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Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 47
Los vectores en la física
Felipe A. Robledo Padilla, Mónica Menchaca Maciel, 
Rubén Morones Ibarra
Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas, UANL
frobledo@fcfm.uanl.mx, monica.menchaca@uanl.mx, 
rmorones@fcfm.uanl.mx,
RESUMEN
Las leyes de la física están expresadas en forma matemática; uno de los 
requisitos fundamentales de estas expresiones es que tengan la misma forma 
para todos los observadores inerciales. Este requisito, conocido como invarianza 
de forma o covarianza, se satisface cuando las ecuaciones se escriben en forma 
tensorial. Los vectores son tensores de primer orden y por lo tanto una ecuación 
escrita en forma vectorial satisface el requisito de invarianza de forma. Como 
una aplicación en este trabajo se muestra cómo el uso de cuadrivectores en el 
espacio-tiempo, conduce a una evidente manifestación de la unifi cación de los 
campos eléctrico y magnético, mostrándolos como aspectos diferentes de una 
entidad única: el campo electromagnético.
PALABRAS CLAVE
Vector, simetría, covarianza, invarianza de forma, tensor. 
ABSTRACT
Physical laws are written by using mathematical expressions; among the 
fundamental requirements for these expressions is that they have the same 
mathematical form for all inertial observers. This requirement, called form 
invariance or covariance, is fullfi lled when the equations are written in tensor 
form. Vectors are tensors of fi rst order, hence, a vector equation satisfi es the 
form invariance requirement. As an application, it is also shown how, by using 
four-vectors in the spacetime, the electric and magnetic fi elds appear as different 
aspects of the unique entity: the electromagnetic fi eld.
KEYWORDS
Vector, symmetry, covariance, form invariance, tensor.
INTRODUCCIÓN
Los vectores se introdujeron en la física como cantidades que se necesitan 
para representar ciertas variables físicas cuyas características no pueden ser 
expresadas mediante números reales, debido a que sus propiedades no se refl ejan 
en el álgebra de los números reales. Como un ejemplo sencillo tenemos el 
problema de ubicar la posición fi nal de un objeto que se desplaza en un plano 
una cierta distancia, digamos a 10 metros de un punto inicial. La posición fi nal 
no queda determinada debido a que el objeto puede estar en cualquier punto 
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Los vectores en la física / Felipe A. Robledo Padilla, et al.
alrededor de un círculo de 10 metros de radio con 
centro en el punto inicial. Para que la posición fi nal 
del objeto quede determinada necesitamos otra 
cantidad, aparte de la longitud del desplazamiento: 
la dirección. Estas dos magnitudes son necesarias 
para la determinación de la posición fi nal del objeto 
y muestran la necesidad del empleo de los vectores. 
Si en este ejemplo agregamos la información de 
que, después del primer desplazamiento el objeto se 
mueve, digamos 15 metros más en otra dirección y 
queremos determinar la posición fi nal, nos daremos 
cuenta de que requerimos para efectuar la suma, no 
la regla para sumar números reales sino la regla de 
suma de vectores. 
Muchas otras cantidades físicas derivadas de 
los segmentos dirigidos, como la velocidad y la 
aceleración se regirán por las reglas del álgebra 
vectorial. Cantidades físicas como la fuerza, el 
campo eléctrico, el magnético y muchas más caen 
en la categoría de los vectores. Sin embargo, el 
verdadero poder y la utilidad de los vectores no se 
circunscribe a su álgebra, la cual se requiere en el 
cálculo de cantidades físicas, sino en sus propiedades 
de transformación. 
Después de que Einstein estableciera en el 
primer postulado de la teoría de la relatividad 
especial que todas las leyes de la física tienen la 
misma forma matemática en todos los marcos 
de referencia inerciales, los vectores han jugado 
un papel fundamental en esta ciencia porque con 
ellos se puede garantizar el cumplimiento de este 
postulado.1 El concepto de vector como se usa en 
la física ya no está limitado a la idea de una fl echa, 
de una cantidad con magnitud y dirección, sino que 
es un objeto matemático con ciertas propiedades de 
transformación que permiten asociarlo con conceptos 
más profundos y fundamentales de la naturaleza.
