~ 
Conectores cilindricoZa 
I ~ -, --, , [ 
2.- Para efectuar el movimiento de avance o retroceso del efector final o mano. 
< ) 
j ~ o [ 
A Conector cilíndrico de avance-retroceso 
El robot Cincinnati Milacron posee ambos casos. Después de estudiar el 
diagrama de ensamble, concluimos que: 
a) En el caso de guía vertical, basta con hacer una rosca el conector para alojar 
un plug (tapón). Lo demás esta sobrepuesto en el conector y no es necesario hacerle 
resaltes, lo cual minimiza la concentración de esfuerzos (ver fig. 9.13.17 del manual 
Cincinnati Milacron) 
2Shymon Y Nof Op. Cit. 
3cincinnati Milacron "Operating Handbook T 3 300 Series" 
16 
b) Para el conector que efectúa el movimiento de avance y retroceso de la mano, 
es suficiente con realizar un roscado en cada extremo. Estos alojarán un amortiguador 
de choques. Lo demás va sobrepuesto y es lo que permite la unión a la mano o a un 
punto fijo ver fig. 8.4.14 del manual Cincinnati Milacron. 
Por lo tanto, el diseño de detalle del conector se limitará a: 
• Diseñar la rosca en el extremo del conector 
• Estudiar como se alteran los esfuerzos en esa zona, por medio de la teoría de 
concentración de esfuerzos y deflexión . 
• 
17 
1.2. MÉTODO DE SOLUCIÓN 
El método de solución general se describe en la siguiente figura: 
DISEl'IO PARAMETRIZADO DE CONECTORES CILINDRICOS DE ROBOT POR MEDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
METOÓO GENERAL DE SOLUCIÓN 
DISEf:.10 POR ESFUERZO COMBINADO DISEf:.10 POR DEFLEX.IÓN 
CARGAS ELEMENTALES 
SISTEMA DE ASISTENCIA COMPUTARIZADO PARA EL DISEf:.10 PARAMETRIZADO DE CONECTORES CIUNDRICOS 
Fia. 1.1 MModo aenen,f de solución 
18 
DISE!\10 PARAMETRIZADO DE CONECTORES CILINDRICOS DE ROBOT POR MEDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
METODO GENERAL DE SOLUCIÓN 
DISEÑO POR ESFUERZO COMBINADO 
.-------------1 CARGAS ELEMENTALES 1-----------~ 
COMPRESIÓN 
DISEfilo DE COLUMNAS 
DISEfilo 
POR 
JOHNSON 
EMPOTRADA 
CON CARGA 
EN EL 
EXTREMO 
[ DISEfilo POR COMPRESIÓN j 
TRANSVERSAL 
DISEÑO DE VIGAS ---, 
SIMPLE 
APOYADA 
INDETERMINADAS 
EMPOTRADA 
CON CARGA 
EN EL CENTRO 
[oisEÑO POR~FLEXIÓN j 
TORSIÓN 
DISEÑO POR 
TORSION 
DISEÑO POR DEFLEXIÓN 
DISEÑO DE VIGAS 
e DISEÑO POR DEFLEXIÓ~ 
SISTEMA DE ASISTENCIA COMPUTARIZADO PARA EL DISEÑO PARAMETRIZADO DE CONECTORES CILINDRICOS 
Fig. 1. 2 Mt,todo general de solución a detalle 
19 
, , -
METODO DE CALCULO GENERAL PARA CADA DISENO 
PROPÓSITO 
Proporsionar en forma parametrizada: dimensiones, carga crítica, material y 
esfuerzo, de conectores cilíndricos de robot, sometidos a diversos tipos de carga. 
MÉTODO DE SOLUCIÓN 
Considerando los criterios de diseno de cada tipo de carga, manipular sus 
ecuaciones respectivas, para dejarlas en función de las variables requeridas longitud, 
carga y esfuerzo. 
Se propone: Módulo de elasticidad y esfuerzo de fluencia, así como un lazo de 
esbeltez y de diámetro. 
Con los valores propuestos y las ecuaciones realizar los cálculos que muestren 
en forma parametrizada: dimensiones, carga crítica, material y esfuerzo en los 
conectores, para cada tipo de carga. 
1.- Manipular 2. - PrTener: material 
ecuaciones - lazo e esbeltez y 
para cada lazo de diámetro 
tipo de diseno 
j 3.- Calcular I 
4. - Mostrar en forma parametrizada 
dimensiones, carga crítica, material 
y esfuerzo de los conectores para 
cada tipo de diseno. 
Fig. 1.3 Método de cálculo general 
.8 I B ! . . f ~'!. (, 1,_· 
20 
RESISTENCIA DE MATERIALES 
Resistencia de Materiales 
o 
Mecánica de Materiales 
o 
Mecánica de Cuerpos Deformables 
Esfuerzo 
Deflexión 
Deformación 
Las fórmulas que predicen el comportamiento mecánico no pueden emplearse 
en forma realista a menos que se conozcan ciertas propiedades de los materiales. 
Esfuerzo en el conector < Esfuerzo permisible 
donde: Esfuerzo en el conector, depende del tipo de carga 
Esfuerzo permisible = Reslatencla 
Factor de Hguridad 
Resistencia1: Es una propiedad característica del material. Esta propiedad 
puede ser inherente al material o bien originarse de su tratamiento y 
procesado. La resistencia de una pieza mecánica es una propiedad 
completamente independiente de que se someta o no a la acción de un a 
carga o fuerza. 
Resistencia 
Esfuerzo 
Esfuerzo 
último.Su-r------------:::;;;;;.-.,..__..;..._ 
Esfuerzo 
fluencia Sy _______ _ 
E 
Sy.- Materiales dúctiles 
Su.- Materiales frágiles 
E. - Diseño por deflexión 
Sy, E.- Columnas 
Fractura 
---~-----------~--
Deformación =Delta/L Reglón Fluencia End. por Estrlcción 
lineal deformac. 
1 Shigley pg. 281, Timoshenko pgs.1 y 13 
*Los materiales que soportan grandes deformaciones plésticas antes de la falla se clasifican como 
dúctiles. 
21 
CARGA DE , 
TORSION 
SECCIÓN 3.1.1. 
(~>1 E 
'"/ r 
"·,. ,.? 
..... ____ __ 
(a) (b) 
l~I 
(e) 
3.1.1. CARGA DE TORSIÓN 
3.1.1.1. TEORÍA 
La fig. 3.1.1. ilustra la aplicación de una fuerza a la torsión sobre una barra 
redonda. Obsérvese que la dirección del par de torsión aplicado (T) hace que la cara 
izquierda del elemento E esté sujeta a un esfuerzo cortante hacia abajo, y la cara 
derecha a un esfuerzo hacia arriba. Juntos, estos esfuerzos forman un par de fuerzas 
en el sentido contrario al de las manecillas del reloj sobre el elemento que debe 
equilibrarse mediante un par de fuerzas con dirección igual a la de las manecillas del 
reloj, creado por los esfuerzos cortantes que actúan en las caras superior e inferior. El 
esfuerzo cortante mostrado sobre el elemento E es puro. 
(b) 
101 
(c) 
Vista 
La convención de signos para la fuerza de corte no tiene sentido; el cortante 
positivo o negativo es básicamente lo mismo, y la convención de signos es meramente 
arbitraria. Cualquier convención de signos para el cortante es satisfactoria siempre que 
se use la misma a lo largo de cualquier problema. En esta tesis se ha convenido 
utilizar el signo positivo para el sentido de las manecillas del reloj. 
