funcioneslogicas

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Funciones LógicasFunciones Lógicas
Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 1120092009--20102010
•• Algebra de Boole:Algebra de Boole:•• Algebra de Boole:Algebra de Boole:
–– Desarrollada en 1947 por George Boole y se Desarrollada en 1947 por George Boole y se 
usa para resolver problemas lógicousa para resolver problemas lógico resolutivosresolutivos
Suma
usa para resolver problemas lógicousa para resolver problemas lógico--resolutivos. resolutivos. 
Son las matemáticas de los sistemas digitales.Son las matemáticas de los sistemas digitales.
–– Definiciones:Definiciones:
Resta
Multiplica.
División
Al B l
Definiciones:Definiciones:
•• Variable lógica: Variable lógica: Aquella variable que toma sólo Aquella variable que toma sólo 
valores del conjunto B={0,1}valores del conjunto B={0,1}
Alg. Boole
Tbla Verdad
Circuitos 
Karnaugh
•• Complemento:Complemento: El inverso de una variableEl inverso de una variable
•• Función lógica:Función lógica: Dadas n variables lógicas, se dice Dadas n variables lógicas, se dice 
que F es una función logica si el resultado deque F es una función logica si el resultado deKarnaugh que F es una función logica si el resultado de que F es una función logica si el resultado de 
evaluar la función está en el conjunto B={0,1}evaluar la función está en el conjunto B={0,1}
20092009--20102010 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 22
•• Teoremas y Propiedades:Teoremas y Propiedades:•• Teoremas y Propiedades:Teoremas y Propiedades:
Suma
Resta
Multiplica.
División
Al B lAlg. Boole
Tbla Verdad
Circuitos 
KarnaughKarnaugh
20092009--20102010 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 33
•• Teoremas y Propiedades:Teoremas y Propiedades:•• Teoremas y Propiedades:Teoremas y Propiedades:
Suma
Resta
Multiplica.
División
Al B lAlg. Boole
Tbla Verdad
Circuitos 
KarnaughKarnaugh
20092009--20102010 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 44
•• Teorema de DeMorgan:Teorema de DeMorgan:•• Teorema de DeMorgan:Teorema de DeMorgan:
Suma
Resta
Multiplica.
División
Al B lAlg. Boole
Tbla Verdad
Circuitos 
KarnaughKarnaugh
20092009--20102010 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 55
•• Funciones LógicasFunciones Lógicas•• Funciones LógicasFunciones Lógicas
Suma
Resta
Multiplica.
División
Al B lAlg. Boole
Tbla Verdad
Circuitos 
KarnaughKarnaugh
–– Una función lógica puede expresarse de dos Una función lógica puede expresarse de dos 
formas:formas:
•• E p esión Algeb aicaE p esión Algeb aica•• Expresión AlgebraicaExpresión Algebraica
•• Tabla de VerdadTabla de Verdad
20092009--20102010 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 66
•• Expresión AlgebraicaExpresión Algebraica•• Expresión AlgebraicaExpresión Algebraica
–– Tres operaciones lógicas básicas:Tres operaciones lógicas básicas:
Suma
•• Suma lógica (+), llamada ORSuma lógica (+), llamada OR
•• Producto lógico (.), llamada ANDProducto lógico (.), llamada AND
Resta
Multiplica.
División
Al B l
•• Negación, llamada NOTNegación, llamada NOT
Alg. Boole
Tbla Verdad
Circuitos 
KarnaughKarnaugh
20092009--20102010 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 77
•• Forma canónica de una funciónForma canónica de una función•• Forma canónica de una función.Forma canónica de una función.
Suma
– Los términos canónicos se pueden expresar de una 
forma más cómoda mediante un número binario 
Resta
Multiplica.
División
Al B l
obtenido de sustituir los literales del término por 1 o 0, 
dependiendo del tipo de término canónico. 
