Método de la Rigidez en Armaduras Desplazamientos, Reacciones y Fuerzas Kassimali

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FUERZAS
MÉTODO 
DE LA 
RÍGIDEZ
DESPLAZAMIENTO
REACCIONES
💥
Curso: Análisis Estructural II Tema: Método de la RigidezFísica con JoseAsesorías al Wsp: +51 902 188 071
Diagrama de Cuerpo Libre (D.C.L.)
1
2
3
4
𝑥
𝑦
Elemento 01 
Fórmulas a Utilizar 
𝜆𝑥 =
𝑋𝑓 − 𝑋𝑁
𝐿𝑁𝐹
=
16 − 0
(16 − 0)2+(0 − 16)²
= 0.7071
𝜆𝑦 =
𝑌𝑓 − 𝑌𝑁
𝐿𝑁𝐹
=
0 − 16
(16 − 0)2+(0 − 16)²
= −0.7071
Los términos se tiene que multiplicar por el área de la 
barra 01 y el módulo de elasticidad y luego dividirse entre 
la longitud del elemento 01, en este caso.
Matriz – Elemento 01
𝐾1 =
1767.77
𝟑 𝟒 𝟏 𝟐
𝟑
𝟒
𝟏
𝟐
(𝜆𝑥)² = (0.7071)² = 0.50
(𝜆𝑦)² = (−0.7071)² = 0.50
𝜆𝑥 ∗ 𝜆𝑦= 0.7071 ∗ −0.7071 = −1.4142
Elemento 02 
5
6
7
8
−1767.77
−1767.77
1767.77
1767.77
−1767.77
−1767.77
1767.77
−1767.77
1767.77
1767.77
−1767.77
−1767.77
1767.77
1767.77
−1767.77
𝜆𝑥 =
𝑋𝑓 − 𝑋𝑁
𝐿𝑁𝐹
=
16 − 16
(16 − 16)2+(0 − 16)²
= 0
𝜆𝑦 =
𝑌𝑓 − 𝑌𝑁
𝐿𝑁𝐹
=
0 − 16
(16 − 16)2+(0 − 16)²
= −1
Los términos se tiene que multiplicar por el área de la 
barra 02 y el módulo de elasticidad y luego dividirse entre 
la longitud del elemento 02, en este caso.
Matriz – Elemento 02
(𝜆𝑥)² = 0² = 0
(𝜆𝑦)² = (−1)² = 1
𝜆𝑥 ∗ 𝜆𝑦= 0 ∗ 1 = 0
𝐾2 =
0.00
𝟓 𝟔 𝟏 𝟐
𝟓
𝟔
𝟏
𝟐
0.00
0.00
3750.00
0.00
0.00
0.00
−3750.00
0.00
3750.00
0.00
−3750.00
Física con Jose
0.00
0.00
0.00
0.00
De la siguiente armadura determine la matriz de rigidez total. Considere E =10 000 Ksi.
Curso: Análisis Estructural II Tema: Método de la RigidezFísica con JoseAsesorías al Wsp: +51 902 188 071
Diagrama de Cuerpo Libre (D.C.L.)
1
2
3
4
𝑥
𝑦
Elemento 03 
Fórmulas a Utilizar 
𝜆𝑥 =
𝑋𝑓 − 𝑋𝑁
𝐿𝑁𝐹
=
16 − 28
(16 − 28)2+(0 − 16)²
= −0.6
𝜆𝑦 =
𝑌𝑓 − 𝑌𝑁
𝐿𝑁𝐹
=
0 − 16
(16 − 28)2+(0 − 16)²
= −0.8
Los términos se tiene que multiplicar por el área de la 
barra 03 y el módulo de elasticidad y luego dividirse entre 
la longitud del elemento 03, en este caso.
