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Dinámica de Medios Deformables
Notas de clase
Profesores:
Gerardo Garćıa Naumis,
Juan Valent́ın Escobar Sotomayor
Semestre 2019-1
Índice general
1. Introducción al cálculo tensorial 1
1.1. Clase 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Análisis tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2. Regla de transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Clase 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Tipos de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. Notación de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3. Transformación de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Clase 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1. Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Clase 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1. Sistemas de coordenadas curviĺıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Clase 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1. Coordenadas curviĺıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Fluidos ideales 22
2.1. Clase 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1. DINÁMICA DE FLUIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Clase 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1. Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2. Ĺıneas de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3. Clase 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4. Clase 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.1. Problema del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.2. Presión sobre la cáscara del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.3. Transformaciones conformes y coeficientes de lift y drag . . . . . . . 39
2.5. Clase 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.1. Teorema de Blausius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3. Fluidos Viscosos 47
3.1. Clase 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. Clase 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3. Clase 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4. Clase 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.1. Ejemplos de la ecuación de Navier Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5. Clase 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5.1. No-linealidad de las ecuaciones de Navier-Stokes. . . . . . . . . . . 66
i
ÍNDICE GENERAL ii
4. Elasticidad 72
4.1. Clase 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2. Clase 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.1. Ley de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.2. Deformación uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Caṕıtulo 1
Introducción al cálculo tensorial
1.1. Clase 1
Gustavo Cruz Hernández
Hemos aplicado las leyes de Newton a part́ıculas puntuales. Por ejemplo:
~p = m~v Momento
~F = md
2~r
dt2
Fuerza
Cuando hablamos de un cuerpo en tres dimensiones hacemos la idealización de cuerpo
ŕıgido es decir que la distancia no cambia. Los equivalentes al caso puntual son:
~F = Md
2~rCM
dt2
Fuerza del centro de masa
~p = m ~VCM Momento lineal
~τ = I~Ω Momento angular
En la vida real, un cuerpo no es totalmente ŕıgido.
Nuestro objetivo es que, cuando se le aplica una fuerza a un cuerpo no ŕıgido debemos
hallar:
Velocidad de cada punto del fluido
Alteración del campo de deformaciones
Velocidad del campo del fluido
Existen tres tipos de fuerzas que se pueden aplicar a un objeto en tres dimensiones:
Compresión: Fuerza paralela al vector normal, sentido negativo ~F ‖ n̂
Tracción: Fuerza paralela al vector normal, sentido positivo ~F ‖ −n̂
Corte: Fuerza perpenticular al vector normal ~F ⊥ n̂
1
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL 2
1.1.1. Análisis tensorial
Un fenómeno no depende del sistema de referencia
Escalar

Solo tiene una componente
No depende del sistema de referencia
Ejemplos:Temperatura(T), densidad (ρ), masa (m), etc
Vector
Depende del sistema de referenciaEjemplos:velocidad(~v), posición (~r), aceleración (~a), etc
Un espacio vectorial esta definido con una identidad, existencia de inverso, suma y pro-
ducto por escalar.
Suma
~A+ ~B = (A1, A2, A3) + (B1, B2, B3) = (A1 +B1, A2 +B2, A3 +B3) (1.1)
Producto escalar (punto)
~A · ~B = (A1, A2, A3) · (B1, B2, B3) = A1B1 + A2B2 + A3B3 (1.2)
producto vectorial (cruz)
~A× ~B =
∣∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
A1 A2 A3
B1 B2 B3
∣∣∣∣∣∣∣ = (A2B3 − A3B2, A3B1 − A1B3, A1B2 − A2B1) (1.3)
La expresión (1.2) podemos expresarla como:
~A · ~B =
3∑
i=1
AiBi =
3∑
s=1
AsBs =
3∑
l=1
AlBl (1.4)
Note que el indice i, s, l o cualquier letra que se quiera coloca es independiente de la
expresión matemática, no afecta a la ecuación. Estos indices se conocen como indices
”mudos”(dummy).
Eistein propuso que, al tener un par de indices mudos se habla impĺıcitamente de una
suma con valores 1,2 y 3 pues nos referimos a las componentes espaciales.
AiBi =
3∑
i=1
AiBi = A1B1 + A2B2 + A3B3 (1.5)
Ejercicio #1: Explique que significa las expresiones:
a) ∂Bl
∂xl
b) ∂
∂xl
∂f
∂xl
Solución: a) Desarrollando el termino tenemos:
∂Bl
∂xl
= ∂B1
∂x1
+ ∂B3
∂x2
+ ∂B3
∂x3
(1.6)
Escribiendo (1.6) como un producto escalar de dos vectores.
∂B1
∂x1
+ ∂B3
∂x2
+ ∂B3
∂x3
=
(
∂
∂x1
,
∂
∂x2
,
∂
∂x3
)
· (B1, B2, B3) (1.7)
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL 3
Definiendo el operador Nabla ∇ =
(
∂
∂x1
, ∂
∂x2
, ∂
∂x3
)
llegamos a que:
∂Bl
∂xl
= ∇ · ~B (1.8)
Lo cual es la divergencia del campo vectorial ~B
b) Desarrollando el termino:
∂
∂xl
∂f
∂xl
= ∂
∂x1
∂f
∂x1
+ ∂
∂x2
∂f
∂x2
+ ∂
∂x3
∂f
∂x3
=
(
∂
∂x1
,
∂
∂x2
,
∂
∂x3
)
·
(
∂f
∂x1
,
∂f
∂x2
,
∂f
∂x3
)
(1.9)
Por la definición de nabla y (1.8)
∂
∂xl
∂f
∂xl
= ∇ · ∇f = ∇2f (1.10)
el cual es el laplaciano de la función escalar f.
Ejemplo: La expresión Fk = AkBlCl queda expĺıcitamente como
Fk = Ak (B1C1 +B2C2 +B3C3) (1.11)
donde, para k = 1, 2, 3 queda
F1 = A1 (B1C1 +B2C2 +B3C3)
F2 = A2 (B1C1 +B2C2 +B3C3)
F3 = A2 (B1C1 +B2C2 +B3C3)
(1.12)
Las cuales son componentes del vector ~F = ~A( ~B · ~C)
Ejercicio #2: La expresión:
Tj =
∂
∂xj
∂B
∂xl
= ∂
∂xj
(
∂B1
∂x1
+ ∂B3
∂x2
+ ∂B3
∂x3
)
= ∂
∂xj
(
∇ · ~B
)
(1.13)
En general podemos describir a ~T como un producto escalar
~T =
(
∂
∂x1
,
∂
∂x2
,
∂
∂x3
)(
∇ · ~B
)
= ∇(∇ · ~B) (1.14)
Ejercicio #3: El termino
[(
~U · ∇
)
~U
]
k
en notación tensorial queda:
[(
~U · ∇
)
~U
]
k
=
(
~U · ∇
)
~Uk =
(
Ui
∂
∂x1
)
~Uk (1.15)
1.1.2. Regla de transformación
Para dos sistemas de referencia diferentes, uno fijo y el otro esta rotado a un angulo
θ respecto al primero.
x′1 = x1 cos(θ) + x2 sin(θ)
x′2 = −x1 sin(θ) + x2 cos(θ)
(1.16)
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL 4
Esta interpretación depende mucho de la geometŕıa, en general para un vector ~T = (T1, T2)
en un sistema de referencia y para un sistema de referencia primado ~T ′ = (T ′1, T ′2) rotado
a un angulo θ tenemos: (
T̃1
T̃2
)
=
(
cos(θ) sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
)(
T1
T2
)
(1.17)
en general podemos escribirlo como ~̃T = R~T con R la matriz de transformación que,
descrito en componentes queda:(
T̃1
T̃2
)
=
(
R11 R12
R21 R22
)(
T1
T2
)
(1.18)
al hacer el productode matriz con vector tenemos como resultado un par de ecuaciones:
T̃1 = R11T1 +R12T2
T̃2 = R21T1 +R22T2
(1.19)
que puede ser descrita en notación tensorial como T̃k = RkjTj donde Rkj es la matriz de
cambio de base.
Una forma de escribir un vector es como una combinacion lineal de los vectores base:
~T = (T1, T2) = T1î+ T2ĵ = T1ê1 + T2ê2 donde |ê1| = |ê2| = 1 ê1 · ê2 = 0 (1.20)
¿Como podemos pasar esta descripcionm a notacion tensorial? Podemos escribir al vector
base como:
(êi)j = ê(j)k = δij =
{
1 l = j
0 l 6= j (1.21)
conocido como la delta de Kronecker. Note que uno de los subindices esta entre paréntesis
lo que quiere decir que no hay suma implicada en el subindice.
Si tomamos un vector base y lo aplicamos a la ecuación (1.17) lo que tenemos es:
R(θ)ê1 =
(
cos(θ) sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
)(
1
0
)
=
(
cos(θ)
− sin(θ)
)
(1.22)
El resultado no es vector base del sistema rotado, es decir que no es ê′1.
1.2. Clase 2
Adán Miguel Rubiol Garćıa
1.2.1. Tipos de esfuerzos
El esfuerzo sobre algún objeto se puede clasificar en general por 3 tipos, (Ver Figura
1.1).
Esfuerzo de compresión:
~F · n̂=|~F ||n̂|cos(π)=-|~F |
Esfuerzo de tracción:
~F · n̂=|~F ||n̂|cos(0)=|~F |
Esfuerzo de corte:
~F · n̂=|~F ||n̂|cos(π/2)=0
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL 5
Figura 1.1: Tipos de esfuerzos
1.2.2. Notación de Einstein
En notación tensorial se puede expresar por ejemplo al producto interno con la notación
de Einstein o notación de ı́ndices, en el que se omite el śımbolo de suma Σ:
~u · ~v =
3∑
i=1
uivi = uivi (1.23)
Donde se entiende que en la expresión resultante, un ı́ndice indica la suma sobre todos
los posibles valores del mismo.
Aśı mismo podemos tener dos tipos de ı́ndices:
Índice mudo: Es ı́ndice que se repite dos veces en el mismo término de una ecuación.
Índice libre:Es un ı́ndice que se repite en cada uno de los términos de una expresión.
Los ı́ndices libres no se expanden en forma de suma, sino que representan un sistema de
ecuaciones independientes.
Por ejemplo en la expresión:
Tj =
∂
∂xj
(∂Bl
∂xl
)
Se puede expander como:
T1 =
∂
∂x1
(∂B1
∂x1
+ ∂B2
∂x2
+ ∂B3
∂x3
)
Lo mismo para j = 2, 3 resultando en
Tj =
∂
∂xj
(
∂Bl
∂xl
)
= ∇
(
∇ · ~B
)
(1.24)
1.2.3. Transformación de Vectores
Se puede experesar las componentes de los vectores base con la delta de Kronecker.
δij =
1, si i = j,0, si i 6= j. (1.25)
De esta manera la componente j-ésima del vector base êi es:
ˆ(ei)j = δij (1.26)
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL 6
Si ahora se considera el vector en R2
~T = (T1, T2) (1.27)
y una rotación por un ángulo θ resultando en:
~̃T = (T̃1, T̃2) (1.28)
Figura 1.2: Rotación de vectores base en un ángulo θ
De los productos internos
ê1
′ · ê1 = |ê1′||ê1| cos θ (1.29)
ê1
′ · ê2 = cosα = cos(90o − α) = senθ (1.30)
Donde êi son los vectores base en el sistema de los Tk y êi′ son los vectores base (también
llamados versores) en el sistema de T ′k.
Similarmente para los productos ê2′ · ê1, y ê2′ · ê2. se puede obtener la matriz:
R(θ) =
(
ê1
′ · ê1 ê1′ · ê2
ê2
′ · ê1 ê2′ · ê2
)
=
(
R1′1 R1′2
R2′1 R2′2
)
(1.31)
Que define la transformación con α = α′ = 1, 2
T̄α′ = Rα′αTα (1.32)
Aqúı Tα define un tensor de rango 1( 1 ı́ndice mudo), es decir un vector es un tensor
de rango m=1
Si ahora se generaliza la matriz anterior a 3-Dimensiones:
R(θ) =
ê1
′ · ê1 ê1′ · ê2 ê1′ · ê3
ê2
′ · ê1 ê2′ · ê2 ê2′ · ê3
ê3
′ · ê1 ê3′ · ê2 ê3′ · ê3
 (1.33)
Como se observa la ecuación 11 no depende de la dimensión de la matriz
Para un tensor de rango 2.
T̃ab = RajRblTjl (1.34)
a, b ı́ndices libres=1,2,3
j,l ı́ndices mudos=1,2,3
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL 7
Si ahora se generaliza a un tensor de rango m:
T̃α1α′2...α′m = Rα′1α1Rα′2α2 ...Rα′mαmTα1α2...αm (1.35)
Ejercicio: Demostrar que la matriz transformada T̃ se puede expresar como:
T̃ = RTR−1 (1.36)
DEM.
De la ecuación 13:
T̃ks = RslRkjTjl = Rsl(RT)kl (1.37)
se definimos la matriz R y su transpuesta:
R =
(
R1′1 R1′2
R2′1 R2′2
)
RT =
(
R1′1 R2′1
R1′2 R2′2
)
(1.38)
Es decir:
Rsl = RTls (1.39)
De la ecuación 16:
T̃ks = (RT)klRTls = RTRT (1.40)
Ahora demostremos que R es unitaria
P.D :
RTRT = RTR−1
i.e
RRT = RR−1 = 1→ RRT = 1
DEM.
