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Cátedra de Matemática Facultad de Arquitectura
Universidad de la República
Matemática 2013 – Primer semestre
Hoja 4. Derivadas e integrales. Teorema fundamental y fórmula de Barrow
1. Derivadas e Integrales
1.1. Introducción. La eterna lucha del hombre contra la gravedad
Vamos a recorrer la modelización matemática de un fenómeno simple: el que tiene lugar cuando
tiramos un objeto hacia arriba en la superficie de la Tierra. Para eso, definamos bien la situación. Por
alguna razón, en el instante inicial t = 0 estamos en el techo de un edificio de tres pisos, a 10 metros
de altura respecto al suelo y lanzamos una pelota hacia arriba con velocidad vertical de v0 = 10 m/s.
Si la pelota es suficientemente pesada podemos despreciar el rozamiento del aire. Tampoco va a subir
demasiado, de modo que podemos suponer que el efecto de la gravedad es constante a lo largo de
toda la trayectoria. Según Wikipedia el valor de la gravedad en la superficie de la Tierra es de 9, 81
m/s2. A nuestros efectos adoptaremos la aproximación de 10 m/s2. Si quisiéramos hacer los cálculos
considerando el rozamiento necesitaŕıamos un modelo para describir la fuerza de rozamiento, trabajar
con ecuaciones más complejas y deducir las ecuaciones del movimiento de la Ley de Newton ~F = m~a.
La hipótesis de que la aceleración es constante lo simplifica todo.
Mediremos la altura desde el techo, en metros, con una variable y que crece a medida que subimos.
Con esta convención, en el instante inicial t = 0 tenemos una altura inicial y0 = 0. Con la elección
de unidades que hemos hecho, como la aceleración de la gravedad tiene a hacer caer a los objetos,
consideraremos una aceleración constante a = −10.
¿Qué le pasará a la pelota?
Ejercicio 1
1. Graficar la aceleración en función del tiempo. ¿Cuál será la formula de a(t)?
2. Calcular y graficar la velocidad v(t), en función del tiempo.
3. Calcular y graficar la altura y(t) en función del tiempo.
4. Si tuvieras que contarle a alguien que le paso a la pelota, ¿Qué le dirias?
Para resolver el ejercicio seguramente hemos usado que la velocidad v(t) resulta de sumar a la
velocidad el efecto de la aceleración acumulado por el paso del tiempo:
v(t) = 10 +
∫ t
0
(−10)dt = 10− 10t (1)
Para la altura y(t) habremos hecho algo análogo, como es sumar a la posición inicial el efecto acumulado
de la velocidad:
y(t) =
∫ t
0
(10− 10s)ds = 10t− 5t2. (2)
No es ningún secreto que la velocidad es la derivada de la posición. Derivando (2) encontramos
y′(t) = 10− 10t.
Lo interesante es que en este cálculo aparece la derivada respecto a t de la integral que está en el segundo
término de (2), y encontramos que la derivada es exactamente la misma función que está dentro de la
integral.
1
Ejercicio 2 Un observador que está en el suelo mira desde su posición como arrojamos la piedra y
mide la altura de la piedra desde el suelo, con una variable z. Para él, la posición inicial es z(0) = 10.
Calcular z(t) y la derivada z′(t). ¿Qué diferencia hay entre z(t) e y(t)? ¿Qué diferencia hay entre z′(t)
e y′(t)?
A su vez, la aceleración es la derivada de la velocidad
a(t) = v′(t).
Ejercicio 3 Derivar la fórmula (1). ¿Qué se obtiene al derivar la constante 10 y la integral que
aparecen en el miembro de la derecha?
Observación 1.0.1 Derivadas segundas. Como la velocidad es la derivada de la posición, la ace-
leración es la derivada segunda de la velocidad, algo que suele representarase con la notación
a(t) = v′(t) = x′′(t)
o con la notación
a(t) =
d
dt
(
dx
dt
)
(t) =
d2x
dt2
(t).
Observemos que pasamos de la aceleración a la velocidad, y de esta a la posición, calculando
integrales y sumando constante que nos dan, respectivamente, los valores iniciales de velocidad y
posición. Pasamos de la posición a la velocidad y de la velocidad a la aceleración derivando. Al hacerlo,
las constantes “desaparecen”. De algún modo, henos usado impĺıcitamente las siguientes relaciones:
a = v′ es equivalente a v =
∫
a;
v = y′ es equivalente a x =
∫
v.
