sistemas_estructurales_

Vista previa del material en texto

SISTEMAS
ESTRUCTURALES
Autor Responsable: 
Perla R. Santa Ana Lozada
Corresponsable: 
Lucia G. Santa Ana Lozada
Colaboradores: 
Hector Allier Avendaño, 
Lorena Pérez Gómez, 
Nohemí López Roldan, 
Enrique Juárez Ortiz, 
Maria Fernanda Martínez Huitrón
Dra. Gemma Verduzco
Aprendizaje en experiencias y aprendizaje adaptativo 
como estrategias didácticas para mejorar la enseñanza 
de los aspectos estructurales en arquitectura.
“
”
LABORATORIO DE MATERIALES Y SISTEMAS ESTRUCTURALES
PRÁCTICAS CON MODELOS FÍSICOS
LABORATORIO DE MATERIALES Y SISTEMAS ESTRUCTURALES
EQUIPO EDITORIAL
Coordinadora editorial
Erandi Casanueva Gachuz
RESPONSABLE DE DISEÑO EDITORIAL
Amaranta Aguilar Escalona
Diseño editorial y formación
Israel Reyes Alfaro
Lorena Acosta León
Mariana Ugalde
PAPIME PE 400516
Primera edición: 2018
D.R. © Universidad Nacional Autónoma de México
Ciudad Universitaria
Delegación Coyoacán C.P. 04510 México, Ciudad de México
Facultad de Arquitectura
Prohibida su reproducción total o parcial por cualquier medio 
sin autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales
Hecho en México
Práctica 1 y 2. Tensión
Catenaria y funicular
Introducción
Objetivos
Hipótesis
Materiales para el estudiante
Procedimiento
Práctica 1. Catenaria (curva equilibrio)
Práctica 2. Funicular con cargas puntuales
Análisis de resultados prácticas 1 y 2
Conclusiones prácticas 1 y 2
Ejercicios de aplicació
Referencias
12
13
18
19
20
21
22
25
35
36
37
39
Práctica 3 y 4. Compresión
Arco biarticulado parabólico
Introducción
Objetivos
Hipótesis
Materiales
Procedimiento
Práctica 3. Arco parabólico biarticulado 
con carga puntual móvil
Práctica 4. Arco parabólico biarticulado 
con carga repartida
Análisis de resultados práctica 3 y 4
Conclusiones
Ejercicios de aplicación
Referencias
40
41
51
52
53
54
55
60
62
64
65
67
Contenido
Práctica 5 y 6. Pandeo
Introducción
Objetivos
Hipótesis
Materiales
Procedimiento
Práctica 5. Pandeo en elementos biarticulados
Práctica 6. Pandeo de barras biempotradas
Análisis de resultados prácticas 5 y 6
Conclusiones
Ejercicios de aplicación
Referencias
68
69
75
76
77
78
79
83
86
87
88
89
Práctica 7 y 8. Flexión
Introducción
Objetivos
Hipótesis
Materiales
Procedimiento
Práctica 7. Flexión con cargas puntuales
Práctica 8. Flexión con carga repartida 
uniforme y carga puntual
Análisis de resultados practicas 7 y 8
Ejercicios de aplicación
Conclusiones
Referencias
90
91
98
99
100
101
102
109
119
122
123
124
Práctica 9 y 10. Armaduras
Introducción
Objetivos
Hipótesis
Materiales
Procedimiento
Práctica 9. Armadura 1 plana 
estáticamente determinada
Práctica 10. Armadura 2 plana 
estáticamente determinada
Análisis de resultados prácticas 9 y 10
Conclusiones
Ejercicios de aplicación
Referencias
125
126
132
133
134
135
137
147
153
157
158
160
Práctica 11. Marcos rígidos
Introducción
Objetivos
Hipótesis
Materiales
Procedimiento
Práctica 11. Marcos rígidos
Análisis de resultados
Conclusiones
Ejercicios de aplicación
Referencias
161
162
172
173
174
175
176
185
187
188
190
Práctica 12 y 13. 
Efecto de sismo en 
edificios con marcos
Introducción
Objetivos
Hipótesis
Materiales
Procedimiento
Práctica 12. Comportamiento de sistema 
a base de marcos rígidos de 1 y 2 niveles 
bajo movimiento senoidal y sísmico
Práctica 13. Comportamiento de un sistema 
formado por marcos semirígidos de 1 y 2 
niveles bajo movimiento senoidal y sismico
Análisis de resultados
Conclusiones
Ejercicios de aplicación
Referencias
Bibliografía
191
192
200
201
202
203
204
206
208
209
210
212
213
Introducción
La arquitectura implica conocer aspectos estructurales así como 
constructivos para llegar a una solución resistente, funcional y 
estética. Actualmente existe en los estudiantes de arquitectu-
ra reticencia al aprendizaje de estos temas por considerárseles 
complejos, recurriendo el alumno a obtener solamente el co-
nocimiento suficiente para aprobar las materias sin generar un 
entendimiento y síntesis de afectación en la solución del objeto 
arquitectónico que manejará en su quehacer cotidiano.
El objetivo del aprendizaje significativo sobre estas temáticas 
consiste en que el alumno entienda los fundamentos mecáni-
cos que se producen en los elementos estructurales mediante la 
reproducción, observación y relación de la respuesta física con 
8
los conceptos teóricos (mecánica de materiales y estática) ante 
distintas condiciones de trabajo e inducir al estudiante a reali-
zar la síntesis del conocimiento aplicado en la fase proyectual al 
mostrar la aplicación de los elementos estructurales estudiados 
dentro de distintos proyectos arquitectónicos como parte de su 
sistema estructural. 
Un medio empleado para lograr este objetivo, como se ha desa-
rrollado en distintas universidades nacionales y extranjeras, es 
la aplicación de dos estrategias didácticas que se han manejado 
por separado hasta el momento: Aprendizaje basado en la ex-
periencia y aprendizaje adaptativo. 
El aprendizaje basado en experiencia genera el conocimiento 
de conceptos teóricos mediante la experiencia y acción con ob-
jetos que le lleven a la comprensión de su funcionamiento; los 
profesores se transforman en facilitadores que involucran a los 
alumnos a experimentar y reflexionar en aspectos específicos 
para llegar al conocimiento requerido (Asociación Internacional 
de Aprendizaje Experiencial, 2018). El Aprendizaje adaptativo 
aprovecha las herramientas tecnológicas para ir facilitando el 
conocimiento conforme el nivel de entendimiento del alumno 
(ITESM, Edutrends julio 2014). 
Las bondades de las estrategias didácticas mencionadas ante-
riormente son: a) el estudiante en su totalidad se involucra en 
la etapa de conocimiento y entendimiento, ya que no solo su 
intelecto se ve inmerso en el problema, también sus sentidos, 
sentimientos y personalidad se integran en la transformación 
de conocimiento significativo; b) se genera la oportunidad de 
reflexionar así como de sintetizar los conceptos teóricos a par-
tir de la observación de efectos y fenómenos tangibles reales; 
c) los estudiantes se comprometen con generar su propio co-
nocimiento mediante la reflexión y síntesis; d) los maestros es-
tablecen un sentido de confianza, respeto y apertura con los 
alumnos y su forma de racionalizar los problemas; e) el alumno 
obtiene retroalimentación de su aprendizaje de forma instantá-
nea permitiendo comprender su error en ese momento; f) las 
evaluaciones varían su nivel de complejidad dependiendo de la 
capacidad o aptitud del estudiante. 
9
Para aplicar la estrategia didáctica basada en experiencia con 
los alumnos de la Facultad de Arquitectura de la UNAM den-
tro de su Laboratorio de Materiales y Sistemas Estructurales, 
se realizó el proyecto DGAPA PAPIME 400516 con el cuál se 
adquirieron 3 modelos físicos comerciales y se fabricaron otros 
3 modelos en el laboratorio, además de producir el presente 
manual de prácticas que sirva como guía para lograr el objetivo 
planteado. Para lograr el aprendizaje adaptativo se realizaron 
prácticas virtuales las cuales complementan a las actividades 
propuestas en este texto, sin embargo no serán expuestas en 
el presente manual.
Considerando las temáticas que se abordan en las materias de 
Sistemas Estructurales Básicos I, II y III así como Sistemas Es-
tructurales I, II y III dentro del Plan de Estudios de la Licencia-
tura en Arquitectura 2017, de la Facultad de Arquitectura de la 
UNAM se desarrollaron las primeras 13 prácticas que presenta 
este manual, abordando los siguientes 7 temas: tensión, com-
presión, pandeo, armaduras, flexión en vigas, marcos rígidos y 
efectos sísmicos en marcos. El orden cronológico en el que se 
presentan es con base en su grado de complejidad del tema, 
sugiriendo se aborden en los siguientessemestres y materias:
Prácticas 1 y 2. Funiculares. Materia: Sistemas Estructurales 
Básico I (2º sem).
Prácticas 3 y 4. Arcos biarticulados. Materia: Sistemas Estructurales 
Básicos II (3er sem).
Prácticas 5 y 6. Pandeo. Materia: Sistemas Estructurales 
I (5º sem).
Prácticas 7 y 8. Flexión Materia: Sistemas Estructurales 
Básicos III (4º sem).
Prácticas 9 y 10. Armaduras Materia: Sistemas Estructurales 
Básicos II y III (3º-4º sem).
Prácticas 11. Marcos rígidos Materia: Sistemas Estructurales 
I y II (5º y 6º sem).
Prácticas 12 y 13. Sismo en marcos. Materia: Sistemas Estructurales 
II y III (6º y 7º sem).
Facultad de Arquitectura. Laboratorio de Materiales y Sistemas Estructurales
Laboratorio de Sistemas Estructurales
Prácticas con modelos físicos en Laboratorio:
10
11
Cada práctica presenta un breve resumen de los aspectos teó-
ricos que se abordan en la misma dentro de la introducción, 
los objetivos, hipótesis, materiales, procedimiento de trabajo, 
análisis de resultados, conclusiones, ejercicios de aplicación y 
bibliografía. Se pretende que el alumno asista al laboratorio una 
vez que el profesor ha visto el tema con los alumnos durante 
la clase teórica, de forma que el alumno viva la aplicación del 
fenómeno y los efectos que presenta sobre los distintos objetos 
de estudio. 
El manual es de fácil acceso y entendimiento de forma que tan-
to profesores como alumnos puedan emplearlo e ir siguiendo 
el método de experimentación planteado. El aspecto de apren-
dizaje de uso de los modelos empleados en cada práctica no 
se aborda en este manual, sin embargo puede ser solicitada la 
documentación en cuestión en el laboratorio de Materiales y 
Sistemas Estructurales o en su defecto acercarse a tomar la ca-
pacitación para profesores que se imparte dentro del laborato-
rio para dicho fin.