Matriz – Elemento 03
𝐾3 =
1440
𝟕 𝟖 𝟏 𝟐
𝟕
𝟖
𝟏
𝟐
(𝜆𝑥)² = (−0.6)² = 0.36
(𝜆𝑦)² = (−0.8)² = 0.64
𝜆𝑥 ∗ 𝜆𝑦= −0.6 ∗ −0.8 = 0.48
5
6
7
8
1920
1920
2560
1440
1920
1920
2560
−1440
−1920
−1920
−2560
−1440
−1920
−1920
−2560
Cálculo de la Matriz de Rigidez de la Estructura
Esta matriz tiene un orden de 8x8 ya que hay ocho grados de libertad designados. Los elementos 
correspondientes de las dos matrices K1, K2 y K3 se suman algebraicamente para formar la matriz de 
rigidez de la estructura. 
𝐾 = 
3207.77
152.23
−1767.77
1767.77
𝟏 𝟐 𝟑 𝟔
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
0.00
0.00
𝟒 𝟓
𝟔
𝟓
−1440.00
−1920.00
152.23
8077.77
1767.77
−1767.77
0.00
−3750.00
−1920.00
−2560.00
−1767.77
1767.77
−1767.77
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1767.77
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
−3750.00
0.00
0.00
3750.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1440.00
1920.00
−1440.00
−1920.00
0.00
0.00
1767.77
−1767.77
1767.77
0.00
0.00
0.00
0.00
−1767.77
𝟕
0.00
0.00
1920.00
2560.00
−1920.00
−2560.00
0.00
0.00
𝟖
𝟕
𝟖
La armadura es cinéticamente indeterminada de 2do grado ya que
representa ese N° de grados de libertad, además 6 grados de
libertad restringidos. El orden de los códigos de desplazamiento
empieza por el nodo [2], ya que ahí Sí hay desplazamiento luego
sigue las reacciones.
De la siguiente armadura determine la matriz de rigidez total. Considere E =10 000 Ksi.
Física con Jose
Completamos la fórmula
𝑄 = 𝐾𝐷
Determine los desplazamientos en los nodos, reacciones y fuerzas en las barras de la siguiente armadura. Considere E =10 000 Ksi.
Curso: Análisis Estructural II Tema: Método de la RigidezFísica con JoseAsesorías al Wsp: +51 902 188 071
Diagrama de Cuerpo Libre (D.C.L.)
1
2
3
4
𝑥
𝑦
Fórmulas a Utilizar 
5
6
7
8
3207.77
152.23
−1767.77
1767.77
𝟏 𝟐 𝟑 𝟔
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
0.00
0.00
𝟒 𝟓
𝟔
𝟓
−1440.00
−1920.00
152.23
8077.77
1767.77
−1767.77
0.00
−3750.00
−1920.00
−2560.00
−1767.77
1767.77
−1767.77
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1767.77
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
−3750.00
0.00
0.00
3750.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1440.00
1920.00
−1440.00
−1920.00
0.00
0.00
1767.77
−1767.77
1767.77
0.00
0.00
0.00
0.00
−1767.77
𝟕
0.00
0.00
1920.00
2560.00
−1920.00
−2560.00
0.00
0.00
𝟖
𝟕
𝟖
=
−50
𝑄3
𝑄4
𝑄5
𝑄6
20
M. de Fuerza
𝐷2
𝐷1
M. De ∆Matriz de Rigidez Total de la Armadura 
𝑄7
𝑄8
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Para la solución;
se esta respetando la bibliografía de 
Structural Analysis – Hibbeler Cáp 14 
método de rigidez en armaduras
- Cálculo de desplazamiento
- Cálculo de reacciones
- Cálculo de Fuerzas Internas en 
barras
Gracias por su apoyo 
en las redes sociales.
Ya somos más de 
3.000 en YouTube 
Cálculo de Desplazamiento
∗=
𝑄𝑘 = 𝐾11 ∗ 𝐷𝑢 
𝐷𝑢 = 𝐾11
−1 ∗ 𝑄𝑘
−1
Física con Jose
Curso: Análisis Estructural II Tema: Método de la RigidezFísica con JoseAsesorías al Wsp: +51 902 188 071
Determine los desplazamientos en los nodos, reacciones y fuerzas en las barras de la siguiente armadura. Considere E =10 000 Ksi.
