3-practico-funcion-lineal-afin-e-inversa

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“…más que una buena educación “ 
Colegio Técnico Profesional “Los Acacios”. 
 
Instrucciones: Trabajo teórico-práctico desarrollado paso a paso en clases, con ejemplos y técnicas para 
responder preguntas de selección múltiple. 
 
Objetivos del Práctico N3: En esta guía trabajarás situaciones contextualizadas que te permitan comprender el 
concepto de función lineal y función afín, así como sus diversas representaciones gráficas. Además, analizaremos 
el comportamiento de sus respectivas funciones inversas. 
 
 
FUNCIÓN LINEAL Y FUNCIÓN AFÍN 
 
Una función f es una relación entre un conjunto de partida A y un conjunto de llegada B, de modo que cada 
elemento x del primer conjunto tiene una única imagen f(x) en el segundo conjunto. 
Su notación es: 
 f : A → B 
 x → f(x) 
 
 
 
; de donde: x: preimagen de f. 
 f(x): imagen de f evaluada en x. 
 Dom (f): conjunto de todas las preimágenes de f, es decir, corresponde al 
 conjunto de partida A. 
 Cod (f): corresponde al conjunto de llegada B. 
 Rec (f): conjunto de todas las imágenes de f. Es un subconjunto del Cod(f). 
 
 
En un gráfico sagital, una relación es función si 
de todos los elementos del primer conjunto, sale 
una sola flecha. 
 
Es función: 
 
No es función: 
 
 
En un gráfico cartesiano una relación es función 
si al trazar cualquier recta vertical, ésta corta en 
un solo punto al gráfico de la relación. 
Es función: No es función: 
 
La función f, definida por la ecuación de primer grado y = mx, donde m es una constante distinta de 0, se llama 
función lineal, en donde y corresponde al valor de la función evaluada en x, es decir f(x). Así, su notación es: 
 f : A → B 
 x→f(x) = mx 
 
Gráficamente, una función lineal se representa por una recta que pasa por el origen, y dependerá del valor de m 
si esta recta es creciente o decreciente. 
 
Ejemplo 1: Solución: 
 
Analizar la función f, 
definida de IR en IR, tal 
que 𝑓(𝑥) = 3𝑥 
Observemos que si nos damos algunos valores para x, podemos evaluarlos en la 
función y obtener sus respectivas imágenes f(x), es decir: 
 x f(x) = 3x → ( x , f(x) ) 
 Para x = 0 → 0 f(0) = 3∙0 = 0 → ( 0 , 0 ) 
 Para x = 1 → 1 f(1) = 3∙1 = 3 → ( 1, 3 ) 
Ahora, graficamos y unimos en el plano cartesiano los puntos obtenidos: 
 
 
Observemos que la gráfica representa una recta 
creciente (de izquierda a derecha) que pasa por el 
origen. 
Sin haber efectuado el análisis anterior, podemos 
reconocer rápidamente esta situación, observando 
el valor de la pendiente “m”, representada por el 
coeficiente que acompaña a x, en este caso, 
𝑓(𝑥) = 𝟑𝑥 
 ↓ 
 Pendiente “m” positiva 
 ↓ 
 Recta creciente 
 
 
CORPORACIÓN EDUCACIONAL MASÓNICA DE CONCEPCIÓN 
COLEGIO TÉCNICO PROFESIONAL “LOS ACACIOS” 
 
TALLER PRUEBA DE TRANSICION MATEMÁTICA 
 
PRÁCTICO N 3: FUNCIÓN LINEAL, FUNCIÓN AFÍN Y 
FUNCIÓN INVERSA 
 
 Nivel: NM4 Curso: Cuarto Medio 
Fecha 
Semana 
del 7 al 10 de 
septiembre 
 
Puntaje 
 
NOMBRE: 
2 
“…más que una buena educación “ 
Colegio Técnico Profesional “Los Acacios”. 
 