Se agradece tanto a DGAPA como a la Facultad de Arquitectura 
a través de su director M. en Arq. M. Mazari H, a la Coordina-
ción editorial, M. Erandi Casanueva G. ,Coordinación de comu-
nicación social L.D.G Alejandra Villa C. y al laboratorio de Ma-
teriales y Sistemas Estructurales de la Facultad de Arquitectura 
a través de su responsable Dr. A. Muciño.
T E N S I Ó N . C AT E N A R I A Y F U N I C U L A R
PAPIME PE 400516
13
Introducción
Se pretende interesar al alumno en las estructuras funiculares, 
por medio del entendimiento de la geometría que adquiere un 
cable al ser sometido bajo diferentes cargas.
14
Qué es 
una catenaria?
y − y0 = a*cosh
x − x0
a
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
y1 = a*cosh
x1
a
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Es la curva cuyo trazo sigue la forma que adquiere una cadena 
o cuerda de densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta 
por sus dos extremos y que se encuentra sometida únicamente 
a la fuerza de la gravedad.
La ecuación de la curva en equilibrio (catenaria) es la siguiente:
 Ilustración 1a. 
 Representación de la catenaria en un plano 
(1a) 
Si se toman como referencia los ejes x1 , y1 la ecuación queda 
de la siguiente forma:
Donde:
y1 es la coordenada del punto a calcular (cm o m)
a es la separación en el eje y del punto de origen 
al punto a calcular (cm o m)
cosh se refiere a la expresión matemática “coseno hiperbólico”
¿
(2a) 
15
Qué es un funicular?
¿
Es la curva que describe un cable suspendido por sus extremos, 
sometido a cargas en su longitud. Si las cargas son el propio 
peso del cable se obtiene una catenaria. Si las cargas son uni-
formes en proyección vertical, se obtiene la parábola. Si son 
perpendiculares a cada punto del cable generan un arco apro-
ximadamente, etc.
Como se puede observar en los esquemas de la ilustración 2a, 
la geometría y clasificación de los polígonos funiculares depen-
de del punto donde se aplican las cargas, por lo que todas las 
catenarias son polígonos funiculares, pero no todos los funicu-
lares son catenarias.
 Ilustración 2a. 
 Tipos de polígono funicular 
Los funiculares sólo resisten esfuerzos de tensión es decir que 
las fuerzas que actúan sobre los funiculares tienden a estirar el 
cable principal que forma este elemento.
 Ilustración 3a. 
 Diferencias entre parábola y catenaria 
16
Qué ecuaciones 
gobiernan un polígono 
funicular?
Para resolver una estructura de cables con cargas puntuales, 
donde el claro y la flecha están establecidas, se pueden utilizar 
las ecuaciones de equilibrio estático para determinar el trabajo 
de cada tramo de cable.
Ecuaciones de equilibrio:
MA∑ = 0 Sumatoria de momentos (M) en el punto A igual a cero
Y∑ = 0 Sumatoria de fuerzas aplicadas en el eje vertical (Y) 
igual a cero
X∑ = 0 Sumatoria de fuerzas aplicadas en el eje horizontal (X) 
igual a cero
RA (1), RB (1) es la reacción vertical en el punto A o B (se refiere a las 
fuerzas que actúan en el sentido contrario de las cargas 
para poder soportar el sistema)
H (2) es la reacción horizontal
(3) es la tensión máxima en el funicular, siendo igual a la raíz 
cuadrada de los componentes de las fuerzas en los extremos
M = P*d Momento igual a la fuerza aplicada P(4) por la distancia 
d(7) al punto de apoyo A o B. (kg*cm o ton*m)
Donde:
L(5) es la longitud del cable.
s(6) es el punto máximo (caída del cable).
d(7) es la distancia horizontal del soporte izquierdo o derecho.
¿
 Ilustración 4a. 
 Esquema de fuerzas aplicadas 
 de modo puntual 
17
Para que un tensor soporte el esfuerzo interior de tensión (es-
fuerzo interno) que se produce debido a una carga axial ex- 
terior, se requiere que este elemento esté construido con un 
material cuyo esfuerzo resistente a compresión sea igual o ma-
yor al esfuerzo interno de la columna, es decir:
Cómo se predimensiona 
un cable de acero?
σ T =
Ft
A
=σ resistente a tensión del material
σ resistente a tensión del material = 1520kg / cm
2
El proporcionar una dimensión transversal al tensor (sección) 
significa diseñar dicho elemento estructuralmente. Para poder 
determinar de una forma aproximada y rápida la sección que 
requiere el tensor para soportar la carga axial, se proporciona el 
valor de esfuerzo resistente de tensión del acero considerando 
un comportamiento elástico de los mismos, llamado esfuerzo 
de tensión permisible.
¿
(3a) 
(4a) 
18
• Que el alumno se interese de manera teórico-práctica 
en las estructuras funiculares.
• Que el alumno aprenda a identificar un sistema funicular y 
los esfuerzos que lo gobiernan dentro de elementos aplica-
dos en arquitectura.
• Que el alumno pueda reconocer las formas que toma 
un cable sostenido por sus extremos.
• Que el alumno aplique los conocimientos adquiridos 
a proyectos arquitectónicos.
Objetivos
19
El comportamiento de un funicular depende de su geometría 
de forma que siempre trabaje a tensión. 
Se probará de forma práctica y numérica el comportamiento de 
un funicular; para ello, se realizarán diferentes modelos a escala.
Para el caso de la catenaria, funicular que sólo soporta su propio 
peso, calcularemos algunos de los puntos que forman la curva y 
veremos si coincide el modelo físico con el cálculo matemático. 
Ambas curvas deberían estar formadas por los mismos puntos; 
dependiendo de los materiales que sean empleados, este mo-
delo y el cálculo podrán variar un poco.
Para los casos en los que se le aplique una carga puntual al ca-
ble, se determinará la deformación del cable con el modelo, y 
con los cálculos, al igual que en la catenaria, el modelo realizado 
debería ser muy similar al cálculo que comprueba el funciona-
miento del sistema
Hipótesis
20
Materiales para 
el estudiante
• Base de cartón corrugado de 30X30cm. *
• Hojas milimétricas.
• Hojas de papel albanene.
• Tachuelas. *
• Clips. *
• Cadena (para collares).
• Cubos de plastilina de 1cm3 (1g c/u). *
• Masking Tape. *
• Marcador.
* Estos materiales pueden ser comprados entre dos o tres personas, 
de modo que sean económicos y no haya desperdicios
Ya que se explicaron las expresiones que gobiernan a un funi-cular procederemos a hacer cuatro casos modelos para hacer 
las comparaciones entre ambos. Lo primero que se realizará 
por participante:
Profesor
Presentará el modelo de trabajo de madera donde se encuentra 
el plano de trabajo, cadena y pesos, ejemplificando cada paso 
que realizará el alumno ante grupo.
Procedimiento
 Ilustración 6a. 
 Modelo de 
funicular profesor 
Estudiantes
Armarán la base sobre la cual se colocarán los modelos; esta 
base siempre se posicionará verticalmente para que la gravedad 
actúe directamente sobre el modelo.
Pasos:
• Sobre la base de cartón pegar una hoja milimétrica.
• Poner las tachuelas alineadas en el eje horizontal, con la separación 
que se desee para el polígono funicular (en el ejemplo 20 unidades).
• Poner plastilina en la parte trasera del cartón para tener una mejor 
fijación de las tachuelas.
• Poner una hoja de albanene sobre la hoja milimétrica, servirá para 
dibujar sobre ella el polígono funicular que se forme.
 Ilustración 7a. Plano de trabajo para alumnos 
21
22
Se debe colocar la cadena libre en el modelo del profesor, for-
mando una catenaria cuyo claro sea igual a 6.8 cm, con una caí-
da de 5.8 cm; la separación entre el borde inferior de la hoja y el 
punto más bajo de la catenaria será de 1.5 cm. El alumno debe-
rá replicarlo con su propio material para evaluarlo, siguiendo los 
pasos a continuación:
1
Práctica
Catenaria 
(curva equilibrio)
• Colocar la cadena sobre las tachuelas, 
ésta formara una catenaria.
• Deslizar la cadena para obtener 
la altura deseada (5.8 cm).
• Marcar la curva sobre el albanene siguiendo 
la forma que tiene la cadena
 Ilustración 8a. 
 Catenaria de trabajo 
• Tomar referencias de la posición en la hoja milimétrica
• Resolver la ecuación de la curva en equilibrio 
Y = 1.5( )* cosh x / 1.5( )( )
Para obtener la coordenada “h” , 
h = 1.5( )* cosh(x / 1.5( )⎡⎣ ⎤⎦ −1.5)
Se comprueba que la forma es correcta, del siguiente modo:
I. Para que la curva derivada de la expresión matemática sea si-
milar a la que se obtuvo de forma experimental, se debe encon-
trar una relación entre el claro y la altura. Esto se logrará con la 
ecuación de la catenaria, considerando “X” como la mitad del 
claro y el resultado en “Y” debe ser lo más parecido posible a la 
altura. En este caso, “X” es igual a 3.4 y “a” es igual a 1.5.
3 5.64329353662545 4.14329353662545
3.1 6.01879359112219 4.51879359112219
3.2 6.42105374830430 4.92105374830430
3.3 6.85186249334734 5.35186249334734
3.4 7.31313524104010 5.81313524104010
3.5 7.80692285189263 6.30692285189263
x y h
23
II. Una vez que se tiene el claro qué se ocupará en la ecuación 
matemática, se resuelve calculando módulos que correspondan 
al número de los marcados en la hoja milimétrica; en este caso 
serán 40 módulos de 0.16, es decir que calcularemos 20 módu-
los y los otros 20 serán el “espejo” de los que calculemos.
III Con ayuda de AutoCAD, traza la curva que obtuviste del 
modelo y compárala con el cálculo matemático.
 Ilustración 8a. 
 Gráfica final de catenaria en Autocad 
0 1.50000000000000 0.00000000000000
0.17 1.50964364898365 0.00964364898365
0.34 1.53869859588889 0.03869859588889
0.51 1.58753843499465 0.08753843499465
0.68 1.65679115865393 0.15679115865393
0.85 1.74734723214425 0.24734723214425
1.02 1.86037104344703 0.36037104344703
1.19 1.99731587517961 0.49731587517961
1.36 2.15994259119179 0.65994259119180
1.53 2.35034227810303 0.85034227810303
1.7 2.57096313290955 1.07096313290955
1.87 2.82464194238764 1.32464194238764
2.04 3.11464055906158 1.61464055906158
2.21 3.44468784275129 1.94468784275129
2.38 3.81902760699265 2.31902760699265
x y h
2.55 4.24247318683495 2.74247318683495
2.72 4.72046932965910 3.22046932965910
2.89 5.25916220482100 3.75916220482100
3.06 5.86547843231807 4.36547843231807
3.23 6.54721414664506 5.04721414664506
3.4 7.31313524104010 5.81313524104010
24
Analiza los resultados
En la siguiente imagen se puede notar que, aunque la curva que 
se formó en el modelo (línea roja) no coincide totalmente con 
la resultante de las expresiones matemáticas (línea verde), esto 
es debido a que la cadena que se utilizó tiene unas pequeñas 
bolitas que no permite el libre paso de la cadena a través de los 
puntos de amarre (tachuelas).