(RRT )im = RilRTlm = (êi′ · êl)(êm′ · êl)
De la definición de producto punto:
= (êi′)s(êl)s(êm′)t(êl)t = (êi′)sδls(êm′)tδlt
= (êi′)l(êm′)l = êi′ · êm′ = δim
Entonces:
(RRT )im = δim (1.41)
Q.E.D
Para el caso de la matriz:
R =
(
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
)
(1.42)
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL 8
trR = 2 cos θ
det R=1
Ejercicio: Calcular la traza y el determinante de la matriz:
R =
(
α β
β α
)
= α1 + β
(
0 1
1 0
)
(1.43)
La matriz transformada:
T̃ = RTR−1
=
(
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
)
(α1 + β
(
0 1
1 0
)
)
(
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)
= α1 + β
(
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
)(
0 1
1 0
)(
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)
= α1 + β
(
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
)(
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)
= α1 + β
(
2 cos θ sin θ cos2 θ − sin2 θ
cos2 θ − sin2 θ −2 cos θ sin θ
)
=
(
α + β sin 2θ cos 2θ
cos 2θ α− β sin 2θ
)
Para θ = π4
T =
(
α + β 0
0 α− β
)
TrT = TrT̃ = 2a
detT = α2 − β2
detT̃ = α2 − β2 sin2 θ − β2 cos2 θ = α2 − β2
Ejercicio: Demuestre que δjl es un tensor invariante
δ̃jl = RjiRlkδik = RjkRlk
= RjkRTkl = RjkR−1kl = δjl
Entonces: δ̃jl = δjl
Ejercicio: Demuestre que la traza es invariante ante rotaciones de los ejes
trT̃ =
∑
i
T̃ii = RijRilTjl = RijRTliTjl = δljTjl = trT
Entonces:
trT̃ = trT
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL 9
1.3. Clase 3
Sandra Nashieli Alvarado Mijangos
1.3.1. Diagonalización
Teorema: Los eigenvalores de una matriz de DxD son invariantes ante transformaciones
Dado que
Tv = λv
(T− λI)v = 0
det(T− λI) = 0
Esto da lugar a un polinomio caracteŕıstico
(RT− λRI)v = 0
Recordando que R−1R = I, entonces
(RTR−1R− λRIR−1R)v = 0
Lo cual se puede expresar como
(T̃− λI)ṽ = 0
donde T̃ = RTR−1 y ṽ = Rv son matrices en el sistema rotado.
Luego, se tiene que
det(T̃− λI) = 0
det(T− λI) = det(T̃− λI) = 0
Entonces el polinomio caracteŕıstico es el mismo en todos los sistemas de referencia y
por lo tanto los eigenvalores también.
Ahora, escribiendo π̃ en la base diagonal
π̃ =
(
λ1 0
0 λ2
)
Debido a las invariancias se tiene que
λ1 + λ2 = trT = I1
λ1λ2 = detT = I2
Resolviendo el sistema de ecuaciones hallamos los eigenvalores
λ2 = I2/λ1
λ1 + I2/λ1 = I1
El siguiente es el polinomio caracteŕıstico de una matriz 2x2
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL 10
λ21 − I1λ1 + I2 = 0
La solución para los eigenvalores es
λ1,2 =
I1 ±
√
I21 − 4I2
2
λ es real si
I21 − 4I2 > 0
es decir
I1 > 2
√
I2
trπ > 2
√
detπ
Comprobación
Sea T una matriz 2x2 y resolvamos la ecuación de eigenvalores
T =
(
T11 T12
T21 T22
)
→∣∣∣∣∣T11 − λ T12T21 T22 − λ
∣∣∣∣∣
(T11 − λ)(T22 − λ)− T12T21 = 0
λ2 − λ(T11 + T22) + (T11T22 − T12T21) = 0
λ2 − λI1 + I2 = 0
Invariantes para D = 3
Consideremos ahora una matriz 3x3
T =
T11 T12 T13T21 T22 T23
T31 T32 T33

Los invariantes corresponden a los coeficientes del polinomio caracteŕıstico
det(π − λI) = 0
∣∣∣∣∣∣∣
T11 − λ T12 T13
T21 T22 − λ T23
T31 T32 T33 − λ
∣∣∣∣∣∣∣ = 0
El polinomio caracteŕıstico es de la forma
λ3 − I1λ2 + I2λ− I3 = 0
En este caso los invariantes son
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL 11
I1 = trπ = T11 + T22 + T33
I3 = detπ = �ijkTjTkTi
I2 =
∣∣∣∣∣T22 T23T32 T33
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣T11 T13T31 T33
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣T11 T12T21 T22
∣∣∣∣∣
I2 = T11T22 + T11T33 + T22T33 − (T23T32 + T13T31 + T12T21)
En particular, para matrices simétricas (Tij = Tji)
I2 = T11T22 + T11T33 + T22T33 − (T 223 + T 231 + T 212)
Śımbolo de Levi-Civita
El śımbolo de Levi-Civita para tres dimensiones se define como
�ijk =

1 si los ı́ndices son permutación par
0 si hay dos ı́ndices iguales
−1 si los ı́ndices son permutación impar
Generalizando
�α1α2...αm =
1 si los ı́ndices son permutación par
0 si hay dos ı́ndices iguales
−1 si los ı́ndices son permutación impar
Usando el śımbolo de Levi-Civita podemos expresar al producto cruz y al rotacional
en notación tensorial
AxB =
∣∣∣∣∣∣∣
i j k
A1 A2 A3
B1 B2 B3
∣∣∣∣∣∣∣ = 0
(AxB)i = �ijlAjBl
[∇xA]i = �ijk
∂Ak
∂xj
donde ∇ = ( ∂
∂x1
, ∂
∂x2
, ∂
∂x3
)
[∇x(∇xA)]i = �ijk
∂[∇xA]i
∂xj
= �ijk
∂(�kmn ∂An∂xm )
∂xj
[∇x(∇xA)]i = �ijk�kmn
∂
∂xj
∂
∂xm
An
Donde �ijk�kmn se puede determinar mediante
�ijk�kmn =
∣∣∣∣∣∣∣
δil δim δin
δjl δjm δjn
δkl δkm δkn
∣∣∣∣∣∣∣
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL 12
Entonces
�ijk�kmn = δimδjn − δinδjm
y por tanto
[∇x(∇xA)]i = (δimδjn − δinδjm)
∂
∂xj
∂
∂xm
An
= ∂
∂xn
∂
∂xi
An −
∂
∂xm
∂
∂xm
Ai
= ∂
∂xi
(∂An
∂xn
)− ∂
2
∂xm∂xm
Ai
= ∂
∂xi
(∇A)− (∇∇)Ai
= [∇(∇A)−∇2A]
Por lo tanto, hallamos la siguiente relación
[∇x(∇xA)]i = [∇(∇A)−∇2A]
Tensores en coordenadas curviĺıneas
Las transformaciones permiten cambiar de un sistema coordenado a otro
x̃1 = x̃1(x1, x2, x3)
x̃2 = x̃2(x1, x2, x3)
x̃3 = x̃3(x1, x2, x3)
Transformaciones propias
J = ∂(x̃1, x̃2, x̃3)
∂(x1, x2, x3)
J =
∣∣∣∣∣∣∣
∂x̃1
∂x1
∂x̃1
∂x2
∂x̃1
∂x3
∂x̃2
∂x1
∂x̃2
∂x2
∂x̃2
∂x3
∂x̃3
∂x1
∂x̃3
∂x2
∂x̃3
∂x3
∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0
x̃1 = cosθx1 + sinθx2
x̃1 = −sinθx1 + cosθx1
∂x̃1
∂x1
= cosθ
∂x̃1
∂x2
= sinθ
∂x̃2
∂x1
= −sinθ
∂x̃2
∂x2
= cosθ
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL 13
(
x̃2
x̃1
)
=
(
∂x̃1
∂x1
∂x̃1
∂x2
∂x̃2
∂x1
∂x̃2
∂x2
)(
x1
x1
)
El determinante de la matriz de rotación es el jacobiano
J =
∣∣∣R∣∣∣ = ∣∣∣∣∣ cosθ sinθ−sinθ cosθ
∣∣∣∣∣ = 1
Definimos un tensor como un objeto que se transforma como
x̃k =
∂x̃k
∂xj
xj
En general, para un tensor de rango m
T̃α11α12...α1m =
∂x̃α11
∂xα1
∂x̃α12
∂xα2
...
∂ ˜xα1m
∂xαm
T̃α1α2...αm
1.4. Clase 5
Jesús Alberto Aguirre Caro
1.4.1. Sistemas de coordenadas curviĺıneas
r = xî+ yĵ + zk̂
x̃k = x̃k(x1, x2, x3) = x̃k(x, y, z)
x = rCosφSenθ
y = rSenφSenθ
z = rCosθ
êx̃m =
1
hm
∂r
∂x̃m
= 1
hm
1
∂x̃m
(xî+ yĵ + zk̂)
= 1
hm
( x
∂x̃m
î+ y
∂x̃m
ĵ + z
∂x̃m
k̂)
con hm = [( ∂x∂x̃m )
2 + ( ∂y
∂x̃m
)2 + ( ∂z
∂x̃m
)2] 12
∂r
∂r
= CosφSenθî+ SenφSenθĵ + Cosθk̂
h21 = Cos2φSen2θ + Sen2φSen2θ + Cos2θ = 1
⇒ êr = rr
∂r
∂φ
= r(−Senφ)Senθî+ rCosφSenθĵ
h22 = r2Sen2φSen2θ + r2Cos2φSin2θ = r2Sen2θ
⇒ êφ = −Senφî+ Cosφĵ
∂r
∂θ
= rCosφCosθî+ rSenφCosθĵ − rSenθk̂
h23 = r2Cos2φCos2θ + r2Sen2φCos2θ = r2
⇒ êθ = CosφCosθî+ SenφCosθĵ − Senθk̂
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL 14
êr · êφ = êr · êθ = êθ · êφ = 0
h1h2h3 = 1 · rSenθ · r = J = r2Senθ
V = h1h2h3d ˜x(1)d ˜x(2)d ˜x(3)
Las coordenadas no son las componentes del vector (usualmente). En cartesianas si
pues r = xî+yĵ = (x, y), pero en polares se ve muy claramente que r = rêr+θêθ no tiene
mucho sentido. Esto lleva a que el vector velocidad no se pueda construir consistentemente
fuera de las coordenadas cartesianas.
Componentes f́ısicas del vector
vi = dS1dt = hi
dx̃i
dt
con vi siendo la componente f́ısica y dx̃idt , la componente en coordena-
das.
Por ejemplo, laparte angular de las coordenadas polares:
vφ = hφ
dφ
dt
= rdφ
dt
= rφ̇ = rω
y oordenadas esféricas:
vr = hr
dr
dt
= dr
dt
vφ = hφ
dφ
dt
= rSenθdφ
dt
vθ = hθ
dθ
dt
= rdθ
dt
En general para un vector A: Ax̃m = A · êx̃m . Aplicándolo de nuevo al vector velocidad
para obtener su velocidad angular obtenemos:
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL 15
v · êθ = (
dx
dt
,
dy
dt
) · (−Senθ, Cosθ)
= −Senθd(rCosθ)
dt
+ Cosθd(rsenθ)
dt
= rdθ
dt
Sen2θ + rdθ
dt
Cos2θ = rdθ
dt
Integrales de superficiet
V
∇ · AdV =
s
S
A · dS → Teorema de Gauss.
Qflujo ∝ Sv · n̂ = v · S
con S ≡ n̂S
dS = n̂dS
dQ = A · n̂dS → Q =
x
S
A · ˆndS
Ejercicio
˛
S
A · dS =
x
arriba
A · dS +
x
abajo
A · dS +
x
lado
A · dS
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL 16
=
x
S
(A · n̂z)rdrdφ+
x
S
−(A · n̂z)rdrdφ+
x
S
(A · n̂r)dφdz
=
x
S
Az(r, φ, z1)rdrdφ−
x
S
Az(r, φ, z2)rdrdφ+
x
S
Ar(R, φ, z)rdφdz
con Az y Ar las componentes f́ısicas de A.