Ejemplo 2: Solución: 
 
Graficar la función f, cuyo 
dominio son todos los 
números reales, tal que 
 𝑓(𝑥) = − 2𝑥 
Para graficar la función, debemos darnos valores para x, y así obtener sus 
respectivas imágenes, es decir: 
 x f(x) = – 2 x → ( x , f(x) ) 
 Para x = 0 → 0 f(0) = – 2∙0 = 0 → ( 0 , 0 ) 
 Para x = 1 → 1 f(1) = – 2∙1 = – 2 → ( 1 , – 2 ) 
Ahora, ubicamos y unimos los puntos obtenidos en el plano cartesiano : 
 
 
 
Observemos que la gráfica representa una recta 
decreciente (de izquierda a derecha) que pasa por 
el origen. 
Sin haber efectuado el análisis anterior, podemos 
reconocer rápidamente esta situación, observando 
el valor de la pendiente “m”, representada por el 
coeficiente que acompaña a x, en este caso, 
𝑓(𝑥) = − 𝟐𝑥 
 ↓ 
 Pendiente “m” negativa 
 ↓ 
 Recta decreciente 
 
 
 
 
 
 
La función f, definida por la ecuación de primer grado y = mx + n, donde m, n son constantes distintas de 0, se 
llama función afin, en donde y corresponde al valor de la función evaluada en x, es decir f(x). Así, su notación 
es: 
 f : A → B , m: pendiente 
 x→f(x) = mx + n , n: coeficiente de posición 
 
Gráficamente, una función afín se representa por una recta que NO pasa por el origen. El valor de m indica la 
pendiente de la recta, creciente si es positivo o decreciente si es negativo, y el valor de n indica el punto de 
intersección de la recta con el eje Y en (0 , n). 
 
Ejemplo 3: Solución: 
 
Estudie el comportamiento 
gráfico de la función f, 
definida de IR en IR, tal 
que: 
𝑓(𝑥) = 
3
2
𝑥 − 3 
Para graficar la función en el plano cartesiano, es necesario encontrar puntos que 
pertenezcan a ella, por lo mismo, nos daremos algunos valores de x para obtener 
sus respectivas imágenes, es decir: 
 
x 𝒇(𝒙) = 
𝟑
𝟐
𝒙 − 𝟑 → ( x , f(x) ) 
 Para x = 0 → 0 𝑓(0) = 
3
2
∙ 0 − 3 = 0 − 3 = −3 → ( 0, – 3 ) 
 Para x = 2 → 2 𝑓(2) = 
3
2
∙ 2 − 3 = 3 − 3 = 0 → ( 2 , 0 ) 
Ahora, ubicamos y unimos en el plano cartesiano los puntos obtenidos: 
 
 
Observemos que la gráfica representa una recta 
creciente (de izquierda a derecha) y que corta al eje 
Y en el punto (0, – 3). 
Sin haber efectuado el procedimiento anterior, 
podemos reconocer rápidamente esta situación, 
observando el valor de la pendiente “m” y el 
coeficiente de posición “n”, en este caso, 
𝑓(𝑥) = 
3
2
 𝑥 − 3 
 
 Pendiente: 
3
2
 Coef. Posición: – 3 
 ↓ ↓ 
 Recta creciente Corte con eje Y: (0, – 3) 
 
 
 
 
 
Ejemplo 4: Solución: 
 
Identificar el tipo de recta 
que representa el gráfico de 
la función f, definida de IR 
en IR, tal que: 
𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 2 
 
Analicemos la pendiente y el coeficiente de posición definidos para la función f: 
 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 2 
 Pendiente negativa Coef. Posición 
 ↓ ↓ 
Recta decreciente Corte con eje Y: ( 0, 2 ) 
 
 
Por lo tanto, el gráfico de la función es una recta 
decreciente, que corta al eje Y en el punto (0, 2) 
 
 
3 
“…más que una buena educación “ 
Colegio Técnico Profesional “Los Acacios”. 
 