 Ilustración 9a. 
 Comparativa catenaria 
 aritmética y obtenida 
 con el modelo físico 
25
Práctica
Funicular con 
cargas puntuales
Ejercicio 1 
Funicular con 1 carga puntual al centro
• Colocar la cadena sobre las tachuelas, ésta formara 
una catenaria
• Deslizar la cadena para obtener la caída “S” deseada (6.05 cm)
• Con la ayuda de un clip, colocar un cubo (1 gr) en el centro 
de la catenaria, esto deformará la curva, por lo que dejará de 
ser una catenaria
• Marcar la figura que se forma sobre el papel albanene 
siguiendo la forma que tiene la cadena
• Tomar como referencias la posición en la hoja milimétrica 
• Realizar la verificación numérica para un sistema con cargas 
puntuales considerando los datos obtenidos en el modelo. 
Una estructura con separación entre los puntos de amarre 
de 20 cm (claro), al colocar la carga puntual de 1 gr en el 
centro del cable con una caída igual a 6.05 cm
Ilustración 10a. 
Modelo práctica 1 Funicular 
 carga puntual al centro 
Donde tenemos los siguientes datos:
l es el claro, en este caso de 20cm
h es la caída o flecha, de 6.05cm
P1 es la carga puntual, de 1gr
2
26
Paso 1. Se inicia con la obtención de las reacciones en el extre-
mo del funicular, Ra y Rb. Para ello, se realiza la suma de mo-
mento en el extremo A que sean igual a cero
 MA∑ = 0 (girando a favor de las manecillas 
del reloj es positivo)
P1 *10− Rb *20 = 0
Las expresiones que se utilizarán son:
MA = 0 ; M = Fuerza * distancia ; Fy = 0 Fx = 0∑∑∑
MA = 0 ; M = Fuerza * distancia ; Fy = 0 Fx = 0∑∑∑
MA = 0 ; M = Fuerza * distancia ; Fy = 0 Fx = 0∑∑∑
MA = 0 ; M = Fuerza * distancia ; Fy = 0 Fx = 0∑∑∑
La reacción vertical en el punto B será igual a 
Rb =
10
20
= 0.5gr
Para obtener el valor de la reacción en el punto “A” se realiza la 
sumatoria de fuerzas verticales del sistema, siendo positivas las 
fuerzas con sentido hacia arriba:
+ ↑ Fy = 0∑
−P1 + Ra + Rb = 0 despejando tenemos,
Ra = 1− 0.5= 0.5gr
Los momentos sobre cualquier punto del cable son igual a cero, 
ya que no soporta momentos; en este caso se obtendrán al 
punto C considerando sólo la mitad del cable para obtener la 
reacción horizontal en B.
 Mc∑ = 0
−Rb *5+ Hb *6.05= 0
, despejando tenemos
27
Despejando H
b
 tenemos,
Hb =
+0.5x5
6.05
= 0.413gr
Haciendo sumatoria de fuerzas en X se obtendrá la reacción 
horizontal en el punto A,
+→ Fx = 0∑
Hb − Ha = 0
Ha = 0.413gr
Para obtener el valor máximo de tensión de la funicular, cono-
ciendo que este esfuerzo máximo se presenta junto a los apo-
yos, se calcula la resultante en el cable a partir de conocer las 
reacciones en uno de los extremos del mismo:
V = H 2 + r 2VA = Ha
2 + Ra
2 = .4132 + 0.52 = 0.648gr (para tensión máxima)
VA = Ha
2 + Ra
2 = .4132 + 0.52 = 0.648gr
VB = Hb
2 + Rb
2 = .4132 + 0.52 = 0.648gr
Por último, calcularemos el área de un cable de acero que sería 
necesario para soportar esta tensión; empleando acero estruc-
tural con un esfuerzo resistente a la tensión permisible (Fy), 
igual a 1520 kg/cm2 tenemos que:
 Ilustración 11a. 
 Geometría Funicular 
 carga puntual al centro 
28
Ejercicio 2 
Funicular con 2 cargas puntuales
 Ilustración 12a. 
 Modelo para ejercicio Funicular 2 cargas puntuales 
• Colocar la cadena sobre las tachuelas, ésta formará 
una catenaria.
• Deslizar la cadena para obtener la altura deseada (5 cm).
• Con la ayuda de un clip, colocar un cubo (1 gr) a 5.5 cm 
del punto de amarre izquierdo.
• Con la ayuda de otro clip, colocar dos cubos (2 gr) a 4.5 
cm del punto de amarre derecho.
• Marcar la figura que se forma sobre el albanene siguiendola forma que tiene la cadena
• Tomar referencias de la posición en la hoja milimétrica. 
• Realizar la verificación numérica para un sistema con cargas 
puntuales considerando los datos obtenidos en el modelo. 
Una estructura con separación entre los puntos de amarre 
de 20 cm, al colocar 2 cargas puntuales de diferente peso, 
la altura se toma desde la parte más baja, por lo que en 
esta ocasión queda de 6 cm, con una carga puntual de 1 gr 
a 5.5 cm del punto izquierdo y otra de 2 gr a 4.5 cm del 
punto derecho.
Los datos que tenemos son:
l es el claro, aquí de 20 cm
h es la caída o flecha, de 6 cm
P1 es la carga puntual, de 1 gr
P2 es la carga puntual, de 2 gr
29
Las expresiones que se utilizarán nuevamente son:
MA = 0 ; M = Fuerza*distancia ; Fy = 0∑∑ Fx∑ = 0
MA = 0 ; M = Fuerza*distancia ; Fy = 0∑∑ Fx∑ = 0
MA = 0 ; M = Fuerza*distancia ; Fy = 0∑∑ Fx∑ = 0
MA = 0 ; M = Fuerza*distancia ; Fy = 0∑∑ Fx∑ = 0
Paso 1. Se inicia con la obtención de las reacciones en el extre-
mo del funicular, Ra y Rb. Para ello, se realiza la suma de mo-
mento en el extremo A que sean igual a cero.
 MA = 0∑ (girando a favor de las manecillas 
del reloj es positivo)
P1 x 5.5 + P2 x 15.5 − Rb x 20 = 0
Despejando R
b
 tenemos:
Rb =
1 x 5.5 + 2 x 15.5
20
= 1.825gr
Para obtener el valor de la reacción en el punto “A” se realiza la 
sumatoria de fuerzas verticales del sistema, siendo positivas las 
fuerzas con sentido hacia arriba:
+ ↑ Fy = 0∑
−P1 − P2 + Ra + Rb = 0
Sustituyendo el valor de Rb y despejando Ra tenemos
Ra = 1+ 2−1.825= 1.175gr
Los momentos sobre cualquier punto del cable son igual a cero, 
ya que no soporta momentos; en este caso se obtendrán al 
punto C considerando sólo las fuerzas que se encuentran a la 
izquierda del punto para obtener la reacción horizontal en A.
 Mc = 0∑
−P1 x 10+ Ra x 15.5− Ha x 6 = 0
Ha =
−1 x 10+1.175 x 15.5
6
= 1.368gr
30
Haciendo sumatoria de fuerzas en X se obtendrá la reacción 
horizontal en el punto B,
+→ Fx = 0∑
Hb − Ha = 0
sustituyendo el valor de Ha y despejando tenemos
Hb = 1.368gr
Para obtener el valor máximo de tensión de la funicular, cono-
ciendo que este esfuerzo máximo se presenta junto a los apo-
yos, se calcula la resultante en el cable a partir de conocer las 
reacciones en uno de los extremos del mismo:
V = H 2 + R2 (para tensión máxima)
VA = Ha
2 + Ra
2 = 1.3682 +1.1752 = 1.803gr
VB = Hb
2 + Rb
2 = 1.3682 +1.8252 = 2.28gr
Predimensionando el cable con ambas fuerzas 
encontramos su área
Área del cable =
Tmáx
1520kg / cm2
El área final de todo el cable debe ser la misma, por lo que se 
selecciona siempre el área mayor obtenida como diseño final 
del mismo.
 Ilustración 13a. 
 Geometría Funicular para dos cargas puntuales 
31
Ejercicio 3 
Funicular con 3 cargas puntuales
• Colocar la cadena sobre las tachuelas, ésta formara 
una catenaria
• Deslizar la cadena para obtener la altura deseada (5 cm)
 Ilustración 14a. 
 Modelo para ejercicio Funicular 3 cargas puntuales 
• Con la ayuda de un clip colocar un cubo (1 gr) a 5.5 cm 
del punto de amarre izquierdo
• Con la ayuda del clip colocar tres cubos (3gr) 
al centro del claro
• Con la ayuda de otro colocar dos cubos (2gr) a 4.5cm 
del punto de amarre derecho
• Marcar la figura que se forma sobre el albanene siguiendo 
la forma que tiene la cadena
• Tomar referencias de la posición en la hoja milimétrica
• Resolver las ecuaciones para un sistema con cargas pun-
tuales considerando los datos obtenidos en el modelo. Una 
estructura con separación entre los puntos de amarre de 
20 cm, al colocar 3 cargas puntuales de diferente peso, la 
altura se toma desde la parte más baja, por lo que en esta 
ocasión queda de 5 cm, con una carga puntual de 1 gr a 
5.5 cm del punto izquierdo, otra de 2 gr a 4.5 cm del punto 
derecho y una más de 3 gr al centro del claro.
32
Los datos que tenemos son:
l es el claro, aquí de 20 cm
h es la altura o flecha, de 5 cm
P1 es la carga puntual, de 1 gr
P2 es la carga puntual, de 3 gr
P3 es la carga puntual, de 2 gr
Las expresiones que se utilizaran nuevamente son:
MA = 0 ; M = Fuerza*distancia ; Fy = 0∑∑ Fx∑ = 0
MA = 0 ; M = Fuerza*distancia ; Fy = 0∑∑ Fx∑ = 0
MA = 0 ; M = Fuerza*distancia ; Fy = 0∑∑ Fx∑ = 0
MA = 0 ; M = Fuerza*distancia ; Fy = 0∑∑ Fx∑ = 0
Paso 1. Se inicia con la obtención de las reacciones en el extre-
mo del funicular, Ra y Rb. Para ello, se realiza la suma de mo-
mento en el extremo A que sean igual a cero.