Estas relaciones están en el corazón el cálculo diferencial e integral y son la base del cálculo de integrales
por medio de primitivas.
Observación 1.0.2 No debe confundirse el cálculo de integrales con el cálculo de primitivas. Las
integrales están definidas como áreas, y pueden calcularse por diversos métodos:
Métodos de la geometŕıa elemental. Cuando los gráficos de funciones delimitan regiones
formadas por rectángulos, triángulos y sectores de ćırculo, sus integrales pueden calcularse con
argumentos geométricos relativamente sencillos.
Sumas de Riemann y otros procesos de aproximación. Es posible calcular una aproxi-
mación tan exacta como se desee de una integral usando sumas de Riemann u otros métodos
análogos, en los que la función a integrar se sustituye por otra más simple. Esta idea es la base
de muchos métodos numéricos de uso masivo en la actualidad, en que es posible descargar en
computadoras el gran volumen de cálculo que requieren.
Métodos de cálculo de primitivas. Son los métodos que estamos comenzando a estudiar en
esta sección del curso. Son muy populares en los cursos de Cálculo Diferencial e Integral y tienen
mucho interés conceptual. Además permiten tratar con exactitudo las integrales de las funciones
más importantes del análisis matemático. Lamentablemente, el conjunto de funciones que se
puede integrar de esta manera es pequeño. Por ejemplo, a pesar de su aparente simplicidad, las
integrales ∫ 1
0
e−x
2
dx,
∫ 2π
π
senx
x
dx,
no pueden calcularse con estos métodos.
2
Métodos de Monte-Carlo. Son métodos de cálculo aproximado que consisten en generar
al azar un nube de puntos en un rectángulo que contenga el gráfico de la función a integrar y
luego contar cuántos caen por debajo del gráfico y cuantos por encima. Esta proporción permite
estimar el área de la región bajo el gráfico. El cálculo es mas preciso cuantos más puntos se usen.
Requiere de la capacidad de generar masivamente puntos independientes unos de otros, para
hacer el experimento.
Astucia o resultados profundos que relacionan las integrales con otra canti-
dades que se puedan determinar. En esta categoŕıa cae el interesant́ısimo resultado∫ +∞
0
e−x
2
dx =
√
2π,
que dice que el valor de una integral en la que interviene el número e y se extiende hasta el
infinito, está relacionado con el área del ćırculo. Curioso, ¿no?
2. Dos caras de la misma moneda
¿Hay realmente alguna conexión entre la integral y la derivada o el ejemplo que acabamos de ver
en la sección anterior es sólo una coincidencia?. Las integrales tienen que ver con áreas, las derivadas
con tangentes, ¿por dónde podŕıan relacionarse?
La derivada estudia variaciones y la integral se encarga de acumulaciones. Hemos venido poniendo
atención al efecto acumlativo de las integrales, relacionando la imagen geométrica de áreas con despla-
zamientos, consumos de enerǵıa y cargas en estructuras. Ahora nos concentraremos en las variaciones.
2.1. Variaciones
Estudiar las variaciones de las funciones es una parte esencial del trabajo para comprenderlas. En
realidad, la principal razón para estudiar funciones es que vaŕıan. Si todas las funciones fueran cons-
tantes seguramente no mereceŕıan la atención que reciben. Es una operación corriente. Por ejemplo,
para medir el consumo de electricidad UTE no computa el gasto momento a momento, en cambio se
fija la variación del contador entre un mes y el otro.
Dada una función cualquiera f y un intervalo [x0, x1], en el que el argumento de f vaŕıa de x0 a
x1, llamaremos incremento o variación de f a
∆f = f(x1)− f(x0).
Naturalmente, el incremento puede ser un decrecimiento si f está disminuyendo y x1 es mayor que
x0, y también podemos considerar los casos en que x1 ≤ x0. En definitiva, no estamos haciendo más
que poner nombre a la diferencia de los valores de f entre dos puntos prefijados.
En nuestro ejemplos nosinteresará estudiar variaciones de altura ∆y en intervalos de tiempo [t0, t1].
Ejercicio 4 Calcular la variación de altura ∆y de la pelota del ejercicio 1 entre los siguientes tiempos:
1. entre los 0, 2 segundos y los 0, 3 segundos;
2. entre los 0, 6 segundos y los 0, 9 segundos;
3. entre los 0, 9 segundos y el primer segundo.