Ejercicio: encontrar ∇ · A y ∇2u
x̃k = x̃k(x1, x2, x3) con x̃1 = q1 x̃2 = q2 x̃3 = q3
→ A = Aq1 êq1 + Aq2 êq2 + Aq3 êq3
∇ · A = ĺım
ν→0
s
A · dS
ν
Q =
x
A · dS
Q1 = [A1h2h3]|q1+dq1 dq2dq3 − [A− 1h2h3]|q1 dq2dq3
= dq2dq3
∂
∂q1
(A1h2h3)dq1
⇒ Q2 = dq1dq3
∂
∂q2
(A2h1h3)dq2
⇒ Q3 = dq1dq2
∂
∂q3
(A3h1h2)dq3
∇ · A = Q1 +Q1 +Q3
h1h2h3dq1dq2dq3
= 1
h1h2h3
(
∂
∂q1
(A1h2h3) +
∂
∂q2
(A2h1h3) +
∂
∂q3
(A3h1h2)
)
En el caso de coordenadas esféricas tenemos h=1 ; h2 = rSenθ ; h3 = r, entonces
tenemos:
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL 17
∇ · A = 1
r2Senθ
(
∂
∂r
(r2SenθAr) +
∂
∂φ
(rAφ) +
∂
∂θ
(rSenθAθ)
)
= 1
r2
∂
∂r
(r2Ar) +
1
rSenθ
∂Aφ
∂φ
+ 1
rSenθ
∂
∂θ
(SenθAθ)
Ahora para ∇2u supongamos que A = ∇u ⇒ ∇ · ∇u = ∇2u. Además sabemos que
(∇u)i = 1hi
∂u
∂qi
. Por lo tanto:
∇2u = 1
h1h2h3
(
∂
∂q1
(h2h3
h1
∂u
∂dq1
) + ∂
∂q2
(h1h3
h2
∂u
∂dq2
) + ∂
∂q3
(h1h2
h3
∂u
∂dq3
)
)
1.5. Clase 8
Elizabeth Mendoza Sandoval
1.5.1. Coordenadas curviĺıneas
r = xî+ yĵ + zk̂
x̃k = x̃k(x1, x2, x3) = x̃k(x, y, z)
x = rCosφSenθ
y = rSenφSenθ
z = rCosθ
êx̃m =
1
hm
∂r
∂x̃m
= 1
hm
1
∂x̃m
(xî+ yĵ + zk̂)
= 1
hm
( x
∂x̃m
î+ y
∂x̃m
ĵ + z
∂x̃m
k̂)
con hm = [( ∂x∂x̃m )
2 + ( ∂y
∂x̃m
)2 + ( ∂z
∂x̃m
)2] 12
∂r
∂r
= CosφSenθî+ SenφSenθĵ + Cosθk̂
h21 = Cos2φSen2θ + Sen2φSen2θ + Cos2θ = 1
⇒ êr = rr
∂r
∂φ
= r(−Senφ)Senθî+ rCosφSenθĵ
h22 = r2Sen2φSen2θ + r2Cos2φSin2θ = r2Sen2θ
⇒ êφ = −Senφî+ Cosφĵ
∂r
∂θ
= rCosφCosθî+ rSenφCosθĵ − rSenθk̂
h23 = r2Cos2φCos2θ + r2Sen2φCos2θ = r2
⇒ êθ = CosφCosθî+ SenφCosθĵ − Senθk̂
êr · êφ = êr · êθ = êθ · êφ = 0
h1h2h3 = 1 · rSenθ · r = J = r2Senθ
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL 18
V = h1h2h3d ˜x(1)d ˜x(2)d ˜x(3)
Las coordenadas no son las componentes del vector (usualmente). En cartesianas si
pues r = xî+yĵ = (x, y), pero en polares se ve muy claramente que r = rêr+θêθ no tiene
mucho sentido. Esto lleva a que el vector velocidad no se pueda construir consistentemente
fuera de las coordenadas cartesianas.
Componentes f́ısicas del vector
vi = dS1dt = hi
dx̃i
dt
con vi siendo la componente f́ısica y dx̃idt , la componente en coordena-
das.
Por ejemplo, laparte angular de las coordenadas polares:
vφ = hφ
dφ
dt
= rdφ
dt
= rφ̇ = rω
y oordenadas esféricas:
vr = hr
dr
dt
= dr
dt
vφ = hφ
dφ
dt
= rSenθdφ
dt
vθ = hθ
dθ
dt
= rdθ
dt
En general para un vector A: Ax̃m = A · êx̃m . Aplicándolo de nuevo al vector velocidad
para obtener su velocidad angular obtenemos:
v · êθ = (
dx
dt
,
dy
dt
) · (−Senθ, Cosθ)
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL 19
= −Senθd(rCosθ)
dt
+ Cosθd(rsenθ)
dt
= rdθ
dt
Sen2θ + rdθ
dt
Cos2θ = rdθ
dt
Integrales de superficiet
V
∇ · AdV =
s
S
A · dS → Teorema de Gauss.
Qflujo ∝ Sv · n̂ = v · S
con S ≡ n̂S
dS = n̂dS
dQ = A · n̂dS → Q =
x
S
A · ˆndS
Ejercicio
˛
S
A · dS =
x
arriba
A · dS +
x
abajo
A · dS +
x
lado
A · dS
=
x
S
(A · n̂z)rdrdφ+
x
S
−(A · n̂z)rdrdφ+
x
S
(A · n̂r)dφdz
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL 20
=
x
S
Az(r, φ, z1)rdrdφ−
x
S
Az(r, φ, z2)rdrdφ+
x
S
Ar(R, φ, z)rdφdz
con Az y Ar las componentes f́ısicas de A.
Ejercicio: encontrar ∇ · A y ∇2u
x̃k = x̃k(x1, x2, x3) con x̃1 = q1 x̃2 = q2 x̃3 = q3
→ A = Aq1 êq1 + Aq2 êq2 + Aq3 êq3
∇ · A = ĺım
ν→0
s
A · dS
ν
Q =
x
A · dS
Q1 = [A1h2h3]|q1+dq1 dq2dq3 − [A− 1h2h3]|q1 dq2dq3
= dq2dq3
∂
∂q1
(A1h2h3)dq1
⇒ Q2 = dq1dq3
∂
∂q2
(A2h1h3)dq2
⇒ Q3 = dq1dq2
∂
∂q3
(A3h1h2)dq3
∇ · A = Q1 +Q1 +Q3
h1h2h3dq1dq2dq3
= 1
h1h2h3
(
∂
∂q1
(A1h2h3) +
∂
∂q2
(A2h1h3) +
∂
∂q3
(A3h1h2)
)
En el caso de coordenadas esféricas tenemos h=1 ; h2 = rSenθ ; h3 = r, entonces
tenemos:
∇ · A = 1
r2Senθ
(
∂
∂r
(r2SenθAr) +
∂
∂φ
(rAφ) +
∂
∂θ
(rSenθAθ)
)
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL 21
= 1
r2
∂
∂r
(r2Ar) +
1
rSenθ
∂Aφ
∂φ
+ 1
rSenθ
∂
∂θ
(SenθAθ)
Ahora para ∇2u supongamos que A = ∇u ⇒ ∇ ·∇u = ∇2u. Además sabemos que
(∇u)i = 1hi
∂u
∂qi
. Por lo tanto:
∇2u = 1
h1h2h3
(
∂
∂q1
(h2h3
h1
∂u
∂dq1
) + ∂
∂q2
(h1h3
h2
∂u
∂dq2
) + ∂
∂q3
(h1h2
h3
∂u
∂dq3
)
)
Caṕıtulo 2
Fluidos ideales
2.1. Clase 9
Segura Lucas Ángela Zugeili
Ejercicio. Un gas sometido a un campo gravitatorio constante. La ecuación a resolver
par el caso estático es
~f + ~fext = 0 (2.1)
donde ~f son las fuerzas internas y ~fext las fuerzas externas, estas ultimas actuando sobre
el gas. Debido a que la presión P del fluido es isotrópica, y que el potencial φ al cual está
sometido es el campo gravitatorio la ecuación a resolver se convierte en
−∇P − ρ∇φ
escribiendo expĺıcitamente al potencial en función de la gravedad g
−∇P + (−ρ|g|ĵ) = 0 (2.2)
Nota:dado que es un gas compresible la densidad ρ śı puede variar de modo que la
ecuación −∇(P + ρφ) = 0 no es válida.
Desarollando la ecuación (2)
−(∂P
∂x
î+−∂P
∂y
î+ ∂P
∂x
ĵ + ∂P
∂z
k̂)− ρ|g|ĵ = 0
De manera que las tres ecuaciones a resolver son
∂P
∂x
= 0 (2.3)
∂P
∂y
= −ρ|g| (2.4)
∂P
∂z
= 0 (2.5)
tal que P solo depende de y i.e. solo vaŕıa con la altura, no hay vientos. en un ĺıquido
ρ es una constante, pero en un gas es una función de la presión y la temperatura, aśı
expĺıcitamete la ecuación (4) es
∂P (y)
∂y
= −ρ(P, T )|g| (2.6)
22
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 23
Suponiendo un gas ideal, las ecuación de estado es PV = nRT = NKBT por lo que
depejando la presión
P = nRT
V
= N
V
KBT =
nmoRT
Vmo
= NmKBT
V m
= ρKBT
m
= ρRT
mo
Suponiendo T = cte
P
ρ
= KBT
m
= Po
ρo
donde Po, ρo son presión y densidad al nivel del mar
ρ = ρo
Po
P (2.7)
la densidad vaŕıa linealmente en función de la presión. Sustituyendo la ecuación (7) en la
ecuación (6)
∂P (y)
∂y
= −ρogP
Po
resolviendo por medio de separación de variables
P (y) = Poe−y/yo (2.8)
ρ(y) = ρoe−y/yo (2.9)
donde 1
yo
= ρog
Po
y y es la altura midiendo a partir del nivel del mar.
2.1.1. DINÁMICA DE FLUIDOS
La ecuación que describe la dinámica de un fluido es
~f + ~fext = ρ~̈r (2.10)
significa que una fuerza ~f sobre un pequeño volumen acelera a este último con una ace-
leración ¨̂r, sin embargo bajo este razonamiento se tendria que estudiar la trayectoria de
cada una de las part́ıculas que componen al fluido (Lagrange), sin embargo una forma
más eficiente de resolver el problema es por medio de un campo vectorial (Euler) de tal
manera que la velocidad de cada particula sea función de la posición y el tiempo i.e
~v = ~v(vx(~r, t), vy(~r, t), vz(~r, t)) (2.11)
en componentes
vi = vi(x1, x2, x3, t) (2.12)
para calcular la aceleración unicamente en la componente x
(D~v
Dt
)x =
dvx
dt
= dvx(x, y, z, t)
dt
= ∂vx
dx
∂x
dt
+∂vx
dy
∂y
dt
+∂vx
dz
∂z
dt
= (∂x
dt
,
∂y
dt
,
∂z
dt
)(∂vx
dx
,
∂vx
dy
,
∂vx
dz
)+∂vx
∂t
(D~v
Dt
)x = (~v.∇)vx +
∂vx
∂t
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 24
aśı
D~v
Dt
= ~v.∇
 vxvy
vz
+ ∂
∂t
 vxvy
vz

De forma que se define la derivada convectiva como
D~v
Dt
= (~v.∇)~v + ∂~v
∂t
(2.13)
esta ultima derivada puede interpretarse de tal forma que la velocidad cambia por
moverse en el espacio y en el tiempo. De forma que la ecuación (10) se conviente en
~f + ~fext = ρ
[
(~v.∇)~v + ∂~v
∂t
]
(2.14)
la ecuación (14) es la ecuación de balance de momento, i.e. si hubo un cambio en
el momento entonces existe una fuerza.
Ahora se introduce un nuevo tipo de fuerzas que son de tipo viscoso ~fvisc, las cuales
estan relacionadas con los esfuerzos de corte, de forma que la ecuación (14) puede ser
generalizada
−∇P − ρ∇φ+ ~fvisc = ρ
[
(~v.∇)~v + ∂~v
∂t
]
(2.15)
De tal forma que si se considera un fluido ideal (donde no hay viscosidad, la ecuación se
reduce a
−∇P − ρ∇φ = ρ
[
(~v.∇)~v + ∂~v
∂t
]
(2.16)
A la ecuación (16) se le denomina ecuación de Euler.
Es importante mencionar que siempre se puede alguna de las variables ρ, T por la
presión P aśı en lugar de tener 5 ecuaciones acopladas
~v(x, y, z, t)
ρ(x, y, z, t)
T (x, y, z, t)
se tendŕıa
~v(x, y, z, t)
ρ(x, y, z, t)
P (x, y, z, t)
el nombre de las ecuaciones anteriores corresponde a ecuación de balance de momento,
ecuación de balance de masa y ecuación de balance de enerǵıa respectivamente.
2.2. Clase 11
Daniel González Velázquez
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 25
2.2.1. Ecuación de continuidad
Las ecuaciones de continuidad son formas más fuertes, locales, de las leyes de conser-
vación. En nuestro caso ya hab́ıamos llegado a una relación que expresa la conservación
de la masa:
ρA1(v1∆t) = ρA2(v2∆t) (2.17)
La masa que pasa por la superficie dS en un tiempo dt (es decir el flujo sobre ds) se
escribe como
ρ(vndt)dS = ρv · n̂dtdS = ρv · dSdt
donde n̂ es el vector normal a la superficie. Esto implica que el flujo que sale a través
del elemento de superficie dS es
−ρv · dS.
Por lo tanto, el flujo total expulsado es
F = −
˛
ρv · dS (2.18)
En dinámica de fluidos, la ecuación de continuidad nos dice que la tasa con la cual la
masa entra a un sistema es igual a la tasa con la cual la masa sale del sistema MÁS la
acumulación de masa dentro del sistema. Queremos encontrar dicha ecuación. Para ello,
comencemos con la siguiente ecuación:
M =
ˆ
ρ(r)dV
donde M es la masa del sistema y ρ es la densidad, que en general depende de la
posición. El flujo es, entonces.
F = dM
dt
= d
dt
ˆ
ρ(r)dV
Igualando esta expresión con la obtenida en 2.18, vemos que
d
dt
ˆ
ρ(r)dV = −
˛
ρv · dS
ˆ
∂ρ
∂t
= −
ˆ
∇ · (ρv)dV
En el lado derecho se ha usado el teorema de la divergencia. Finalmente, llegamos a
la ecuación de continuidad, correspondiente al balance de masa:
∂ρ
∂t
= −∇ · (ρv) (2.19)
Si el fluido es incompresible, entonces la ecuación 2.19 se reduce a:
∇ · v = 0 (2.20)
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 26
Figura 2.1: Las ĺıneas de corriente no mantienen su forma con el paso del tiempo, a menos
que el fluido sea estacionario.