– El criterio es el siguiente:Alg. Boole
Tbla Verdad
Circuitos 
Karnaugh
El criterio es el siguiente:
• Término producto canónico: si la variable está afirmada la 
sustituimos por un 1 (a = 1) y si está negada por un 0 (a 
= 0)Karnaugh )
• Término suma canónica: es a la inversa, es decir, si la 
variable está afirmada la sustituimos por un 0 (a = 0) y si 
está negada por un 1 (a = 1).
– El numero binario obtenido expresado en decimal, nos 
da los mi (miniterminos .) y los Mi (maxiterminos +)
20092009--20102010 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 88
•• Forma canónica de una funciónForma canónica de una función•• Forma canónica de una función.Forma canónica de una función.
Suma
Resta
Multiplica.
División
Al B lAlg. Boole
Tbla Verdad
Circuitos 
KarnaughKarnaugh
20092009--20102010 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 99
•• Forma CompactaForma Compacta•• Forma CompactaForma Compacta
–– f=(f=(a.b.ca.b.c) + () + (a.b.ca.b.c) + () + (a.b.ca.b.c) = m) = m33+m+m55+m+m66 = ∑ (3,5,6)= ∑ (3,5,6)
f (f (a+b+ca+b+c) () (a+b+ca+b+c) () (a+b+ca+b+c) () (a+b+ca+b+c) () (a+b+ca+b+c))
Suma
–– f=(f=(a+b+ca+b+c).().(a+b+ca+b+c).().(a+b+ca+b+c).().(a+b+ca+b+c).().(a+b+ca+b+c) = ) = 
MM00.M.M11.M.M22.M.M44.M.M77 = ∏ (0,1,2,4,7)= ∏ (0,1,2,4,7)
Resta
Multiplica.
División
Al B l
•• Utilizaremos el símbolo ∑ para expresar la forma Utilizaremos el símbolo ∑ para expresar la forma 
compacta de una función en su forma canónica compacta de una función en su forma canónica 
Alg. Boole
Tbla Verdad
Circuitos 
Karnaugh
expresada mediante la “suma de productos” o expresada mediante la “suma de productos” o 
minitérminosminitérminos..
P l f ó i dP l f ó i dKarnaugh •• Para la forma canónica expresada como Para la forma canónica expresada como 
“producto de sumas” o “producto de sumas” o maxitérminosmaxitérminos usaremos el usaremos el 
símbolo ∏símbolo ∏símbolo ∏.símbolo ∏.
20092009--20102010 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 1010
•• ConversionesConversiones•• ConversionesConversiones
– Aplicando las leyes distributivas, podemos convertir cualquier 
función que no esté en forma canónica a suma de productos o 
Suma
q p
productos de sumas (forma canónica).
– Aplicando los teoremas de DeMorgan, podemos convertir una 
función expresada en sumas de productos (minitérminos) a
Resta
Multiplica.
División
Al B l
función expresada en sumas de productos (minitérminos) a 
producto de sumas (maxitérminos) y viceversa.
Alg. Boole
Tbla Verdad
Circuitos 
KarnaughKarnaugh
20092009--20102010 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 1111
•• ConversionesConversiones•• ConversionesConversiones
–– Forma NO canónica a CANONICAForma NO canónica a CANONICA
Suma
•• Primero convertimos a suma de productosPrimero convertimos a suma de productos
Resta
Multiplica.
División
Al B l
•• Convertimos cada termino a su forma Convertimos cada termino a su forma 
canónica. Dos posibilidades:canónica. Dos posibilidades:
Alg. Boole
Tbla Verdad
Circuitos 
Karnaugh
–– Conversión suma de productos a forma canónicaConversión suma de productos a forma canónica
Karnaugh
–– Conversión producto de sumas a forma canónicaConversión producto de sumas a forma canónicapp
20092009--20102010 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 1212
•• Suma de productos canónicaSuma de productos canónica•• Suma de productos canónicaSuma de productos canónica
– Tenemos que multiplicar cada término producto que no esté en forma 
canónica por un término formado por la suma de la variable que le 
Suma
falta y su complemento, cuyo valor lógico es 1. Al multiplicar por 1 no 
se altera el valor de un término producto. El número de términos 
producto se duplica por cada variable que falta.