¿Qué observación merece el hecho de que el resultado de las partes 1 y 2 sea el mismo, aunque el
intervalo de tiempo transcurrido en la segunda sea el triple que en la primera? ¿Qué observación
merece el hecho de que el resultado de las partes 2 y 3 sean tan diferentes, aunque en ambas el tiempo
transcurrido sea el mismo?
3
Ejercicio 5 ¿Por qué si la pelota es lanzada con una velocidad de 10 m/s, en el primer segundo sólo
recorre 5 metros, en la primera décima de segundo no alcanza a recorrer un metro, en la primera
centésima no alcanza a recorrer un dećımetro y en la primera milésima no alcanza el cent́ımetro?
¿Qué está pasando? ¿Qué significa que tenga una velocidad inicial de 10 m/s?
La velocidad no mide sólo cambios de posición: relaciona los cambios de posición con los cambios
en el tiempo. En efecto, todos sabemos que la misma distancia puede ser recorrida en tiempos muy
diferentes, si el trayecto se hace con velocidades diferentes. La velocidad mide la relación entre el
desplazamiento –en nuestro caso ∆y– y el tiempo transcurrido ∆t.
Ejercicio 6 Calcular los intervalos de tiempo ∆t correspondientes a cada una de las partes del ejer-
cicio 4
El cociente
∆y
∆t
entre la variación de altura ∆y y la variación de tiempo ∆ en un cierto intervalo de tiempo [t, t+∆t] es
la velocidad media en ese intervalo. Alejándonos de este contexto, propio de la cinemática, se denomina
cociente incremental a este cociente, que también podemos escribir como
∆y
∆t
=
y(t+ ∆t)− y(t)
∆t
.
Ejercicio 7
1. Para cada uno de los intervalos de tiempo del ejercicio 4 calcular la velocidad media correspon-
diente.
2. Hacer un gráfico de la altura y(t) en función del tiempo, para t ≥ 0. Para los tiempos t = 0,2,;t =
0,3, t = 0,6, t = 0,9 y t = 1 ubicar en el gráfico los puntos (t, y(t)). Identificar el significado
geométrico que en ese gráfico tienen las velocidades medias calculadas en la parte anterior.
Ejercicio 8 A partir del instante inicial t = 0, calcular para cada uno de los valores de ∆t que
aparecen en la primera columna de la tabla, la variación de altura ∆y ocurrida entre t = 0 y t = ∆t.
Calcular el correspondiente cociente incremental. Completar la tabla con estos datos.
∆t (s) ∆y (m) ∆y/∆t (m/s)
0,001
0,01
0,1
1
2
3
La altura y(t) es una cantidad que tenemos muy controlada y conocemos su valor en todo momento.
No tenemos por qué conformarnos con una tabla que sólo contenga algunos valores. Podemos dar el
lujo de tomar cualquier ∆t y de hacerlo mucho más pequeño que 0,001 para tener mejor resolución y
estudiar que es lo que pasa cerca de t = 0 con todo detalle.
Ejercicio 9 Calcular el cociente incremental (velocidad media) para la función y(t) en cada intervalo
[0,∆t], con ∆t > 0.
¿Qué tan chicos podemos hacer los ∆t?. Podemos hacer que se aproximen a cero todo lo que
queramos.
4
Ejercicio 10 Identificar a qué valor se aproximan los cocientes incrementales del ejercicio 9 cuando
∆t se aproxima a 0.
El valor ĺımite al que se aproximan los cocientes incrementales cuando ∆t tiende a cero es la
velocidad instantánea. En el contexto general de funciones cualesquiera, se trata de la derivada. Es
usual indicar la derivada de una variable y con la notación y′. Tenemos entonces
v(t) = y′(t) = ĺım
∆t→0
∆y
∆t
Observación 2.0.3 También es corriente utilizar la notación
dy
dt
para la derivada, que tiene la misma forma que la notación de los cocientes incrementales, con ∆
reemplazado por d. Es solamente una notación, no debe inducirnos a interpretar que el resultado
del proceso de paso al ĺımite es la división de una “cantidad infinitamente pequeña dx” entre otra
“cantidad infinitamente pequeña dt”, porque hacerlo seguramente nos hundiŕıa en algunos de los
problemas que el cálculo diferencial logró superar a lo largo del siglo XIX con su formalización en
términos de conseguir aproximaciones con tanta precisión como se desee.