 MA = 0∑ (girando a favor de las manecillas 
del reloj es positivo)
P1 *5.5 + P2 *10 + P3 *15.5 − Rb *20 = 0
Despejando R
b
 tenemos
Para obtener el valor de la reacción en el punto “A” se realiza la 
sumatoria de fuerzas verticales del sistema, siendo positivas las 
fuerzas con sentido hacia arriba:
+ ↑ Fy = 0∑
−P1 − P2 − P3 + Ra + Rb = 0
Ra = 1+ 3+ 2− 3.325= 2.675 tongr
33
Los momentos sobre cualquier punto del cable son igual a cero, 
ya que no soporta momentos; en este caso se obtendrán al 
punto C considerando solo las fuerzas que se encuentran a la 
derecha del punto para obtener la reacción horizontal en A.
 MC = 0∑
+P3 *5.5 − Rb *10 + Hb *5= 0
Despejando H
b
 tenemos
Haciendo sumatoria de fuerzas en “X”, se obtendrá la reacción 
horizontal en el punto B, 
+→ Fx = 0∑
Hb − Ha = 0
Ha = 4.45 tongr
Para obtener el valor máximo de tensión de la funicular, cono-
ciendo que este esfuerzo máximo se presenta junto a los apo-
yos, se calcula la resultante en el cable a partir de conocer las 
reacciones en uno de los extremos del mismo:
V = H 2 + R2 (para tensión máxima)
VA = Ha
2 + Ra
2 = 4.452 + 2.6752 = 5.192 gr
VB = Hb
2 + Rb
2 = 4.452 + 3.3252 = 5.55 gr
Predimensionando el cable con ambas fuerzas 
encontramos su área
Área del cable =
Tmáx
1520 kg /cm2
34
 Ilustración 15a. 
 Geometría Funicular para 
 dos cargas puntuales 
El área final de todo el cable debe ser la misma, por lo que se 
selecciona siempre el área mayor obtenida como diseño final 
del mismo.
Analiza los resultados
Como se mencionó en la hipótesis, al observar los modelos se 
puede observar que la forma que tomó la cadena fue debido a 
los pesos colocados.
 La flecha o altura se da en el punto donde existe la carga de ma-
yor peso; dentro de un proyecto arquitectónico dichas alturas 
son propuestas por el arquitecto y su proyecto.
35
Los polígonos funiculares pueden tener diferentes formas de-
pendiendo del peso que se les aplique, así como de la posición 
en la que estos pesos se sitúen a lo largo del funicular. Es decir, 
la forma responde a las cargas.
Una catenaria siempre es un funicular, pero un funicular no 
siempre es una catenaria.
Las reacciones o tensión máxima de los polígonos funiculares 
son diferentes en los tramos del cable debido a la distribución 
de las cargas, pero ya que pertenecen a un mismo sistema, se 
tomará en cuenta la tensión más grande para el cálculo del área 
del cable, ya que éste debe ser un cable continuo y no pedazos 
de diferentes medidas.
Análisis 
de resultados 
prácticas 1 y 2
Un funicular es un sistema formado por elementos flexibles 
llamados cables que se deforman de acuerdo a las cargas que 
soportan para que el elemento que lo forma siempre esté tra-
bajando a tensión.
Los apoyos de la funicular son importantes, ya que reciben los 
empujes horizontales del cable, debiendo empujar en sentido 
contrario para que el cable no “jale” al sistema hacia el centro.
La altura o flecha en un proyecto arquitectónico es propues-
to por el arquitecto dependiendo del claro, altura de entrepiso, 
cargas y por supuesto su concepto.
Estos sistemas son muy eficientes en su trabajo, generando 
soluciones limpias para librar claros grandes, y económicas 
cuando se emplean materiales que trabajan muy bien a tensión 
como es el acero.
Conclusiones 
prácticas 1 y2
 Ilustración 16a. 
 Geometría de distintos tipos de funiculares
36
• Realiza tu informe de la práctica y anexa tus conclusiones, 
dibujos o esquemas.
• Realiza el caso 1 con una agujeta, toma una foto de la ca-
tenaria y cálcala en algún programa de dibujo asistido por 
computadora (CAD, por sus siglas en inglés; como Auto-
CAD, Archicad, etc.), así podrás determinar qué tan similar 
es lo que dibujaste con la expresión matemática adecuada.
• Realiza más modelos para poder explicar qué pasa.
• Si el claro es mayor, ¿las reacciones aumentan?
• Si las cargas son iguales, qué forma obtiene el cable
• Si hay mayor número de cargas, la altura ¿aumenta 
o disminuye?
Ejercicios de 
aplicación
37
¿Qué son los cables que trabajan a tensión 
con sólo dos puntos de amarre?
a. Catenarias
b. Polígonos Funiculares
c. Parábolas
Cuestionario
¿Cómo es la figura que adopta sobre 
el plano de representación cuando 
se le aplica una carga uniformemente 
repartida a un cable?
a. Una catenaria
b. Una parábola
c. Un polígono de 3 lados
¿Por qué se dice que los polígonos 
funiculares sólo trabajan a tensión?
a. Porque los elementos que soportan todo el sistema 
los empujan los extremos del cable hacia los pesos 
que se aplican
b. Porque los elementos que soportan el sistema los 
jalan a los extremos para mantenerse en equilibrio
c. Porque las cargas que se aplican solo se pueden poner 
en el centro para poder mantener el equilibrio
38
39
Aroca Hernández-Ros, R. (2002). Funiculares. Cuadernos del 
Instituto Juan de Herrera. Madrid: Instituto Juan de Herre-
ra-ETSAM.
Casañas, V., & Fernándes, C. (2012). Cables y arcos. Recuperado 
el 25 de febrero de 2018, de Facultad de Arquitectura, Dise-
ño y Urbanismo. Universidad de la República. Montevideo, 
Uruguay: http://www.fadu.edu.uy/estabilidad-i/files/2012/ 
02/estructuras_traccionadas.pdf
Departamento de Matemáticas-Formación a Distancia-PIE. 
(2013). La caternaria en arquitectura. Recuperado el 25 de 
febrero de 2018, de Escuela Técnica Superior de Ingenie-
ros de Caminos, Canales y Puertos: http://www2.caminos.
upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/
Chip%20geométrico/Catenaria.pdf
Onouye, B. (2012). Statics and Strength of Materials for Archi-
tecture and Building Construction. Prentice Hall, USA.
Referencias
40
C O M P R E S I Ó N . 
A R C O B I A R T I C U L A D O P A R A B Ó L I C O
PAPIME PE 400516
Introducción
Se pretende interesar al alumno en sistemas estructurales tra-
bajando a compresión por medio de la geometría del sistema; 
empleando arcos biarticulados parabólicos, el alumno visualiza-
rá y comprobará la relación entre cargas, empujes horizontales 
del arco y sus acciones internas bajo distintos tipos de distribu-
ción de cargas.
41
42
Qué es el esfuerzo 
de compresión?
Al aplicar una fuerza sobre el eje del elemento (carga axial) en 
sentido de oprimirlo, éste trabaja oponiéndose a deformarse 
produciendo un esfuerzo interior llamado esfuerzo de compre-
sión. La deformación del elemento se produce debido a que sus 
partículas se juntan haciendo que su longitud se acorte y au-
mente su sección transversal.
 Ilustración 1b. 
 Esfuerzo de compresión por carga axial 
¿
43
Qué es un arco 
biarticulado?
Un arco es un elemento con geometría semicircular o parabó-
lico cuyos esfuerzos internos, producto de soportar una carga 
externa, son a compresión principalmente. Dependiendo de la 
geometría del arco, su sujeción en los extremos y tipo de cargas 
aplicadas sobre estos elementos, el arco puede sufrir esfuerzos 
internos a flexión y cortante, adicionales a los de compresión.
Se dice que el arco está biarticulado cuando en sus extremos 
existe una “rótula” o articulación que le permite girar al arco en 
dichos puntos, de forma que se generen menores esfuerzos de 
flexión internos.
A partir de estudiar cables a tensión, se observó que un cable 
que soporta una carga distribuida de forma uniforme a lo lar-
go del cable presenta una geometría de parábola, es decir, una 
parábola es el funicular de un cable bajo carga uniformemente 
distribuida. Si este funicular se invierte generando un antifuni-
cular, se forma un arco con geometría de parábola cuyo trabajo 
principal es a compresión bajo cargas uniformemente distribui-
das, estando biarticulado en sus extremos.
 Ilustración 2b. 
 Funicular y antifunicular 
 con carga repartida 
¿
44
¿Qué sucede cuando se 
tiene un arco biarticulado 
parabólico con carga 
puntual?
Cuando un arco tiene cargas puntuales en diferentes puntos, 
su geometría no obedece a la funicular correspondiente, por lo 
que comienzan a generarse momentos al interior del arco.
Para obtener la reacción horizontal que se produce en el extre-
mo del arco, debido a que se trata de un sistema hiperestático, 
se recurre a aplicar el método de flexibilidades para encontrar 
la reacción horizontal en el nudo B, liberando dicho nudo como 
se muestra en la figura 3b.
 Ilustración 3b. 
 Funicular y anti-funicular con carga repartida 
Obteniendo la reacción en el extremo B tenemos:
RBX =
5Pa
8hL3
(L3 + a3 − 2La2 ) (1b) 
Donde:
P = carga aplicada en el arco (kg o ton)
a = distancia donde se aplica la carga con respecto al punto “A” (cm o m)
h = la altura en el punto más alto del arco (cm o m)
L = longitud total del arco (cm o m)
Un arco parabólico presenta una geometría determinada por la 
siguiente ecuación:
y = 4h
L2
(Lx − x2 ) (2b) 
¿
45
Qué es una línea de 
influencia de la reacción 
horizontal de un arco?
Se le llama valor de influencia a la proporción obtenida de la 
reacción horizontal “Rax” con respecto al valor de la carga apli-
cada para producir dicha reacción
 x (3b)
 
Reacciónvalor Influencia
Valor Carga Aplicada
=
 (3b) 
Para obtener una gráfica de la tendencia de este valor, se va 
variando la posición de una misma carga en distintos puntos del 
arco, observando el comportamiento del valor de influencia a lo 
largo del arco. 
Para generar la gráfica de estos valores, se requiere que la lon-
gitud del arco sea también obtener el claro en proporción a la 
longitud total, es decir:
 (4b)
 
punto donde se aplica cargaFracción del Claro
longitud total de arco
=
 (4b) 
 Ilustración 4b. 
 Gráfica de Línea de Influencia de un Arco parabólico 
La gráfica obtenida nos indica los efectos que presenta la car-
ga al ser colocada en distintos puntos del arco; como se puede 
observar en la figura 4b, el reacción horizontal de mayor valor 
se obtiene cuando la carga puntual se aplica al centro del arco.
¿
46
Cómo se obtiene el 
diagrama de momento 
flexionante de un arco 
parabólico bi-articulado?