En resumen, la gráfica de una función lineal así como la de una función afín corresponde a una recta, y su 
comportamiento dependerá de la pendiente y el coeficiente de posición: 
 
 Pendiente 
 m > 0 m < 0 m = 0 
Coeficiente 
de 
posición 
n > 0 
 
 
Función 
Afín 
 
 
 
 
 
Función 
Afín 
 
 
 
 
Recta horizontal 
sobre el eje X 
n < 0 
 
 
Función 
 Afín 
 
 
 
Función 
Afín 
 
 
 
Recta horizontal bajo 
el eje X 
n = 0 
 
 
Función 
lineal 
 
 
Función 
lineal 
 
 
 
Recta horizontal 
coincidente con el eje 
X 
 
 
FUNCIÓN INVERSA 
 
Algunas funciones f tienen una función asociada que se denota por f 
– 1 
(x), 
llamada función inversa. La característica de esta función es que va desde el 
conjunto de las imágenes hacia el conjunto de las preimágenes, es decir, desde 
el Rec(f) hacia el Dom(f): 
 Si f : A → B , entonces f – 1 : B → A 
 x → f(x) x → f – 1 (x) …. Que en simple es “ f(x) → x” 
 
Para que una función f tenga inversa, ésta debe cumplir con ser biyectiva; es 
decir, inyectiva y sobreyectiva a la vez. 
 
 
 
FUNCIÓN INYECTIVA (“uno a uno”) 
 
Una función f es inyectiva si y sólo si a cada elemento del recorrido 
(imágenes) se le asocia un único elemento del dominio (preimágenes). 
Dicho de otra manera, si f(a) = f(b) , entonces a = b. 
 
En el plano cartesiano, una función es inyectiva si al trazar rectas 
horizontales, éstas intersectan en un solo puntoa la gráfica de la 
función. 
 
f inyectiva 
 
 
 
 
 
 
f no inyectiva 
FUNCIÓN SOBREYECTIVA ( “Rec(f) = Cod(f)” ) 
 
Una función es sobreyectiva cuando cada elemento del codominio 
tiene al menos una preimagen. 
Dicho de otra manera, si todos los elementos del recorrido coinciden 
con todos los elementos del codominio, es decir Rec(f) = Cod(f). 
 
En el plano cartesiano, una función es sobreyectiva si su gráfica se 
extiende a través de todo el eje Y. 
 
f sobreyectiva 
 
 
 
 
 
 
 
f no sobreyectiva 
 
 
FUNCIÓN BIYECTIVA 
 
Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. 
Solamente las funciones biyectivas tienen inversa. 
f biyectiva 
 
 
 
 
 
 
 
f no biyectiva 
 
 
 
f 
 f -1 
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“…más que una buena educación “ 
Colegio Técnico Profesional “Los Acacios”. 
En el caso de la funciones lineales y afines, si están definidas de IR en IR, entonces son funciones biyectivas y 
tienen inversa. 
 
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA 
 
Si una función se grafica en el plano cartesiano utilizando puntos de la forma (x, f(x)), entonces la función inversa 
se graficará de la forma (f(x), x). 
Es decir, el gráfico de la función inversa queda simétrico a la función original con respecto a la recta y = x (función 
identidad). 
 
Ejemplo: 
La función afín f, definida de IR en IR, tal que f(x) = 2x – 1 es biyectiva, ya que cumple con ser inyectiva y 
sobreyectiva a la vez, es decir: 
Inyectividad: 
 f(a) = f(b) → 2a – 1 = 2b – 1 / +1 
 → 2a – 1 + 1 = 2b – 1 + 1 
 → 2a = 2b / : 2 
 → 
2𝑎
2
= 
2𝑏
2
 
 → a = b. 
 
Como se cumple la condición, entonces f es inyectiva. 
Sobreyectividad: 
 f(x) = 2x – 1 
 ↓ 
 y = 2x – 1 / +1 
 y + 1 = 2x – 1 + 1 
 y + 1 = 2x / : 2 
 
𝑦+1
2
=
2𝑥
2
 
 
𝑦+1
2
= 𝑥 
Al no existir restricciones para los valores de y, 
entonces Rec(f) = IR. 
Además, Cod(f) = IR. 
Por lo tanto, f es sobreyectiva. 
 