Veremos luego que esta notación es especialmente útil para muchos propósitos. En especial, para
hacer cambios de variable en el cálculo de integrales.
El próximo ejercicio nos propone repetir este tipo de cálculos para t = 0,5. Es decir, en intervalos
de la forma [0,5, 0,5 + ∆t].
Ejercicio 11 Calcular en función de ∆t los incrementos
∆y = x(0,5 + ∆t)− x(0,5),
los cocientes incrementales
∆y
∆t
e identificar a qué número se aproximan los cocientes incrementales cuando ∆t → 0. ¿Cuanto vale
y′(0,5)? ¿Cuál es el valor de la velocidad v(0,5), en t = 0,5?
Observación 2.0.4 El veloćımetro de un auto no calcula ∆x y ∆t, nos dice la velocidad instantánea
momento a momento. De la misma forma le derivada no nos dice cuanto ha cambiado la variable, si
no que tan rápido esta cambiando en determinado instante.
El siguiente ejercicio retoma cálculos que ya hemos hecho, pero ahora en el contexto de hallar
variaciones, cocientes incrementales y derivadas.
Ejercicio 12 Se considera la función
f(x) = (3− |6− x|)
a partir de la que se define
F (x) =
∫ x
4
f(t)dt.
1. Para x = 5 y ∆x = 2, hallar el valor del cociente incremental ∆F/∆x.
2. Para x = 5 y ∆x próximo a 0, hallar la expresión del cociente incremental ∆F/∆x.
3. Para x = 5, hallar el valor al que se aproximan los cocientes incrementales ∆F/∆x cuando ∆x
se aproxima a 0.
5
4. Calcular F ′(5).
5. Calcular f(5).
6. Explicar en términos de áreas bajo el gráfico de f la relación entre las partes 4 y 5.
Ejercicio 13 Consideraremos la función
f(x) = x2
y a partir de x = 3 un incremento ∆x de la variable x.
1. El incremento de f con respecto a su valor en 3, cuando se evalúa en 3 + ∆x es
∆f = ×∆x+ × (∆x)2.
2. Cuando ∆x→ 0, los cocientes incrementales ∆f/∆x se aproximan a .
Nota: Completar con números las casillas.
Ejercicio 14 Sea F : R→ R la función definida por la fórmula
F (x) =
∫ x
−3
(|2t+ 4| − 4) dt.
1. Para x = −2 y ∆x cualquiera, hallar la fórmula del incremento ∆F . Distinguir según ∆x sea
mayor o menor que 0. Calcular el cocientes incrementales cuando ∆x se aproxima a 0.
Atención que ∆x puede tender a cero por dos caminos. Acercandose por la derecha, o sea,
tomando valores positivos pero cada vez menores hasta que se anulen o acercandose por la
izquierda, con valores negativos que crecen hasta volverse nulos (śı, aumentan hasta volverse
nada). Cuando se aproxima por la derecha escribimos ∆x → 0+ y cuando es por la izquierda
∆x→ 0−
¿Cuál es entonces el valor de F ′(2)?
2. Para x = −3, hallar la fórmula del incremento ∆F para valores de ∆x próximos a 0. ¿Está fórmu-
la es válida para cualquier valor de ∆x? ¿Por qué? Si la respuesta es no, ¿para qué valores de
∆x es correcta y para qué valores no lo es?
3. Calcular F ′(5).
2.2. Teorema fundamental
Todos los ejemplos de la sección anterior son instancias de un mismo resultado, el Teorema Fun-
damental del Cálculo.
Teorema 1 Si f : (a, b)→ R es una función continua, x0 ∈ (a, b) y para cada x ∈ (a, b) definimos
F (x) =
∫ x
x0
f(t)dt,
entonces
F ′(x) = f(x).
6
El teorema fundamental alimenta nuestra interpretación de la integral como acumulación. Viene a
decirnos que la variación que sufre una cantidad (la F ) que es el resultado de la acumulación de algo
(la f), es justamente ese algo: la variación de la distancia (efecto acumulado de la velocidad) es la
velocidad; la variación del cortante (efecto acumulado de una carga distribuida) es el valor de la carga;
la variación de la cuenta de UTE es la potencia que estamos consumiendo, etcétera. Abre además la
puerta a una manera sistemática de calcular integrales, que resultará útil para otras aplicaciones. Por
ejemplo, para determinar el momento flectoral que está sometida la viga de una estructura, una vez
que veamos por qué la derivada de esta solicitación es justamente el cortante.