3207.77
152.23
152.23
8077.77−50
20
𝐷2
𝐷1
∗=
3207.77
152.23
152.23
8077.77 −50
20
𝐷2
𝐷1
Cálculo de matriz inversa de 2x2
𝐴−1 =
𝐴𝑑𝑗(𝐴𝑡)
𝐴
Método del Adjunto 
Calculamos la determinante de la Matriz 
Existen varias maneras de calcular la
determinante, en este caso se ha
optado por el método de Sarrus
𝐴 =
3207.77
152.23
152.23
8077.77
Diagonal principal
Diagonal secundaria
𝐴 = 3207.77 ∗ 8077.77
 − (152.23 ∗ 152.23)
𝐴 = 25888454.3
Calculamos la matriz Transpuesta 
Lo que anteriormente eran filas
ahora serán columnas
𝐴𝑡 =
3207.77
152.23
152.23
8077.77
Determinamos la adjunta de la 
Matriz Transpuesta 
𝐴𝑑𝑗(𝐴𝑡) =
3207.77
152.23
152.23
8077.77
+
−
−
+
Tabla de
los signos
𝐴𝑑𝑗(𝐴𝑡) =
3207.77
−152.23
−152.23
8077.77
Para ello, si se desea
determinar el valor de la
adjunta de un número se
procede a eliminar y/o tachar
la fila y columna y luego con
los demás números
Si se multiplica la matriz inicial con
la matriz transpuesta, nos tiene que
dar como resultado la matriz
identidad.
Reemplazando todos los valores 
obtenidos en la fórmula
𝐴−1 =
3207.77 −152.23
−152.23 807.77
25888454.3
Se procede a dividir cada uno de los
términos con el divisor.
𝐴−1 =
0.0003120
−0.00000588 0.00012391
−0.00000588
Cálculo de Desplazamiento
Física con Jose
Curso: Análisis Estructural II Tema: Método de la RigidezFísica con JoseAsesorías al Wsp: +51 902 188 071
Determine los desplazamientos en los nodos, reacciones y fuerzas en las barras de la siguiente armadura. Considere E =10 000 Ksi.
∗=
−50
20
𝐷2
𝐷1 0.0003120
−0.00000588 0.00012391
−0.00000588
𝐷2
𝐷1
=
(0.0003120 ∗ 20) + (−0.00000588 ∗ −50)
(−0.00000588 ∗ 20) + (0.00012391 ∗ −50)
𝐷2
𝐷1
=
0.006534
−0.006313
𝑓𝑡.
𝑓𝑡.
Cálculo de Reacciones
𝑄𝑢 = 𝐾21 ∗ 𝐷𝑢 
𝑄3
𝑄4
𝑄5
𝑄6
𝑄7
𝑄8
−1767.77
1767.77
0.00
0.00
−1440.00
−1920.00
1767.77
−1767.77
0.00
−3750.00
−1920.00
−2560.00
0.006534
− 0.006313=
∗
𝑄3
𝑄4
𝑄5
𝑄6
𝑄7
𝑄8
−17677.77 ∗ 0.006534 + (1767.77 ∗ −0.006313)
=
𝑄3
𝑄4
𝑄5
𝑄6
𝑄7
𝑄8
−22.71
22.71
0.00
23.67
2.71
3.62
=
17677.77 ∗ 0.006534 + (−1767.77 ∗ −0.006313)
0.00 ∗ 0.006534 + (0.00 ∗ −0.006313)
0.00 ∗ 0.006534 + (−3750.00 ∗ −0.006313)
−1440.00 ∗ 0.006534 + (−1920.00 ∗ −0.006313)
−1920.00 ∗ 0.006534 + (−2560.00 ∗ −0.006313)
Positivo = Dirección correcta
asumida en DCL
Negativo = Dirección incorrecta
asumida en DFC
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Por ultimo se determina la
fuerzas internas en cada una de
las barras de la armadura.