23 
Para una barra redonda a torsión, los esfuerzos varían linealmente desde cero 
en el eje a un máximo en la superficie exterior. Los libros de texto de resistencia de 
materiales contienen pruebas formales de que la intensidad del esfuerzo cortante en 
cualquier radio res: 
Tr 
T=-
J 
(Ec. 3.1.1.1) 
De interés particular, por supuesto, es el esfuerzo en la superficie, donde r es 
igual al radio externo de la barra. J es el momento polar de inercia en la sección 
transversal, el cual es igual a 111Í4 I 32 para una barra compacta de diámetro d . La 
simple substitución de esta expresión de la Ec. 3. 1. 1. 1 da la ecuación para el esfuerzo 
de torsión en la superficie en una barra sólida de diámetro d: 
16T 
T=-
mf3 
(Ec. 3.1.1.2.) 
La ecuación correspondiente para el esfuerzo de torsión en una barra redonda y 
hueca (es decir, tubería o tubo redondos) se obtiene sustituyendo la ecuación 
apropiada para el momento polar de inercia . 
Las barras huecas son mucho más eficaces para resistir cargas torsionales que 
las barras macizas. Como se explicó en los párrafos anteriores, los esfuerzos cortantes 
en una barra circular enteramente sólida son máximos en el perímetro de la sección 
transversal y nulos en el centro. Por lo tanto, mucho del material en una barra eje no 
hueca se esfuerzaconsiderablemente por debajo del esfuerzo cortante permisible. Si 
son importantes una reducción de peso y un ahorro de material, entonces se aconseja 
utilizar barras huecas. 
La fórmula para barra hueca es: 
16TD 
T=----
1r(D4 -d4) 
24 
Las suposiciones en relación con las ecuaciones anteriores son: 
1. La barra debe ser recta y redonda (ya sea sólida o hueca), y el par de torsión 
debe aplicarse sobre el eje longitudinal. 
2. El material debe ser homogéneo y peñectamente elástico dentro del rango de 
esfuerzo establecido. 
3. La sección transversal considerada debe estar alejada lo suficiente de los 
puntos de aplicación de la carga y de los que elevan el esfuerzo (es decir, agujeros, 
muecas, cuñeros, estrías supeñiciales, etc.) 
3.1.1.2. DESARROLLO DE FÓRMULAS 
0.577Sy 
r adm = pg. 367 Beer • 
N 
Condición 
TD ~D4 -d4) 
'f'=-·J=----
2J' 32 
TD 0.577Sy 
--
2J N 
0.577Sy2J 
~T=----
ND 
T = radm2J 
D 
3.1.1.3. MÉTODO DE SOLUCIÓN 
Calcular tadm 
Variar la relación de esbeltez de 20 < RDE<200 incrementos de 20 
Variar diámetro exterior 0.01 m<dext<0.05 incrementos de 0.01 m 
Variar espesor 0.001m<t<0.005 con incrementos de 0.001m 
Calcular d, J, T, le 
Consigna de espesor 
Consigna de dext 
Consigna RDE. 
*op.cit. 
25 
CARGA .. 
TRANSVERSAL 
(VIGA) 
CAPITULO 3.1.2. 
p 
r Á X B 
y 
(a) 
r 
y 
(b) 
Fig. 3.1.2.5. Flexión de una viga en voladizo 
3.1.2. CARGA TRANSVERSAL (VIGA) 
3.1.2.1. TEORÍA 
TIPOS DE VIGAS 
Un miembro estructural disenado para soportar fuerzas que actúan 
transversalmente a su eje se denomina viga. Las cargas en una viga tienen dirección 
perpendicular al eje, como lo muestra la fuerza P 1 que actúa sobre la viga AB de la ñg. 
3.1.2.1a. 
En este capítulo sólo se consideran los tipos de vigas más simples, como las 
que se representan en la ñg. 3.1.2.1. Tales vigas constituyen estructuras planas ya que 
todas las cargas operan en el plano de la figura y todas las deflexiones se presentan 
en el mismo plano, llamado plano de flexión. La viga de la ñg. 3.1.2.1.a, la cual consta 
de un apoyo articulado en un extremo y un apoyo simple en el otro, se denomina viga 
simplemente apoyada o viga simple. 
p1 p P2 
q Ma 
B A B 
! 
L l 
~ 1 f\ f\ R¡, R¡, 
(a) (b) (e) 
Fig. 3.1.2.1. Tipos de vigas: a}simple, b}voladizo y c}Con extremo volado 
En el apoyo simple B, se impiden los desplazamientos en la dirección vertical, 
pero no en la dirección horizontal; por lo que el apoyo puede soportar una fuerza 
vertical pero no una fuerza horizontal. 
27 
Al trazar el diagrama de una viga, se Indica el tipo de apoyo mediante un 
diagrama convencional que indique la manera en que se fija la viga; por tanto, 
también indica la lndole de fuerzas reactivas. Sin embargo, los diagramas 
convencionales no pretenden representar las estructura flslca real1: Por ejemplo, 
el extremo de una viga apoyado sobre un muro y atornillado fijamente para evitar su 
levantamiento se representa en un diagrama como una articulación, que en realidad no 
existe en el extremo de la viga. 
La viga que se muestra en la fig. 3.1.2.1.b, la cual está empotrada o fija · 
totalmente en un extremo mientras que el otro se encuentra libre, se llama viga en 
voladizo (o cantiléver). La viga no puede desplazarse ni girar en el extremo fijo (o 
empotrado), mientras que sí puede hacerlo en el extremo libre. Por consiguiente, en el 
empotre fijo se generan simultáneamente fuerzas y momentos reactivos. 
Las cargas que operan en las vigas pueden ser de varias clases, como se 
muestra en la fig. 3.1.2.1.; P1 y P2 son cargas concentradas. Las cargas distribuid• 
actúan a lo largo de un tramo como lo indica la carga q de la fig. 3.1.2.1.a. Tales cargas 
se miden por su intensidad, la cual se expresa en unidades de fuerza por unidad de 
longitud a lo largo del eje de la viga. Una carga uniformemente distribuida, o carga 
uniforme, tiene una intensidad constante q por unidad de longitud. Debido a que en el 
diseño de robots es más crítica una carga puntual, no se van a considerar las cargas 
distribuidas. 
La vigas que se muestran en la fig. 3. 1. 2. 1. son eatitlcamente detennlnad•, 
por lo que sus reacciones pueden determinarse mediante ecuaciones de equilibrio. 
Desde luego, las reacciones de vigas estáticamente indeterminadas no pueden 
determinarse sólo con las condiciones de equilibrio: su cálculo requiere considerar las 
deflexiones ocasionadas por flexión. Este tema se trata en capítulos posteriores. 
1Timoshenko op. cit. pg. 193 
28 
Los tipos de apoyo que se muestran en la fig. 3.1.2.1. y en el capítulo 2.1. son 
idealizaciones de las condiciones reales que se encuentran en la práctica. Debido a la 
carencia de rigidez perfecta en las estructuras de apoyo o cimentaciones, puede 
existir un pequeno grado de desplazamiento en un apoyo articulado o un 
pequeno giro en un apoyo fijo. Asimismo, es raro encontrar una ausencia total de 
restricción contra el desplazamiento horizontal (como se supone en el apoyo simple); 
en su lugar, puede desarrollarse una fuerza pequeña debida a la fricción y a otros 
efectos. En la mayoria de los casos, especialmente en las vigas estáticamente 
indeterminadas, estas pequenas desviaciones de las condiciones ideales tienen 
poco efecto en el comportamiento de la viga, por lo que pueden omitirse. 
FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE 
Cuando sobre una viga actúan fuerzas o momentos, se originan esfuerzos y 
deformaciones internos. Para determinarlos, primero se deben determinar las fuerzas 
internas y los momentos internos que se ejercen sobre las secciones transversales 
de la viga. Como ejemplo, considere una viga en voladizo sometida a la acción de una 
fuerza vertical P en su extremo libre fig. 3.1.2.2.a. Ahora imagine que se corta la viga 
en la sección transversal mn localizada a una distancia x del extremo libre, y se separa 
la parte izquierda de la viga como un cuerpo libre fig. 3.1.2.2.b. El cuerpo libre se 
mantiene en equilibrio por la fuerza P y por los esfuerzos que ·operan sobre la sección 
transversal del corte mn. Dichos esfuerzos representan la acción de la porción derecha 
de la viga sobre la porción izquierda. Desde luego, en esta etapa del análisis no se 
conoce la distribución de esfuerzos que actúan sobre la sección transversal; todo lo 
que se sabe es que la resultante de dichos esfuerzos debe ser tal que mantenga el 
equilibrio del cuerpo libre seleccionado. 