3. Nuestra tabla de derivadas es también una tabla de integrales
El Teorema Fundamental asegura que la derivada de la función F es f . Es habitual referirse a la
relación entre F y f , en que f es la derivada de F , diciendo que F es una primitiva de f . Hay tablas de
derivadas y diversos procedimientos de cálculo que nos dicen, para cada función F , cuál es su derivada
F ′. Ya que sabemos que F es una primitiva de f , podŕıamos intentar usar el teorema fundamental
para leer la tabla al revés, yendo de la columna en la que aprecen las derivadas, a la columna donde
aparecen las funciones, para pasar de f a la primitiva F . Antes de seguir discutiendo esta idea en
general, veamos en un ejemplo cómo funciona.
Ejemplo 3.1 Sabemos que x′ = 1. De modo que podriamos intentar usar el truco para calcular
integrales de la función constante 1, de la forma
F (x) =
∫ x
x0
1dt.
Con la idea de buscar una primitiva, esperaŕıamos que el resultado fuera x. Pero en este caso podemos
calcularlo directamente:
F (x) = x− x0.
Aunque la derivada de F en x es F ′(x) = 1, la función F no es exactamente xs. Aparece en el juego
la constante x0, que tiene que ver con el lugar desde el que estamos integrando. Sólo obtenemos el
resultado correcto si x0 = 0, pero no para otros valores de x0.
Lo que pasa en el ejemplo anterior es completamente general: si conocemos una función F (x) cuya
derivada es f(x), en realidad cualquier función de la forma
F (x) + k,
donde k es una constante arbitraria, también tiene a f como derivada. Por lo tanto, la integral no
puede determinarse completamente “deshaciendo” la operación de derivar. Para determinar el valor
de esa constante hay que trabajar un poco más.
Observación 3.1.1 Podemos retomar aqúı la observación 2.0.4: aunque observemos el veloćımetro
de un auto durante un mes entero no podremos saber el kilometraje total del auto si no disponemos de
ninguna lectura de su cuentakilómetros. Con una lectura y la información del veloćımetro ya podŕıamos
mantener un cálculo actualizado del kilometraje. Sin una lectura inicial del cuentakilómetros sólo
podemos deducir variaciones de kilometraje, no kilometrajes totales. Esto mismo fenómeno aparece
en el cálculo de integrales en la forma de una constante indeterminada en
Por otra parte, dos primitivas diferentes F y G de f necesariamente tienen una diferencia constante.
Porque para cualquier valor de x se tiene que
(F −G)′(x) = F ′(x)−G′(x) = f(x)− f(x) = 0.
Esto implica que la derivada de F −G siempre se anula, y por lo tanto es constante.
7
Observación 3.1.2 Es obvio que la derivada de cualquier función constante es idénticamente nula,
pero esto no implica que una función cuya derivada siempre existe y es igual a cero necesariamente
tenga que ser constante. Esta última afirmación es cierta, pero requiere demostración. En el curso la
aceptaremos sobre bases intuitivas, porque parece natural a la luz de la interpretación de los conceptos
que estamos manejando, pero invitamos al lector interesado a examinar este asunto con más detalle.
El hecho de que dos primitivas necesariamente difieran en una constante permite reducir el cálculo
de integrales al cálculo de primitivas.
Ejercicio 15
1. Mostrar que si F y G son dos primitivas de F entonces
F (x)− F (x0) = G(x)−G(x0).
Sugerencia: observar que F (x)−G(x) tiene que ser igual a F (x0)−G(x0).
2. Mostrar que si G es una primitiva de f y
F (x) =
∫ x
x0
f(t)dt,
entonces
F (x) = G(x)−G(x0).
3. Introducir en la notación los cambios necesarios, para mostrar a partir del enunciado anterior,
la célebre Regla de Barrow : si F es una primitiva de f , entonces∫ b
a
f(t)dt = F (b)− F (a). (3)
La relación con el cálculo integral hace que sea corriente también llamar integrales indefinidas a las
primitivas, e indicarlas con el śımbolo de integral, sin ĺımites de integración. Es una notación corriente
en la literatura, según la cual se escribe en la forma∫
1dx = x+ k
el hecho de que (x)′ = 1. La constante k recuerda que la integral indefinida (o primitiva) queda
determinada por el integrando (o derivada) a menos de una función de integración.
