ficha 0 CONJUNTOS NUMERICOS

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ALGO DE CONJUNTOS-REVISIÓN: 
 
En el trabajo con números, Álgebra y Geometría usaremos el lenguaje de 
conjuntos. Por lo tanto recordaremos algunas cosas: 
 
Definición de conjuntos: Un conjunto estará bien definido si en base a 
dicha definición es posible establecer si un cierto elemento pertenece o no al 
conjunto. 
 
Dos formas habituales de definir conjuntos son: 
 
1) Por “extensión”, que supone nombrar uno a uno los elementos del 
conjunto. 
 
Por ejemplo: A={1,2,3} expresa el conjunto que nombramos A y cuyos 
elementos son esos tres números. 
Cuando nos referimos al conjunto por su nombre, no ponemos las llaves, 
no escribimos: conjunto {A} , 
 
El conjunto vacío es aquel que no tiene elementos, se le nombra con una letra 
griega mayúscula: , φ 
expresamos entonces al conjunto vacío: φ o { }, no escribimos: { φ} 
 
2) Por comprensión: Se define el conjunto a través de cualidades de sus 
elementos. 
 
Ejemplo: El conjunto de números naturales comprendidos entre 5 y 8, 
incluyendo a estos. Si lo expresamos por extensión: B={5,6,7,8}, 
Por comprensión, podemos escribir: B={x∈N/ 5≤x≤8} con lo cual 
expresamos que el conjunto B está integrado por todo número x 
perteneciente (∈) a los números naturales (N) tal que (/) x es mayor o igual 
que 5 y a su vez x es menor o igual que 8. 
 
 
 
 
 
 
 4to 
2020 
 
 
 
 
MATEMÁTICA 
 
Prof. S.Weinberger. 
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LENGUAJE DE INTERVALOS : Hay una forma usual de expresar intervalos 
de números reales, que denominamos “lenguaje de intervalos” 
 
Intervalo “abierto” : conjunto de números reales comprendidos entre dos 
reales “a” y “b”, sin incluir los extremos lo simbolizamos: (a,b) 
Lo representamos en un eje orientado: 
 a b 
 Anteriormente lo representábamos: {x∈R/ a<x<b} 
 
Intervalo “cerrado” : conjunto de números reales comprendidos entre dos 
reales “a” y “b”, incluyendo los extremos lo simbolizamos: [a,b] 
Lo representamos en un eje orientado: 
 a b 
Anteriormente lo representábamos: {x∈R/ a≤x≤b} 
 
 Intervalo no acotado superiormente (sin extremo superior): conjunto de 
 números reales mayores a un real “a”, lo simbolizamos : 
 (a,+∝), si no incluye al extremo “a”, 
 a 
 [a,+∝) si incluye “a”. 
 a 
 Intervalo no acotado inferiormente (sin extremo inferior): conjunto de 
 números reales menores a un real “a”, lo simbolizamos : 
 (-∝,a), si no incluye al extremo “a”, 
 a 
 (-∝,a] si incluye “a”. 
 a 
 INCLUSIÓN-SUBCONJUNTOS: 
 Es habitual trabajar con un “subconjunto” B de un conjunto A dado. 
Ello significa que los elementos del conjunto B, pertenecen también al A. 
También se expresa: ”B está incluído en A” y escribimos: B⊂A 
 
 A=B A 
 B 
 
 
 
 
 
En cualquiera de las situaciones que representamos en los anteriores 
“diagramas de Venn”, se cumple B⊂A. 
Escribamos la definición con símbolos para irnos familiarizando: 
 
Def: B⊂A ↔ si x∈B → x∈A 
(si x pertenece al conjunto B, entonces x pertenece al conjunto A) 
 
Nota: ↔ significa “si y sólo si” 
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OPERACIONES: UNIÓN E INTERSECCIÓN 
 
Recordemos¨ 
La “unión” entre dos conjuntos A y B es otro conjunto que tiene los elementos 
de ambos. Escribimos: A ∪ B 
La “intersección” entre dos conjuntos A y B es otro conjunto que tiene los 
elementos comunes entre ambos. Escribimos : A ∩ B 
Ejemplo 1: A B 
Consideremos los conjuntos: A={a,b,c,d} , B={c,d,e} a b c d e 
 A ∩ B 
Unión: A ∪ B={a, b, c, d, e} A ∩ B={c,d} 
 
Ejemplo 2: En geometría consideramos las rectas y los planos como conjuntos 
cuyos elementos son puntos. 
 r t 
 P 
 
 
 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS-REVISIÓN 
 
Recordamos de años anteriores que existen conjuntos de números que tienen 
nombres especiales. 
 