Es conveniente reducir la resultante a una fuerza cortante V, que se ejerce 
paralelamente a la sección transversal, y a un par flexlonante de momento M. Debido 
a que P es una carga perpendicular al eje de la viga, en la sección transversal no 
existen fuerzas axiales. Tanto la fuerza cortante como el par flexionante actúan en el 
plano de la viga, lo que significa que el vector momento correspondiente al par 
concentrado es perpendicular al plano de la figura. Este momento concentrado se 
conoce como momento flexlonante M. 
29 
p 
m 
n 
X 
p (a) 
! )M 
(b) V 
M ~! 
V 
(e) 
esultsntes de esfuerzo V~ M 
Oebido a que las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes, al igual que 
~:zas axiales en barras y los momentos torsionantes en ejes o barras ejes son las 
.. ,tantes de esfuerzos distribuidos sobre la sección transversal, se les conoce a 
,dos como resultantes de esfuerzo. 
Las resultantes de esfuerzo en vigas estáticamente determinadas pueden 
calcularse mediante el equilibrio estático. 
Los signos convencionales para fuerzas cortantes y momentos flexionantes se 
reproducen en la fig. 3.1.2.3., donde V y M se muestran cuando actúan sobre un 
elemento de viga limitando por dos secciones separadas en un pequeño intervalo. 
M V V 
( l e ! t ) 
M V M 
Fig. 3.1.2.3. Signos convencionales para fuerza cortante y momento 
30 
RELACIONES ENTRE CARGA, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO 
FLEXIONANTE 
Ahora se tratarán algunas relaciones importantes entre las cargas que operan 
sobre una viga, la fuerza cortante Vy el momento flexionante M. Dichas relaciones son 
muy útiles cuando se analizan la fuerza cortante y el momento flexionante a lo largo de 
la viga, y son especialmente convenientes para la elaboración de los diagramas de 
fuerza cortante y de momento flexionante (véase apéndice 5). En general, V y M son 
funciones de la distancia x medida a lo largo del eje de la viga. 
dV 
-=-q 
dx 
ec. (3.1.2.1.) 
Como un caso especial, observe que la fuerza cortante es constante si la viga no 
tiene carga (q =O). Al derivar la ec. (3.1.2.1.) se considera que la carga mostrada en la 
fig. 3.1.2.4.a es una carga positiva; por ello se han adoptado los signos convencionales 
de que las cargas son positivas cuando actúan de manera descendente y negativas 
cuando actúan de modo ascendente. 
q p Mo 
" M+M l' 1 V+dV M V M+M e r 1' 1 V ~ f I tl+dM 
(a) (b) (c) 
Fig. 3.1.2.4. Elemento de viga para obtener las relaciones entre cargas, 
fuerzas cortantes y momentos flexionantes 
Esta ecuación muestra que la razón de variación de M con respecto a x es igual 
a la fuerza cortante. Si la fuerza cortante es cero, el momento flexionante es constante. 
dM 
-=V 
dx 
ec. (3. 1. 2. 2.) 
31 
DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLEXIONANTE 
Las fuerzas cortantes V y los momentos flexionantes M en una viga son 
funciones de la distancia x medida según el eje longitudinal. Cuando se diseña una 
viga es útil conocer los valores de V y M en todas las secciones transversales. Una 
forma conveniente de obtener esta información es trazar una gráfica que muestre la 
forma como varían V y M en función de x. Estas gráficas se denominan diagramas de 
fuerza cortante y diagramas de momento flexionante. 
Estos diagramas nos indican como varían las resultantes de esfuerzo a lo largo 
del eje longitudinal de la viga y nosotros sólo necesitamos saber el punto en donde 
esos esfuerzos son críticos, por lo que dichos diagramas no son útiles para nuestros 
fines. 
ESFUERZOS EN VIGAS 
INTRODUCCIÓN 
Las cargas laterales que actúan sobre una viga, provocan flexión de la misma. 
Antes de que la carga se aplique, el eje longitudinal de la viga es una recta. Después 
de aplicar la carga, el eje se dobla hasta adquirir la forma de una curva fig. 3.1.2.5.b, lo 
que se conoce como la curva de flexión. 
p 
Á X r B 
y 
(a) 
A ¡ 
~--.;..;.;;.;;...;~--l_ 
y 
(b) 
Fig. 3. 1. 2. 5. Flexión de una viga en voladizo 
32 
Las vigas consideradas se suponen simétricas respecto del plano xy, lo que 
significa que el eje y es un eje de simetría de las secciones transversales. Además se 
supone que todas las cargas actúan en el plano xy. En consecuencia, las deflexiones 
por flexión se presentan en este mismo plano, que se conoce como plano de flexión. 
La flexión pura se refiere a la flexión de una viga bajo un momento flexionante 
constante, lo que significa que la fuerza cortante es cero. En contraste, la flexión no 
uniforme se refiere a flexión en presencia de fuerzas cortantes, lo que significa que el 
momento flexionante varia a lo largo del eje de la viga, por lo que está sometida 
únicamente a un momento flexionante igual a Pa; en consecuencia, la región central de 
esta viga está en flexión pura. Las regiones de longitud cerca de los extremos están en 
flexión no uniforme, ya que el momento flexionante M no es constante y se presentan 
fuerzas cortantes. 
&"=_Y = KJ' ec. (3.1.2.3.) 
p 
Esta ecuación establece que las deformaciones longitudinales en la viga son 
proporcionales a la curvatura y que varían linealmente con la distancia y desde la 
superficie neutra. 
ESFUERZOS NORMALES EN VIGAS 
A partir de las deformaciones normales podemos obtener los esfuerzos que 
actúan perpendiculares a la sección transversal de una viga. Cada fibra longitudinal de 
la viga está sometida únicamente a tensión o compresión ( esto es, las fibras están en 
un estado de esfuerzo uniaxial); en consecuencia, el diagrama esfuerzo-deformación 
para el material proporcionará la relación entre ux y ex. 
Los esfuerzos normales que actúan sobre la sección transversal varían 
linealmente con la distancia y medida a partir de la superficie neutra. Este tipo de 
distribución de esfuerzos se representa en la fig. 3.1.2.6.a, donde los esfuerzos son 
negativos (de compresión) por debajo de la superficie neutra y positivos (de tensión) 
por arriba de ella, cuando el momento aplicado Mo actúa en la dirección senalada. 
33 
y 
(a) 
y 
(b) 
Fig. 3. 1. 2. 6. Distribución de esfuerzos normales en una viga 
1 M 
K=-=--
p El 
I z 
1Y 
ec. (3.1.2.4.) 
Esta ecuación establece que los esfuerzos son proporcionales al momento 
flexionante M e inversamente proporcionales al momento de inercia 1 de la sección 
transversal. También, los esfuerzos varían linealmente con la distancia y desde el eje 
neutro. Si sobre la viga actúa un momento flexionante positivo, los esfuerzos son 
positivos (tensión) sobre la porción de la viga en la que y es positiva. Si actúan un 
momento negativo, se producen esfuerzos negativos (compresión) donde yes positiva. 
My 
u=-,: I ec. (3.1.2.5.) 
La ec. (3.1.2.5.) para los esfuerzos normales se denomina usualmente fórmula 
de la flexión. ( obsérvese que si se invierte el signo convencional de M, o si el eje y se 
supone positivo ascendente, se requiere un signo menos en la fórmula de la flexión). 