2.2.2. Ĺıneas de corriente
La aproximación de Taylor de una función f a primer orden
f(x+ �) ≈ f(x) + df
dx
�,
es muy útil para nuestro propósito, pues podemos ver cómo vaŕıa el vector velocidad
en un tiempo dt infintesimal. Expresando las componentes de v como
vj(x, y, z, t) = v(x0 + �x, y0 + �y, z0 + �z, t0 + dt)
= vj(x0, y0, z0, t0) +
∂vj
∂x
�x +
∂vj
∂y
�y +
∂vj
∂z
�z +
∂vj
∂t
dt
= vj(x0, y0, z0, t0) +
(
vx
∂vj
∂x
+ vy
∂vj
∂y
+ vz
∂vj
∂z
)
dt+ ∂vj
∂t
dt
(2.21)
donde �i = vidt, notamos que se puede escribir
vj(x, y, z, t) = (vx, vy, vz) ·
(
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
)
vjdt+
∂vj
∂t
dt
i.e.,
v(x, y, z, t) = v(x0, y0, z0, t0) +
(
(v · ∇)v + ∂v
∂t
) ∣∣∣∣∣
(x0,y0,z0,t0)
dt (2.22)
La velocidad corresponde a la tangente a las ĺıneas de corriente. En general, estas cur-
vas no se mantienen constantes en el tiempo, como lo ejemplifica la figura 2.1. Si el fluido
es estacionario, no obstante, podemos afirmar que la trayectoria del fluido corresponde
las ĺıneas de corriente.
Para hallar la expresión geométrica que describe estas curvas, debemos notar que
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
,
i.e.,
dy
dx
= vy
vx
.
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 27
De este resultado, podemos obtener la relación
dx
vx
= dy
vy
= dz
vz
(2.23)
Ejemplo
Considérse el campo de velocidades
v = vθêθ = ωr(−sinθ, cosθ, 0) = ω(−y, x, 0)
v = vxî+ vy ĵ
De la ecuación 2.23, vemos que
dy
ωx
= dx
−ωy
ˆ
−ydy =
ˆ
xdx
Finalmente, vemos que las ĺıneas de corriente están des-
critas por la ecuación:
x2 + y2 = c2,
i.e., corresponden a circunferencias.
Ejemplo
Figura 2.2: ¿Con qué velocidad
sale el agua del recipiente?
Consideremos ahora un ejemplo sencillo (figura
2.2). Se tiene un recipiente con agua hasta una al-
tura h y un área superficial muy grande. En el fondo
del recipiente hay un pequeño hueco por el que el agua
escapa. Queremos obtener la velocidad en ese punto.
Para ello, haremos dos suposiciones muy simples: la
primera, que la velocidad del agua en la superficie es
casi cero, ya que el área es tan grande que la altura
del agua casi no cambia con el tiempo; la segunda,que la presión atmosférica es igual en la superficie y
a un lado del pequeño hueco, fuera del recipiente. La
ecuación de balance de enerǵıa nos dice que, si no hay
vorticidad,
P + 12ρv
2 + ρΦ = cte
De aqúı, es sencillo ver que
ρgh = 12ρv
2
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 28
Finalmente
v =
√
2gh
Este es el mismo resultado que se obtiene al considerar que las part́ıculas de agua
tienen una enerǵıa potencial igual a mgh en la superficie, que se transforma ı́ntegramente
en enerǵıa cinética 12mv
2 al llegar al fondo del recipiente.
Figura 2.3: Efecto Venturi.
Ahora, un ejemplo más interesante, y donde usa-
remos tanto la ecuación de balance de enerǵıa como la
ecuación de conservación de la masa 2.17, es el efec-
to Venturi (figura 2.3). En este ejemplo, se tiene una
tubeŕıa por la que pasa un fluido incompresible. Nos
interesan dos puntos de esta tubeŕıa en los que el área
perpendicular a la dirección del flujo es distinta. Es-
cribimos la ecuación de balance de enerǵıa:
P1 +
1
2ρv
2
1 + ρΦ1 = P2 +
1
2ρv
2
2 + ρΦ2
Ya que la altura del fluido en ambos casos es igual,
el potencial toma el mismo valor:
P1 +
1
2ρv
2
1 = P2 +
1
2ρv
2
2
P1 − P2 =
1
2ρ(v
2
2 − v21)
Usando la ecuación de conservación 2.17, tenemos que
v1 =
A1
A2
v2,
lo cual implica que el fluido debe tener una velocidad mayor en la sección en la cual el
área es menor.
Se sigue que
∆P = 12ρ
((
A1
A2
)2
− 1
)
v21 (2.24)
Esto a su vez implica que P1 > P2. ¿Qué pasa entonces con los tubos que están direc-
tamente conectados a cada una de las secciones consideradas? Ciertamente, la diferencia
de presión en cada una de las regiones generará una diferencia en la altura del fluido. Si
se trata de mercurio, notamos que
P2 + ρHggh = P1
Por la ecuación 2.24:
ρHggh =
1
2ρ
((
A1
A2
)2
− 1
)
v21
De donde podemos obtener v1 en función de h, A1, A2 y las densidades:
v1 =
√√√√2ρHg
ρ
ghA22
A21 − A22
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 29
Ejemplo
En este ejemplo (figura 2.4), consideramos dos edificios de ancho l/2, a una distancia l
entre ellos. Son golpeados por el viento, que lleva una velocidad v1. Sea P2 la presión en la
zona que se encuentra entre ambos edificios, y P1 la presión en el exterior, a los costados
de cada uno.
La ecuación de balance de enerǵıa nos dice que
P1 +
1
2ρv
2
1 = P2 +
1
2ρv
2
2
∆P = P2 − P1 =
1
2ρ(v
2
1 − v22) (2.25)
Figura 2.4: Dos edificios impacta-
dos por el viento.
Por otro lado, la ecuación 2.17 puede reescribirse,
para este caso, como
ρ(v1dt)(2l) = ρ(v1dt)l
(el viento que impacta desde la izquierda lo hace
a lo largo de una distancia 2l, mientras que el viento
en la sección intermedia lo hace sólo a lo largo de una
distancia igual a l).
De aqúı, tenemos que
2v1 = v2,
es decir, que el aire aumenta su velocidad en la
región intermedia.
Sustituyendo esta ecuación en 2.25, llegamos a que
∆P = 12ρv
2
1(1− 4) =
−3
2 ρv
2
1
Esto quiere decir que desde el aire de los costados empuja a ambos edificios hacia la
región intermedia, ¡lo cual puede provocar un desastre!
2.3. Clase 14
Antonio Romero Téllez
En la clase se resolvieron problemas de hidrodinámica. A continuación se redactan.
Problema 1. Modelo de un huracán. Sabemos que un huracán es un sistema de aire
de baja presión interactuando con una de presiones altas, que toma el efecto giratorio.
Podemos verlo en la imagen 1.
La velocidad del aire está en componentes radial y angular, es decir, v = (vr, vθ).
Gráficamente, podemos ver el comportamiento del vθ, y observamos tres regiones cuyo
comportamiento explicaremos en el transcurso. También apreciamos cómo se mueven
elementos de referencia respecto a la rotación dentro de la región donde vθ es forzado
(región 1-2) y donde es libre (región 2-3), que es donde Ω es diferente de cero y donde Ω
es nulo, respectivamente.
Mostrando ahora en regiones ciĺındiricas:
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 30
Figura 2.5: Fuerzas de compresión de un huracán y sentido giratorio.
Figura 2.6: Gráfica de vθ y elementos de rotación en el huracán.
Figura 2.7: Modelo de un huracán mediante cilindros concéntricos.
El comportamiento de las regiones 2 a 3 sale con Bernoulli, es decir:
P3 +
1
2ρv
2
3 = P2 +
1
2ρv
2
max
Lejos del huracán podemos suponer que el viento está calmado y que la presión es
meramente atmosférica, es decir, P3 → Patm, v3 → 0, entonces Pa = P2+ 12ρv
2
max (forzado).
Para expresar P1 y P2 debemos considerar que hay un cambio de signo por la vorticidad,
entonces:
P1 −
1
2ρv
2
1 = P2 −
1
2ρv
2
2
De aqúı podemos obtener P1 y P2:
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 31
P1 = P2 −
1
2ρv
2
max
P2 = P1 +
1
2ρv
2
max ⇒ P0 −
1
2ρv
2
max
Esto último porque:
P0 −
1
2ρv
2
max = P1 +
1
2ρv
2
max
De ésto, además, tenemos:
P0 − P1 = ρv2max ⇒ vmax =
√
P0 − P1
ρ
Concedamos un valor a Pa = 1013,25mbars = 101kPa = 760,00mm de Hg.
Para el huracán Maŕıa, P1 = 908mbar, entonces, sustituyendo en las fórmulas tendre-
mos:
P0 − P1 = 1013− 908 = 101mbar
En la que si 1bar ≈ 105Pa entonces tendremos: 1
P0 − P1 = ∆P = 104Pa
vmax =
√√√√104Pa
1 kg
m3
= 102m
s
≈ 330km
hr
Sabiendo la presión podemos conocer la vmax y si integramos sobre tobtendremos el
campo de velocidades, es decir, ω(z) = V z, mejor escrito como ω(z) = q2π ln(z), ahora
derivemos:
dω(z)
dz
= q2πr (cos(θ), sin(θ))
en la que vx = Re
(
dω(z)
dz
)
= q2πrcos(θ) y vy = −Im
(
dω(z)
dz
)
= q2πrsin(θ), entonces:
v = (vx, vy) =
q
2πr êr
Podŕıamos demostrar que:
vx = Re
(
dω(z)
dz
)
. . .& . . . vy = −Im
(
dω(z)
dz
)
Se empieza por decir que ω(z) = φ(x, y) + iψ(x, y), entonces dω(z) = dφ + idψ,
expĺıcitamente:
dω(z) =
(
∂φ
∂x
dx+ ∂φ
∂y
dy
)
+ i
(
∂ψ
∂x
dx+ ∂ψ
∂y
dy
)
Sujeta a condiciones de Cauchy ∂φ
∂x
= ∂ψ
∂y
y ∂φ
∂y
= −∂ψ
∂x
, entonces, usando estas sustitu-
ciones:
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 32
dω(z) =
(
∂φ
∂x
dx+ ∂φ
∂y
dy
)
+ i
(
−∂φ
∂y
dx+ ∂φ
∂x
dy
)
Reagrupando:
∂φ
∂x
(dx+ idy)− i∂φ
∂y
(dx+ idy)
Ahora, si z = x+ iy, tendremos que dz = dx+ idy, de manera que:
dω
dz
= ∂φ
∂x
− i∂φ
∂y
Problema 2. Vayamos con una integral de ĺınea.
Γ =
˛
~v˙dl
Donde ω(z) = q2π ln(z)→ Γ = 0 o bien ω(z) =
iq
2π ln(z)→ Γ = q, entonces:˛ (
dω
dz
)
dz =
˛
C
f(z)dz
Para la figura 4, tendremos que
¸
C
f(z)dz = 0.
Figura 2.8: Integral de contorno.
Entonces: ˛
f(z)dz = 2iπa−1
aśı como: ˛
g(z)
z − z0
= 2iπg(z0)
Tomando en cuenta que dω(z)
dz
= iq2π
1
z
, tendremos a Γ como:
Γ =
˛
C
iq
2π
1
z
dz = iq2π
(˛
C
dz
z
)
= iq2π (2iπ) = −q
Problema 3. Encontremos el flujo de velocidad y de presión en geometŕıas como las
siguientes (figura 5):
Para empezar, notemos que tenemos condiciones de frontera: θ = 0 → vθ = 0 (para
fluido ideal) y θ = α→ vθ = vθ. Propongamos una función armónica como ω(z) = Azπ/α,
entonces:
dω(z)
dz
= π
α
Azπ/α−1
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 33
Figura 2.9: Fluidos por diferentes geometŕıas.
Con nuestro vector velocidad como:
~v = π
α
A(x+ iy) πα−1
Con Γω(r, θ) = A(reiθ) πα = Ar πα eiθ πα , siendo ω(z) = Azn. Si proponemos ésta última
sustitución para ω tendremos:
ω(z) = Arneinθ = Arn(cos(nθ) + isin(nθ)) ≈ φ+ iψ
Donde φ(r, θ) = Arncos(nθ) y ψ(r, θ) = Arnsin(nθ), de la que obtenemos a las velo-
cidades como:
vθ =
1
r
∂φ
∂θ
= −Arn−1sin(nθ)
vr =
∂φ
∂r
= Anrn−1cos(nθ)
Evaluando con ángulos θ igual a 0 y α...
vθ(θ = 0) = −Arn−1nsin(0) = 0
vθ(θ = α) = −Arn−1nsin(nα) = 0→ nα = π → n =
π
α
Entonces ω(z) = Az πα , siendo la norma de ~v:
||~v|| =
√
v2r + v2θ = Anrn−1 =
πA
α
r
π
α
−1
De aqúı tenemos los ángulos formados en P1 y en P2 como ángulos de estancamiento o
estagnación respectivamente. El punto de estagnación corresponde al de máxima presión.
Ahora, si recordamos que cualquier número complejo z puede expresarse como x + iy,
tendremos a ω(z) = Az πα = A(x + iy) πα . Si α = π2 , entonces ω(z) = A(x + iy)
2 y
φ = A(x2 − y2) = φn tendremos que ñas x2 − y2 = φn/A son las ĺıneas de corriente, aśı
como las ψn = A(2xy) como y = ψn2Ax . ¿Cómo podŕıamosverlas gráficamente? Resultan
en cosas como:
Ejemplo: Sea ω(z) = V z + q2π ln(z). Recordemos que z = x+ iy, entonces:
ω(r, θ) = V r(cos(θ) + isin(θ)) + q2π ln(z)
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 34
Figura 2.10: Curvas equipotenciales y ĺıneas de corriente.