El desarrollo moderno del concepto de vector y 
de la notación vectorial se debe al científi co británico 
Oliver Heaviside y al físico norteamericano John 
W. Gibbs. Maxwell había escrito las ecuaciones del 
electromagnetismo en forma de componentes, lo que 
las hacía aparecer con una enorme abundancia de 
símbolos. En su formulación original, las ecuaciones 
del electromagnetismo eran veinte, conteniendo 
veinte variables. Posteriormente Maxwell intentó 
una reformulación matemática de sus ecuaciones 
que tampoco resultó ser sencilla. Veinte años 
después de la formulación matemática original del 
electromagnetismo, Heaviside y Gibbs escribieron 
las ecuaciones en forma vectorial, obteniendo una 
simplifi cación notable. La elegancia y la belleza que 
adquirieron las ecuaciones de Maxwell fue tal que el 
físico alemán Ludwig Boltzmann, cuando terminó de 
leerlas exclamó: “¿fue un Dios quien escribió estos 
símbolos?”, en una franca alusión al placer que sintió 
el Fausto de Goethe cuando abre el libro donde se 
revelan los misterios del macrocosmos. 
La simplicidad y la belleza de estas cuatro 
ecuaciones de Maxwell, donde quedan sintetizados 
todos los fenómenos del electromagnetismo y de la 
luz, causaron gran admiración en el mundo científi co. 
Sin embargo, la utilidad de la notación vectorial no 
se reduce solamente a que proporciona una forma 
compacta de escribir expresiones matemáticas. 
Subyace en la estructura de los vectores un aspecto 
conceptual que los hace muy poderosos desde el 
punto de vista de su utilidad en la física. El poder 
y alcance de los vectores se puso de manifi esto a 
principios del siglo XX, con el desarrollo de las 
ideas de Einstein sobre la invarianza de las leyes 
de la física. 
Existen varios principios en la física cuya 
importancia no se destaca en los tratados 
elementales. Aquí nos referiremos solamente a dos 
de ellos: la homogeneidad y la isotropía del espacio. 
Homogeneidad del espacio signifi ca, en términos 
sencillos, que la descripción matemática de un sistema 
físico no debe depender del origen de coordenadas 
utilizado para la descripción. Similarmente, 
la isotropía significa que no hay direcciones 
privilegiadas en el espacio, o, equivalentemente, 
El científico británico Oliver Heaviside y el físico 
norteamericano John W. Gibbs desarrollaron el concepto 
de vector y de la notación vectorial.
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Los vectores en la física / Felipe A. Robledo Padilla, et al.
la orientación del sistema de coordenadas no debe 
refl ejarse en las ecuaciones que describen un sistema 
físico. Estos dos principios o postulados, implícitos 
en toda teoría física, exigen que las ecuaciones que 
describen el comportamiento físico del sistema, deban 
ser invariantes ante traslaciones y rotaciones de las 
coordenadas. Cuando las ecuaciones se expresan en 
forma vectorial el requisito de isotropía del espacio 
se satisface automáticamente, como se verá más 
adelante. En cuanto al requisito de homogeneidad 
del espacio, se satisface cuando los términos en las 
ecuaciones contienen derivadas respecto al tiempo 
o factores que dependen solo de la distancia entre 
dos puntos.
INVARIANZA DE LAS LEYES DE LA FÍSICA
Lo primero que se desea asegurar en la 
formulación de una teoría física es que las leyes que 
aparecen en la teoría sean las mismas para todos los 
observadores. Sin embargo, para establecer bien este 
principio, conocido como “Principio de Invariancia”, 
necesitamos especifi car de qué tipo de observadores 
estamos hablando. Nosotros nos concretaremos aquí 
a considerar los observadores inerciales, es decir, los 
observadores para los cuales tiene validez la primera 
leyde Newton, esto es, la ley de la inercia. Todas las 
demás teorías físicas, excepto la teoría general de la 
relatividad, son construidas en marcos de referencia 
inerciales, que es donde se ubican los observadores 
inerciales.2 En un marco de referencia no inercial 
tendríamos que incluir las fuerzas fi cticias, las cuales 
son fuerzas no atribuibles a sistemas físicos sino a la 
misma elección del marco de referencia.3
La herramienta matemática que permite garantizar 
la invarianza de forma de las leyes de la física es 
el análisis vectorial (en realidad la rama de las 
matemáticas que trata este tema en forma más 
general se conoce como análisis tensorial). Un 
vector se defi ne en términos de sus propiedades 
de transformación. El vector de posición es el 
prototipo de vector y lo usaremos para introducir 
este concepto.4
Primeramente, dada la hipótesis de la isotropía 
del espacio, debemos garantizar que las rotaciones 
no modifi can la forma de las ecuaciones de la física. 