Generalmente el valor de momento que interesa para diseñar 
es el de mayor valor o máximo, el cual se presenta cuando la 
carga está aplicada al centro del arco.
El primer paso para determinarlo de forma gráfica es obtener 
el momento generado en el arco donde se colocó la carga, es 
decir, al centro, siendo dicho momento igual a (ver figura 5b):
* (5b)CL XAM R h= (5b) 
Y sobre la gráfica producto de estos valores se dibuja el diagra-
ma de momentos considerando el arco ahora como un elemen-
to horizontal, donde su valor cuando la carga está al centro del 
claro es:
* (6b)
4CL
P LM =
 (6b)
Donde:
P = carga puntual aplicada al centro del arco
L = claro total del arco
El diagrama final de momentos que presenta este arco es:
 Ilustración 5b. 
 Diagrama de momento flexionte 
¿
47
Qué es un arco 
parabólico con carga 
uniformemente repartida?
Un arco es un elemento con geometría semicircular o parabó-
lico cuyos esfuerzos internos producto de soportar una carga 
externa son principalmente a compresión. Dependiendo de la 
geometría del arco, su sujeción en los extremos y tipo de cargas 
aplicadas sobre estos elementos, el arco puede sufrir esfuerzos 
internos a flexión y cortante, adicionales a los de compresión.A partir de estudiar cables a tensión, se observó que un cable 
que soporta una carga distribuida de forma uniforme a lo lar-
go del cable presenta una geometría de parábola, es decir, una 
parábola es el funicular de un cable bajo carga uniformemente 
distribuida. Si este funicular se invierte generando un antifuni-
cular, se forma un arco con geometría de parábola cuyo trabajo 
principal es a compresión pura bajo cargas uniformemente dis-
tribuidas, estando biarticulado en sus extremos.
 Ilustración 6b. 
 Reacciones sobre un arco anti-funicular 
¿
Ray Rby
48
Debido a que el esfuerzo máximo se presenta en los extremos, 
la resultante máxima se puede obtener a partir de la suma de 
sus componentes:
FCmax =
wLT
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
+ H 2 (11b)
La ecuación para obtener la geometría de la parábola se obtie-
ne a partir de sacar la sumatoria de momentos al extremo de 
un tramo de la parábola, considerando el cortante y la fuerza 
horizontal en dicho punto, obteniendo:
yx = 4S
x
LT
− x
2
LT 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 (12b)
Las reacciones verticales en los extremos serán igual a:
Ray = w∗ Lt
2
 (8b)
Para obtener el valor de la reacción horizontal H se genera una 
sumatoria de momentos al centro del cable, de forma que:
Mcl = w∗ Lt
2
8∑ − S ∗H = 0
 
 (9b)
Despejando de esta expresión se obtiene:
H =
w∗ Lt
2
8∗S
 (10b)
49
Cómo se predimensiona 
un arco parabólico con 
carga uniformemente 
repartida?
Todos los materiales presentan propiedades que los caracteri-
zan, las cuales pueden ser físicas, químicas, térmicas, etc. Las 
propiedades mecánicas de un material definen cuánto resiste 
dicho material al trabajar bajo distintos esfuerzos.
Cuando se aplica una carga axial de compresión a un elemento, 
interiormente este elemento comienza a trabajar produciéndo-
se esfuerzos internos de compresión en el mismo. Para que el 
elemento soporte dichas cargas, el material del que esté hecho 
debe tener la capacidad de resistir dichos esfuerzos internos de 
compresión, es decir, 
σ C =
Fc
A
=σ resistente a compresión del material (13b)
Donde:
σC es el esfuerzo interno de compresión actuante en la sección 
transversal del elemento (kg/cm2 o ton/m2)
FC es la fuerza axial que comprime al elemento (kg o ton)
A es el área transversal del elemento (cm2 o m2)
Determinar una sección transversal al arco significa diseñar di-
cho elemento estructuralmente. Se puede obtener una sección 
directamente de aplicar las expresiones anteriormente mencio-
nadas, sin embargo, el proceso de diseño implica considerar un 
mayor número de conceptos que afectan la capacidad resisten-
te del material.
¿
50
el valor del módulo de elasticidad denominado como “E” (su 
capacidad de deformarse y regresar a su estado original en el 
rango elástico, empleado para obtener su deformación longi-
tudinal), Coeficiente de Poisson (proporción de deformación 
transversal), su capacidad resistente a compresión llamada es-
fuerzo a compresión y su capacidad resistente a compresión 
permisible, la cual será empleada en la práctica para predimen-
sionar los elementos.
Material E (kg/cm2) Coeficiente 
Poisson
Esfuerzo de 
compresión 
(kg/cm2)
Esfuerzo de 
comprensión 
permisible 
(kg/cm2)
acero 2100000 0.30 2530 1518
aluminio 700000 0.33 2600 1200
madera 140000 0.20 120 85
concreto 1900000 0.26 250 200
tabique rojo 700000 0.20 90 70
piedra 42184 0.38 800 600
Con base en lo anterior, para poder determinar de una forma 
aproximada y rápida la sección que requiere el puntal para so-
portar la carga axial se proporcionan los valores de esfuerzo re-
sistente de compresión para distintos materiales considerando 
un comportamiento elástico de los mismos, llamado esfuerzo 
de compresión permisible del material.
En la siguiente tabla se presentan las propiedades de algunos 
materiales de construcción más comunes; podemos identificar
51
Objetivos
• Que el alumno se interese de manera teórico-práctico 
en las estructuras a compresión
• Que el alumno aprenda a identificar el trabajo de arcos 
parabólicos con carga puntual
• Que el alumno obtenga de forma gráfica los momentos 
que se producen en un arco bajo carga puntual
• Que el alumno establezca la relación existente entre el 
comportamiento de los materiales y su aportación dentro 
de los sistemas estructurales trabajando a compresión.
• Que el alumno comprenda la importancia de estos 
conceptos dentro de su vida práctica proyectual y 
constructiva.
52
Hipótesis
Los arcos parabólicos biarticulado bajo cargas puntuales pre-
sentan flexiones; con cargas uniformemente repartidas solo 
trabajan a compresión.
Para ello se comenzará a comprender los efectos de flexión so-
bre elementos a compresión.
Se relacionarán los conceptos mecánicos de los materiales junto 
con el trabajo de los elementos estructurales que dan soporte al 
proyecto arquitectónico.
Se relacionarán los conceptos mecánicos de los materiales junto 
con el trabajo de los elementos estructurales que dan soporte 
al proyecto arquitectónico, sintetizando mediante la obtención 
de dimensiones de los elementos.
53
Materiales
• Uso del equipo STR-10 (ARCO BIARTICULADO). 
• Regla.
• Hojas cuadriculadas.
• Cuaderno.
• Calculadora.
Ilustración 7b. Equipo STR-10 
Arco Biarticulado con medidor
54
Procedimiento
A partir de conocer los aspectos teóricos fundamentales del 
comportamiento de arcos parabólicos biarticulados se compa-
rarán los valores teóricos con los valores prácticos de las reac-
ciones horizontales sobre el arco cuando se coloca carga pun-
tual sobre de éste.
55
Arco parabólico 
biarticulado con carga 
puntual móvil
3
Práctica
Para ello se sugiere:
• Generar equipos de 2 a 3 personas.
• Verifique que el equipo presenta las siguientes dimensiones:
Separación entre articulaciones de 50 cm (500 mm), sepa-
ración entre segundo tornillo es de 6 cm (60 mm), como se 
muestra en la figura 8b.
• Cada equipo dibujará el arco parabólico que se forma sobre 
el arco, a escala, indicando la posición de cada uno de los 
ganchos sobre el dibujo (la distancia entre argollas es de 
5cm), para ello se usará la expresión:
y = 4h
L2
Lx − x2( )
• Se colocará en el primer gancho una carga de 0.5kg. 
• Se debe leer la reacción horizontal que se obtiene al colo-
car dicha carga.
 Ilustración 8b. 
 Equipo STR-10 con las dimensiones necesarias entre apoyos 
• Cada miembro del equipo colocará el gancho en una posi-
ción distinta de forma que se coloque la carga en los 9 gan-
chos que presenta el arco y se deben apuntar los distintos 
valores de reacción para cada caso.
56
• Para obtener el valor de reacción calculada es necesario em-
plear la expresión 1b para cada punto donde se va colocan-
do la carga:
Rx = 5Pa
8hL3
L3 + a3 − 2La2( )
Donde:
a es la distancia donde se coloca el gancho con carga
P es el valor de la carga que para este caso sería de 0.5 kg
h es la altura del arco la cuál debe ser medida desde la articulación 
fija al punto más alto del arco (siendo para este caso 10 cm 
aproximadamente).
• La tabla que deben ir generando por equipo es la que se 
presenta a continuación; en ésta se debe colocar el valor de 
la reacción que mide el aparato (la reacción se encuentra 
en Newtons, por lo que debe ser transformada a Kilogramo 
Fuerza recordando que 1 Newton = .1019 kg).
Distancia 
del extremo 
A (cm)
Lectura 
de reacción 
(Kg)
Valor 
de reacción 
calculada 
(kg)
0 0 0
5* 0.1528 0.1532 
10
15
20
25
30
35
40
45
50
* Se realiza como ejemplo los valores obtenidos para la carga ubi-
cada en el primer gancho, con una separación a 5 cm del extremo:
Lectura medida por el aparato lector: 1.5 Newtons.
Transformando a Kg = 1.5 N * .1019 KgF = 0.1528 Kg.
57
Proporción del Claro 
del Arco
Valor de influencia de 
la reacción horizontal 
obtenida del experi-
mento
Valor de influencia de 
la reacción horizontal 
calculada
0 0 0
(ejemplo) 0.10 0.3056 0.3064
0.200.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.0
El valor de fuerza de reacción evaluado con la expresión 1b de 
la práctica =
Rx = 5∗0.5∗5
8∗10∗503
(503 +53 − 2∗50∗52 ) = 0.1532kg
• Una vez que se ha terminado de llenar la tabla del paso 8, se 
debe identificar el punto donde la carga aplicada produce la 
mayor reacción en el arco; para ello se obtendrá la línea de in-
fluencia de la reacción horizontal, llenando la siguiente tabla:
58
• Finalmente generen el diagrama de momentos que se pro-
duce en este arco bajo la carga máxima aplicada, es decir, 
cuando la carga se coloca al centro del claro. 
Para ello se requiere recurrir a las expresiones 5b y 6b, ob-
teniendo nuevamente en cada punto (5 cm) los valores de 
ambas. Como ejemplo se desarrollará solamente el valor 
máximo de la gráfica.
