Salinas Avila, Adriana_DP

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Dedicatoria
A mi familia, en especial a mis padres Petra Avila Sorrosa y José Salinas Ventura y a mis
siete hermanos Ricardo, Lorenzo, Marcelo, Armando, Javier, Ramiro y José Luis. A todos
ellos por su amor y apoyo incondicional en todo momento y por siempre tratar de hacer de
mı́ una mejor persona.
A mi hijo.
A Marcel.
A mis amigos.
Agradecimientos
A mi director de tesis el Dr. Javier Moreno Valenzuela por sus enseñanzas y por el tiempo
dedicado al desarrollo de este trabajo.
A los integrantes de la comisión revisora por sus cuestionamientos y sugerencias que han
ayudado a mejorar este trabajo: Dra. Mireya Garćıa Vázquez, Dr. Luis González Hernández,
Dr. Moises Sánchez Adame, M.C. Jaime Saucedo Mart́ınez, Dr. Javier Moreno Valenzuela.
A mis amigos del CITEDI.
Al Instituto Politécnico Nacional (IPN) y al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnoloǵıa
(CONACyT) por el apoyo económico brindado.
A los profesores y al CITEDI-IPN por darme la oportunidad de formar parte de esta ins-
titución.
Control de Sistemas Mecánicos Usando Actuadores Músculo-Tendón
Resumen
Este trabajo de tesis aborda el problema de modelado y control de un sistema
mecánico actuado por subsistemas músculo-tendón. Se estudia el control de posición de
sistemas formados por uno o dos actuadores músculo-tendón ejerciendo fuerza sobre una
masa que se desplaza en el plano horizontal. Como dinámica de contracción se utilizan los
casos I y II del modelo músculo-tendón de Zajac.
Se utilizan controladores no saturados tipo proporcional-derivativo con retroali-
mentación de posición, velocidad y fuerza para controlar el sistema mecánico en cuatro
casos de estudio. En dichos casos, se utiliza el método indirecto de Lyapunov, el criterio
de estabilidad de Routh-Hurwitz y la localización de ráıces para estudiar la estabilidad del
sistema de lazo cerrado linealizado.
Utilizando la teoŕıa de sistemas conmutados, la linealización de sistemas no li-
neales, la localización de raices y la herramienta SOSTOOLS, se presenta un estudio de
estabilidad utilizando controladores con saturación y retroalimentación de posición y ve-
locidad para un sistema de segundo orden movido por dos actuadores músculo-tendón.
Usando Matlabr, se han realizado simulaciones numéricas para corroborar los resultados
teóricos obtenidos.
Finalmente, el modelo músculo-tendón es aplicado al control bio-mimético de un
motor de corriente directa. Para este caso se presentan resultados experimentales y de si-
mulación.
Palabras clave: músculo esquelético, músculo-tendón, excitación neural, dinámica de ac-
tivación, dinámica de contracción, sistemas conmutados, saturación.
Control of Mechanical Systems by Using Muscle-Tendon Actuators
Abstract
This thesis addresses the problem of modeling and control of a mechanical system
operated by muscle-tendon subsystems. It is studied the position control of systems com-
posed by one or two muscle-tendon actuators applying force on a mechanical system moved
in the horizontal plane. Contraction dynamics are described by cases I and II of Zajac’s
model.
To control the mechanical system in four case studies, unsaturated proportional-
derivative-type controllers with feedback of position, velocity and force are used. To study
the stability of the the linearized closed-loop system in such a cases, the indirect Lyapunov
method, Routh-Hurwitz stability criterion and root locus are used.
Saturated controllers with feedback of position and velocity to control a second
order system moved by two muscle-tendon actuators are proposed. To study the stability of
the obtained closed-loop system, theory of switched systems, linear approaches of nonlinear
systems, root locus and SOSTOOLS are used. To corroborate de obtained theoretical results,
numerical simulations have been carried out with help of Matlabr.
Finally the muscle-tendon model is applied to the bio-mimetic control of a DC
motor. In this case, experimental and simulation results are presented.
Keywords: skeletal muscle, muscle-tendon, neural excitation, activation dynamics, con-
traction dynamics, switched systems, saturation.