34 
El análisis anterior de los esfuerzos normales en vigas es el concerniente a 
flexión pura, lo que significa que sobre las secciones transversales no actúan fuerzas 
cortantes. En el caso de flexión no uniforme, la presencia de fuerzas cortantes provoca 
alabeo de las secciones transversales; así, una sección que es plana antes de la 
flexión no es del todo plana después de ella. El alabeo debido a cortante complica 
enormemente el comportamiento de la viga, pero análisis más laboriosos demuestran 
que los esfuerzos normales calculados con la fórmula de la flexión no se alterarán 
significativamente por la presencia de esfuerzos cortantes y el alabeo respectivo2 . Por 
lo que se justifica emplear la teoría de la flexión pura en el cálculo de esfuerzos 
normales aun cuando no ocurra flexión uniforme. 
La fórmula de la flexión proporciona resultados exactos únicamente en las 
regiones de la viga donde la distribución de esfuerzos no se interrumpe por 
irregularidades en la forma de la viga o por discontinuidades de carga. Tales 
irregularidades pueden producir esfuerzos locales llamados concentraciones de 
esfuerzos , que son mucho mayores que los esfuerzos obtenidos a partir de la fórmula 
de la flexión. 
FORMAS DE SECCIÓN TRANSVERSAL DE VIGAS 
En este análisis consideraremos únicamente los esfuerzos por flexión. Un disel'\o 
completo requiere también que los esfuerzos cortantes se mantengan por debajo de los 
valores permisibles (véase sección 3.1.2.2) y que se consideren los efectos de pandeo 
y concentraciones de esfuerzos. Pero en el caso de robots la falla por cortante no 
es importante, ya que las longitudes de los conectores son largas, por lo que 
existe la tendencia a fallar por flexión más que por cortante (véase sección 3.1.2.2) 
ec. (3.1.2.6.) 
crpcnn es el esfuerzo normal máximo permisible, el cual se basa en las 
propiedades del material y la magnitud del factor de seguridad deseado. 
2Timoshenko,Goodier "Theory of elastictty". Citado por Gere-Timoshenko. "Mecánica de Materiales" 
Grupo Editorial lberoamérica (México 1986) p.231 
35 
Comparemos ahora varios perfiles de sección transversal con respecto de su 
eficiencia en flexión. 
S = 0.125Ad Sección circular 
S = 0.148Ad Sección cuadrada 
S = 0.170 Ad Sección circular hueca para t=0.20 
S = 0.240 Ad Sección circular hueca para t=0.020 
La comparación de estos resultados indican que: 
• Una viga de sección transversal cuadrada es más eficiente que una 
circular de la misma área. 
• Una viga de sección transversal hueca es más eficiente que un maciza de 
la misma área. 
• Una viga de sección transversalhueca es más eficiente, si se reduce el 
espesor de pared t. 
ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS RECTANGULARES 
En esta sección y las siguientes trataremos la distribución de esfuerzos 
cortantes asociados con la fuerza ~rtante V. 
Empecemos con el caso más simple de una viga de sección transversal 
rectangular que tiene un ancho by una altura h (ver ñg. 3.1.1.). Podemos suponer que 
probablemente los esfuerzos cortantes ( r) actúan paralelos a la fuerza cortante V. 
Supongamos también que la distribución de los esfuerzos cortantes es uniforme a lo 
ancho de la viga. El empleo de estas dos suposiciones nos permitirá determinar 
completamente la distribución de los esfuerzos cortantes que actúan sobre la sección 
transversal. 
Un pequeño elemento de la viga puede recortarse entre dos secciones 
transversales adyacentes y entre dos planos que son paralelos a la superficie neutra, 
según se indica por el elemento mn en la ñg. 3. 1. 1. 
36 
De acuerdo con las suposiciones anteriores, los esfuerzos cortantes verticales ( r) 
están uniformemente distribuidos sobre las caras verticales de este elemento. También 
se sabe que los esfuerzos cortantes sobre un lado de un elemento se acompañan por 
esfuerzos cortantes de igual magnitud que actúan sobre caras perpendiculares del 
elemento fig. 3. 1. 1. Por lo que deben presentarse esfuerzos cortantes horizontales 
entre capas horizontales de la viga, así como esfuerzos cortantes transversales sobre 
las secciones transversales verticales. 
Esta observación acerca de la igualdad en los esfuerzos cortantes horizontales y 
verticales nos lleva a una importante conclusión relativa a los esfuerzos cortantes en 
las partes superior e inferior de la viga. Si consideramos que el elemento mn mostrado 
en la fig. 3. 1. 1. se sustrajo de la parte superior o de la parte inferior de la viga, es 
evidente que los esfuerzos cortantes horizontales deben ser nulos, porque no se 
presentan esfuerzos sobre las superficies externas de la viga. Por lo tanto, el esfuerzo 
cortante vertical ( r) también debe ser nulo en las partes superior e inferior de la viga 
(esto es r=O cuando y= h/2). 
Debido a la presencia de los esfuerzos cortantes para impedir el deslizamiento, 
la barra simple de altura 2h es más rígida y más resistente que dos barras separadas, 
cada una de altura h. 
VQ 
r=-
lb 
ec. (3. 1. 2. 7.) 
Basta observar que la fuerza cortante es la resultante de los esfuerzos 
cortantes; en consecuencia, los esfuerzos actúan en la misma dirección que la fuerza. 
Para muchos propósitos, únicamente se emplean valores absolutos en las fórmulas de 
cortante, y las direcciones de los esfuerzos se determinan por inspección, como en la 
fig. 3. 1.1. 
Para cargas concentradas, la distribución de esfuerzos cerca de las cargas es 
más complicada, pero estas irregularidades están muy localizadas y no afectan 
apreciablemente la distribución global de esfuerzo en la viga. Luego, es completamente 
justificable emplear la fórmula de la flexión, obtenida para flexión pura ec. (3.1.2.5.), en 
el caso de flexión no uniforme. 
37 
ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS CIRCULARES 
El esfuerzo cortante máximo se presenta en el eje neutro; 
4V 
Í., =-
max 3A 
ec. (3.1.2.8.) 
Esta ecuación establece que el esfuerzo cortante máximo en una viga circular es 
4/3 el esfuerzo cortante medio V/A. 
sección transversal circular hueca 
ec. (3.1.2.9.) 
DISEÑO DE VIGAS 
En vigas cortas, fuertemente cargadas, las dimensiones vendrán dadas 
generalmente por el esfuerzo cortante, que varía con V, mientras que en las vigas 
largas suele ser casi siempre el esfuerzo normal, o esfuerzo por flexión, el que limita la 
carga o determina las dimensiones de la sección, ya que el momento flexionante 
aumenta con la longitud y las cargas. 
Como una guía para usos prácticos, consideramos que una viga es robusta 
cuando presenta una relación de longitud a peralte menor o igual a 1 O. 
Si el esfuerzo admisible es diferente en tensión y compresión, la sección de la 
viga debe elegirse de tal manera que ( comparación de esfuerzos-formula) tanto para 
esfuerzos de compresión como de tensión. 
Posteriormente demostraremos que el diseño por cortante no tiene reelevancia 
en el diseño de conectores de robot. 
38 
3.1.2.2. DESARROLLO DE FÓRMULAS 
El objetivo de este capítulo es demostrar de una manera práctica, porque no es 
necesario diseñar por cortante los conectores de robot. Además se indicarán las 
fórmulas a emplear así como el método de solución descriptivo. 
¿Por qué no es importante el diseno por cortante? 
En base a la teoría consultada, sabemos que el diseflo por esfuerzo no es 
suficiente, un diseño completo incluye cortante y deflexión además del análisis por 
flexión. 1 
También sabemos que las vigas cortas fallan por cortante y las largas por 
flexión. El problema estriba en determinar cuando una viga es corta o larga, el libro de 
Timoshenko dice que para relaciones menores a 1 O: 1 Ud se consideran cortas para 
fines prácticos. 