φ(r, θ) = V rcos(θ) + q2π ln(r) . . .& . . . ψ(r, θ) = V rsin(θ) +
q
2π
Entonces r = 1
V sin(θ)(ψn− qθ2π )
, visualmente apreciable como:
Ejemplo: consideremos un dipolo: ω(z) = q2π ln(z− z0)−
q
2π ln(z+ z0), donde z0 = ae
iα,
entonces:
ω(z) = q2π
[
ln(z − aeiα)− ln(z + aeiα)
]
= q2π
[
ln
(
z
(
1− a
z
eiα
))
− ln
(
z
(
1 + a
z
eiα
))]
Observemos que si a << r el potencial toma forma como:
ω(z) ≈ q2π
[
−a
z
eiα − a
z
eiα
]
= −
[
qaeiα
π
]
1
z
Deteniéndonos un momento para recordar lo que hace una transformación al plano,
tenemos a g(ω) = ω πα , en la que si ω(z) = V z, entonces g(ω(z)) = (V z) πα . Ésta transfor-
mación dobla el plano complejo, como podemos ver en la siguiente imagen:
Figura 2.11: Transformación doblando al plano complejo.
Otro ejercicio más: sea ω(z) = V z+ V b2
z
, equivalentemente ω(x, y) = V (x+iy)+ V b2
x+iy ,
reescrito como:
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 35
V
[
(x+ iy) + b2 x− iy
x2 + y2
]
Donde φ(x, y) = V
[
x+ b2 x
x2+y2
]
y ψ(x, y) = V
[
y + b2 −y
x2+y2
]
. Ahora nos fijamos en la
ĺınea tal que ψ(x, y) = ψn = 0, es decir:
V y = 1− b
2
x2 + y2 = 0⇒ x
2 + y2 = b2
Visualmente:
Figura 2.12: Flujo del último ejercicio. Los puntos de estancamiento son donde ~v = 0 y
la presión es máxima.
2.4. Clase 15
Joanna Gisselle Garrido Flores
2.4.1. Problema del cilindro
Retomamos el ejemplo del flujo fuera de un cilindro de la clase anterior (14 de sep-
tiembre), donde su potencial de velocidades complejo está dado por
ω(z) = V z + V b
2
z
= V (z + b
2
z
) (2.26)
Figura 2.13: Ĺıneas de flujo alrededor de una esfera estacionaria [?].
pero ahora vamos a abordarlo de una manera más fácil, usando el Teorema de Blasius:
X + iY = iρ2
˛
C
(
dω
dz
)2
dz (2.27)
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 36
donde X = Fx
h
y Y = Fy
h
representan las fuerzas en x y y por unidad de altura del
cilindro, C es una curva que encierra a la superficie a estudiar, y ρ es la densidad constante
del fluido. Ahora notemos que, como
Vx = Re
{
dω
dz
}
, Vy = −Im
{
dω
dz
}
⇒
√
V 2x + V 2y =
√(
Re
{
dω
dz
})2
+
(
− Im
{
dω
dz
})2
=
∣∣∣∣dωdz
∣∣∣∣2
Derivando la ecuación 2.26 con respecto a z:
dω(z)
dz
= V
(
1− b
2
z2
)
⇒
(
dω
dz
)2
= V 2
(
1− 2b
2
z2
+ b
4
z4
)
Sustituyendo esto en la ecuación 2.27:
X + iY = iρ2
˛
C
V 2
(
1− 2b
2
z2
+ b
4
z4
)
dz (2.28)
Recurriendo a la variable compleja, recordamos que una función se puede descomponer
en series de potencias
f(z) = ...+ a3z3 + a2z2 + a1z + a0 +
a−1
z
+ a−2
z2
+ ... (2.29)
y haciendo uso del teorema del residuo
˛
C
f(z) dz = 2πia−1 (2.30)
podemos comparar las ecuaciones 2.28, 2.29 y 2.30, y obtenemos que
a0 = 1, a−2 = −2b2, a−4 = b4, a−1 = 0
⇒ X + iY = 0 (2.31)
Aśı podemos concluir que la fuerza sobre el cilindro es igual tanto arriba como abajo, lo
cual se puede observar en la figura 2.13.
2.4.2. Presión sobre la cáscara del cilindro
Ahora vamos a obtener la presión sobre la cáscara del cilindro. Partimos de la ecuación
de Bernoulli:
P (r) + 12ρv
2(r) = P0 +
1
2ρV
2 ⇒ P (r) = P0 +
1
2ρ(V
2 − |v(r)|2) (2.32)
donde V es la misma velocidad que la de la ecuación 2.26; por el ejercicio anterior sabemos
que |v(r)|2 = |dω
dz
|2, por lo que
P (r) = P0 +
1
2ρ
(
V 2 −
∣∣∣∣dωdz
∣∣∣∣2) (2.33)
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 37
Escribiendo a z como z = reiθ:
dω
dz
= V
(
1− b
2
z2
)
= V
(
1− b
2
r2e2iθ
)
= V
(
1− b
2
r2
e−2iθ
)
Haciendo el radio del cilindro b = 1, podemos escribir
dω
dz
= V
(
1− e
−2iθ
r2
)
= V
(
1− cos2θ − isen2θ
r2
)
Aśı podemos obtener las velocidades en x y y:
Vx = V
(
1− cos2θ
r2
)
, Vy = −
V sen2θ
r2
(2.34)
Podemos preguntarnos dónde la velocidad se hace cero, Vx = 0 y Vy = 0, es decir, podemos
encontrar los puntos de estagnación (puntos de estancamiento, donde la presión se hace
máxima), y esto corresponde a θ = 0, π y r = 1 (ilustrados en la figura 2.14), sobre el radio
del cilindro, como ya se hab́ıa visto en la clase anterior (14 de septiembre). Recordemos
Figura 2.14: Puntos de estagnación de un cilindro.
que queremos calcular la presión sobre el cilindro, por lo que calculamos v2:
v2 = ||v · v|| =
(√
V 2x + V 2y
)2
= V 2
[(
1− cos2θ
r2
)2
+
(
− sen2θ
r2
)2]
Concentrándonos en r = 1, pues queremos la presión sobre el cilindro:
v2 = V 2[(1−cos2θ)2+(sen2θ)2] = V 2[1−2cos2θ+cos22θ+sen22θ] = V 2[2(1−cos2θ)] = 4V 2sen2θ =
∣∣∣∣dωdz
∣∣∣∣2
Sustituyendo esto en la ecuación 2.33:
P = P0 +
1
2ρ(V
2 − v2)
∴ P = P0 +
1
2ρV
2[1− 4sen2θ] (2.35)
Esta expresión de la presión se ilustra en la figura 2.15, de donde podemos notar que
cuando θ = 0 la presión es máxima, y cuando θ = π2 la presión es mı́nima. Observemos
que
Pmax = P0 +
1
2ρV
2, Pmin = P0 −
3
2ρV
2
⇒ Pmax − Pmin = 2ρV 2 ⇒ V =
√
Pmax − Pmin
2ρ
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 38
Figura 2.15: Diagrama de presión sobre el cilindro.
la cual coincide con la del caso del tubo de Pitot.
Ahora supongamos que hay circulación alrededor del clilindro, entonces podemos escribir
su potencial complejo como
ω(z) = V
(
z + b
2
z
)
+ iΓ2π ln
(
z
b
)
(2.36)
Escribiendo a z como z = reiθ:
ω(z) = V
(
reiθ+b
2
r
e−iθ
)
+ iΓ2π ln
(
reiθ
b
)
= V (rcosθ+irsenθ+b
2
r
(cosθ−isenθ))+ iΓ2π
[
ln
(
r
b
)
+iθ
]
= φ+iψ
⇒ ψ = Im{ω(z)} = V (rsenθ − b
2
r
senθ) + Γ2π ln
(
r
b
)
Si r es el radio del cilindro, r = b:
ψ = V b(senθ − senθ + Γ2π ln1 = 0
Esto implica que hay un ćırculo como ĺınea de corriente justo alrededor del cilindro.
Ahora hagamos un análisis parecido al del inicio de la clase, usando teorema de Blasius y
teorema del residuo:
X + iY = iρ2
˛ [
dω
dz
]2
dz
de donde
dω
dz
= V
(
1− b
2
z2
)
+ iΓ2π
1
z
⇒ X+iY = iρ2
˛ [
V
(
1− b
2
z2
)
+ iΓ2πz
]2
dz = iρ2
˛ [
V 2
(
1− b
2
z2
)2
− Γ
2
4π2z2 +
iΓ
πz
V
(
1− b
2
z2
)]
dz = iρ2 (2πia−1)
⇒ X + iY = 2πi
(
iV Γ
π
)
iρ
2 = −iρV Γ
∴ X = 0 , Y = −ρV Γ (2.37)
De aqúı vemos que existe una circulación Γ alrededor del cilindro, tal y como se muestra
en la figura 2.16, y al sumar estas ĺıneas de flujo obtenemos las ĺıneas de la figura 2.17;
a este fenómeno se le llama efecto Magnus, el cual dice que la rotación de un objeto crea
un flujo rotacional a su alrededor. Sobre un lado del objeto, el movimiento de rotación
tendrá el mismo sentido que la corriente del fluido en el que está el objeto, y en este
lado la velocidad se incrementará. En el otro lado, el movimiento de rotación se produce
en el sentido opuesto al de la corriente del fluido y la velocidad se verá disminuida. La
presión será entonces menor en un lado que en otro, causando una fuerza perpendicular
a la dirección de la corriente del fluido [?].
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 39
Figura 2.16: Circulación alrededor del cilindro.
Figura 2.17: Efecto Magnus [?].
2.4.3. Transformaciones conformes y coeficientes de lift y drag
Jukowski utilizó este resultado para estudiar flujos alrededor de un objeto complicado
usando resultados de flujos más sencillos, por la técnica de transformaciones conformes.
Para esto consideraremos la transformación z = f(ξ) (véase la figura 2.18), entre un
ćırculo y un perfil alar. Supongamos que el largo del ala es c y el ángulo que ésta hace con
la horizontal es α, también llamado ángulo de ataque. Usando el resultado de la ecuación
Figura 2.18: Mapeo conforme entre un ćırculo y un perfil alar.
2.37:
FL
h
= ρV Γ = ρV (πcαV ) = (πcα)ρV 2
Aśı, la fuerza de ”lift”por unidad de área es
FL
hc
= (πα)ρV 2 = [E][V ]
Notemos que
[E]
[V ]
[Efluido]
[V ]
= παρV
2
1
2ρV
2 = 2πα ≡ CL
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 40
donde CL es el coeficiente de ”lift”. Esto implica que
FL
hc
= CL
ρV 2
2 (2.38)
Esto quiere decir que la fuerza de ”lift.es proporcional al área del alay esa constante de
proporcionalidad depende de las caracteŕısticas del ala. Esto es válido en general para
cualquier objeto.
Otro coeficiente de importancia es el coeficiente de ”drag”, definido por[
E
V
]
friccion
[E]
[V ]
≡ CD
⇒
[
E
V
]
friccion
= CD
(
ρV 2
2
)
(2.39)
De la ecuación 2.39 se observa que toda la aerodinámica se trata de hacer CD lo más
Figura 2.19: Coeficiente de ”lift”(rojo) y ”drag”(azul) vs ángulo del ala [?].
pequeño posible.
Si graficamos CL vs α obtenemos la gráfica de la figura 2.19, y observamos que en 20
grados aproximadamente hay una pérdida; también se graficó CD vs α, y si hacemos la
razón entre estos dos coeficientes obtenemos que CL/CD ∼ 10. De este resultado podemos
concluir que los motores del avión no necesitan tanto empuje, sino sólo la décima parte
del peso del avión. Igualmente de la gráfica podemos deducir que si el ala rebasa cierto
ángulo de ataque, el avión se puede llegar a caer, pues se crea turbulencia atrás del ala.
Vamos a considerar ahora una transformación conforme, dada por
z = a2
(
ξ + 1
ξ
)
, z = f(ξ), |ξ| = 1
Esto corresponde a mapear un ćırculo unitario a un plano z. Si hacemos ξ = reiθ y
consideramos r = 1:
z = a2(re
iθ + 1
r
e−iθ) = a2(e
iθ + e−iθ) = acosθ
Como cosθ toma valores entre 1 y -1, quiere decir que deformamos el ćırculo a una recta,
que toma valores entre a y −a.
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 41
Notemos que en este caso es válida la ecuación de Laplace, aśı que podemos definir nuestro
potencial complejo como en el inicio de la clase,
ω(ξ) = V ξ + V
ξ
+ iΓ2π lnξ
y notamos que la transformación conforme se puede reescribir como
2z
a
= ξ + 1
ξ
⇒ 2z
a
ξ = ξ2 + 1 ⇒ ξ2 − 2z
a
+ 1 = 0
⇒ ξ = 12
(
2z
a
±
√(2z
a
)2
− 4
)
= z
a
±
√(
z
a
)2
− 1 = 1
a
(
z ±
√
z2 − a2
)
Tomando el signo positivo (pues con el signo negativo puede llegar a pasar que ξ ∼ z−z =
0):
∴ ω(z) = V
a
(
z +
√
z2 − a2
)
+ V
1
a
(
z +
√
z2 − a2
) + iΓ2π ln
(
z +
√
z2 − a2
a
)
(2.40)
Y esto resuelve el flujo sobre el objeto z.