Contenido
Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
Lista de śımbolos y acrónimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
1. Introducción 1
1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Objetivos de la investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2. Objetivos espećıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Aportaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Organización de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Músculo esquelético y contracción muscular 10
2.1. Definición y función de músculo esquelético . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Organización del músculo esquelético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Contracción muscular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1. Tipos de contracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Diferentes músculos que intervienen en un movimiento . . . . . . . . . . . . 16
3. Propiedades y modelo del músculo 18
3.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.1. Arquitectura muscular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.2. Propiedad Fuerza-Longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.3. Propiedad Fuerza-Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.4. Propiedades de los elementos pasivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2. Modelos musculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1. Modelos musculares de tipo Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.2. Modelos musculares de tipo Huxley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.3. Representación mecánica del músculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4. Propiedades y modelo del tendón 33
vi
Contenido vii
5. Descripción del modelo músculo-tendón generalizado 37
5.1. Dinámica de activación muscular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2. Escalamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3. Dinámica de contracción del músculo-tendón . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.4. Efecto del ángulo de plumación en la dinámica de contracción . . . . . . . . 44
5.5. Suposiciones para obtener el modelo MT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6. Descripción de casos I y II de la dinámica de contracción del modelo músculo-tendón 49
6.1. Caso I: El músculo operando en la región plana de su curva Fuerza-Longitud 50
6.2. Caso II: El músculo operando en la región ascendente de su curva Fuerza-
Longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7. Control no saturado de un sistemade segundo orden movido por actuadores músculo-
tendón 53
7.1. Control de excitación neural u(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2. Un actuador: Caso I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.2.1. Representación en variables de estado del sistema en lazo cerrado . . 56
7.2.2. Análisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.3. Un actuador: Caso II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3.1. Representación en variables de estado del sistema en lazo cerrado . . 61
7.3.2. Análisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.4. Dos actuadores: Caso I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.4.1. Ecuaciones dinámicas de fuerza, nivel de activación y excitación neu-
ral de dos actuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.4.2. Representación en variables de estado del sistema en lazo cerrado . . 69
7.4.3. Análisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.5. Dos actuadores: Caso II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.5.1. Ecuaciones dinámicas de fuerza, nivel de activación y excitación neu-
ral de dos actuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.5.2. Representación en variables de estado del sistema en lazo cerrado . . 74
7.5.3. Análisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8. Control saturado de un sistema de segundo orden movido por actuadores músculo-
tendón 77
8.1. Función de saturación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.2. Representación en variables de estado del sistema en lazo abierto . . . . . . 79
8.3. Controladores propuestos u(t) con saturación . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.4. Ecuación del sistema en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.5. Definiciones sobre sistemas h́ıbridos y sistemas conmutados . . . . . . . . . 81
8.6. Análisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.6.1. Linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.6.2. Caso de estudio numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.6.3. Uso de SOSTOOLS para encontrar una función común de Lyapunov 85
8.7. Resultados de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Contenido viii
9. Aplicación del modelo músculo-tendón al control bio-mimético de un motor de CD 94
9.1. Un sistema músculo-esquelético: el caso de estudio agonista-antagonista . . 95
9.1.1. Modelo generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.2. Ley de control con conmutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.3. Ecuación del sistema en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.4. Análisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.4.1. Linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.4.2. Ejemplo práctico (modelo del motor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.4.3. Uso de SOSTOOLS para encontrar una función común de Lyapunov 100
9.5. Plataforma experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.6. Resultados de simulación y experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10. Conclusiones y trabajo futuro 110
10.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
10.2. Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Referencias 112
A. Antecedentes matemáticos 117
A.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.2. Equilibrio aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.3. Estabilidad en el sentido de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A.4. Funciones clase k, k∞, y kL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
A.5. Método directo de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.6. Método indirecto de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
B. Programas para simulación 123
B.1. Ecuación de Hill, Fuerza-Velocidad normalizada . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B.2. Relación Fuerza-Velocidad-Longitud del elemento contráctil del músculo . . 125