Para esto introducimos la defi nición de vector a 
través de sus propiedades de transformación ante 
rotaciones de coordenadas.
ROTACIÓN DE COORDENADAS (COORDENADAS 
CARTESIANAS)
Consideremos un sistema de coordenadas con 
una base ortonormal5 { }îe ; tenemos entonces que 
ˆ ˆi j ije e δ=i , donde:
 
0
1ij
si i j
si i j
δ
≠⎧⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎩
 
es la delta de Kronecker.
Sean 1 2 3( , , )x x x las coordenadas de un punto 
en el marco de referencia original y ' ' '1 2 3( , , )x x x 
las coordenadas del mismo punto en un marco 
de referencia rotado. Las transformaciones de 
coordenadas que preservan la distancia, se conocen 
como transformaciones ortogonales, las cuales son 
casos particulares de transformaciones rígidas. Un 
punto en el espacio determina el vector de posición 
( )1 2 3, ,r x x x= . 
En este sistema de coordenadas este punto se 
puede representar o escribir como ˆi i
i
r x e= ∑ 
con ( )1̂ 1,0,0e = , ( )2ˆ 0,1,0e = y ( )3̂ 0,0,1e =
Por otra parte, en un marco de referencia rotado 
respecto al primero, ver diagrama, y con una base 
ortonormal { }'îe , este mismo punto se expresa como 
' 'ˆ' i i
i
r x e= ∑ .
Albert Einstein (1879-1955). Su trabajo impulsa la ciencia 
del siglo XX. Describe con éxito el efecto fotoeléctrico y 
explica el movimiento browniano con la naciente teoría 
cuántica. Desarrolla la Teoría de Relatividad.
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El punto no cambia, lo que cambian son las 
coordenadas de este punto expresadas en diferentes 
marcos de referencia, por lo tanto: 'r r=
ˆ ˆ' 'i i j j
i j
x e x e=∑ ∑ (1)
Multiplicamos escalarmente la ecuación (1) por 
la izquierda por ˆ 'ke , obtenemos,
ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' 'i k i j k j
i j
x e e x e e=∑ ∑i i
Es decir,
'i ki kj j
i j
x xδ λ=∑ ∑
Lo cual equivale a
'k kj j
j
x xλ= ∑
 (2)
donde ˆ ˆ( ) ( ' )kj k je eλ λ= = i es la matriz formada por 
los cosenos directores de los vectores coordenados 
unitarios del sistema primado, en el marco de 
referencia no primado. 
La condición que se impone sobre la rotación 
es que se preserve la norma del vector de posición, 
es decir, 'r r= o bien 2 2´r r= . El tipo de 
transformaciones que satisfacen esta condición como 
ya se mencionó se denominan “Transformaciones 
Ortogonales”.6
2 2 2 2' 'i i
i i
r x r x= = =∑ ∑ (3)
2
2
2
2
ij j i
i j i
ij j il l i
i j l i
ij il j l i
j i l i
x x
x x x
x x x
λ
λ λ
λ λ
=
=
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ ∑
∑∑ ∑ ∑
∑ ∑∑ ∑
2
ij il j l i
j l i i
x x xλ λ
⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎝ ⎠∑∑ ∑ ∑
Para que se satisfaga la ecuación (3) se debe 
cumplir que 
il ij jl
i
λ λ δ=∑ (4)
2
2
2 2
jl j l i
j l i
j j i
j i
j i
j i
x x x
x x x
x x
δ =
=
=
∑∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
La ecuación (4) se puede escribir como,
T
li ij jl
i
λ λ δ=∑ (5)
y la ecuación (5) se escribe en forma matricial 
como
Tλ λ = I (6)
La ecuación (6) es la condición que deben 
satisfacer las matrices de transformación para 
que dejen invariante la distancia entre dos puntos 
cualesquiera del espacio. Una matriz λ que 
satisface la ecuación (6) se dice que es una matriz 
ortogonal.
