Actividad Extraclase 1

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Raúl Andrés Guillén Rangel 20030941 
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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CELAYA 
INGENIERÍA MECATRÓNICA 
GRUPO A 
ELECTROMAGNETISMO 
FREDDY JIMÉNEZ ROJAS 
RAÚL ANDRÉS GUILLÉN RANGEL 
No. De Control 20030941 
MOMENTO DIPOLAR ELÉCTRICO 
Raúl Andrés Guillén Rangel 20030941 
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Los átomos y las moléculas están formados por unidades con carga eléctrica (protones, 
electrones, etc.), los cuales pueden ser estudiados a través de la mecánica cuántica. 
Como resultado, se tienen modelos que a través de funciones propias del 
Hamiltoniano, describen el comportamiento electrónico y magnético de dichos 
sistemas. 
Un caso especial es el momento dipolar (µ), que surge de la existencia de dos 
partículas cargadas, +q y –q, localizadas en dos puntos distintos del espacio, y que se 
define matemáticamente como el producto de la carga (por convención negativa) por 
la distancia que las separa. Por tanto, µ es una magnitud dirigida, es decir, es una 
cantidad vectorial que se suele representar gráficamente por una flecha con origen en 
la carga negativa. 
�⃗� = 𝑞𝑟 
Para cada sistema en particular se debe distinguir entre el momento dipolar 
instantáneo, el cual puede tomar cualquier valor entre las soluciones propias 
dependientes del tiempo, y el momento dipolar promedio, el cual en caso de átomos, 
moléculas diatómicas homonucleares o poliatómicas con distribución espacial 
simétrica, su valor es cero. Generalmente, cuando se habla del término µ se entiende 
que se trata del valor promedio. 
Además, existe el momento dipolar inducido, el cual es resultado de aplicar un campo 
eléctrico uniforme, lo que tiene como consecuencia la polarización de la carga dentro 
del sistema. 
El tratamiento cuántico sugiere el uso de funciones que describan este 
comportamiento, por lo cual µ de un átomo o molécula se puede estimar mediante la 
siguiente expresión: 
�⃗� = −∫ 𝜌(𝑟)𝑟 ⅆ𝜏 
Para la cual, ρ(r) es la densidad de carga en la porción de espacio delimitada por r. Sin 
embargo, las funciones que describen dicha densidad de carga no siempre son las 
funciones propias del Hamiltoniano, sino una aproximación establecida por la 
combinación lineal de orbitales atómicos. Por esta razón, µ puede ser estimada en un 
sistema de n partículas cargadas a través de la contribución de cada una de ellas 
𝜇 =∑𝑍𝑖𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Donde 𝑍𝑖 es la carga de la i-ésima partícula y 𝑟𝑖 es el correspondiente vector de 
posición con respecto a un origen arbitrario. Como consecuencia de la aproximación 
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de Born-Oppenheimer, la contribución del núcleo corresponde únicamente a su carga 
y su posición respecto al origen. Sin embargo, para describir la contribución de un 
electrón dentro de un sistema cuántico es necesario realizar un análisis de población 
electrónica, que represente la densidad de carga ρ(r). 
De esta manera, para una combinación lineal de orbitales atómicos: 
𝜙 = 𝑐𝑟𝜒𝑟 + 𝑐𝑠𝜒𝑠 
El cuadrado de la función corresponde a la distribución electrónica en el espacio: 
𝜙2 = (𝑐𝑟
2𝜒𝑟
2 + 2𝑐𝑟𝑐𝑠𝜒𝑟𝜒𝑠 + 𝑐𝑠
2𝜒𝑠
2) 
Si se multiplica el término 2𝑐𝑟𝑐𝑠𝜒𝑟𝜒𝑠 por la identidad 𝑆𝑟𝑠/𝑆𝑟𝑠, y tomando en cuenta que 
las funciones 𝜒𝑟
2, 𝜒𝑟𝜒𝑠/𝑆𝑟𝑠, y 𝜒𝑟
2 son distribuciones normalizadas: 
 
Al multiplicar por el número de electrones, se obtiene la población electrónica del 
orbital molecular: 
 
De donde la población electrónica de traslape sobre la molécula k corresponde a: 
 
Para lo cual, la carga de una molécula estaría definida por: 
 
Por lo tanto, si considerando que �⃗� = 𝑞𝑟, entonces obtenemos: 
 
 
De esta manera, la expresión de µ permanente (definido en Debyes) para un sistema 
cuántico conformado por n partículas cargadas, dentro de un átomo o una molécula, 
puede ser expresado como: 
 
Donde el primer término corresponde a la contribución electrónica descrita por cada 
orbital atómico o molecular 𝜙𝑖 , y el segundo término corresponde a la contribución de 
los núcleos dentro de dicho sistema.