Conociendo la reacción al horizontal cuando la carga se co-
loca al centro del claro de la tabla del paso 8:
Nuevamente se realizará como ejemplo los valores obtenidos 
para el primer punto del arco que es a una distancia de 5 cm:
A partir de la expresión 4b, obtenemos la fracción del arco para 
este primer punto:
5 0.10
50
cmFracción del Claro
cm
= =
Para obtener el valor de influencia en dicho punto, se emplea 
la expresión 3b primeramente usando los valores medidos del 
lector de fuerza del arco
0.1528 0.3056
0.50
KgValor Influencia
Kg
= =
Finalmente, se realizar la misma operación pero con los valores 
obtenidos analíticamente
0.1532 0.3064
0.50
KgValor Influencia
Kg
= =
Una vez obtenidos todos los valores de la tabla, se realizarán 
ambas gráficas de línea de influencia. Los valores permitirán ob-
tener una gráfica similar a la siguiente:
59
Reacción Horizontal obtenida del lector cuando carga a 25 cm: 
0.478 kg. La altura del arco es de 10 cm.
MCL = 0.478∗10 = 4.78Kg ∗cm
Encontrando el momento máximo como si el arco fuera una viga 
simplemente apoyada con la misma carga al centro tenemos:
Mcl =
0.5∗50
4
= 6.25kg ∗cm
La gráfica de forma general presentará la siguiente geometría:
(ver figura del lado derecho).
¿Qué valor es el máximo encontrado? ¿Que implica dicho dia-
grama si se construye el arco con concreto reforzado?
Analiza los resultados
Un arco parabólico biarticulado presentará esfuerzos de flexión 
adicional a los de compresión cuando se colocan cargas puntua-
les sobre el mismo; esto se debe a que su geometría no obedece 
a la antifunicular que le corresponde, como se aprendió en la 
práctica 2 sobre funiculares.
60
Arco parabólico 
biarticulado con carga 
repartida
Práctica
Para ello se sugiere:
• En equipo, se colocará en cada uno de los 9 ganchos que 
tiene el arco una carga igual a 70gr de forma que el arco 
soporte un total de 360gr. 
• Apunte el valor de la reacción que presenta el aparato. 
• Confronte dicho valor con la expresión matemática 10b. 
Para ello, se debe obtener una carga uniformemente repar-
tida; para lo cual dividimos la carga total entre la longitud 
total del arco en línea recta :
.360 .0072 /
50
KgW Kg cm
cm
= =
Donde LT es igual a 50 cm y S es igual a 10 cm
• ¿Cómo fueron los valores obtenidos analíticamente con res-
pecto a la lectura reportada por el lector del arco?
• Genere el diagrama de momentos internos que tiene este 
arco, siguiendo el mismo procedimiento empleado en la 
práctica 3.
El momento máximo generado en el arco seguirá siendo igual 
al de la práctica 3, el diagrama de momentos que se modifica 
es el de la trabe isostática con carga repartida, es decir:
MCL = RXA *h
4
61
Pero el momento de la viga con carga repartida será
Mcl =
W ∗ L2
8
• ¿Qué es lo que pasa cuando se unen ambas gráficas como 
en la práctica 3?
• Finalmente, obtenga el valor de fuerza de compresión máxi-
ma y predimensione la sección requerida para este arco si se 
construye con aluminio. Para ello debe obtener el valor de 
compresión máxima y determinar el área requerida colocan-
do el valor de esfuerzo resistente a compresión del aluminio.
FCmax =
wLT
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
+ H 2 
σ C =
Fc
A
=σ resistente a compresión del material
Donde:
W es igual a la carga repartida del inciso anterior
LT es la longitud total del arco igual a 50 cm
H es la altura total del arco igual a 10 cm
El esfuerzo resistente a compresión permisible del aluminio 
 es de 1200 kg/cm2.
FCmax =
wLT
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
+ H 2
62
El comportamiento del arco bajo la aplicación de la carga en 
distintos puntos presenta momentos flexionantes internos, los 
cuales afectan al arco obligando a que las secciones que lo for-
man sean de mayor dimensión, pues presenta en su interior tres 
esfuerzos distintos: compresión, cortante y flexión (cortante y 
flexión se ven en la práctica 7, 8 y 9).
Cuando el arco parabólico biarticulado presenta cargas unifor-
memente repartidas, el momento flexionante se anula ya que 
su geometría es el antifunicular para dichas cargas trabajando 
únicamente a compresión, presentando un diseño más ligero 
por tener secciones más pequeñas.
Análisis 
de resultados 
práctica 3 y 4
63
La introducción a la generación de líneas de influencia es intui-
tiva, de modo que posteriormente puedan comprender dichas 
líneas en otros elementos estructurales como son puentes con 
cargas móviles. La gráfica que se genera en este ejercicio de lí-
nea de influencia corresponde a la reacción horizontal producto 
de una carga móvil que se aplica a lo largo del arco.
El punto más desfavorable de aplicación de la carga es al cen-
tro del arco, ya que es cuando se presenta la mayor reacción 
horizontal.
Un arco biarticulado es estáticamente indeterminado y los mo-
vimientos pequeños en los apoyos extremos del arco generarán 
que la reacción horizontal disminuya incrementando el valor de 
los momentos flexionantes
64
Conclusiones
Los elementos a compresión como son los arcos han sido em-
pleados durante mucho tiempo en distintas soluciones arqui-
tectónicas y constructivas, como los puentes romanos o las ca-
tedrales románicas o góticas.
La posición de la carga es muy importante, así como su geo-
metría, ya que, si llegan a producirse momentos internos, su 
diseño se vuelve más laborioso pues se requiere conocer un ma-
yor número de propiedades mecánicas del material para poder 
dimensionarlo.
65
Ejercicios 
de aplicación
Encuentra un proyecto arquitectónico resuelto empleando este 
tipo de arco biarticulado en los extremos.
Una vez que hayan encontrado el ejemplo, dibujen de forma 
sencilla su estructura, plasmen su claro, valores aproximados de 
cargas de automóviles o personas sobre de este, ancho de cal-
zada y respondan las siguientes preguntas. 
66
a. ¿Con qué material se construyó dicho proyecto? 
b. ¿Qué ventaja o desventaja le aporta la geometría de las sec-
ciones que forman al arco en dicha estructura?
c. ¿Cuál es su claro y de qué tamaño son sus secciones?
d. Se te pide generar un puente para peatones empleando un 
arco; genera una propuesta arquitectónica dibujando su es-
tructura requerida para poder ser construido. Especifica el 
material y secciones que podrías emplear para ello.
e. Dibuja su geometría de forma que sea un arco parabólico 
biarticulado con carga uniformemente repartida.
67
Referencias
Megson, T. (2017). Structural and stress analysis (3a. ed.). 
Oxford: Elsevier.
Zalewzki, W., & Allen, E. (1990). Shaping structures statics. 
New York: John Wiley & Sons Inc.
Hibbeler, R. (2013) Mechanics for Engineers : Statics (13 ed.). 
Prentice Hall.
68
P A N D E O
PAPIME PE 400516
69
Introducción
Los elementos estructurales bajo esfuerzos de compresión son 
comunes en todo proyecto arquitectónico. Estos pueden formar 
parte de una armadura o servir como puntales (elementos rectos o 
inclinados que dan apoyo a otros elementos evitando que estos 
últimos se deformen). A diferencia de los elementos que trabajan 
bajo esfuerzos de tensión, los cuales sólo pueden fallar cuando 
sus esfuerzos internos sobrepasanlos esfuerzos resistentes del 
material del que están hechos, un elemento trabajando a com-
presión puede fallar por dos motivos principalmente.
La primera forma de falla es por medio de la ruptura del elemen-
to, ya que el esfuerzo de trabajo interno es mayor al esfuerzo 
resistente del material con el que está construido. La segunda 
forma en que puede fallar un elemento trabajando a compresión 
es debido al pandeo que puede sufrir dicho elemento. 
Al aplicar una fuerza de compresión sobre cualquier elemen-
to, éste puede deformarse tanto axialmente como flexionarse 
fuera de su eje principal; dicha deformación recibe el nombre 
de “pandeo”.
70
Qué es pandeo?
 Ilustración 1c. 
 Columna con problemas de pandeo 
Es una deformación fuera del eje principal del elemento debido 
a una fuerza axial de compresión; dicha deformación se pre-
senta en forma de curvatura, la cual varía debido a distintas 
variables: a) las condiciones de sujeción en los extremos del 
elemento que trabaja a compresión; b) su geometría (radio de 
giro); c) su longitud (altura) libre.
¿
71
Qué es la relación 
de esbeltez?
Es la proporción entre la longitud efectiva de pandeo de un ele-
mento, denominado KL, y su distribución de masa alrededor de 
su centroide o “radio de giro”. El valor de “K” se encuentra en 
función a la proporción del elemento en compresión que se de-
forma alejándose de su eje centroidal principal; dicha longitud 
de pandeo varía de acuerdo al tipo de restricción que presenten 
los apoyos que sujetan al elemento en sus extremos, como se 
muestra en la imagen 2c.
 Ilustración 2c. 
 Valor de “K” para la longitud efectiva de pandeo 
Con base en lo anterior, al multiplicar el factor K por la longi-
tud del elemento (KL), obtenemos la proporción de la columna 
que puede pandearse o la longitud efectiva de pandeo, denomi-
nada como Le.
La relación de esbeltez se determina entonces con la siguiente 
expresión:
KL Le
r r
= (1c)
Donde:
KL es la longitud efectiva de pandeo (m o cm)
r es el radio de giro de la sección (sobre su eje menor, cm)
¿
72
Qué es el radio de giro?
El radio de giro, r, es una propiedad geométrica de las secciones 
transversales y se refiere a la distribución de la masa de dicha 
sección con respecto a su eje centroidal; toda sección presenta 
radios de giro alrededor de sus dos ejes principales, obteniendo 
el radio de giro sobre el eje “X” y sobre el eje “Y” como:
 ; x y
Ix Iyr r
A A
= = (2c)
Donde:
lx es el segundo momento de inercia alrededor del eje x. (cm4)
ly es el segundo momento de inercia alrededor del eje y. (cm4)
A es el área transversal de la sección. (cm2)
¿
73
Qué es el esfuerzo crítico 
y la carga crítica?
Esfuerzo crítico
Cuando un elemento estructural presenta compresión, su capa-
cidad de carga dependerá de su relación de esbeltez. El esfuer-
zo máximo a compresión que soporte un elemento esbelto se 
conoce como “Esfuerzo crítico de Euler” o solamente “Esfuerzo 
crítico”, siendo su expresión:
σ CR =
E ∗π 2
K ∗ L
ry
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2 =
n∗E ∗π 2
L
ry
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
 (3c)
Donde:
k es el valor de condición de frontera de la sujeción en los extremos.
E es el módulo de elasticidad del material. (kg/cm2)
L es la longitud del elemento. (m o cm)
ry es el radio de giro menor de la sección. (cm o m)
n es función de la condición de frontera relacionado con el valor de 
“k” como la expresión 4C.