Por extensión, defi nimos un vector cartesiano 
A como un conjunto de tres componentes 
1, 2, 3( )A A A A= que se transforman ante una rotación 
de coordenadas descrita por la matriz ortogonal 
( )ijλ , en ' ' ' '1, 2, 3( )A A A A= de la misma manera que 
las coordenadas de un punto, es decir, mediante la 
relación.
'
i ij j
j
A Aλ= Σ
 (7)
donde 'iA y iA representan las componentes del 
vector A en el sistema rotado y en el original, 
respectivamente.
Con los resultados anteriores podemos probar que 
cualquier ecuación expresada en forma vectorial es 
invariante de forma ante rotaciones. 
Consideremos la ecuación vectorial expresada en 
el marco de referencia O, como
A B Cα β γ= + (8)
Donde ,A B y C son vectores, como lo indican 
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las fl echas sobrepuestas, y ,α β y γ son escalares 
(números) que no cambian en la transformación de 
coordenadas.
Usando la notación de componentes, en el marco 
de referencia rotado, O’, la forma de esta ecuación 
la podemos obtener multiplicando (8) por ( )ijλ y 
sumando sobre j , obtenemos,
ij j ij j ij j
j j j
A B Cα λ β λ γ λ= +∑ ∑ ∑
La cual, de acuerdo con la regla de transformación 
dada por (7), se puede escribir como, 
' ' 'i i iA B Cα β γ= + (9)
Como podemos ver, la forma matemática de las 
ecuaciones (8) y (9) es la misma, lo que signifi ca 
que cada observador, en su marco de referencia 
con diferente orientación, podrá usar la forma 
vectorial de las ecuaciones con la garantía de que 
son las mismas para los demás observadores. Este 
es el concepto de covarianza de las ecuaciones ante 
rotaciones de coordenadas. 
Un ejemplo de una ecuación que no fuera 
invariante de forma ante rotaciones, sería aquella en la 
que apareciera, por ejemplo, un término escalar y uno 
vectorial. Se puede probar que el producto “punto” 
entre dos vectores ( )1, 2, 3A A A A= y ( )1, 2, 3B B B B= , 
defi nido como 
3
1
i i
i
A B AB
=
= ∑i es un escalar, esto es, 
una cantidad que no cambia de forma ante rotaciones. 
Una ecuación como A B C D⋅ + = , donde D es un 
vector, no puede representar una ley de la naturaleza, 
ya que A B⋅ es un escalar mientras que C y D son 
vectores. En el momento de efectuar una rotación 
de coordenadas, la ecuación cambiaría de forma, 
ya que A B⋅ no cambia de forma, mientras que los 
vectores C y D se transformarán de acuerdo con 
la ecuación (7). 
Toda ecuación de la física debe escribirse en 
forma vectorial o de una manera tal que todos 
sus términos se trasforman de la misma manera, 
covariantemente. Esto garantiza la invarianza de 
forma o covarianza, de las ecuaciones. 
En particular, en el caso de la mecánica 
Newtoniana, la ley fundamental que describe el 
movimiento de una partícula de masa m sobre la que 
actúa una fuerza F , es la segunda ley de Newton, 
expresada matemáticamente como 
F ma=
Siendo la masa m un invariante absoluto. La 
invarianza de esta ecuación ante rotaciones queda 
garantizada por el resultado general, discutido 
anteriormente, para una ecuación vectorial. La forma 
matemática de la segunda ley de Newton también 
nos asegura que la homogeneidad del espacio 
se satisface, ya que la aceleración es la segunda 
derivada del vector de posición respecto al tiempo. 
En cuanto a la homogeneidad del tiempo, esta queda 
garantizada en la mecánica Newtoniana debido a la 
hipótesis de que el tiempo es absoluto, es decir, es 
el mismo para todos los observadores.
Respecto al electromagnetismo,cuya descripción 
se hace a través de las ecuaciones de Maxwell, la 
forma vectorial de estas ecuaciones nos garantiza su 
invarianza de forma ante rotaciones. Este es el aspecto 
esencial del uso de los vectores en la física.
Las transformaciones dadas por (7), garantizan 
el postulado de la isotropía del espacio. Sin 
embargo, existe otro tipo de transformaciones que 
involucran al tiempo y que conectan los marcos de 
referencia inerciales. En estos marcos de referencia 
las transformaciones de Galileo nos garantizan que 
las ecuaciones de la mecánica son las mismas para 
todos los observadores inerciales.7 En este caso, 
la forma vectorial de las ecuaciones es también de 
mucha utilidad.
