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DIFICULTADES EN EL DESARROLLO DEL
PROBLEMA INVERSO DE GALOIS
TRUJILLO PORTILLO HARY NICOL
Noviembre 2023
1 Estado del arte
El Libro de Teoŕıa de Galois y teoŕıa de Cuerpos de Ana M. de Viola-Prioli y
Jorge E. Viola-Prioli que se basaron en su gran experiencia dictando cursos
avanzados de Álgebra, han escogido temas de resultados clásicos fundamentales
que obtuvieron Abel y Galois. Aunque se exige del lector un cierto grado de
madurez matemática y algunos conocimientos básicos de Álgebra Moderna y
Álgebra Lineal, el libro comienza con temas introductorios a la teoŕıa de Galois
y desarrolla los nuevos conceptos de forma gradual. Además, las demostra-
ciones se presentan con todo detalle y también cuenta con numerosos ejemplos.
El resultado es un texto conciso y completo, Al final de cada caṕıtulo tenemos
una lista de ejercicios que ayudan al estudiante y unos breves comentarios que
invitan al lector a proseguir el estudio en temas más avanzados mediante las
lecturas alĺı propuestas. Ahora bien, avanzando en los estudios del problema de
Galois, tenemos que en 1999, Jürgen Klüners y Gunter Malle desarrollaron un
método basado en la teoŕıa de grupos para resolver el problema inverso de Galois
para grupos de orden pequeño. Gracias a este método se pudo determinar la
asociación de algunos grupos de Galois a ciertas extensiones de cuerpos. Luego
en 2008, Daniel Lazard y Bruno Salvy propusieron el uso de bases de Gröbner
para abordar el problema inverso de Galois. Su enfoque combina técnicas alge-
braicas y computacionales, y se ha demostrado que es eficaz en la resolución de
problemas espećıficos relacionados con el problema inverso de Galois. Gracias
a estos resultados y muchos estudios en 2012, Michael Filaseta, Florian Luca y
Igor Shparlinski estudiaron el problema inverso de Galois en los cuerpos finitos.
Investigaron la relación entre el grupo de Galois de una extensión de cuerpo
finito y ciertos conjuntos de residuos cuadráticos, proporcionando resultados
significativos sobre la estructura de los grupos de Galois en estas situaciones
particulares. Para luego dar a lugar en 2015 a Jean-Pierre Tignol y Michael
Zieve que realizaron un estudio exhaustivo sobre el problema inverso de Galois
en el contexto de extensiones cúbicas. Investigaron la estructura de los grupos
de Galois de estas extensiones y establecieron resultados importantes relaciona-
dos con la resolubilidad y la clasificación de estos grupos. Por último, el mayor
avance a la resolución del problema fue en 2019 con David Kohel y Carlo Pagano
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que desarrollaron un enfoque basado en métodos computacionales avanzados,
como la teoŕıa de representación y la teoŕıa de álgebras no conmutativas, para
resolver el problema inverso de Galois en el contexto de ciertas familias de ex-
tensiones de campos.
2 Planteamiento del problema
En el año 1890 el matemático alemán David Hilbert en el congreso Interna-
cional de Matemáticos en Paŕıs formuló 23 problemas matemáticos fundamen-
tales, conocidos como los “Problemas de Hilbert”. Los cuales han tenido un
gran peso histórico en las matemáticas, ya que abarcan todas las áreas de las
matemáticas y en los cuales se relacionan áreas como la topoloǵıa, la geometŕıa,
el álgebra y el análisis, entre otras. Actualmente solo 17 de estos problemas
son considerados por la comunidad cient́ıfica resueltos o parcialmente resueltos.
Entre ellos se encuentra el problema inverso de Galois. Ahora bien, un problema
que se presenta es que no hay textos donde aborden de una manera más simple
el problema inverso de Galois como si hay otros textos donde explican con más
detalle diferentes conceptos de otros problemas, gracias a esta problemática de
falta de textos comprensibles para el lector usualmente los estudiantes de la
carrera de matemáticas no entienden el problema que se ha planteado, todos
estos factores hace que se dificulte la comprensión del problema y no se le dé la
verdadera importancia de resolver este problema propuesto por David Hilbert.
3 Objetivo general
Promover y divulgar la comprensión del problema inverso de Galois a un público
no especializado.
4 Objetivos especificos
Realizar conferencias o cursos acerca del tema.
Publicar textos donde se aborde el tema de una forma más amigable.
Analizar y comprender los conceptos básicos de la teoŕıa de Galois para
poder abordar el problema.
Dar a conocer la importancia de la solución de este problema.
5 Bibliografia
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Bender, M. R. (2022). Solving sparse polynomial systems using Groebner
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Klueners, J., amp; Malle, G. (2001). A database for field extensions of the
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