Ejemplo 3.2 Dado que
(3x2 − 2x)′ = 6x− 2
tenemos que ∫
(6x− 2)dx = 3x2 − 2x+ k.
Ejercicio 16 Calcular dos primitivas diferentes de 6x− 2 y emplearlas para evaluar∫ 2
1
(6x− 2)dx =
usando la regla de Barrow. ¿Se obtiene el mismo resultado en los dos casos?
8
El ejercicio anterior llama la atención sobre un posible problema: si hay infinitas primitivas, ¿cuál
elegir para hacer las cuentas? Por suerte la regla de Barrow viene a salvarnos del abismo de la incer-
tidumbre: la integral definida se calcula evaluando el incremento de una primitiva entre los ĺımites de
integracion: ∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a)
Pero si en lugar de F (x) hubieramos elegido otra primitiva, por ejemplo F (x) + k las cuentas habŕıan
sido ∫ b
a
f(x)dx = (F (b) + k)− (F (a) + k) = F (b)− F (a).
¡Exactamente el mismo resultado! No importa cual primitiva utilicemos. La constante es irrelevante
para el cálculo de integrales según la Fórmula de Barrow, porque en esa fórmula sólo intervienen
incrementos de la integral indefinida, y las constantes se cancelan.
Ejercicio 17 Sabiendo que
(xn)′ = nx(n−1),
¿cómo será entonces ∫
xndx?
Calcular:
1.
∫
x2dx
2.
∫
x6dx
3.
∫
x42dx
Ejercicio 18
1. Si (sinx)′ = cosx y (cosx)′ = − sinx entonces, ¿a qué serán iguales
∫
sinxdx y
∫
cosxdx?
2. Si (ex)′ = ex entonces, ¿a qué será igual
∫
exdx?
3.1. Linealidad de la integral
Al presentar las aproximaciones de la integral por sumas de Riemann hab́ıamos discutido sus
propiedades de lineales. También pueden deducirse de las propiedaes de linealidad de la derivada.
La derivada del producto de una constante por una función es
(cf)′(x) = cf ′(x).
Esto implica que ∫
(cf)(x)dx = c
∫
f(x)dx+ k.
Ejercicio 19 Calcular:
1.
∫
6x2dx
2.
∫
2x5dx
3.
∫
12 sinxdx
4.
∫
3etdt
9
La derivada de la suma de dos funciones es
(f + g)′ = f ′ + g′,
la suma de sus derivadas. Entonces∫
(f(x) + g(x))dx =
∫
f(x)dx+
∫
g(x)dx+ k.
Ejercicio 20 Calcular
1.
∫ (
2− 3x− x2
)
dx
2.
∫ (
7x5 − 3x3 + 12x
)
dx
3.
∫ (
2t2 + 4t− 1
)
dt
4.
∫ (
at2 + bt+ c
)
dt
5.
∫ (
xa2 + ta+ y
)
da
6.
∫ (
3t2 + 4t+ 7 cos t+ 4et
)
dt
3.2. Cálculo de integrales con primitivas y la regla de Barrow
La combinación de la Regla de Barrow, la linealidad de la integral y el manejo de una tabla de
derivadas, permiten ampliar enormemente el universo de las integrales que podemos evaluare.
Ejercicio 21 Calcular:
1.
∫ 5
2
(
3x2 − 4
)
dx
2.
∫ 3
0
(
x3 − x2 + 4x
)
dx
3.
∫ π
−π (sin t+ cos t) dt
4.
∫ −2
4 (5e
xdx)
5.
∫ 1
0
(
2t2x2 − 4et sin t+ tex
)
dx
Ejercicio 22 Tengo que embaldosar parte de un patio de 20m por 10m de ancho. El dueño quiere
que el piso sea el grafico de la parábola −x
2
5 + 20 en el primer cuadrante, tomando una esquina del
jard́ın como el origen, el ancho como el eje horizontal y el largo como el vertical. El resto del espacio
será reservado a césped y canteros para plantas.
Ped́ı dos presupuestos. Alberto Álvarez contestó que la obra costaŕıa $88000. Mientras que en
Baldosas Báez me dicen que tienen un costo fijo de transporte de $6000 y luego $600 por metro
cuadrado.
¿Cuál de las dos opciones es la más barata?
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