Resta
Multiplica.
División
Al B lAlg. Boole
Tbla Verdad
Circuitos 
KarnaughKarnaugh
20092009--20102010 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 1313
•• Producto de sumas canónicaProducto de sumas canónica•• Producto de sumas canónicaProducto de sumas canónica
– Tenemos que sumar a cada término suma que no esté en forma 
canónica un término formado por el producto de la variable que le 
Suma
falta y su complemento, cuyo valor lógico es 0. Al sumar 0 no se 
altera el valor de un término suma. El número de términos suma se 
duplica por cada variable que falta.
Resta
Multiplica.
División
Al B lAlg. Boole
Tbla Verdad
Circuitos 
KarnaughKarnaugh
20092009--20102010 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 1414
Idénticos, eliminamos uno
•• Tablas de Verdad:Tablasde Verdad:•• Tablas de Verdad:Tablas de Verdad:
–– Obtención de la tabla de verdad desde la expresión Obtención de la tabla de verdad desde la expresión 
algebraica en forma canónica:algebraica en forma canónica:
T t l l t i d i bl ló iT t l l t i d i bl ló i
Suma
•• Tantas columnas en la parte izda como variables lógicasTantas columnas en la parte izda como variables lógicas
•• Escribimos en la parte izda todas las combinaciones Escribimos en la parte izda todas las combinaciones 
posibles de las variables y en la columna dcha los valores posibles de las variables y en la columna dcha los valores 
de la función para esos valores de variablesde la función para esos valores de variables
Resta
Multiplica.
División
Al B l
de la función para esos valores de variables.de la función para esos valores de variables.
–– Dos posibilidades:Dos posibilidades:
•• Suma de productosSuma de productos
P d t i d t l l l l bi iP d t i d t l l l l bi iAlg. Boole
Tbla Verdad
Circuitos 
Karnaugh
–– Para cada termino producto, calculamos los valores binarios Para cada termino producto, calculamos los valores binarios 
que hacen cierto al termino, sustituimos variables por 1 y que hacen cierto al termino, sustituimos variables por 1 y 
variables negadas por 0variables negadas por 0
–– Ponemos un 1 en la función de salida de la tabla de verdad Ponemos un 1 en la función de salida de la tabla de verdad Karnaugh
para las combinaciones anteriores y un 0 para el restopara las combinaciones anteriores y un 0 para el resto
•• Producto de sumasProducto de sumas
–– Para cada termino suma, calculo valores binarios, pero esta Para cada termino suma, calculo valores binarios, pero esta 
0 l i bl 1 l d0 l i bl 1 l dvez pongo 0 para las variables y 1 para las negadasvez pongo 0 para las variables y 1 para las negadas
–– Ponemos un 1 en la función de salida de la tabla de verdad Ponemos un 1 en la función de salida de la tabla de verdad 
para las combinaciones anteriores y un 0 para el resto.para las combinaciones anteriores y un 0 para el resto.
20092009--20102010 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 1515
MULTIFUNCIONES Y FUNCIONES INCOMPLETAS
•• Tablas de Verdad:Tablas de Verdad:•• Tablas de Verdad:Tablas de Verdad:
–– Obtención de la expresión algebraica a partir Obtención de la expresión algebraica a partir 
de la tabla de verdad:de la tabla de verdad:
Suma
de la tabla de verdad:de la tabla de verdad:
•• Implementación por “1” => Suma de productosImplementación por “1” => Suma de productos
– Escribimos el término producto asociado a cada 
Resta
Multiplica.
División
Al B l
p
combinación cierta (1), con variables afirmadas si su 
valor en la combinación de entrada es 1 (1=a) y 
variables negadas si su valor es 0 (0=a)
Alg. Boole
Tbla Verdad
Circuitos 
Karnaugh
•• Implementación por “0” => Producto de sumasImplementación por “0” => Producto de sumas
– Escribimos el término suma resultado de negar el 
término producto asociado a cada combinación falsaKarnaugh término producto asociado a cada combinación falsa 
(0).
20092009--20102010 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 1616