Cálculo de Fuerzas Internas en Barras
Física con Jose
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Determine los desplazamientos en los nodos, reacciones y fuerzas en las barras de la siguiente armadura.Considere E =10 000 Ksi.
Fuerza en Barra 01
𝐹12 =
8 𝑖𝑛2 ∗ 10 ∗ 103𝐾𝑠𝑖
(16 − 0)2+(0 − 16)²
0.7071 0.7071−0.7071 −0.7071∗
0.00
0.00
0.006534
−0.006313
𝐹12 =
8 𝑖𝑛2 ∗ 10 ∗ 103𝐾𝑠𝑖
(16 − 0)2+(0 − 16)²
 ∗ −0.7071 ∗ 0.00 + 0.7071 ∗ 0.00 + 0.7071 ∗ 0.006534 + (−0.7071 ∗ −0.006313)
Fórmula a utilizar
𝐹12= 32.12
Fuerza en Barra 02
𝐹32 =
6 𝑖𝑛2 ∗ 10 ∗ 103𝐾𝑠𝑖
(16 − 16)2+(0 − 16)²
1.00 0.000.00 −1.00∗
0.00
0.00
0.006534
−0.006313
𝐹32 =
6 𝑖𝑛2 ∗ 10 ∗ 103𝐾𝑠𝑖
162 + 16²
∗ 0.00 ∗ 0.00 + 1.00 ∗ 0.00 + 0.00 ∗ 0.006534 + (−1.00 ∗ −0.006313) 𝐹32= 23.67
Fuerza en Barra 03
𝐹42 =
8 𝑖𝑛2 ∗ 10 ∗ 103𝐾𝑠𝑖
(16 − 28)2+(0 − 16)²
0.80 −0.600.60 −0.80∗
0.00
0.00
0.006534
−0.006313
𝐹42 =
8 𝑖𝑛2 ∗ 10 ∗ 103𝐾𝑠𝑖
(16 − 28)2+(0 − 16)²
∗ 0.60 ∗ 0.00 + 0.80 ∗ 0.00 + (−0.60 ∗ 0.006534 + (−0.80 ∗ −0.006313) 𝐹42= 4.52
Positivo = tracción
Negativo = compresión
Física con Jose
Curso: Análisis Estructural II Tema: Método de la RigidezFísica con JoseAsesorías al Wsp: +51 902 188 071
Determine los desplazamientos en los nodos, reacciones y fuerzas en las barras de la siguiente armadura. Considere E =10 000 Ksi.
Ejercicio Propuesto Modelamiento en Sap2000
Diagrama de Fuerza Axial Reacciones en los ApoyosRepresentación de los Desplazamientos 
Física con Jose +100 
VideosAsesorías: +51 902 188 071
	Diapositiva 1
	Diapositiva 2: De la siguiente armadura determine la matriz de rigidez total. Considere E =10 000 Ksi.
	Diapositiva 3: De la siguiente armadura determine la matriz de rigidez total. Considere E =10 000 Ksi.
	Diapositiva 4: Determine los desplazamientos en los nodos, reacciones y fuerzas en las barras de la siguiente armadura. Considere E =10 000 Ksi.
	Diapositiva 5: Determine los desplazamientos en los nodos, reacciones y fuerzas en las barras de la siguiente armadura. Considere E =10 000 Ksi.
	Diapositiva 6: Determine los desplazamientos en los nodos, reacciones y fuerzas en las barras de la siguiente armadura. Considere E =10 000 Ksi.
	Diapositiva 7: Determine los desplazamientos en los nodos, reacciones y fuerzas en las barras de la siguiente armadura. Considere E =10 000 Ksi.
	Diapositiva 8: Determine los desplazamientos en los nodos, reacciones y fuerzas en las barras de la siguiente armadura. Considere E =10 000 Ksi.
	Diapositiva 9