Isacc Newton (1642-1727). Desarrolló el cálculo 
diferencial e integral y formuló las leyes de la mecánica 
y de la gravitación. Su principal obra, Philosophiae 
naturales principia mathematica, establece las bases 
donde se apoya la ciencia actual.
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Sin embargo, con el electromagnetismo ocurre 
algo diferente a lo que sucede con la mecánica; 
el electromagnetismo no es invariante ante 
transformaciones de Galileo. Para satisfacer el 
requisito de que todas las leyes de la física sean las 
mismas para todos los observadores inerciales, se 
requirió modifi car la mecánica y la introducción de 
un nuevo tipo de transformación para relacionar las 
observaciones entre diferentes marcos de referencia 
inerciales. Las nuevas transformaciones se conocen 
como “Transformaciones de Lorentz”. 
La mecánica relativista es construida a partir 
de cuadrivectores, llamados vectores de Lorentz, 
los cuales son defi nidos bajo el requisito de que 
la velocidad de la luz en el vacío permanezca 
constante y que las ecuaciones de transformación, 
las transformaciones de Lorentz, dejen invariante 
la longitud del intervalo ds, defi nido en un nuevo 
espacio de cuatro dimensiones, el espacio-tiempo o 
espacio de Minkowski. El elemento de longitud en 
el espacio de Minkowski se defi ne como:8
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22ds dx dy dz cdt= + + − (10)
Las transformaciones de Lorentz pueden ser 
interpretadas como rotaciones en el espacio-tiempo 
de Minkowski. 
Con las leyes de la física, expresadas en 
forma vectorial o tensorial, como tensores de 
Lorentz, garantizamos que estas son invariantes 
de forma cuando hacemos la transformación entre 
observadores inerciales, lo cual satisface el primer 
postulado de la Teoría Especial de la Relatividad.
LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ COMO 
ROTACIONES EN EL ESPACIO-TIEMPO
En la relatividad especial, el tiempo y el espacio 
pertenecen a la misma categoría de objetos, juegan 
papeles equivalentes. Por esta razón debemos ampliar 
el espacio matemático en el que elaboramos las leyes 
de la física a un espacio de cuatro dimensiones.
La idea de un espacio matemático abstracto, el 
espacio-tiempo, no es de Einstein, sino del físico-
matemático alemán H. Minkowski quien introdujo 
en 1908 la manera de medir distancias en este 
espacio, mediante la generalización de la métrica 
euclidiana, al introducir una coordenada temporal 
imaginaria: ictx =4 . Un punto en el espacio-
tiempo se representa mediante las coordenadas 
1 2 3 4( , , , )x x x x . La cuarta componente en el espacio 
de Minkowski es ict , donde la unidad imaginaria i 
se introduce como factor para obtener la métrica de 
Minkowski dada en la ecuación (10) la cual garantiza 
la invarianza de la velocidad de la luz en el vacío 
ante las transformaciones de coordenadas. El factor 
c , que es la velocidad de la luz, proporciona a la 
componente 4x las dimensiones de longitud, en 
concordancia con las dimensiones de longitud de 
las otras tres componentes.
De acuerdo con Minkowski, no solo el tiempo 
y el espacio deben considerarse como diferentes 
componentes del espacio cuadridimensional que él 
propone, también el trimomentum p y la cantidad Ec , 
donde E es la energía y c la velocidad de la luz, 
forman un cuadrivector en este espacio abstracto. La 
generalización de estas ideas a otras cantidades físicas 
es también posible. Con esta construcción se logra 
la formulación covariante de la mecánica relativista 
y también del electromagnetismo. Toda teoría física 
Galileo Galilei (1564-1642). Astrónomo y matemático que 
estudió la caída de los cuerpos, el movimiento relativo 
sentando las bases para el desarrollo de la mecánica. 
Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928). Su contribución a 
la física fue fundamental para el desarrollo de la Teoría 
de la Relatividad. 
Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 53
Los vectores en la física / Felipe A. Robledo Padilla, et al.
o modelo nuevo que pretenda ser consistente con la 
teoría de la relatividad es formulada en este espacio 
cuadridimensional.