R es el conjunto de los números reales. Se puede decir que todos los números 
con los que se trabajó en los cursos anteriores son reales. 
 Por ejemplo: 5; – 4; 0; ....;;6,4;35,0;5;
7
3
;
2
1 π−− 
 
Los conjuntos N, Z Q e I son “subconjuntos” de R. Decimos también “están 
incluidos” en R, escribimos entonces, por ejemplo: N ⊂ R 
 
N es el Conjunto de los Números Naturales: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…….} 
 
Z es el Conjunto de los Números enteros: { }NxóNxRxZ ∈−∈∈= / 
(es el conjunto cuyos elementos son los naturales y sus opuestos) 
 
 0, 1, – 1 , 2, – 2, 3, – 3, ….. son números enteros 
 
Q es el conjunto de los números racionales: 





 ≠∈∈=∈= 0byZb,Za,
b
a
x/RxQ
 
(que habitualmente llamamos “fracciones”) 
Son números racionales ?1;2;6,4;35,0¿;
7
3
;
2
1 −−− sonlo 
 
r ∪ t es la figura formada 
por ambas rectas. 
 
r ∩ t={P} (punto en común) 
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Finalmente, existen números reales que no son racionales, a los que se denominan 
irracionales. Al conjunto de los irracionales lo nombramos I . 
 
Pertenecen a I , por ejemplo, los números : 
?......,¿;;;; 1010010000númeroelIapertenece
2
1
35 π− 
De acuerdo a las definiciones: .RQZN ⊂⊂⊂ 
 
 
 R 
Q I 
 Z 
 
 N 
 
 
 
 
 
Sugerencia: revisa los símbolos empleados y su significado: ⊂,∈, /, ∩,∪, etc. 
 
EJERCICIOS: 
 
(soluciones parciales al terminar las propuestas, la del ejercicio 5 puedes mirarla con detalle, 
luego de intentar hacerlo, pues te recuerda como operar con fracciones) 
 
1) Ubica en el esquema de conjuntos numéricos, los números: 
 
5434747233330452
5
3
30 −−π− ;,;;....,;....,;,;;;
 
 
2) Indica el valor de verdad de las siguientes afirmaciones (escribe al lado de cada 
proposición, una V o una F según entiendas, justifica): 
 
a. Todo número entero es racional. 
b. Todo número irracional es real. 
c. Algunos números enteros son naturales. 
d. Entre dos números enteros hay siempre otro número entero. 
e. El producto de números irracionales, es también un número irracional. 
f. Entre dos números racionales hay siempre infinitos números racionales. 
 
3) Expresa por extensión los conjuntos: 
 
 { } { } BABAxZxBxNxA ∩∪≤<−∈=≤∈= ,,/,/ 133 
 
4) Expresa en lenguaje de intervalos los siguientes conjuntos: 
 
{ } { }
{ }4xo2x0o3xRxD2xRxC
BABA4x3RxB3x5RxA
>≤<−≤∈=−≥∈=
∩∪<≤−∈=≤≤−∈=
/}/{
,,,/,/
 
 
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5) Calcular “mentalmente” , simplificando donde sea posible (sin uso de calculadora): 
 
a) 472450250 ···· 525
12
18
35
9
2 +− ·)b
 
23
17
733
17
733
3
2
5 −÷+·)c
 
d) 
6022
3308806
·
· +
).())().)) 3
2
1
43
2
1
42
4
3
2
5
3
hgfe −+
 
2537
2
1
3
5
3
2
1
3
2
1
2
2
..))) −−




 −
−
+
kji 
 
SOLUCIONES PARCIALES: 
Ejercicio 1: 
 
 R 
Q 2,45 I 
 Z 
π 
 N 
 0 
 
 2,45 0,33… 
 
 
Ejercicio 2: 
a) Todo número entero es racional. V (verdadero) 
 
Justifico: Losnúmeros enteros son fracciones ( por ejemplo −5 = ��� ) , por ello los enteros 
(como muestra el diagrama) están incluidos en los racionales y por ello todo número entero es 
también racional. 
 
e) El producto de números irracionales, es también un número irracional. F (Falso) 
 
Justifico: √2 es un número irracional, éste no puede expresarse como una fracción. 
Calculando: √2 × √2 = 2 (la raíz cuadrada de 2 es por definición aquel número que elevado al 
cuadrado es 2). Es decir que al multiplicar estos irracionales ( caso particular ), obtuve un 
resultado entero!! Y como los enteros son racionales…este producto de irracionales es 
racional. 
Observaciones: 
No es posible fundamentar la validez de una afirmación general con un ejemplo particular. 
Es la razón de errores de razonamiento que se cometen en la vida diaria (“esto siempre es así, 
mi tío por ejemplo….bla,bla”). Por ello en el caso a), de proposición Verdadera nuestro 
fundamento se basó en afirmaciones generales (lo del -5 fue solo un ejemplo ilustrativo, no 
agrega nada al fundamento). 
En cambio en el caso en el caso e) en que la proposición es falsa, al ser una afirmación general, 
un solo caso que no la cumpla la convierte en Falsa, este caso es lo que llamamos 
contraejemplo. De esta manera hemos fundamentado la falsedad de la proposición. 
 