Haciendo una analogía con columnas la anterior podría llamarse relación de 
esbeltez de vigas, de aquí en adelante así se manejará. 
Basándonos en la relación de esbeltez de vigas demostraremos que los 
esfuerzos por cortante son menos críticos que los esfuerzos por flexión aún para las 
vigas cortas. 
1Gere-Timoshenko, Op. Cit 
39 
DEMOSTRACIÓN PARA UNA VIGA EN VOLADIZO 
4V 
T =-
mx 3A 
M 
pg. 255 Timoshenko y pg. 446 Beer resp. 
ªe=~ 
s 
Condición de diseño 
donde: 
Q577S S 
r = Y · a = -2'... pg. 277 Shigley 
ldm N ' u:n N 
Factor de seguridad; N = 2.5 pg. 210 Juvinall 
m:13 
s=-
32 
Para una viga en voladizo 
Cortante Máximo; V = P 
Momento flector máximo; M = PL 
Carga aplicada; P =? 
Diseno por flexión 
Condición: 
ªe :5; aldm 
M SY ~<-
s - N 
PL Sy 
-<-
s - N 
sy s 
=->P=- ... I 
LN 
m:13 
s=-
32 
40 
Diseño por cortante 
Condición: 
Comentarios: 
'Z'"IIIK ~ 'Z'"ldm 
4V 0.577Sy 
-<---
3A- N 
4P 0.577SY 
-~---'-
3A N 
0.577Sy s3A 
~P= ... 2 
4N 
De las ecuaciones anteriores podemos decir: 
Para flexión: 
Para longitudes pequer'las la carga soportada crece, y para longitudes grandes 
disminuye o tiende a cero. 
Para cortante: 
Observamos que la carga soportada depende únicamente del factor de 
seguridad y no se toma en cuenta la longitud de la viga. 
Por esta razón se dice que para valores pequer'los de longitud el diser'lo queda 
determinado por cortante y para valores mayores por flexión. 
Con esto nos damos cuenta que el diser'lo por cortante no es necesario en el 
diseño de robots, porque: 
a) La longitud del manipulador es normalmente larga. 
b) Una fórmula que desprecia la longitud, cuando la longitud es importante en el 
diseño, no nos sirve, 
Para demostrarlo usaremos el caso crítico lid= JO 
41 
Sea: 
d = 4cm = 0.04m 
lid= JO 
=> / = lOd = IOx0.04 = 0.40m = I 
Material 
E = 200Gpa ; Sy = 320MPa 
Diseño por flexión 
,a:J3 -' o 04) 3 
s = - = 'J\ · = 6.283Xl0-6m3 
32 32 
p = _0._68---'-(3_2_0M---'--)6_.2_83_X_I_0-6_ 
0.40x2.5 
P = 1367N 
Diseño por cortante 
A = m:J2 = n{0.04)2 = l.25Xl0-3 m2 
4 4 
o.s11(320MX3X 12sx10-3) 
P=~~~~~~~-
4(2.5) 
P = 69'607N 
La carga crítica esta dada por flexión, ya que es la que soporta menos. 
Sea: 
d = 4cm = 0.04m 
/ld=2 
=> I = 2d = 2x0.04 = 0.08m = I 
Material 
E = 200Gpa ; Sy = 320MPa 
42 
Diseño por flexión 
mi3 ,r(0.04)
3 
s = - = = 6.283X10~m3 
32 32 
p = _0._68_(3_2_0M_)6_.2_83_X_I_O~_ 
0.08x2.5 
P = 6'835N 
Diseño por cortante 
A = :a12 = ,r(0.04)2 = l.25Xl0-3 m2 
4 4 
o.s11(320MXJX1.2sx10-3) 
P=--------
4(2.5) ' 
P = 69'607N 
La carga crítica esta dada por flexión, ya que es la que soporta menos. 
Sea: 
d = 4cm = 0.04m 
lid =20 
=> I = 20d = 20x0.04 = 0.80m = I 
Material 
E = 200Gpa ; Sy = 320MPa 
Diseño por flexión 
:a:i3 ,r(0.04) 
3 
s = - = -- = 6.283XIO~ m3 
32 32 
p = _0.6_8_(3_2_0M_)6_.2_83_X_I_o~_ 
0.80x2.5 
P = 1005N 
43 
Diseño por cortante 
A= m:12 = ,r(0.04)2= l.25Xl0-3m2 
4 4 
o.s11(J20MXJX1.2sx10-3) 
p = ---------
4(2.5) 
P = 69'607N 
Una vez mas la carga crítica esta dada por flexión, ya que es la que soporta menos. 
Con lo anterior queda demostrado de una manera práctica que el diseño por 
cortante no se justifica cuando diseñamos robots. 
DELIMITACIÓN DEL ESTUDIO DE LAS VIGAS 
Basado en las vigas más usuales2, en las vigas de las estructuras de los robots: 
Cincinatti Milacron y Mitsubishi (Lab. del ITESM CEM); las vigas a analizar serán3: 
1.- Empotrada con carga concentrada en el extremo (Caso del Cincinatti 
Milacron) P=M/L pg. 706 Juvinall 
2.- Simplemente apoyada con carga en el centro (Caso del Mitsubishi) P=4M/L 
pg. 708 Juvinall. 
3.- Doblemente empotrada con carga en el centro (Caso del tipo pórtico) P=BM/L 
pg. 711 Juvinall. 
Cabe recordar que estamos analizando casos críticos, por esta razón no es 
necesario analizar cargas en cualquier punto de la viga o determinar el momento 
flexionante en cualquier punto de la viga. 
2R.C. Juvinall Op. Cit. pgs. 157,7~711 
3 Ver sección 2.1. 
44 
3.1.2.3. MÉTODO DE SOLUCIÓN PARA UN CONECTOR 
TRABAJANDO COMO VIGA DOBLEMENTE EMPOTRADA CON 
CARGA CENTRADA 
Fórmulas a emplear: 
Momento flector: 
Carga aplicada: 
Dise;to por flexión 
M=PL 
8 
CTc ~ cradm 
M Sy 
~<-
s - N 
PL SY 
-<-
8s - N 
8Sy s 
~Pc= LN ... I 
o bien P = 8 Mmx/L 
donde: 
Mmx = Sys/N 
Sy: Esfuerzo de fluencia 
Módulo de sección: s = nd
3 
para barra maciza 
32 
n(D4 d4) 
s = barra hueca 
L: Longitud de la viga 
N: Factor de seguridad 
32D 
Ud: Relación de esbeltez de la viga 
MÉTODO DE SOLUCIÓN -Viga doblemente empotrada con carga en el centro. 
45 
Dato 
Esfuerzo de fluencia Sy 
Procedimiento: 
Variar la relación de esbeltez de 2 :s: I / D ~ 50 con 4 = 
Variar el diámetro exterior O. O 1 ~ D ~ O. 05 con 4 = O. O 1m 
Variar el espesor de pared de O.001 ~ t ~ o. 005 con 4 = o. 00 lm 
Calcular d, L, s, P, Ud y ur 
Repetir el procesos hasta alcanzar la consigna de espesor 
Repetir el proceso hasta alcanzar la consigna de diámetro exterior. 
Repetir el proceso hasta alcanzar la consigna de esbeltez. 
MÉTODO DE SOLUCIÓN - Vigas restantes 
El procedimiento anterior es el mismo lo único que cambia es el valor del 
momento flexionante que varía dependiendo de las condiciones de frontera o sujeción. 
Datos 
Sy, dext,t y N 
Procedimiento 
Calcula: dint, k, L, s. Mmx, Ur, Pcr 
Imprime: Pcr. 