La generalización de la defi nición de la distancia 
en el espacio cuadridimensional se realiza en forma 
natural, simplemente defi niendo la distancia s del 
punto 1 2 3 4( , , , )x x x x al origen (0, 0, 0, 0) como 
4
2 2
1 ii
s x
=
= Σ (11)
Tenemos entonces que el elemento de longitud 
ds entre dos puntos 1 2 3 4( , , , )x x x x y ' ' ' '1 2 3 4( , , , )x x x x , 
muy próximos entre sí, está dada por 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 3 4ds dx dx dx dx= + + +
lo cual corresponde, en una notación ligeramente 
diferente, a la ecuación (10). Con esta notación, la 
extensión de las ideas ya establecidas sobre rotaciones 
de coordenadas en el espacio tridimensional a 
rotaciones en el espacio-tiempo se obtienen de 
la misma manera que en las ecuaciones (1)-(4). 
Las transformaciones de Lorentz que son las 
transformaciones que dejan invariantes las ecuaciones 
relativistas, resultan ser rotaciones en el espacio-
tiempo. Estas rotaciones en cuatro dimensiones 
se pueden separar en traslaciones con velocidad 
constante en las tres direcciones de los ejes espaciales 
más las rotaciones en el espacio, del tipo que ya 
hemos mencionado en otra sección de este artículo.
Un caso particular de transformaciones de 
Lorentz está dado por las transformaciones que 
conectan las mediciones de dos observadores en 
marcos de referencia inerciales O y O’, donde O’ se 
mueve con velocidad constante v en la dirección 
x+ respecto al marco de referencia O.9
En este caso particular las transformaciones de 
Lorentz toman la siguiente forma:
x'= γ(x − vt)
y'= y
z'= z (12)
t'= γ t − v
c 2
x
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
 
donde 
2
21 .vcγ = −
 
Usaremos estas transformaciones para describir, en 
el siguiente punto, la relación entre las observaciones 
de un fenómeno electromagnético hechas por dos 
observadores inerciales.
LA UNIFICACIÓN DE LA ELECTRICIDAD Y EL 
MAGNETISMO
Aún cuando las ecuaciones de Maxwell muestran la 
unidad de los campos eléctrico y magnético, el estudio 
de estos fenómenos en el espacio tridimensional no 
muestra el aspecto fundamental de la unifi cación, 
la cual sólo se observa cuando analizamos los 
fenómenos en el espacio-tiempo. En este espacio 
de cuatro dimensiones se manifiesta de manera 
clara la estructura de la teoría electromagnética, 
poniendo en evidencia que la electricidad y el 
magnetismo son sólo aspectos diferentes de los 
fenómenos producidos por las cargas eléctricas y que 
el hecho de que se manifi este uno, el otro o los dos, 
depende solamente del observador. Estudiando los 
fenómenos en el espacio-tiempo se logra observar 
también que el magnetismo es de hecho un efecto 
relativista. Esto signifi ca que el magnetismo puede 
obtenerse como resultado de exigir que se cumpla 
el segundo postulado de la relatividad especial, es 
decir, la invariancia de las leyes de la física ante 
transformaciones de Lorentz.
Consideremos dos marcos de referencia inerciales, 
moviéndose el sistema primado en la dirección x+ 
con velocidad v . Consideremos ahora la ecuación 
de Maxwell10
∇ × E = − 1
c
∂B
∂t
Consideremos lacomponente en y de esta 
ecuación:
∇ × E( )y =
∂Ex
∂z
− ∂Ez
∂x
= − 1
c
∂By
∂t
 (13)
Apliquemos ahora la transformación de Lorentz 
dadas por las ecuaciones (12)
James Clerk Maxwell (1831-1879). Desarrolló las 
ecuaciones que describen los fenómenos eléctricos y 
magnéticos sintetizando los trabajos de Ampere y Faraday 
en la teoría electromagnética.
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Los vectores en la física / Felipe A. Robledo Padilla, et al.