2
1n
k
= (4c)
Cuando una columna a compresión pura no presenta proble-
mas de esbeltez, su esfuerzo resistente a compresión es igual al 
esfuerzo resistente del material del que está construido. Cuan-
do el valor del esfuerzo crítico de una columna a compresión es 
menor al esfuerzo que soporta el material del que está hecha 
la sección, entonces se dice que el elemento es esbelto y su es-
fuerzo resistente será igual al valor del esfuerzo crítico de Euler.
Si σ CR <σ material →σ diseño =σ CR
Si σ CR >σ material →σ diseño =σ material
Donde:
σ material = esfuerzo resistente a comprensión del material
σ diseño = esfuerzo válido para diseñar una sección
¿
74
Carga crítica
A partir de conocer el esfuerzo crítico, Euler determinó la carga 
crítica, la cuál es:
PCR = A∗
E ∗π 2
K ∗ L
ry
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2 =
n∗π 2 ∗E ∗ I y
L2 (5c)
Donde:
ly es el segundo momento de inercia del área (cm4); se selecciona la 
inercia sobre el eje menor ya que el pandeo tomará dicha dirección.
E es el módulo de elasticidad del material. (kg/cm2)
L es la longitud del elemento. (m o cm)
ry es el radio de giro menor de la sección. (cm o m)
n es función de la condición de frontera relacionado con el valor de 
“k” como la expresión 4C
Esta expresión será empleada cuando se requiere conocer la 
carga que soporta un elemento a compresión cuando se haya 
evaluado el esfuerzo crítico y éste sea menor al esfuerzo a com-
presión del material.
75
Objetivos
• Que el alumno se interese de manera teórico-práctica en el 
efecto de esbeltez y pandeo en elementos a compresión.
• Que el alumno aprenda a identificar los parámetros que 
establecen la relación de esbeltez y su relación con el 
esfuerzo crítico a compresión.
• Que el alumno establezca la carga resistente a compresión 
de un elemento, con o sin problemas de esbeltez.
• Que el alumno determine la carga crítica de una sección y 
a partir de dicho parámetro pueda establecer la resistencia 
a compresión del elemento.
• Que el alumno comprenda la importancia de estos conceptos 
dentro de su vida práctica proyectual y constructiva.
76
Hipótesis
Todos los elementos esbeltos trabajando a compresión sufren 
de pandeo tanto local como general.
Para lograr el punto anterior se producirá el inicio del pandeo 
en distintas barras de aluminio y se comprobará el valor de la 
carga crítica que presente experimentalmente con respecto a 
la obtenida empleando la expresión de carga crítica de Euler.
Se relacionarán los conceptos de radio de giro, esbeltez, pandeo 
y carga crítica.
Se relacionarán los conceptos mecánicos de los materiales junto 
con el trabajo de los elementos estructurales que dan soporte 
al proyecto arquitectónico, sintetizando mediante la obtención 
de dimensiones de los elementos.
77
Materiales
• Uso del equipo STR-12 (PANDEO) 
• Regla
• Hojas cuadriculadas
• Cuaderno
• Calculadora
• Práctica
A partir de conocer los aspectos teóricos fundamentales del 
comportamiento de elementos a compresión con efectos de 
pandeo, se compararán los valores teóricos con los valores 
prácticos de la carga crítica de Euler.
78
Procedimiento
79
Pandeo en elementos 
biarticulados
Práctica
Para ello se sugiere:
• Generar equipos de 2 a 3 personas.
• Verifique que el equipo presenta las regletas y sujete cada 
una de ellas adecuadamente con el tornillo correspondiente.
• Cada equipo medirá la longitud de cada una de las 
barras, apuntando su valor en la tabla mostrada en la 
siguiente página.
Ilustración 3c. 
Aparato STR-12 para visualizar y medir 
la fuerza crítica de Euler ante pandeo
5
80
• Cada miembro obtendrá para cada una de las barras su 
inercia midiendo con el vernier su grosor. La inercia de una 
barra rectangular sobre su eje menor es:
(6C)
Donde: 
e es el espesor de la barra (cm).
b es la dimensión de la base de la barra (cm).
Número de barra Longitud (cm) Inercia barra 
Iy (cm4)
Lectura Carga 
de pandeo (N)
Lectura Carga 
de pandeo (Kg)
1 32 -85
2 37
3 42
4 47
5 52
• Cada miembro del equipo pasará a colocar una de las barras, 
ajustándola adecuadamente con el tornillo, y comenzará a 
aplicar fuerza gentilmente hasta iniciar el pandeo de la barra.
• La tabla que se generará con sus valores respectivos medi-
dos por barra para cada equipo debe ser como la siguiente:
81
Para obtener el valor de la carga crítica de Euler se empleará la 
ecuación 5C:
Pcr =
nEI yπ
2
L2
Donde:
E es el módulo de elasticidad del material de la barra, como es de 
aluminio este valores igual a 700,000 kg/cm2.
ly es la inercia de la barra con respecto al eje menor (cm4).
L es la longitud de la barra (cm).
n es igual a la unidad para este experimento.
 Recordar que 1 Newton = 0.1019 Kg F.
IMPORTANTE: Para evitar la deformación de las barras, se han 
colocado en la tabla los valores máximos de carga a los que pue-
de llegar cada barra; una vez rebasados dichos valores comien-
za la deformación inelástica de la barra y queda deformada sin 
poder ser utilizada posteriormente.
• Para identificar la relación existente de la carga obtenida del 
experimento con la expresión de Euler de la carga crítica, 
cada equipo debe llenar la siguiente tabla, donde 1/L2 es el 
inverso de la longitud al cuadrado.
Número 
de barra
Carga Critica 
Experimental 
(kg)
Carga Crítica 
de Euler 
teórica (kg)
1/L2
1
2
3
4
5
82
Los valores de carga crítica con respecto al inverso de la lon-
gitud al cuadrado de cada barra deberán ser graficados, de 
forma que se pueda probar la relación existente entre la car-
ga crítica de pandeo y el recíproco de la longitud de la barra.
El gradiente es la pendiente que presenta la línea que se for-
ma en la gráfica realizada, es decir, es la proporción entre la 
carga crítica y el recíproco de su longitud correspondiente. 
• Finalmente obtenga la pendiente de la recta generada y con-
cluya si se genera una línea recta. Responda si la ecuación 
de Euler determina con precisión el valor de la carga crítica
83
Pandeo de barras 
biempotradas
6
Práctica
Para ello se sugiere:
• Generar equipos de 2 a 3 personas.
• Verifique que el equipo presenta las regletas y sujete cada una 
de ellas adecuadamente con el tornillo correspondiente
• Cada equipo medirá la longitud de cada una de las barras, 
apuntando su valor en la tabla mostrada en la siguiente página
• Cada miembro obtendrá para cada una de las barras su iner-
cia midiendo con el vernier su grosor. La inercia de una ba-
rra rectangular es:
 (6C)
Donde:
e es el espesor de la barra.
b es la dimensión de la base de la barra.
• Cada miembro del equipo pasará a colocar una de las barras, 
ajustándola adecuadamente con el tornillo, y comenzará a 
aplicar fuerza gentilmente hasta iniciar el pandeo de la barra.
La tabla que se generará con sus valores respectivos medi-
dos por barra para cada equipo debe ser como la siguiente:
Número 
de barra
Longitud 
(cm)
Inercia barra 
(cm4)
Carga de 
pandeo (N)
Carga de 
pandeo (Kg)
1 28 -429
2 33
3 38
4 43
5 48
84
Para obtener el valor de la carga crítica de Euler, se empleará la 
ecuación 5C:
Pcr =
nElyπ
2
L2
Donde:
E es el módulo de elasticidad del material de la barra, como es de 
aluminio este valor es igual a 700,000 kg/cm2.
ly es la inercia de la barra con respecto al eje menor (cm4).
L es la longitud de la barra (cm).
n es igual a 4, ya que K es 0.5.(verificarlo con la expresión 4C).
 
Recordar que 1 Newton = 0.1019 Kg F.
IMPORTANTE: Para evitar la deformación de las barras, se han 
colocado en la tabla los valores máximos de carga a los que pue-
de llegar cada barra; una vez rebasados dichos valores, comien-
za la deformación inelástica de la barra y queda deformada sin 
poder ser utilizada posteriormente.
• Para identificar la relación existente de la carga obtenida del 
experimento con la expresión de Euler de la carga crítica 
cada equipo debe llenar la siguiente tabla, donde 1/L2 es el 
inverso de la longitud al cuadrado:
Número 
de barra
Carga Critica 
Experimental 
(kg)
Carga Crítica 
de Euler (kg)
1/L2
1
2
3
4
5
85
Los valores de carga crítica con respecto al inverso de la 
longitud al cuadrado de cada barra deberán ser graficados, 
de forma que se pueda probar la relación existente entre la 
carga crítica de pandeo y el recíproco de la longitud de 
la barra.
El gradiente es la pendiente que presenta la línea que se for-
ma en la gráfica realizada, es decir, es la proporción entre la 
carga crítica y el recíproco de su longitud correspondiente.
• Genere una tabla final donde pueda obtener la relación en-
tre los gradientes de una barra articulada con respecto a 
una barra biempotrada. El valor que obtenga será el valor 
de “n” o condición de frontera.
N experimental = Gradiente de barra biempotrada
Gradiente barra biarticulada
¿Tiene algún sentido este resultado? 
86
Análisis de 
resultados 
prácticas 5 y 6
Una vez realizados los dos ejercicios, modificando las condicio-
nes de sujeción del elemento en el extremo, se pide relacionar 
el valor de la pendiente de la recta que se genera en la gráfica 
obtenida en cada ejercicio.
Para desarrollar la relación de las pendientes obtenidas, la pen-
diente obtenida por la barra biarticulada se tomará como la uni-
dad para obtener el valor proporcional para los demás casos.
El alumno debe verificar cómo cambia el comportamiento con-
forme se modifica la sujeción de la barra en los extremos; cómo 
su pandeo siempre es sobre el eje menor de inercia y la carga crí-
tica es el valor de carga máximo que puede soportar el elemento 
antes de iniciar su deformación plástica debido al pandeo.
Pendiente Barra 
bi-articulada
Barra 
bi-empotrada
Experimental -9.0 -34.9
Relación caso/ 
bi-articulada
-9.0/-9.0=1 -34.9/-9.0=3.9
Relación 
teórica “n”
1 4
Relación teórica
1 2
87
Conclusiones
Los elementos a compresión, como son los puntales y colum-
nas, han sido empleados durante mucho tiempo en distintas so-
luciones arquitectónicas y constructivas; sin embargo, siempre 
se han visto afectados por el fenómeno del pandeo.