2.5. Clase 16
Arturo Espinoza Vargas
2.5.1. Teorema de Blausius
Basicamente, tendremos que para un fluido, cuya velocidad se derive de un potencial
complejo ω(z), podemos calcular la fuerza neta ejercida por el fluido alrededor de una
superficie (cascara) encerrada por un contorno C:
X + iY = iρ2
˛
C
[
dω
dz
]2
dz (2.41)
Ejercicio 1.
Anteriormente hab́ıamos visto el caso del potencial ω(z) = V z+ V b2
z
, por lo tanto para
aplicar el teorema de Blausius necesitamos derivar:
dω(z)
dz
= V
(
1− b
2
z2
)
(2.42)
Y por lo tanto [
dω
dz
]2
= V 2
(
1− 2b
2
z2
+ b
4
z4
)
(2.43)
Aśı, dado que el residuo de todos los sumandos es cero, entonces X + iY = 0, es decir
la fuerza ejercida por el fluido es cero.
Ejercicio 2.
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 42
Recordando que para este potencial complejo ω, se analizó y determinaron las corres-
pondientes ĺıneas de corriente, dándonos para Ψn = 0 un circulo o cilindro.
De manera intuitiva determinamos que los puntos en el cilindro donde la velocidad era
cero, correspond́ıan a 0 y 2π, por lo que ahora lo mostraremos y calcularemos también la
presión sobre esta cascara del cilindro.
Sabemos que en estos casos se cumple Bernoulli:
P (r) + 12ρv
2(r) = P0 +
1
2ρV
2
0 (2.44)
Esta velocidad V0 es obtenida a través de considerar un radio ”muy grande”, es decir
r →∞ y por tanto ω ' V0z, por lo tanto
P (r) = P0 + ρ
1
2
V 20 −
∣∣∣∣∣dωdz
∣∣∣∣∣
2
 (2.45)
Por conveniencia hagamos b = 1 (que seŕıa el radio del cilindro), luego
dω
dz
= V0
[
1− cos(2θ)− isin(2θ)
r2
]
(2.46)
O por componentes de la velocidad
Vx = V0
[
1− cos(2θ)
r2
]
(2.47)
Y
Vy = −
V0sin(2θ)
r2
(2.48)
Por lo tanto
V 2 = V 20
(1− cos(2θ)
r2
)2
+
(
sin(2θ)
r2
) (2.49)
Substituyendo el radio b = 1:
V 2 = 2V 20 (1− cos(2θ)) = 4V 20 sin2(θ) (2.50)
Vemos que para θ = 0, 2π la velocidad es cero, es decir son los puntos de estancamiento,
por otro lado, sustituyendo la expresión anterior para obtener la presión:
P (r) = P0 + ρ
1
2V
2
0
[
1− 4sin2(θ)
]
(2.51)
Podemos observar que la presión máxima ocurre para Pmax = P0 + 12ρV
2
0 y la mı́nima
para Pmin = P0 − 32ρV
2
0 , asimismo V0 =
√
Pmax−Pmin
2ρ .
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 43
Figura 2.20: Ĺıneas de corriente (x, y)
Figura 2.21: Presión r, θ
Ahora bien, analicemos lo que pasa con el siguiente potencial:
ω(z) = V
(
z + b
2
z
)
+ i Γ2π ln
(
z
b
)
(2.52)
En coordenadas polares, vemos que la ĺınea de corriente para r = b, corresponde a la
cáscara de un cilindro con radio b:
ω(z) = V
(
rcosθ + b
2
r
(cosθ)
)
− Γ2πθ + i
[
V rsin(θ)− b
2
r
+ Γ2π ln
(
r
b
)]
(2.53)
Obtengamos la fuerza ahora por Blausius:
X + iY = iρ2
˛
C
[
V
(
1− b
2
z2
)
+ i Γ2Zπ
]2
dz (2.54)
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 44
Que por medio del Teorema del residuo:
X + iY = 2πi
(
iρ
2 i
V Γ
π
)
= −iρΓV (2.55)
X = 0 y Y = ρΓV , esencialmente tenemos el Efecto Magnus, este explicarse toman-
do un cilindro que rota a través de un flujo constante (paralelo a las ĺıneas de corriente),
el fluido más cercano al cilindro se verá arrastrado por este, aumentando la velocidad
(máxima) en un ángulo de π y disminuirá (mı́nima) en −π.
Por tanto las presiones se relacionarán aśı P (π) < P (−π), lo que da una fuerza
resultante vertical llamada de sustentación que tenderá a mover el cilindro de manera
perpendicular a las ĺıneas de corriente. Esta fuerza de sustentación está dada por unidad
de longitud del cilindro, es decir !Fy
h
= Y = ρΓV !
Figura 2.22: Efecto Magnus.
Vaya que este fuerza de sustentabilidad da pie a que intentemos explicar el fenómeno
de los aviones, dos cantidades se definen en torno a las alas de avión: ángulo de ataque
(α) y cuerda (que se muestran en la siguiente figura)
Figura 2.23: Ala de un avión.
Como una parte que se demostrará con posterioridad (otra clase), se definen dos co-
eficientes, uno en relación con el ala y la sustentabilidad:
Coeficiente de lift CL, se demostrará que Y = ρΓV = (πcα)ρV 2 ó Flhc = παρV
2 que
tiene unidades de enerǵıa entre volumen, dividiendo esto entre la enerǵıa cinética del
fluido obtenemos:
[E]
[V ]
[Efluido]
[V ]
= παρV
2
1
2ρV
2 = 2πα = CL (2.56)
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 45
Quedándonos
Fl
hc
= CL
V 2
2 (2.57)
Por lo cual este coeficiente se busca lo más grande posible en el caso de los aviones,
sin embargo se tiene que a cierto ángulo cŕıtico ya no es suficiente esta fuerza, pues se
producen vórtices.
Coeficiente de drag CD, este codificará la resistencia del objeto a moverse en el fluido,
cuyo lugar está en la fuerza de rozamiento que opone un fluido al movimiento de un objeto
sólido.
[E]
[V ]friccion
[E]
[V ]
= CD (2.58)
O equivalentemente [E][V ]friccion = CD
1
2ρV
2, claro que el cambio de estos coeficientes
(división) será crucial para que un avión vuele o no.
Ahora bien, con los conocimientos que tenemos acerca de los cilindros, es fácil notar
que śı hallamos una transformación conforme del cilindro a otras formas, en concreto a el
ala de avión, esto nos da gran ventaja, pues sólo necesitamos transformar el potencial ω
y partir de ah́ı, este mapeo ya lo hemos visto.
Figura 2.24: Transformación conforme entre cilindro y ala de avión.
Veamos el caso del siguiente potencial.
ω(ξ) = V ξ + V
ξ
+ i Γ2π ln(ξ) (2.59)
Haciendo el cambio 2
a
z = ξ+ 1
ξ
o resolviendo el polinomio de segundo orden y tomando
la parte positiva:
ξ = 1
a
(
z +
√
z2 − a2
)
(2.60)
Luego el potencial se convierte en:
CAPÍTULO 2. FLUIDOS IDEALES 46
ω(z) = V
a
(
z +
√
z2 − a2
)
+ V
1
a
(
z +
√
z2 − a2
) + i Γ2π ln

(
z +
√
z2 − a2
)
a
 (2.61)
Caṕıtulo 3
Fluidos Viscosos
3.1. Clase 17
Daniel Espinoza González
Los objetivos de estas notas serán demostrar que la ecuación de Euler describe
el flujo de momento y deducir las ecuaciones a resolver para un fluido con viscosidad
(ecuaciones de Navier-Stokes).
Flujo de momento
Para comenzar, se partede la expresión del momento de un fluido por unidad de volumen
ρ~vi y se deriva respecto al tiempo.
∂
∂t
(ρ~vi) = ~vi
∂ρ
∂t
+ ρ∂~vi
∂t
. (3.1)
Se sustituirá la ecuación de continuidad
∂ρ
∂t
+∇ · (ρ~v) = 0,
o, en notación de ı́ndices,
∂ρ
∂t
= − ∂
∂vk
(ρvk) ,
aśı como la ecuación de Euler suponiendo, por simplicidad, un potencial φ = 0
ρ
∂vi
∂t
= −∂P
∂xi
− ρvk
∂vi
∂xk
,
para llegar a la siguiente expresión
47
CAPÍTULO 3. FLUIDOS VISCOSOS 48
∂ (ρvi)
∂t
= vi
[
−∂ (ρvk)
∂xk
]
+
(
−∂P
∂xi
− ρvk
∂vi
∂xk
)
= −∂P
∂xi
− ∂ (ρvivk)
∂xk
= −
[
∂
∂xk
Pδik +
∂
∂xk
(ρvivk)
]
= − ∂
∂xk
[Pδik + ρvivk] ,
(3.2)
donde vale la pena observar que, entre corchetes, se tiene un elemento con dos ı́ndices, es
decir, un tensor de rango 2. Aśı, resulta útil definir el siguiente tensor
Πik = Pδik + ρvivk/ (3.3)
Con esto, (2) se puede reescribir de una forma más compacta; tanto con notación de
ı́ndices como con notación vectorial
∂
∂t
(ρvi) +
∂
∂xk
Πk = 0 (3.4)
∂
∂t
(ρ~v) +∇ ·Π. (3.5)
Se puede observar estas ecuaciones tienen la misma forma que la ecaución de continuidad.
También es útil observar que el tensor de momento tiene unidades de enerǵıa por unidad
de volumen.
Ahora, suponiendo que se tiene un volumen arbitrario V , se verá (5) efectivamente es una
ecuación de continuidad para momento-enerǵıa. Integrando (5) sobre el volumen V,
y
V
∂
∂t
ρ~vdV = −
y
V
∇ ·ΠdV. (3.6)
Como la integral es sobre el volumen, la parcial respecto al tiempo puede salir de la
integral y se transforma en una derivada total (pues la dependencia espacial desaparece
durante la integracoón), reduciendo el lado izquierdo de la ecuación a
∂
∂t
y
V
ρ~vdV = d
dt
y
V
ρ~vdV = d~p
dt
.
Ahora, para el lado izquierdo de (6), se puede aplicar el teorema de la divergencia. Aśı,
si S es la superficie que encierra al volumen V se tiene que
CAPÍTULO 3. FLUIDOS VISCOSOS 49
−
y
V
∇ ·ΠdV = −
{
S(V )
Π · d~S.
Sustituyendo ambas expresiones se puede reescribir (6) como
d~p
dt
= −
{
S(V )
Π · d~S, (3.7)
o bien, en notación de ı́ndices, como
d~pi
dt
= −
{
S(V )
ΠikdSk. (3.8)
A continuación se resolverá un ejercicio como ejemplo. Primero, usando la segunda ley de
Newton y, posteriormente, usando la ecuación (8).
Supóngase que un cohete eyecta materia por la parte inferior para impulsarse. Sin pérdida
de generalidad, se puede suponer que el cohete experimenta una fuerza únicamente en la
dirección z y que su velocidad sólo tiene componente en esa misma dirección. Si la materia
eyectada atraviesa una área A (véase Fig. 1) a una velocidad v, hay que determinar la
fuerza experimentada por el cohete; además, se supondrá que la amteria eyectada tiene
una velocidad constante.
Figura 3.1
Fz =
d~p
dt
= mdvz
dt
+ vz
dm
dt
,
CAPÍTULO 3. FLUIDOS VISCOSOS 50
donde el primer término es cero, pues se supuso velocidad constante, y para el segundo
término resulta fácil expresar el cambio de la masa respecto al tiempo
dm = ρAvzdt,
dm
dt
= ρAvz.
Sustitución directa lleva a
Fz = ρAv2z .
Ahora se resolverá utilizando como superficie de control un cilindro que encierra comple-
tamente al cohete (véase Fig.2) y utilizando el tensor de momento.
Figura 3.2
Como se esta suponiendo que el flujo atraviesa perpendicularmente a las ”tapas”, sola-
mente es necesario fijarse en una de las entradas del tensor de momentos, la Πzz. Además,
se supondrá que la presión atmosférica es igual en las dos ”tapas 2que la materia eyectada
solo atraviesa un área A. Aśı, usando la ecuación (8) se tiene
dpz
dt
= −
x
Sd
ΠzzdSz −
x
Su
ΠzzdSz,
Πzz = P + ρv2z en Sd
Πzz = P en Su
CAPÍTULO 3. FLUIDOS VISCOSOS 51
Como la dirección normal a Su tiene sentido opuesto a la que es normal a Sd, sustituyendo
el valor de Πzz e incluyendo la diferencia de signo se llega a
dpz
dt
=
x
Sd
(
P + ρv2z
)
dSz −
x
Su
PdSz
=
x
Sd
ρv2zdSz = ρv2z
x
Sd
dSz
= Aρv2z ,
donde es importante recordar que el flujo solamente se daba a través de un área A y no
a través de toda la superficie Sd. Se aprecia que se obtuvo el mismo resultado que con el
procedimiento anterior, tal como se esperaba.
Fluidos reales
Hasta ahora solamente se han tratado fluidos en los que se considera que la viscosidad es
0. Estos fluidos (fluidos ideales) no describen apropiadamente algunos comportamientos
reales. A continuación se verán algunos de los defectos de dichos fluidos.