46 
CARGA AXIAL 
(COLUMNA) 
SECCIÓN 3.1.3. 
p p 
B 
L 
\ / 
(a) (b) 
Fig. 3. 1. 3. 1. Pandeo de una columna debido a una carga de compresión 
3.1.3. CARGA AXIAL (COLUMNA) 
3.1.3.1. TEORÍA 
ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESION-GENERALIDADES 
Las estructuras y maquinaria pueden fallar en una gran variedad de formas, de 
pendiendo de los materiales, tipos de carga y condiciones de apoyo. Muchos de estos 
tipos de falla se evitan diseñando los miembros en forma tal que sus esfuerzos y 
deflexiones máximos permanezcan dentro de límites tolerables. Luego , la resistencia 
y rigidez de un miembro son los criterios importantes en el diseño (ver vigas). 
Ot.ro tipo de falla es el pandeo, que constituye el tema de este capítulo. Se 
considerará específicamente el pandeo de columnas ( esto es, los miembros 
estructurales largos y esbeltos cargados axialmente en compresión) fig. 3.1.3.1.a. Si el 
miembro es esbelto, entonces en lugar de fallar por compresión directa, puede 
flexionarse y presentar una deflexión lateral fig. 3.1.3.1.b y se dice que la columna se 
ha pandeado. 
p p 
B 1 
l 
B 
(a) (b) 
Fig. 3. 1. 3. 1. Pandeo de una columna debido a una carga de compresión 
Los elementos sometidos a compresión se clasifican según su longitud, y si la 
carga se aplica en el centro, o bien si es excéntrica. El término columna se aplica a 
todos estos elementos salvo a aquéllos en los que la falla sería compresión simple o 
pura. Entonces, las columnas se pueden clasificar como: 
1.- Columnas largas con carga central o en el centro 
2. - Columnas de longitud intermedia con carga central 
3.- Columnas con carga excéntrica 
4.- Puntales o columnas cortas con carga excéntrica 
48 
Al clasificar las columnas como se hizo pueden desarrollarse métodos de 
análisis y diseño específicos para cada categoría. Además, estos métodos revelarán 
asimismo si se ha seleccionado o no la categoría apropiada para un problema en 
particular. 
En el capítulo siguiente que corresponde a esfuerzos combinados, se ha 
estudiado un sólido prismático no esbelto, con eje recto y vertical, sometido a fuerzas 
compresivas no axiales. Se ha visto que fuerzas de este tipo pueden sustituirse por una 
fuerza axial y momentos constantes o variables a lo largo del sólido, según los planos 
yz y XZ. Debido a las proporciones del sólido, se ha supuesto que las 
defonnaciones transversales, según los ejes Y y X son despreciables y nula su 
influencia sobre los momentos en los planos yz y XZ, por lo que el método de 
superposición es aplicable. 
Los elementos esbeltos sometidos a compresión son importantes en el diseno 
de robots porque: 
1 ) Un cambio ligero en la verticalidad de una columna, tiene mayor importancia 
que en la verticalidad de un tirante o en la horizontalidad de una viga. 
2) Un pandeo o curvatura inicial de fabricación tiene mayor importancia en una 
columna, que en una viga. 
3) Una variación ligera en el punto de aplicación de una carga, tiene mayor 
importancia en una columna que en una viga. 
4) Una carga horizontal imprevista tendrá, en la mayoría de los casos, más 
importancia en una columna que en una viga. 
Todos los accidentes enumerados antes tienden a producir una deformación o 
desplazamiento horizontal en la columna y como ésta, debido a la continuidad con las 
vigas que soporta, se halla sometida a carga compresiva y a momento flexionante y 
este momento flexionante produce a su vez deformación o desplazamiento horizontal, 
resulta que el desplazamiento horizontal sufre un incremento, que produce en eJ 
momento flexionante otro incremento, el cual a su vez, produce un nuevo incremento 
en el desplazamiento horizontal, etc. 
49 
Esta serie de circunstancias muestra la razón por la que habitualmente las 
columnas fallan por momento flexlonante, antes que por compresión directa, 
especialmente cuando son esbeltas y el porqué del cuidado que debe ponerse en su 
diseño y de la inexactitud en la aplicación del principio de superposición. Por lo que, 
este principio, aunque es aplicable es inexacto. 
Es evidente, que a menor sujeción de los extremos y a mayor relación de 
esbeltez, la deformación horizontal o pandeo será mayor y por lo tanto, la carga y el 
esfuerzo admisibles en la columna serán menores. 
COLUMNAS LARGAS CON CARGA CENTRAL 
A continuación se desarrollará el tema de las relaciones que pueden encontrarse 
entre la carga crítica, el material de la columna y la configuración geométrica, en 
relación con la fig. 3.1.3.2.a. 
p p pi p 
X 
U4i 7-:-
1 
--+- A 
L :j 
0.7 
L 
B 
y 
(a) (b) (e) (d) 
Fig. 3.1.3.2.s)Columns con extremos redondeados, bJ extremos empotrados. 
cJExtremo libre y empotn,do y dJ Extremo empotrado y srticu/sdo 
a) Columna con extremos redondeados o articulado; b) con ambos extremos 
empotrados; e) con un extremo libre y otro empotrado; d) con un extremo redondeado y 
dirigido, y el otro empotrado. 
50 
Se supone una barra de longitud I con una carga P que actúan según el eje 
centroidal y sobre extremos redondeados o con pasador. La figura muestra que la 
barra se flexiona en el sentido positivo de y. Para que suceda esto se requiere que 
haya un momento flexionante negativo y, por tanto, 
M=-Py ec. (a) 
Si la barra se flexionara en el sentido negativo de y, el momento sería positivo y, 
así, M = -Py, como antes. Usando la ecuación diferencial para el momento flexionante 
se escribiría 
ec. (b) 
Esta se asemeja a la ecuación diferencial, bien conocida, para el movimiento 
armónico simple. La solución es 
ec.(e) 
donde A y B son constantes de integración y deben determinarse a partir de las 
condiciones de frontera del problema. Se evaluarán utilizando las condiciones de que Y 
= O en x =Oyen x = 1 Esto da B = O, de manera que: 
ec. (d) 
La solución trivial para pandeo nulo se obtiene cuando A = O. Sin embargo, si 
A ":t: o , entonces: 
O=senfu/ ec. (e) 
51 
La ecuación (e) se satisface con ~P/EI = mr donde n= 1,2,3 ... Si se despeja P 
cuando formula, la solución dará la primera caga crítica: 
p = !?El 
cr /2 ec. (3.1.3.1) 
Expresión que recibe el nombre de fórmula de la columna de Euler y se 
aplica sólo a columnas de extremos redondeados. Si se sustituyen estos resultados en 
la ecuación (c) se obtiene la ecuación de la curva elástica. 
7rX 
y= Asen-
/ 
ec. (f) 
La cual indica que la curva de la deflexión corresponde a media onda de 
senoide. En este análisis sólo interesa la carga crítica mínima, que ocurre cuando n= 1. 
Sin embargo, aunque no es importante por ahora, cuando el valor den es mayor que 1 
se obtienen curvas elásticas que cortan al eje en sus puntos de inflexión y son 
múltiples de media onda senoidal. 
Ahora se puede emplear la relación 1 = Ak2 , donde A es el área y k es el radio 
de giro (o radio de inercia) de la sección. Con ello, la ec. (3.1.3.1) quedará en una 
forma más conveniente. 
ec. (3.1.3.2) 
En la que l!K recibe el nombre de relación de esbeltezi de la columna. Esta 
relación, y no la longitud real de la columna, se utilizará para clasificar columnas de 
acuerdo con categorías de longitud. 