 
Al ser biyectiva, la función f tiene inversa y se denota por 
f 
– 1 
 . 
Para definir la inversa, debemos despejar “x” de la 
expresión original y luego hacer el cambio de variables, 
es decir: f(x) = 2x – 1 
 ↓ 
 y = 2x – 1 / +1 
 y + 1 = 2x – 1 + 1 
 y + 1 = 2x / : 2 
 
𝑦+1
2
=
2𝑥
2
 
 
𝑦+1
2
= 𝑥 
 ↓ cambio de variables 
 
𝑥+1
2
= 𝑦 
 
𝑥+1
2
= 𝑓−1(𝑥) función inversa 
 
Para ver el comportamiento gráfico de estas funciones, 
asignaremos algunos valores para x y así obtener sus 
imágenes: 
 
 
 
 
 
 Para f Para f 
– 1
 
x f(x) = 2x – 1 → (x , f(x)) → (f(x), x) 
0 f(0) = 2∙0 – 1 = – 1 → (0, – 1) → (– 1, 0) 
3 f(3) = 2∙3 – 1 = 5 → (3, 5) → (5, 3) 
 
 
 
MINI ENSAYO 
 
 
1. De los siguientes diagramas, ¿cuál(es) muestra(n) una función sobreyectiva de A en B? 
 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo III 
D) I y II 
E) II y III 
 
 
 
 
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“…más que una buena educación “ 
Colegio Técnico Profesional “Los Acacios”. 
 
2. Si 𝑓(𝑥) =
2𝑥+1
3
 está definida de IR en IR, entonces 𝑓−1(−1) es: 
A) −
1
3
 
B) – 2 
C) −
3
2
 
D) 0 
E) 1 
 
3. Si 𝑓(𝑥 + 2) = 3𝑥 − 1, entonces 𝑓−1(3𝑥 − 1) = 
A) x + 2 
B) x – 2 
C) 2x + 1 
D) 2x – 1 
E) 3x + 1 
 
4. Sea y = f(x) = 5x: 
 I. Si x aumenta en 2 unidades, y aumenta en 2 unidades 
 II. Si y = 0, entonces x = 0 
 III. La gráfica de y = f(x) pasa por el origen 
A) Sólo I 
B) Sólo III 
C) I y II 
D) II y III 
 
5. Para aumentar la masa de un perrito desnutrido, se le alimenta con “Perrisure” durante 10 semanas. 
Si las expectativas de masa en kg según el tiempo t en semanas, medido a partir del inicio del 
tratamiento, es P = 12 + 0,8 t. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? 
 I. En tres semanas el perrito debe aumentar 2,4 kg 
 II. Al iniciar el tratamiento, P = 12 kg. 
 III. Al terminar el tratamiento, se espera que P = 20 kg. 
A) Sólo II 
B) Sólo III 
C) I y III 
D) II y III 
E) I, II y III 
 
6. Dada la función afín f(x) = mx + n, se sabe que f(-2) = 0 y que f(0) = 4, entonces, ¿cuál es el valor 
de f(1)? 
A) 6 
B) 4 
C) 2 
D) – 2 
E) Ninguna de las anteriores 
 
7. En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) 
verdadera(s)? 
 I. La pendiente de la recta es igual a 5 
 II. El punto (1, 15) pertenece a la recta 
 III. La función representada por la gráfica está definida 
 por f(x) = 5x – 10 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo III 
D) I y II 
E) I y III 
 
 
 
 
 
 
 
El éxito no es un accidente Es un trabajo duro, perseverancia, aprendizaje, estudio, 
sacrificio y, sobre todo, amor por lo que estás haciendo o aprendiendo a hacer. 
 
Elaboró Daniela Valdebenito Espinoza 
 
Revisó y 
Autorizó 
 
Srta. Valeria Zagal Riffo 
 
 
Jefa de UTP