La carga que soporta el elemento se verá reducida con base en 
su geometría tanto de sección transversal como de longitud; 
la carga crítica de Euler establece el valor máximo que puede 
soportar un elemento antes de iniciar el pandeo y sufrir defor-
maciones permanentes.
88
Ejercicios de 
aplicación
Encuentra un proyecto arquitectónico resuelto empleando 
puntales y revisa su geometría verificando cuál elemento sufri-
rá pandeo con mayor facilidad.
Una vez que hayan encontrado el ejemplo, dibujen de forma 
sencilla su estructura, plasmen su claro, valores aproximados de 
cargas de automóviles o personas sobre éste, ancho de calzada 
y respondan las siguientes preguntas:
a. ¿Con qué material se construyó dicho proyecto?
b. ¿Qué ventaja o desventaja le aporta la geometría de las sec-
ciones que forman al arco en dicha estructura?
c. ¿Cuál es su claro y de qué tamaño son sus secciones?
Se te pide encontrar imágenes en la red de elementos que han 
fallado por pandeo. Especifica el material y secciones presenta-
ban estos elementos.
89
Referencias
Megson, T. (2017). Structural and stress analysis (3a. ed.). 
Oxford: Elsevier.
Zalewzki, W., & Allen, E. (1990). Shaping structures statics. 
New York: John Wiley & Sons Inc.
Beer, FP and Johnston, R. (2010). Statics and Mechanics of Ma-
terials. (12a ed.) Mc. Graw Hill.
F L E X I Ó N
PAPIME PE 400516
9191
Introducción
Se pretende que el alumno conozca todo lo relacionado con el esfuer-
zo de flexión, tanto teórico como práctico, a través de la definición de 
conceptos claros y precisos, además de la ejemplificación del fenóme-
no mediante la solución de ejercicios prácticos. Al final el alumno debe 
poder realizar la síntesis de la repercusión de este esfuerzo sobre los 
elementos estructurales, especialmente vigas.
92
Qué es flexión?
Es la distribución de esfuerzos que se producen al interior de 
un elemento al aplicarle a este último una fuerza transversal, 
generando una deformación llamada “deflexión”, siendo “la 
flecha” el punto de máxima deformación. Al aplicar una carga 
vertical al elemento en el sentido de la fuerza de la gravedad, 
las fibras superiores de este cuerpo se acortan produciendo 
esfuerzos internos de compresión mientras que las fibras infe-
riores se alargan produciendo esfuerzos de tensión.
La línea que separa las fibras que trabajan a tensióncon res-
pecto a las que trabajan a compresión recibe el nombre de “eje 
neutro”, punto en el cual no existe ningún esfuerzo. Finalmen-
te, al “curvearse” el elemento, se genera una curvatura con su 
respectivo radio llamado “radio de curvatura”, el cual dismi-
nuye cuando aumenta la flexión y aumenta al disminuir esta 
última.
Ilustración 1d. Viga con carga perpendicular a su eje principal. Ilustración 2d. Flexión en vigas.
¿
93
Qué es momento y un 
momento de flexión?
Un momento de fuerza es el producto de una fuerza aplicada 
en un punto por la distancia perpendicular a dicha fuerza para 
llegar al punto sobre el cual gira el elemento. 
Donde:
M es el momento (kg*cm, t*m)
Ilustración 3d. Torque o mo-
mento. (1d) 
Momento de flexión
Para que el elemento sobre el cual se aplicó la fuerza esté en 
equilibrio, la fuerza resultante a tensión (producto de la suma 
de los esfuerzos de tensión) debe ser igual a la fuerza resul-
tante a compresión (producto de la suma de los esfuerzos de 
compresión).
Ambas fuerzas son de igual valor, pero tienen sentido contra-
rio y se encuentran separadas una distancia, produciendo un 
momento de flexión al interior del elemento.
Ilustración 4d. Momento
y Cortante sobre una viga.
M = Fuerza∗distancia (1d)
¿
94
Una viga es un elemento estructural, generalmente en posi-
ción horizontal, cuya función es soportar cargas externas y 
transmitirlas hacia sus apoyos generalmente ubicados en los 
extremos de la misma. El comportamiento de la viga depende-
rá de la forma en que se conecta con sus apoyos.
Ilustración 5d.
Ejemplo apoyo simple y representación
gráfica en el plano. 
Apoyo simple
Es aquel apoyo que impide que el elemento se mueva única-
mente en un sentido, pudiendo moverse en la otra dirección, 
así como girar alrededor de dicho apoyo.
Debido a que sólo restringe que el elemento se mueva en una 
dirección, en dicha dirección se genera una reacción.
Flexión en vigas
y tipos de apoyos
viga o ballena
viga enfrente = apoyo simple viga atrás = apoyo simple
reacción en yreacción en y
95
Apoyo articulado
Este apoyo impide que el elemento se mueva en todas las 
direcciones; sin embargo, permite que el elemento gire alrede-
dor de todos los planos.
Debido a que sólo restringe que el elemento se mueva en dos 
direcciones, en dichas direcciones se generan reacciones; aho-
ra se tienen reacción en X y en Y.
Ilustración 6d.
Ejemplo apoyo articulado y representación
gráfica en el plano.
columna inclinada
reacción en x
articulación
madera apoyo
reacción en y
96
Apoyo empotrado
Este apoyo impide que el elemento se mueva y gire en todas 
las direcciones.
Para conocer el trabajo de flexión en una viga estáticamente 
determinada que soporta carga, ya sea puntual o distribuida, 
se recurre a obtener el valor de las reacciones en los apoyos 
para posteriormente obtener las ecuaciones del momento 
interior en la viga y plasmar dicho trabajo en diagramas cono-
cidos como diagramas de elementos mecánicos, de momento 
de flexión.
Ilustración 7d.
Ejemplo apoyo empotrado
y representación gráfica
en el plano.
momento
reacción en x
reacción en y
empotramiento
97
La fuerza cortante es la distribución de las cargas actuantes 
hacia los apoyos para que la viga esté en equilibrio. En la figura 
4d se presenta el cortante que se transmite de la carga exter-
na hacia la viga, y su diagrama es la representación de la suma 
algebraica de todas las fuerzas externas perpendiculares al eje 
de la viga y su transmisión hacia los apoyos.
Para obtener el diagrama de fuerzas cortantes en vigas se rea-
liza una sumatoria de fuerzas en “Y” o fuerzas verticales.
Qué es la fuerza 
cortante?
Fy∑ = 0 (2d)
En los ejercicios planteados a continuación el alumno practi-
cará cómo obtener el trabajo de flexión y cortante sobre una 
trabe, generar su gráfica y relacionar sus resultados con las 
deflexiones que se producen en la viga.
¿
98
 Objetivos 
98
• Que el alumno aprenda a identificar los diferentes tipos de vigas, su 
función y comportamiento. 
• Que el alumno aprenda a identificar y a calcular los esfuerzos 
(cortante y momento) a los que está sometida una viga. 
• Que el alumno pueda observar la deformación de una viga 
sometida a diferentes cargas. 
• Que el alumno aplique los conocimientos adquiridos a proyectos 
arquitectónicos.
10
0
 k
g
4
0
 c
m
10
0
 k
g
10
0
 k
g
10
0
 k
g
10
0
 k
g
10
0
 k
g
10
0
 k
g
10
0
 k
g
10
0
 k
g
2
5
 c
m
9999
Hipótesis
Las trabes son elementos cuyo trabajo principal es a flexión y cortante 
debido a las cargas que soporta.
Para verificar dicha hipótesis: se analizará el comportamiento de una 
viga, para lo que se realizarán diferentes propuestas para saber cómo se 
flexiona una viga y sus valores.
Para todos los ejercicios se determinará la deformación del modelo y, 
con los cálculos, se verificará la deformación y trabajo obtenido.
Los resultados se obtendrán de forma manual así como con programa 
de análisis estructural, pudiendo variar los valores ligeramente por 
cuestiones de decimales empleados.
100100
• Esponja 
• Plumones 
• Plastilina 
• Hojas milimétricas 
• Cartón 
• Latas de leche o pintura vacias 
• Papel albanene 
• Masking Tape 
• Marcador 
• Tachuelas 
* Estos materiales pueden comprarse entre dos o tres personas,
 de forma que sean económicos y no se tengan desperdicios.
Materiales
101101
Procedimiento
Lo primero que se debe realizar es:
Profesor: 
Presentará el modelo de trabajo de madera donde se encuentra el 
plano de trabajo, viga formada por secciones de madera, eje neutro 
y deflexión, ejemplificando cada paso que realizará el alumno ante el 
grupo.
Alumnos:
Generarán la base sobre la cual se colocarán los modelos que generen 
los mismos alumnos. La base se fabricará:
• Sobre la base de cartón pegar una hoja milimétrica.
• Poner las tachuelas alineadas en el eje horizontal, con la separación 
que se desee para la trabe.
• Poner plastilina en la parte trasera del cartón para tener una mejor 
fijación de las tachuelas.
Ilustración 8d. Modelo de flexión del profesor 
102
Visualiza el comportamiento a flexión de una viga sobre 
un modelo para posteriormente calcular las reacciones, el 
valor del cortante y momento de flexión de la trabe. Final-
mente, traza los diagramas de elementos mecánicos corres-
pondientes.
Inicia con el modelo
Construye un modelo con las características de la viga que 
será analizada analíticamente y compara los resultados.
a. Haz una retícula en una hoja milimétrica con una gradua-
ción que te ayude a observar los esfuerzos que producirá 
la viga.
Flexión con cargas 
puntuales
b. Coloca latas hasta lograr la altura necesaria, estas latas 
servirán como los apoyos de la viga.
c. Apoya la esponja en las latas para formar el sistema.
7
Práctica
103
d. Comienza a agregar peso proporcionalmente a las cargas 
establecidas en el ejercicio anterior. Para este ejemplo uti-
lizamos plumones, pero se puede utilizar cualquier objeto 
al alcance del practicante. Observa la flexión que producen 
las cargas en la viga.
e. Sigue agregando las cargas necesarias conforme al ejer-
cicio. Observa los cambios que se van produciendo en la 
viga.
f. Con la ayuda de un marcador, traza la curva generada por 
la flexión de la viga y compara el resultado con el que se 
obtenga en el siguiente ejercicio
Solución analítica de la viga
Se tiene una viga con tres cargas puntuales (equivalente a los 
tres plumones).
Se inicia obteniendo las reacciones
Ilustración 9d. 
Viga práctica 7. 
70
0
0
 k
g
10
 0
0
0
 k
g
70
0
0
 k
g
2.00 3.00 3.00
R1 R2
BA
2.00
104
Para obtener las reacciones R1 y R2 se requiere realizar suma-
toria de momentos en el extremo derecho, el cuál llamaremos 
punto “B”. Para obtener el momento, este será igual a Fuerza 
por distancia, ecuación 1D.
 MB∑ = 0
(girando a favor de las manecillas del