52 
La cantidad Pª / A de la ecuación (3. 1. 3. 2) es la carga critica unitaria. Esta es 
la carga por unidad de área que se necesita para colocar la columna en una 
condición de equilibrio inestable. En este estado cualquier pequefta encorvadura 
del elemento, o un ligero movimiento del apoyo o carga, hará que la columna se 
colapse. La carga unitaria tiene las mismas unidades que la resistencia, pero aquí se 
trata de la resistencia de una columna específica, no del material de que está hecha la 
columna. Por ejemplo, si se duplica la longitud de un elemento se observará un efecto 
notable en el valor de Pª/ A; pero no habrá ningún efecto en, por ejemplo, el límite de 
fluencia Sy del material de la columna1. 
La ecuación (3. 1. 3. 2.) indica que la carga crítica por unidad depende sólo del 
módulo de elasticidad y de la relación de esbeltez. Así, una columna que cumpla la 
fórmula de Euler, hecha de acero aleado de alta resistencia, no es mejor que otra de 
acero de bajo carbono, puesto que E es igual para ambas. 
Concepto de longitud equivalente 
Con objeto de usar una sola ecuación de Euler, para todas las condiciones que 
existan en los extremos, se acostumbra trabajar con altura equivalente de columna, 
definida como la longitud de una columna equivalente, articul.ada en ambos extremos 
(o la longitud correspondiente a una media onda senoidal, o la longitud entre puntos de 
momento de flexión cero). 
Las cargas críticas de columnas con diferentes condiciones de extremos pueden 
obtenerse resolviendo la ecuación diferencial o por comparación. La fig. 3.1.3.2.b 
muestra una columna con ambos extremos empotrados. Los puntos de inflexión están 
en A y en B a una distancia de 1 /4 de cada extremo. El tramo de curva AB es igual que 
para una columna de extremos redondeados. Al sustituir el valor 1 /2, en vez de /, en la 
ecuación (3. 1.3.1.), se obtiene: 
4,r:?E/ 
p =--
cr (/)2 
1J.E. Shigley "Diseno en Ingeniarla Mecánica" pg 135 
ec. (3.1.3.3.) 
53 
En la fig. 3.1.3.2.c se indica una columna con un extremo libre y el otro 
empotrado. La curva que sume corresponde a la mitad de la de las columnas con 
extremos redondeados, de modo que si se sustituye el valor de 21 en la ecuación 
(3. 1. 3. 1.), la carga crítica será: 
ec. (3.1.3.4.) 
Frecuentemente se usan columnas con un extremo empotrado y uno 
redondeado, como la de la fig. 3.1.3.2.d. El punto de inflexión está en A, a una 
distancia de O. 7071 del extremo articulado. Por consiguiente. 
P., 2,r" E 
----
A (!)2 
ec. (3.1.3.5 , 
Ahora bien, se pueden tomar en cuenta estas diversas condiciones de extremos 
y escribir la ecuación de Euler en las dos formas siguientes: 
P., C1r2 E 
A-(1)2 
l 
=>le= -
F 
P., C1r2E 
A - (1 k)2 
P., ,r2 E 
=>-=--
A (le k)2 
b. . ¡2 ¡2 C = F2 O len SI , = C; 
ec. (3.1.3.6.) 
En este caso, el factor F se denomina constante de condiciones en extremos y 
puede tener uno de varios valores teóricos; 1.41, 1, 0.707 o 0.5 dependiendo de la 
forma en que se aplique la carga. En la práctica es difícil, si no imposible, fijar los 
extremos de una columna de manera que se puedan aplicar los factores F=O. 707 y 
F=0.5. Aunque los extremos estuviesen soldados se produciría alguna deflexión. 
Debido a esto, algunos diseñadores o ingenieros de diseño nunca usan un valor de F 
menor que la unidad. 
54 
Sin embargo, cuando se utilizan valores liberales de factor de seguridad y si la carga 
de la columna se conoce con exactitud, es razonable, emplear un valor de F no menor 
a 0.91 para columnas con ambos extremos empotrados, o bien, con uno redondeado y 
otro empotrado, pues se supone que sólo hay un empotramiento parcial. Desde luego, 
cuando se trata de columnas con un extremo fijo y el otro libre almenes se tiene que 
usar el valor de F = 2. Estas recomendaciones se resumen en el apéndice 5 
Cuando se resuelve la ecuación (3.1.3.6.) para determinar diversos valores de la 
carga unitaria Pª / A en términos de la relación de esbeltez IIK2, se obtiene la curva 
PQR que se observa en la fig. 3.1.3.3. Como la resistencia de fluencia del material 
tiene las mismas unidades que la carga unitaria, se ha sumado a la figura la línea 
horizontal que pasa por Sy y Q. Esto podría hacer parecer que la figura cubre toda la 
gama de problemas de compresión, desde el elemento sometido a compresión más 
corto hasta el más largo. En consecuencia, pareciera que cualquier elemento sometido 
a compresión que tenga un valor de l!K MENOR QUE l!K0 debe ser tratado como un 
elemento sometido a compresión pura, mientras que todos los demás serán tratados 
como columnas de Euler. Por desgracia, esto no sucede así. 
En el diseño real de un elemento que funcione como una columna, el diseñador 
tendrá conocimiento de las condiciones de extremos que se muestran en la fig. 3. 1. 3. 2. 
o en el apéndice 5. Se esforzará para configurar los extremos, utilizando pernos, 
puntos de soldadura o pasadores, por ejemplo, de manera que logre la condición de 
extremos ideal requerida. Pese a estas precauciones, el resultado, después del 
proceso de manufactura, probablemente contendrá defectos como encorvadura inicial 
o excentricidades de carga. La existencia de tales defectos y los métodos para 
explicarlos implicarán en términos generales un método o procedimiento de factor de 
seguridad o un análisis fortuito. Estos métodos funcionan bien con columnas largas y 
para elementos sometidos a compresión simple. Sin embargo, pruebas realizadas 
indican numerosas fallas en columnas con relaciones de esbeltez abajo del punto Q y 
en la vecindad del mismo, como se indica en el area sombreada de la fig. 3.1.3.3. Se 
ha informado que estas fallas ocurren aun cuando se hayan utilizado modelos 
geométricos casi perfectos en el procedimiento de prueba. 3 
2No se olvide que este valor lleva impllcito el concepto de longitud equivalente. revise la ec.3.1.3.6. 
3 et. seq. p.137 
55 
Carga unitaria (Pcr/A) 
p 
S /2 y 
Curva 
Parabólica 
Relación de esbeltez ~ 
Fig. 3.1.3.3. Curva trazada utilizando la ecuación de Euler 
Una falla en una columna es siempre repentina, total e Inesperada y, en 
consecuencia, peligrosa. No ocurre advertencia previa. Una viga se doblaré y 
dará una advertencia visual de que esté sometida a una carga excesiva; pero esto 
no sucede con una columna. Por esta razón, no se deben aplicar ni los métodos de la 
compresión simpleni la ecuación de la columna de Euler cuando la relación de 
esbeltez tenga un valor próximo a l!KQ . ¿Entonces qué se debe hacer? El método 
usual consiste en elegir algún punto T en la curva de Euler de la ñg. 3.1.3.3. Si la 
relación de esbeltez se específica como IIK1 correspondiente al punto T, entonces 
utilícese la ecuación de Euler sólo cuando la relación de esbeltez real sea mayor que 
l!K1 • De lo contrario, aplíquese el método de la sección que sigue. 
La mayoría de los diseñadores seleccionan el punto T tal que Prz / A = S/2. 
Utilizando la ecuación ec. (3.1.3.6.), se obtiene el valor correspondiente de l!K.1 , que 
es 
( i) = (2,r 2CEJ1 i o bien: 
k 1 sy 
(/,) =( 21r 2EJ12 
k 1 sy 
ec. (3. 1. 3. 7.) 
56 
COLUMNAS DE LONGITUD INTERMEDIA CON CARGA CENTRAL 
A través de los años se han propuesto y utilizado varias fórmulas de columnas 
para el intervalo de valores de IIK para el cual no resulta adecuada la fórmula de Euler. 