Primero que nada, en un fluido real no sucede que la velocidad disminuye a medida que
uno se acerca a la superficie que lo encierra. Pensando en una tubeŕıa sencilla, en el caso
del fluido ideal la velocidad era constante en todos los puntos, mientras que en el fluido
ideal la velocidad tiene un máximo en el centro y disminuye a medida que se acerca a las
paredes (véase figura 3).
Figura 3.3
Otro defecto es que si, en un fluido ideal, se supone que a un t = 0 la vorticidad es 0,
entonces se tendrá que la vorticidad siempre será 0.
Adicionalmente, en un fluido ideal no se invierte enerǵıa para mover un cuerpo que se
encuentra sumergido en el fluido. Como se vio en clases pasadas, esto no es posible, pues
śı hay una resistencia al movimiento (coeficiente de arrastre).
El objetivo en esta sección será deducir las ecuaciones de Navier-Stokes. Para hacer esto
será necesario, primero que nada, el tensor de esfuerzos; esto para poder calcular las
fuerzas involucradas. Hay ciertas restricciones impuestas a este tensor, a continuación se
verán algunas de estas y la forma que adquiere.
CAPÍTULO 3. FLUIDOS VISCOSOS 52
Primero, se puede pensar en un fluido con velocidad constante. En el fondo del fluido,
si es un fluido real, la velocidad será 0, de modo que el tensor de esfuerzos σik no puede
depender de ~v, pues es invariante. Sin embargo, śı puede depender, y en efecto lo hace,
de las derivadas de la velocidad,aśı
σik = f
(
∂vi
∂xk
,
∂2vi
∂x2k
,
∂3vi
∂x3k
, ...
)
.
Ahora es útil pensar en un cuerpo ŕıgido, donde ~v = ~ω×~r. Como no hay esfuerzos, para el
tensor deberá buscarse una combinación de derivadas que se anule cuando hay rotaciones.
Esta combinación resulta ser
σik = η
(
∂vi
∂xk
+ ∂vk
∂xi
)
.
Finalmente, si el fluido es isótropo es necesario agregar un escalara que, en general, de-
penderá de los invariantes del tensor. Recordando que los invariantes śı tienen unidades,
el único candidato es un escalar que sólo depende de la traza. Aśı el tensor adquiere la
siguiente forma
σik = η
(
∂vi
∂xk
+ ∂vk
∂xi
)
+B ∂vl
∂xl
, (3.9)
donde B, en principio, se desconoce y el segundo término no es más que ∇ · ~v. Ahora,
resultará útil reescribir esto como
σik = η
(
∂vi
∂xk
+ ∂vk
∂xi
− 23δik
∂vj
∂xl
)
+
(
B + 23η
)
δik
∂vl
∂xl
, (3.10)
esto es posible a partir de la siguiente observación (y recordando que tr (δik) = 3),
tr
(
∂vi
∂xk
+ ∂vk
∂xi
)
− 23
∂vl
∂xl
tr (δik) = 2
∂vi
∂xi
− 233
∂vl
∂xl
= 2∂vi
∂xi
− 2∂vl
∂xl
= 0.
Para calcular las fuerzas fi se tomarán las derivadas de la ecuación (10).
fi =
∂σik
∂xk
=η
(
∂2vi
∂xk∂xk
+ ∂
2vk
∂xi∂xk
− 23δik
∂2vl
∂xl∂xk
)
+
(
B + 23η
)
δik
∂2vl
∂xk∂xl
=η∂
2vi
∂x2k
+ η ∂
∂xi
∂vk
∂xk
− 23η
∂
∂xi
(
∂vl
∂xl
)
+
(
B + 23η
)
∂
∂xi
(
∂vl
∂xl
)
,
CAPÍTULO 3. FLUIDOS VISCOSOS 53
agrupando,
fi = η
∂2vi
∂x2k
+
(
η − 23η +B +
2
3η
)
∂
∂xi
(
∂vl
∂xl
)
,
renombrando el término entre paréntesis
(
η − 23η +B +
2
3η = η + η
′
)
, donde η′ es la se-
gunda viscosidad, se llega finalmente a
fi = η
∂2vi
∂x2k
+ (η + η′) ∂
∂xi
(
∂vl
∂xl
)
(3.11)
o, en notación vectorial,
~f = η∇2~v + (η + η′)∇ (∇ · ~v) (3.12)
Con esto, finalmente, se puede escribir la ecuación de Navier-Stokes al sustituir la expre-
sión calculada para ~fvisc en la ecuación de Euler
ρ
D~v
Dt
= −∇P − ρ∇φ+ ~fvisc,
obteniéndose la ecuación de Navier-Stokes en su expresión más común.
ρ
[
∂~v
∂t
+ (~v · ∇)~v
]
= −∇P − ρ∇φ+ η∇2~v + (η + η′)∇ (∇ · ~v) . (3.13)
Como es bien sabido, la ecuación de Navier-Stokes es sumamente dif́ıcilde resolver. En
particular, complica la solución el término η∇2~v que sólo se hace despreciable lejos del
cuerpo, después de la llamada capa ĺımite. Un ejemplo claro de esto es la formación de
dicha capa alrededor de un barco en moviemiento.
Un ĺımite interesande es cuando η es grande y el cuerpo en movimiento pequeño. En este
caso se puede despreciar el término (~v · ∇)~v y se reduce a la ecuación de Stokes.
3.2. Clase 18
Sergio Emiliano Gonce Maldonado
CAPÍTULO 3. FLUIDOS VISCOSOS 54
3.2.1. Ejercicios
Ejercicio 1: Consideremos un flujo incompresible, estacionario y sin fuerzas de cuerpo
a través de un canal horizontal de altura h, encuentre el campo de velocidades.
Figura 3.4: Canal horizontal.
Solución: Por hipótesis∇·v = ∂v
∂t
= ∇φ = 0, por lo tanto la ecuación de Navier-Stokes
se reduce a:
ρ(v · ∇)v = −∇P + η∇2v (3.14)
Consideramos que el campo de velocidades del fluido es de la forma v = (vx(y), 0, 0),
entonces (v · ∇)v = 0 y (1) se reescribe como:00
0
 = −
∂xP∂yP
∂zP
+ η(∂2x + ∂2y + ∂2z )
vx(y)0
0

lo cual implica que:
∂P
∂y
= 0 = ∂P
∂z
∴ P = P (x)
y
0 = −dP
dx
+ η d
2
dy2
vx(y)
Separando variables:
1
η
dP
dx
= C = d
2
dy2
vx(y) ⇒ vx(y) =
C
2 y
2 +By + A
y aplicando las condiciones de frontera vx(0) = 0 = vx(h):
A = 0
C
2 h
2 + hB = 0⇒ B = −C2 h
obtenemos:
vx(y) = −
1
2η
dP
dx
y(h− y)
Este se conoce como flujo de Covette y tiene la forma de una parábola cuyo máximo se
localiza en y = h2 (en el centro del canal). Si el fluido fuera ideal el perfil de velocidades
CAPÍTULO 3. FLUIDOS VISCOSOS 55
seŕıa constante y no necesitaŕıa un gradiente de presiones para moverse. En general, por
la tendencia de los sistemas al equilibrio, el gradiente crece en dirección contraria al flujo.
Ejercicio 2: Consideremos un tubo con sección transversal constante (forma ciĺındri-
ca de radio a) a través del cual circula un fluido incompresible, estacionario y sin fuerzas
de cuerpo. Encuentre el campo de velocidades.
Solución: Nuevamente nos interesa resolver la ecuación (1) pero suponiendo que el campo
de velocidades tiene la forma v = (vx(y, z), 0, 0), por lo tanto (v · ∇)v = 0 ⇒00
0
 = −
∂xP∂yP
∂zP
+ η(∂2x + ∂2y + ∂2z )
vx(y, z)0
0

lo cual implica que:
∂P
∂y
= 0 = ∂P
∂z
∴ P = P (x)
y
0 = −1
η
dP
dx
+
(
∂2
∂y2
+ ∂
2
∂z2
)
vx(y, z)
Separando variables:
1
η
dP
dx
= C =
(
∂2
∂y2
+ ∂
2
∂z2
)
vx(y, z)
Haciendo un cambio de variable a coordenadas ciĺındricas vx(y, z) = vx(r) tenemos:
C = 1
r
d
dr
(
r
d
dr
vx(r)
)
⇒ Crdr = d
(
r
d
dr
vx(r)
)
⇒ C
ˆ
rdr =
ˆ
d
(
r
d
dr
vx(r)
)
⇒ C2 r
2 = r d
dr
vx(r) + A
⇒ C2 r =
d
dr
vx(r) +
A
r
⇒ C2 r −
A
r
= d
dr
vx(r)
⇒
ˆ (
C
2 r −
A
r
)
dr =
ˆ
d(vx(r))
⇒ vx(r) =
C
4 r
2 − A ln(r) +B
y aplicando las condiciones de frontera vx(a) = 0, ĺım
r→0
vx(r) 6= ±∞:
{〉
A = 0
C
4 a
2 +B = 0⇒ B = −C4 a
2
Obtenemos:
vx(r) = −
1
4η
dP
dx
(a2 − r2)
este se conoce como flujo de Poiseville.
CAPÍTULO 3. FLUIDOS VISCOSOS 56
Calculemos el gasto Q, que es la masa que entra por unidad de tiempo. Una sección
diferencial de la cascara del cilindro es:
ρ(vx(r)∆t)dA = ρ(vx(r)∆t)rdrdθ
Figura 3.5: Sección diferencial de la tubeŕıa ciĺındrica.
El gasto sobre dicha cascara es:
ρ(vx(r)∆t)
∆t rdrdθ
El gasto total:
Q =
∣∣∣∣
ˆ a
0
ˆ 2π
0
ρvx(r)rdrdθ
∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣2πρ
ˆ a
0
[ 1
4η
dP
dx
(a2 − r2)
]
rdr
∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣π2 ρη dPdx
[ˆ a
0
a2rdr −
ˆ a
0
r3dr
]∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣π2 ρη dPdx
[
a4
2 −
a4
4
]∣∣∣∣ = π8 ρη
∣∣∣∣dPdx
∣∣∣∣a4
Ejercicio 3: Consideremos un canal de altura h sobre un plano inclinado de ángulo
α en el cual desciende un fluido estacionario e incompresible. Encuentre la presión sin
despreciar los efectos de la gravedad.
Figura 3.6: Canal sobre plano inclinado.
CAPÍTULO 3. FLUIDOS VISCOSOS 57
Solución: En esta ocasión, la ecuación de Navier-Stokes es:
ρ(v · ∇)v = −∇P − ρ∇φ+ η∇2v (3.15)
donde φ es el potencial gravitatorio. Las proyecciones de la fuerza de gravedad f por
unidad de volumen son:
fx = ρg sinα
fy = −ρg cosα
⇒ φ = −g sinαx+ g cosα y
Supondremos que el campo de velocidades tiene la forma v = (vx(y, z), 0, 0)⇒ (v·∇)v = 0
⇒ 00
0
 = −
∂xP∂yP
∂zP
+
 ρg sinα−ρg cosα
0
+
η(∂2x + ∂2y + ∂2z )
vx(y, z)0
0

lo cual implica que:
∂P
∂z
= 0 ∴ P = P (x, y)
y
∂P
∂y
= −ρg cosα ⇒ P (x, y) = −ρg cosα y + f(x)
⇒ f(x) = ρg cosα y + P (x, y)
Si el canal no es muy largo, la presión sobre su superficie es la presión atmosférica P0.
Vamos a tomar la aproximación:
f(x) = ρg cosαh+ P (x, h) = ρg cosαh+ P0
⇒ P (y) = −ρg cosα y + ρg cosαh+ P0 = P0 + ρg cosα (h− y)
Y la presión sobre la base del canal es:
P (0) = P0 + ρg cosαh
3.3. Clase 19
Sebastián Alvarado Pérez
Ejemplo 1
Consideremos un plano inclinado a un cierto angulo α, en donde se encuentra un fluido
estacionario e incompresible.
CAPÍTULO 3. FLUIDOS VISCOSOS 58
Figura 3.7: Esquema del problema a resolver, donde se rotan los ejes por comodidad
∂V
∂t
= 0
∇V = 0
Entonces podemos escribir la ecuación de Navier-Stokes (N-S) como:
ρ(∂V
∂t
+ (V · ∇)V) = −∇P− ρ∇φ+ η∇2V (3.16)
Veamos quienes son las fuerzas y por ende φ. Recordemos que tenemos la gravedad
de por medio, y escogiendo nuestro sistema de referencia tal que el eje x coincida con la
inclinación del plano a un ángulo α Obtenemos:
fx = ρ | g | sinα
fy = −ρ | g | cosα
⇒ φ = − | g | sin(α)x+ | g | cos(α)y
Ahora tomemos en cuenta de que V sólo depende de la altura y solo es mueve en
dirección x por lo que:
(V · ∇)V = 0
Entonces podemos escribir la ecuación de N-S como:00
0
 = −

∂P
∂x
∂P
∂y
∂P
∂z
+
 ρ | g | sinα−ρ | g | cosα
0
+ η(∂2x + ∂2y + ∂2z )
vx(y)0
0

De aqúı podemos darnos cuenta de que P sólo depende de x y y, es decir P(x, y), ya que
∂P
∂z
= 0. Por otro lado podemos imponer que ∂P
∂x
= 0, entonces la presión solo dependera
de y, es decir P(y).
Ahora fijemonos en la siguiente ecuación.