∂Ex
∂z
= ∂Ex
∂x '
∂x '
∂z
+ ∂Ex
∂y '
∂y '
∂z
+ ∂Ex
∂z'
∂z'
∂z
+ ∂Ex
∂t '
∂t '
∂z
(0) (0) (1) (0)
' ' ' ' '
x x x x xE E E E E
x y z t z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + =
por lo tanto 
∂Ex
∂z
= ∂Ex
∂z' (14)
Obtengamos ahora ∂Ez
∂x
∂Ez
∂x
= ∂Ez
∂x '
∂x '
∂x
+ ∂Ez
∂y '
∂y '
∂x
+ ∂Ez
∂z'
∂z'
∂x
+ ∂Ez
∂t '
∂t'
∂x
2( ) (0) (0) ( )' ' ' '
z z z zE E E E v
x y z t c
∂ ∂ ∂ ∂
γ γ
∂ ∂ ∂ ∂
= + + + −
por lo tanto ∂Ez
∂x
= γ ∂Ez
∂x '
− v
c 2
∂Ez
∂t'
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ (15)
Por otra parte, 
∂By
∂t
=
∂By
∂t '
∂t '
∂t
+
∂By
∂x '
∂x '
∂t
+
∂By
∂y '
∂y '
∂t
+
∂By
∂z'
∂z'
∂t
Nuevamente, de las trasformaciones de Lorentz 
dadas por (12)
∂By
∂t
=
∂By
∂t '
γ +
∂By
∂x'
(−vγ)
es decir
∂By
∂t
= γ
∂By
∂t '
− v
∂By
∂x'
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ (16)
Sustituyendo las ecuaciones (14), (15) y (16) en 
la ecuación (13), obtenemos
∂Ex
∂z'
− γ ∂Ez
∂x '
− v
c 2
∂Ez
∂t'
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ = −
1
c
γ
∂By
∂t '
− v
∂By
∂x'
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
Agrupando términos, obtenemos:
∂Ex
∂z'
− γ ∂Ez
∂x '
− v
c
γ
∂By
∂x'
= − 1
c
γ
∂By
∂t'
− v
c 2
γ ∂Ez
∂t '
( ) ( )1' ' 'x z y y z
E v v
E B B E
z x c c t c
∂ ∂ ∂
γ γ
∂ ∂ ∂
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + = − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
(17)
Puesto que esta ecuación fue obtenida 
transformando solamente las coordenadas espacio 
temporales y no los campos, podemos encontrar 
cómo deben transformarse éstos para que se cumpla 
la invarianza de forma de la ecuación (13) frente a 
las transformaciones de Lorentez dadas por (12). 
El requisito es que la ecuación (13) debe tener la 
forma que se indica en la ecuación (18) en el marco 
de referencia transformado, 
∂Ex'
∂z'
− ∂Ez'
∂x'
= − 1
c
∂By '
∂t '
 (18)
Comparando las ecuaciones (17) y (18), obtenemos 
que para que se satisfaga la invarianza de forma, 
deberemos identifi car los términos correspondientes, 
con lo cual se obtiene que:
Ez' = γ Ez +
v
c
By
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
Ex' = Ex
By' = γ By +
v
c
Ez
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
continuando con un tratamiento semejante para 
los demás términos, y haciendo lo propio para las 
demás ecuaciones de Maxwell, obtenemos que la 
transformación de los campos está dada por las 
siguientes expresiones:
Ey' = γ Ey −
v
c
Bz
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
Ez' = γ Ez +
v
c
By
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
Ex' = Ex
Bx' = Bx (19)
By' = γ By +
v
c
Ez
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
 
Bz' = γ Bz −
v
c
Ez
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
Debido a que hemos tomado el movimiento 
relativo del marco de referencia en la dirección +x, 
observamos lo siguiente: 
=E' E y =B' B
E'⊥ = γ E⊥ +
v × B
c
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ ;B'⊥ = γ B⊥ −
v × E
c
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
En esta notación E y B , indican las componentes 
paralelas al eje x de los campos eléctrico y 
magnético, respectivamente. Similarmente ⊥E y 
B⊥ indican las componentes perpendiculares a la 
dirección x .
Una vez que hemos obtenido las ecuaciones de 
transformación entre los campos podemos plantear 
el siguiente problema. Consideremos una carga 
eléctrica en reposo en el marco O. Esto signifi ca que 
sólo tendremos la presencia de un campo eléctrico 
observado por O. Consideremos ahora un observador 
en O’ que se mueve con velocidad v en la dirección 
+x. De acuerdo con las reglas de transformación 
de los campos, encontramos que el observador O’ 
también detecta la existencia de un campo magnético. 
Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 55
Las componentes de este campo se obtienen de las 
ecuaciones (19); Con ( , , )x y zE E E E= y 0B = en 
el marco de referencia O, obtenemos que 
'y yE Eγ=
'z zE Eγ=
Ex' = Ex
' 0x xB B= =
( )'y zvB Ecγ=
( )'z zvB Ecγ= −
Este resultado muestra que la presencia del 
campo magnético en el marco de referencia O’ es 
consecuencia de la invarianza relativista.11 Fenómenos 
que son de naturaleza puramente eléctrica solo lo son 
en un marco de referencia particular; en general 
el fenómeno es electromagnético. Los campos 
eléctricos y magnéticos no son independientes, 
por el contrario, están ligados estrechamente y la 
relación entre ellos depende del marco de referencia 
seleccionado.12
La consistencia entre este desarrollo teórico y lo 
observado experimentalmente, muestra la utilidad de 
los conceptos de invarianza y de los vectores como 
el instrumento matemático para implementarla.
COMENTARIO FINAL
En el desarrollo de este trabajo se ha puesto 
de manifiesto que el uso de vectores, definidos 
como objetos matemáticos que satisfacen ciertas 
propiedades de transformación, nos garantiza que la 
forma matemática de las ecuaciones que representan 
leyes de la naturaleza, no cambiará durante las 
transformaciones. El signifi cado físico atribuido a una 
transformación es que ésta es equivalente a cambiar 
de observador. Que la ecuación sea invariante 
de forma significará que ambos observadores 
llegan a las mismas conclusiones físicas sobre el 
comportamiento del sistema observado.
Para elaborar un modelo matemático que 
represente una ley de la naturaleza, se debe recurrir 
a una estructura matemática que garantice el 
cumplimiento de ciertas simetrías que suponemos 
válidas para el espacio y el tiempo. Entre las 
simetrías fundamentales están las de homogeneidad 
del tiempo y la homogeneidad e isotropía del espacio. 
La estructura matemática que garantiza esto es el 
análisis tensorial, donde los vectores son casos 
particulares de los tensores. Cuando escribimos 
una ley de la naturaleza en forma matemática, todos 
los términos de la expresión deben ser de la misma 
naturaleza tensorial, lo cual garantiza la invarianza 
de la ecuación ante las transformaciones que exige la 
simetría. Este hecho nos libera de la preocupación de 
que otros observadores obtengan formas matemáticas 
diferentes para las leyes de la física. Cuando 
escribimos una ecuación en forma vectorial, estamos 
seguros que su forma matemática no cambiará 
cuando realizamos ciertas transformaciones en las 
coordenadas. Estas transformaciones son las que 
nosotros, de antemano, hemos impuesto guiados por 
la simetrías que suponemos deben satisfacerse en la 
naturaleza. Así mismo, la aplicación del concepto 
de vector en el espacio-tiempo nos permite lograr 
una comprensión más profunda de los fenómenos 
electromagnéticos.
REFERENCIAS
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1976.
2. W. S. C. Williams, Introducing Special Relativity, 
Ed. Taylor and Francis, 2002.
3. Wolfang Rindler, Introduction to Special 
Relativity, Clarendon Press, 1982.
4. Wrede, R. C. Introduction to vector and tensor 
analysis, John Wiley and Sons, 1963.
5. Butkov, E. Mathematical Physics, Addison-
Wesley, 1980. 
6. Lebedev, L. P. and Cloud, M. J., Tensor Analysis, 
World Scientifi c, 2003.
7. Morones, J. R., Ingenierías Julio-Sept. 2006, Vol. 
9. No. 32, P. 25.
8. Mohammad Saleem and Muhammad Rafi que, 
Special Relativity, Ed. Ellis Horwood, 1992.
9. W. S. C. Williams, Introducing Special Relativity, 
Ed. Taylor and Francis, 2002.
10. Eyges, L., The Classical Electromagnetic Field, 
Dover, 1980.
11. Ohanian, H. C., Classical Electrodynamics, Allyn 
and Bacon, Inc., 1988.
12. Barut, A. O., Electrodynamics and Classical 
Theory of Fields and Particles, Dover, 1980.
Los vectores en la física / Felipe A. Robledo Padilla, et al.
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