Muchas de ellas están basadas en el uso de un material único; otras, en la llamada 
carga unitaria segura y no en el valor crítico. La mayoría de estas fórmulas se fundan 
en el uso de una relación lineal entre la relación de esbeltez y la carga unitaria. La 
fórmula parabólica o de J. B. Johnson parece ser ahora la preferida de los diseñadores 
de máquinas, automóviles, aviones, estructuras de acero y también la utilizaremos en 
nuestro diseño. La forma general de la fórmula parabólica es: 
p J ¡)2 
; = a -\k ec. (3.1.3.8.) 
Donde a y b son constantes que se evalúan ajustando una parábola a la curva 
de Euler de la ñg. 3.1.3.3. según lo indica la línea punteada que termina en T. Sí el 
trazo de la parábola se inicia en Sy, entonces a = Sy. Sí el punto T se elige como se vio 
antes, entonces la ecuación ec. (3. 1. 3. 7.) produce el valor de· IIK1 y se tiene que la 
constante b es: 
ec. a 
Al sustituir los valores conocidos de a y ben la ecuación (3.1.3.8.), se obtiene, 
para la ecuación parabólica: 
57 
P.,r = S -( S y !_) 
2 
_l !_ $ (!_) 
A y 2,r k CE k k 
I 
entonces. 
/e $ ('e) 
k k ¡ 
La fórmula anterior es la ec. (3. 1. 3. 9.) 
DISEÑO DE COLUMNAS BAJO UNA CARGA CÉNTRICA 
Para columnas largas, donde le/ k es grande, la falla se puede predecir con 
exactitud por la formula de Euler y el valor de aª depende del módulo de elasticidad E 
del acero utilizado pero no del límite de fluencia Sy. Para columnas muy cortas y 
bloques a compresión, la falla ocurre esencialmente como un resultado de la fluencia, y 
tenemos ªª:::: Sy. Las columnas de longitud intermedia comprenden aquellos casos en 
donde la falla depende de SY y E. 
58 
3.1.3.2. DESARROLLO DE FÓRMULAS 
El objetivo de este capítulo es dejar las fórmulas de disetio de columnas en 
función las variables requeridas: dimensiones, carga máxima y material; Además de 
establecer el método para parametrizar. 
FÓRMULAS A EMPLEAR 
Fórmula de Euler: 
donde: 
E: Módulo de elasticidad del material 
le/k: Relación de esbeltez 
A: Área de la sección 
(]' r;r : Esfuerzo crítico de Euler 
Pcr: Carga crítica de diseño. 
Fórmula de Johnson: 
donde: 
(]' cr: Esfuerzo crítico de Johnson 
Fórmula de diseño: 
donde: 
a adm: Esfuerzo admisible de diseflo 
(]' cr: Esfuerzo crítico correspondiente a la máxima RDE. 
N: Factor de seguridad. 
Condición de diseño: 
59 
Discriminante: 
donde: 
Sy: Esfuerzo de fluencia del material 
Condición de diseño para columnas de Euler: 
Condición de diseño para columnas de Johnson: 
Radio de giro 
donde: 
I: Momento de inercia de la sección 
Para barra maciza: k = d 
4 
Diámetro exterior: D 
(/e) < /e ~ 200 
k ¡ k 
/e ~ (/e) 
k k ¡ 
Diámetro interior: d = D - 2t; t: espesor de pared 
Area: 
Longitud equivalente: l. = (Relación de esbeltez)k 
60 
3.1.3.3. MÉTODO DE SOLUCIÓN 
Para columnas de Euler 
Datos: E, Sy 
Procedimiento: 
Variar la relación de esbeltez desde (
1e) < 1e ~ 200con incrementos de 10. 
k J k 
Calcular el esfuerzo admisible de Euler cr ac1m. 
Variar el diámetro ext. desde D = 0.01m a O.OS con incrementos de 0.01m 
Variar el espesor t = 0.001 a O.OOSm con incrementos de 0.001 m 
Calcular el dext, A y k 
Calcular la carga crítica Pª=crac1m/A y la longitud equivalente le 
Repetir el proceso hasta alcanzar la consigna de espesor. 
Repetir el proceso hasta alcanzar la consigna de diámetro ext. 
Repetir el proceso hasta alcanzar la consigna de esbeltez. 
Finalmente con los datos se gráfica ªª - le/k y Pª, le - Dimensiones (dext-espesor). 
Para columnas de Johnson 
Se sigue el mismo procedimiento sólo que ahora se aplican las fórmulas 
correspondientes a esta teoría, las cuales se indicaron en la sección anterior. 
61 
""" DISENO POR 
CARGAS 
COMBINADAS 
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CAPITULO 3.2. 
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3.2. DISEÑO POR CARGAS COMBINADAS 
Los tres tipos fundamentales de cargas y sus correspondientes fórmulas se 
resumen en las siguientes: 
Esfuerzo por carga axial: 
Esfuerzo por carga de torsión: 
Esfuerzo por carga de flexión: 
p 
u=-
• A 
r= Tp 
J 
u =My 
r I 
Los esfuerzos representados por estas fórmulas básicas actúan sobre las 
secciones transversales de los miembros. En este capítulo trataremos los métodos para 
determinar los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre secciones inclinadas de 
los miembros. 
Se determinó que los esfuerzos cortantes máximos para una barra cargada 
axialmente ocurren en planos inclinados a 45º, y los esfuerzos de tensión y compresión 
máximos para una barra en torsión también ocurren sobre planos a 45º. En forma 
similar, secciones inclinadas a lo largo de la viga pueden estar sometidas 
simultáneamente a esfuerzos normales y cortantes, y estos esfuerzos pueden ser 
mayores que los esfuerzos que actúan en una sección transversal. 
ESFUERZO PLANO 
Las condiciones de esfuerzo existentes en barras cargadas axialmente, barras 
en torsión y vigas son ejemplos de un estado de esfuerzo llamado esfuerzo plano. En 
esfuerzo plano, sólo las caras x y y del elemento están sometidas a esfuerzos, y todos 
los esfuerzos actúan paralelos a los ejes x y y. Partiendo de la suposición de que los 
esfuerzos( u., r y ªr) son conocidos (por ejemplo, a partir de un análisis de flexión o de 
torsión). 
Una observación importante es que los esfuerzos cortantes que actúan en las 
cuatro caras del elemento se determinan calculando el esfuerzo cortante que actúan 
sobre cualquier cara. 
63 
ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMOS 
ESFUERZO EN UN PUNTO 
Si el esfuerzo medio es constante sobre toda la superficie, se llama uniforme. Si 
no es uniforme, se obtiene el esfuerzo en un punto considerando la fuerza que actúa 
sobre un elemento de área alrededor del punto, y haciendo que este elemento 
superficial sea cada vez menor tendiendo a cero. 
En nuestro trabajo de tesis sólo se considera el estado plano o bidimensional de 
esfuerzos, en el que los esfuerzos actúan paralelamente a un plano, tal como el XY. 
Los esfuerzos normales máximo y mínimo tienen lugar en los planos de esfuerzo 
cortante nulo. Los esfuerzos normales máximo y mínimo se llaman esfuerzos 
principales, representándose a veces por p y q. 
Los puntos principales que se concluyen de la mecánica de materiales son los 
siguientes: 
• Los esfuerzos principales ocurren en planos mutuamente perpendiculares1. 
• La suma de los esfuerzos normales ejercidos sobre un elemento cúbico de 
material es independiente de la orientación del elemento2 
CIRCULO DE MOHR 
El círculo de esfuerzos constituye un procedimiento gráfico que permite obtener, 
a una escala determinada, los esfuerzos normal y cortante en una sección cualquiera 
inclinada un ángulo O en una barra sometida a un esfuerzo (símbolo) en su sección 
recta. 
Las fórmulas establecidas en la sección