0 = −∂P
∂y
− ρ | g | cosα
⇒ P(y) = −ρ | g | cos(α)y + C
CAPÍTULO 3. FLUIDOS VISCOSOS 59
Con las condiciones de frontera podemos saber quien es C. Cuando y = h. Es decir
cuando se alcanza una presión P0
C = ρ | g | cos(α)h+ P0
⇒ P(y) = −ρ | g | cos(α)y + ρ | g | cos(α)h+ P0
P(y) = P0 + ρ | g | cos(α)(h− y) (3.17)
Ahora veamos la ecuación diferencial para vx(y). Dada por:
0 = ρ | g | sin(α) + ηdvx(y)
dy
⇒ vx(y) = −
ρ | g | sin(α)
2η y
2 +By + C
Usando condiciones de frontera podemos saber quien es C y ademas podemos saber quien
es B con ayuda del esfuerzo σxy, podemos pensar que aqúı no hay esfuerzos de corte.
Entonces recordando que la derivada parcial de vy con respecto a x es cero, tenemos que:
σxy = η
(
∂vx
∂y
+ ∂vy
∂x
)
⇒
(
∂vx
∂y
)
y=h
= −ρ | g | sin(α)h
η
+B = 0
Por tanto la ecuación que describe la velocidad en x esta dada por:
vx(y) =
ρ | g | sin(α)
2η y(2h− y) (3.18)
Figura 3.8: La tangente a la curva es el esfuerzo
CAPÍTULO 3. FLUIDOS VISCOSOS 60
Figura 3.9: Esquema del problema a resolver, donde se muestra el perfil de velocidades,
esta crece conforme aumenta la altura
Algo importante de destacar aqúı es cuando α = 0 el fluido no se mueve. Y mientras
más grande es el angulo α más grande es la velocidad.
Notemos que en esta solución el fluido no se acelera, entonces debe haber disipación
de enerǵıa. Ahora queremos saber cual es el esfuerzo (fuerza) sobre un objeto (incluidos
las paredes) sumergido en cierto perfil de velocidades.
Lo que debemos hacer es integrar sobre todas las fuerzas internas por unidad de
volumen sobre todo el volumen. Y hay dos formas de hacerlo:
FORMA 1: Utilizando las parciales de las componentes del tensor de esfuerzos
Fi =
ˆ
V ol
fidV =
ˆ
V ol
∂σik
xik
dV =
ˆ
Sup
σikdSk
F =
ˆ
Sup
~σ · ndS
La normal cambia de orientación dependiendo de donde se vea, desde el fluido o desde el
objeto. En nuestro caso estamos integrando sobre la superficie del objeto.
F = −
ˆ
Sup
~σ · ndS (3.19)
FORMA 2: Usando el Tensor de momento. Y recordandoque la velocidad es cero
sobre la superficie del obejto.
Fi =
ˆ
Sup
ΠikdSk =
ˆ
Sup
(−σik + ρvivk)dSk =
ˆ
Sup
−σikdSk
F = −
ˆ
Sup
~σ · ndS
Utilizando lo que habiamos encontrado:
vx(y) =
1
2η
dP(x)
dx
y(h− y)
Y sabiendo que los esfuerzos estan dados por:
CAPÍTULO 3. FLUIDOS VISCOSOS 61
σik = η
(
∂vi
∂xk
+ ∂vk
∂xi
)
Obtenemos la siguiente matriz:
~σ =
 −P(x)
dP(x)
dx
(h2 − y) 0
dP(x)
dx
(h2 − y) −P(x) 0
0 0 −P(x)

Y siendo la normal n = (0, 1, 0) Tenemos lo siguiente:FxFy
Fz
 = ˆ lx
0
ˆ lz
0
~σ
01
0
 dxdz = ˆ lx
0
ˆ lz
0

dP(x)
dx
(h2 − y)
−P(x)
0
 dxdz
Resolviendo para Fx y Fy:
Fx =
(
dP
dx
)
A
(
h
2 − y
)
Fy = −(lzlxP0) +
dP
dx
(
lzl
2
x
2
)
Ahora veamos que pasa cuando y = 0 es decir el esfuerzo sobre la pared inferior, o
tambien podemos pensar que es un rio y el esfuerzo que hace el agua sobre las orillas es.
Fx =
(
dP
dx
)
A
(
h
2
)
Fy = −(lzlxP0) +
dP
dx
(
lzl
2
x
2
)
Figura 3.10: Ejemplo del rio como el fluido hace esfuerzos en las orillas.
Son varios los parametros a considerar para resolver un problema, y más aun para
hacer calculos numéricos en la computadora, ya que no se utilizan unidades y es más fácil
deshacernos de las unidades para trabajar de froma más comoda al no usar constantes
como G, } o c. Hagamos un ejemplo de lo que acabamos de mencionar.
Escalar un objeto de diametro D, como un cilindro, con la ecuación.
x2 + y2 =
(
D
2
)2
CAPÍTULO 3. FLUIDOS VISCOSOS 62
Para reescalar, es decir que todo sea adimensional hacemos el siguiente cambio de
variable:
x′ = x
D
y′ = y
D
Sustituyendo en la ecuación inicial obtenemos:
(x′)2 + (y′)2 = 14
Notemos que x, y y D tenian unidades de distancia, y al hacer el cambio de variable
obtuvimos una ecuación donde x′ y y′ son adimensionales y estan igualadas a un número
que no tiene unidades. Esto mismo podemos hacerlo con otras expresiones diferentes,
como el gradiente y la derivada temporal, de hecho es lo siguiente que haremos.
V
′ = V
V
D = Vτ t′ = t
τ
Donde τ es el tiempo caracteristico.
Usando regla de la cadena y que dt′
dt
= 1
τ
= V
D
∂V
∂t
= V∂V
′
∂t′
dt′
dt
= V
2
D
∂V′
∂t′
Por tanto
∂V
∂t
= V
2
D
∂V′
∂t′
(3.20)
Ahora usando igual regla de la cadena y con el cambio de variable x′i = xi/D, entonces
dx′i
dxi
= 1
D
. Podemos escribir el gradiente como:
∇ ⇒ 1
D
∇′ (3.21)
Entonces con las Ec. 3.20 y 3.21 podemos reescribir la (Ec. 3.16) Ecuación de Navier-
Stokes de forma reescalada
∂V′
∂t′
+ V′ · ∇′V′ = − 1
ρV2
∇′P− 1
V2
∇′φ+ η
ρDV
(∇′)2V′
Apartir de ahora podemos presindir de los simbolos primados ya que ahora sabemos
que estamos haciendo:
∂V
∂t
+ V · ∇V = −∇P̃− 1
F2
∇φ+ 1
R
∇2V′
Donde P̃ = P
ρV2 Es la enerǵıa cinetica por unidad de Volumen y R es el número
de Reynolds Notemos que cuando R tiende a infinito se recupera Euler y cuando R
CAPÍTULO 3. FLUIDOS VISCOSOS 63
tiende a cero se recupera Stokes. Esta nueva ecuación depende del numero de Reynolds.
Lo interesante esque si se mantiene este número constante no importa que escala se
comportará igual el fluido.
Faltó reescalar φ porque no todos los potenciales son iguales, veamos que pasa con el
gravitatorio.
φ = gz = gz′D
⇒ ∇′φ′ = 1V2
gD
∇′z′
Donde F = V√
gD
. Para fluidos compresibles aparecerá el número Match VVs .
Usando el número de reynols nos damos cuenta que es el cociente de dos Fuerzas.
R = ρDV
η
= ρD
2V2
ηDV
= Fuerza incercialFuerza de viscosidad
Este reescalamiento es importante al momento de hacer modelos a escala de diferentes
sistemas, como las alas de un avión, un barco o un tren de vapor, ya que nos permiten
observar su comportamiento, o simularlos en diferentes entornos para poder estudiarlos.
Uno de los porblemas ahora es hacer un modelo a escala de la CDMX para poder observar
el comportamineto del mismo bajo los efectos de los sismos.
3.4. Clase 20
Alejandro Paloalto Landón, Alfredo Zinzu Mart́ınez
3.4.1. Ejemplos de la ecuación de Navier Stokes
Ejemplo 1
Consideremos un barco, con un radio de 300 metros, entonces, si queremos que un
barco escalado tenga el mismo flujo, es necesario que tenga el mismo numero de Reynols,
es decir:
Re = ρ ·D1 · v1
η
= ρ ·D2 · v2
η
(3.22)
Donde ρ es la densidad del medio, vi es la velocidad y Di es el radio del barco en
cuestión.
De donde, al despejar tenemos:
D1 · v1 = D2 · v2 =⇒ v2 =
(
D1
D2
)
· v1
De esta manera, si consideramos que el barco original es de 300 m y el escalado, solo
de 3 m, tenemos:
v2 =
(300
3
)
· v1 = (100) · (v1)
CAPÍTULO 3. FLUIDOS VISCOSOS 64
En un ejemplo mas particular, considerando que la velocidad del barco ”Titanic” era
de 20km
h
, entonces, el barco miniatura debe de ir a una velocidad de 2000km
hr
para tener
el mismo flujo; pero esto no es posible, de tal manera que tenemos que encontrar otra
manera de poder simular este barco con uno miniatura, para ello, primero analicemos la
magnitud del numero de Reynolds:
Re = ρ1 ·D2 · v1
η1
= (1× 10
3kg/m3) · (300m) · (10m/s)
1× 103poise = 3× 10
9
Lo cual es muy grande, aśı que, ¿Qué es lo que podemos hacer?, nuestra primera opción
es cambiar el fluido, para esto, consideremos: η/ρ = ν (viscosidad cinética) entonces,
igualando los números de Reynolds:
ρ1 ·D1 · v1
η1
= ρ2 ·D2 · v2
η2
=⇒ D1 · v1
ν1
= D2 · v2
ν2
De donde:
v2 =
(
ν1
ν2
)(
D1
D2
)
v1 =⇒ v2 = 100 ·
(
ν2
νagua
)
· v1
De esta manera, nos conviene hacer el cociente ν2/νagua << 1 es decir ν2 << νagua y
aunque ocupemos gasolina, el barco pequeño tendŕıa que ir a una velocidad de 400km/hr
(lo cual sigues siendo grande). Otra posibilidad es hacer un barco de 30 m, pero esto ya
sale demasiado caro. Podemos analizar el comportamiento de los fluidos de acuerdo a la
siguiente tabla:
Liquidos, Gases η (Poise) ν = η/ρ(Stokes)
Aire 1,9× 10−5 1,7× 10−5
Agua 1× 10−3 1× 10−6
Aceite 1× 10−1 3× 10−4
Miel 10 7× 10−5
Vidrio 1× 1040
Gasolina 4,6× 10−7
Mercurio 1× 10−7
Ademas, en las siguientes gráficas, podemos analizar el comportamiento del logaritmo
de η y ν con distintos gases o ĺıquidos, cuando varia la temperatura.
Ahora, analicemos el numero de Reynolds que tienen los coches y los aviones:
Re = D · v
ν
= (50m) · (300m/s)(2× 10−5m2/s) = 7× 10
8
Re = D · v
ν
= (10m) · (30m/s)(2× 10−5m2/s) ∼ 10
7
Ahora, consideremos lo siguiente:
R = Fuerzasinerciales
Fuerzasviscosas
= ρ · v
2 ·D2
η ·D · v
Recordemos que las unidades de enerǵıa están dadas por lo siguiente:
CAPÍTULO 3. FLUIDOS VISCOSOS 65
[Energia] = [Fuerza] [Distancia] =⇒ [Fuerza] = [Energia][Distancia] =
(
ρ · v2
2
)
(D3)
D
= ρD
2v2
2
De donde se define
CD =
FuerzaArrastreρv2D2
2

Analizando las unidades de la fuerza de viscosidad, obtenemos lo siguiente: [Fuerzasdeviscosidad] =
ηDV , aśı: fuerzas = ηDV f(R) de donde finalmente obtenemos el coeficiente de drag:
CD = CD(Re)
Considerando el numero de Reylnolds, y el coeficiente de Drag, podemos realizar una
gráfica de como se comportan los fluidos de acuerdo al numero de reynolds, esta grafica,
la ponemos a continuación:
Consideremos la ecuación de Navier Stokes:
∂v
∂t
+ v · ∇v = −∇P + 1
R
∇2v
De donde consideramos ∇ · v = 0, de esta manera, podemos llegar a la ecuación de
difusión:
∂
∂t
(∇× v) = 1
Re
∇2 (∇× v) =⇒ ∂
∂t
Ω = 1
Re
∇2Ω
Por otro lado, para un fluido incompresible (∇ · v = 0) obtenemos:
∂v
∂t
= −∇P + 1
Re
∇2v
Entonces:
∂
∂t
(∇ · v) = −∇2P + 1
Re
∇2 (∇ · v) =⇒ ∇2P = 0
De esto ultimo, notamos que la función P debe de ser armónica y solución a la ecuación
de Laplace de 3 dimensiones.
Ahora consideremos lo siguiente: ∂v
∂t
= −∇P + 1
Re
∇2v, ahora si la derivada temporal
es nula tenemos lo siguiente:
∇P = − 1
Re
∇2v
Ahora, si P = P0, tenemos que ∇P = 0, aśı, como
∂v
∂t
= 0 entonces tenemos que
1
Re
∇2v = 0 lo cual implica ∇2 = 0 y a su vez ∇ · v = 0
Finalmente, en el caso de Stokes, considerando v = ∇Φ =⇒ ∇2Φ = 0 =⇒ ∇2 (∇Φ) =
∇ (∇2Φ) = 0
CAPÍTULO 3. FLUIDOS VISCOSOS 66
3.5. Clase 21
Vı́ctor Knapp Pérez, Aldo Javier Gamboa Castillo