 
 
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Ejercicio 3: A={0,1,2,3}, A∪B={-2,-1,0,1,2,3} 
 
Ejercicio 4: B=[-3,4) , A∩B= [-3,3] 
 
Ejercicio 5: 
 
Nota: Haremos comentarios y aclaraciones que exceden la resolución del ejercicio, 
pensando en que puedan ser útiles para otros cálculos. 
 
b) Comentario previo a la explicación de la resolución: 
Recuerdas que si divides o multiplicas numerador y denominador de una 
fracción por un mismo número, obtienes una “equivalente”. 
Por ejemplo: 
�� =
�
� =
�
�� , hemos dividido en el primer paso numerador y 
denominador entre 4 (simplificación), en el segundo paso multiplicamos 
numerador y denominador por 5 (es un ejemplo, podíamos haber multiplicado 
por cualquier número), esto hacemos por ejemplo al pasar fracciones a 
“denominador común”. Las tres fracciones representan el mismo número 
racional, son fracciones “equivalentes”. 
 
Ahora vayamos a la resolución del ejercicio, cada paso del cálculo es explicado 
debajo: 
 
“separamos” términos: 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 
�

 −
��
�� ∙
��
�� + 5 = 
�

 −
�
�� ∙
��
� + 5 =
�

 −
�
� ∙
�
� + 5 =
�

 −
�
�� +
�
� =
��
� −
�
� +
���
� =
�
�
� 
 
(1) El único término que tiene un cálculo para hacer es el segundo, multipliquemos 
��
�� ∙
��
�� . Previamente simplificaremos para facilitar los cálculos. Cualquiera de las 
fracciones intervinientes en un cálculo pueden ser simplificadas, en este caso 
intentaríamos con 
��
�� � ��� 
��
�� , pero resulta que ninguna de ellas es posible. 
Pero en la multiplicación de fracciones (no vayas a hacerlo en otra operación!!), es 
posible simplificar “cruzado”, puesto que en definitiva cuando multipliquemos, lo 
haremos con los numeradores por un lado y los denominadores por otro, y allí el orden 
de los mismos no importa, es decir: 
��
�� ∙
��
�� =
��
�� ∙
��
�� 
 
Así que en este paso dividimos el 35 y el 25 entre 5. 
 
(2) Seguimos simplificando en el segundo término, dividiendo el 12 y el 18 entre 6. 
 (simplificación “cruzada”) 
(3) Realizamos la multiplicación en el segundo término. 
 
(4) Ahora sólo nos queda obtener la suma de los tres términos. Hablo de suma en un 
sentido amplio (suma o resta), teniendo en cuenta que restar es sumar un opuesto. 
No podemos sumar fracciones de distintos denominadores. Sería como sumar 
magnitudes en distintas unidades, por ejemplo metros con centímetros. 
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Hay que expresar entonces las fracciones en un mismo denominador (“común 
denominador”), que deberá ser múltiplo de los tres (9, 15 y 1). Buscando por ejemplo 
en los múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75….., observamos que 45 es el menor múltiplo 
común de los tres (“mínimo común múltiplo”). 
En nuestro cálculo entonces tomamos al 45 como denominados para las tres 
fracciones. 
 En la primera de ellas, 2/9, debo multiplicar el denominador 9 por 5 para obtener el 
45; para obtener una fracción equivalente también al 2 debo multiplicarlo por 5 , 
obteniendo el nuevo numerador 10. De igual forma razonamos con las otras tres 
fracciones, multiplicando en la segunda denominador y numerador por 3 y en la 
tercera por 45. Al obtener las tres fracciones con el mismo denominador, ya podemos 
sumando numeradores: 10-42+225=193, y con el denominador que trabajamos, 
obtener el resultado: 193/45. (puedes verificar los resultados empleando la 
calculadora, que en general tiene una tecla para fracciones). 
 
Observación: 
Puede tomarse como denominador común cualquier múltiplo común a los tres 
números, tomamos el menor para facilitar los cálculos. Por ejemplo el producto de los 
tres números obviamente es múltiplo común, en este caso 9 × 15 × 1 = 135 . 
Si por ejemplo los denominadores fueran x, y, z; un múltiplo común sería x.y.z. 
Si los denominadores fueran: a, a-1, a+2; un múltiplo común sería a.(a-1).(a+2). 
Es bueno tener esto en cuenta para cuando trabajemos, fracciones con expresiones 
algebraicas. (variables, incógnitas). 
 
División de fracciones: 
 
Recordamos que dividir un número entre otro equivale a multiplicar el primero por el 
inverso del segundo. Por ello para dividir fracciones, podemos reducirlo a una 
multiplicación: 
 
�
� ÷
�
� =
�
� ×
�
� =
��
�� 
 simplifico 
Resolvemos como aplicación el ejercicio 5) i) 
 
1
2 + 3
1
2 − 3
=
1
2 +
3
1
1
2 −
3
1
=
1
2 +
6
2
1
2 −
6
2
=
7
2
− 52
= 72 × "−
2
5# =
7
1 × "−
1
5# = −
7
5