B.3. Respuesta impulso de la dinámica de primer orden para activación y desac-
tivación muscular descrita en [43, 44] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
B.3.1. Solución de la ecuación diferencial con ode45 . . . . . . . . . . . . . 126
B.4. Gráfica de la función tangente hiperbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
B.5. Gráficas del control saturado de: masa + dos actuadores . . . . . . . . . . . 129
B.5.1. Simulación del sistema linealizado del control saturado de una masa
usando dos actuadores músculo-tendón . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
B.5.2. Simulación del sistema no lineal del control saturado de una masa
usando dos actuadores músculo-tendón . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
B.6. Gráficas del control saturado de: motor + dos actuadores . . . . . . . . . . 139
B.6.1. Simulación del sistema linealizado del control bio-mimético de un mo-
tor de CD usando dos actuadores músculo-tendón . . . . . . . . . . 140
B.6.2. Simulación del sistema no lineal del control bio-mimético de un motor
de CD usando dos actuadores músculo-tendón . . . . . . . . . . . . 145
B.6.3. Generar las gráficas de los resultados experimentales del control bio-
mimético de un motor de CD usando dos actuadores músculo-tendón 150
Contenido ix
C. Control neurológico del movimiento 152
C.1. Estructura y función del sistema nervioso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
C.1.1. Neuronas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
C.1.2. Impulso nervioso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
C.1.3. Sinapsis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
C.1.4. Unión neuromuscular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
C.1.5. Respuesta postsináptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
C.2. Sistema nervioso central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
C.3. Sistema nervioso periférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
C.4. Integración Sensomotora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
C.5. Reacción motora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
C.5.1. Movilización ordenada de las fibras musculares . . . . . . . . . . . . 160
D. Glosario de términos 161
Lista de Figuras
2.1. Organización del músculo esquelético. Imagen modificada de [50]. . . . . . . 12
2.2. Organización de la fibra muscular. Imagen modificada de [52] y [53]. . . . . 13
3.1. Curva Fuerza-Longitud. LM0 es la longitud óptima. La fuerza activa depende
de la longitud y de la activación muscular (100% máxima, 60%, 30% y 0%
submáximas). La fuerza pasiva es independiente de la activación y es adherida
a la fuerza activa para producir la fuerza total. Imagen modificada de [43]. . 20
3.2. Curva Fuerza-Velocidad. Vm es la velocidad máxima de acortamiento. La
fuerza está escalada por la activación (100% máxima, 75%, 50% y 25%
submáximas). Imagen modificada de [43]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3. Relación Fuerza-Velocidad de la ecuación de Hill [16] definida para veloci-
dades negativas durante acortamiento. Ṽ M ∈ [−1, 0] es la velocidad de acor-
tamiento normalizada y F̃M ∈ [0, 1] es la fuerza normalizada. Figura obtenida
con el programa de la sección B.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4. Modelo muscular de tipo Hill: elemento elástico en paralelo con el elemento
contráctil y el elementoen serie. CE elemento contráctil, SEE elemento
elástico en serie, PE elemento elástico en paralelo, FCE fuerza activa, FPE
fuerza pasiva, FM fuerza total, a(t) activación muscular, LM longitud del
músculo, V M velocidad del músculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5. Modelo muscular de tipo Hill: elemento elástico en paralelo con el elemento
contráctil y ambos en serie con otro elemento elástico. CE elemento con-
tráctil, SEE elemento elástico en serie, PE elemento elástico en paralelo,
FCE fuerza activa, FPE fuerza pasiva, FM fuerza total, a(t) activación mus-
cular, LM longitud del músculo, V M velocidad del músculo. . . . . . . . . . 30
3.6. Relación Fuerza-Velocidad-Longitd del elemento contráctil. Los ejes x, y y
z representan la velocidad V CE, longitud LCE y fuerza FCE del elemento
contráctil respectivamente. Esta superficie es obtenida para una activación
máxima (100%). Las ecuaciones utilizadas para la simulación en Matlabr
son (3.5), (3.8) y (3.9). Los parámetros de simulación son obtenidos de [7].
El código fuente en Matlabr se muestra en la sección B.2. . . . . . . . . . . 32
4.1. Propiedades del tendón. a) curva nominal tensión-deformación. b) curva
genérica adimensional fuerza-deformación. Imagen tomada de [44]. . . . . . 35
x
Lista de Figuras xi
5.1. Diagrama de bloques del modelo músculo-tendón. La dinámica del modelo
músculo-tendón está compuesta de dos dinámicas de primer orden (dinámica
de activación y dinámica de contracción). u(t) es la entrada de control neural,
a(t) es la activación muscular, F T (t) es la fuerza del actuador, LMT (t) es la
longitud del músculo-tendón y V MT (t) es la velocidad del músculo-tendón. 38
5.2. Diagrama de bloques que muestra la relación entre los elementos del actuador
músculo-tendón. La contribución del músculo en la longitud del actuador
depende del ángulo de inclinación o ángulo de plumación α. . . . . . . . . . 38
5.3. Respuesta de la dinámica de activación y desactivación (sistema de primer
orden) a la entrada de excitación neural u(t). a) activación: la activación se
aproxima desde cero (en t = t0) a la entrada de control u(t). En t = t0, la
pendiente inicial de la curva de activación es 1
τact
; la cual, es la constante
de tiempo en la que la respuesta alcanza el 63.2% de su cambio total. En
t = nτact, a(t) se aproxima a u(t) con un error de
u(t)
en
. b) desactivación:
la salida decae desde a(t) en el tiempo t0. Figura obtenida a partir de los
programas de la sección B.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4. División del musculo esquelético en unidades motoras. Imágen modificada de
[44]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.1. Diagrama del sistema mecánico movido por un actuador músculo-tendón.
u(t) es la excitación neural, F T es la fuerza producida por el actuador MT,
x1 = L
MT es la longitud del músculo-tendón o posición de la masa a partir
del origen del actuador MT, M es la masa del cuerpo y Fv es el coeficiente
de fricción viscosa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.2. Diagrama de bloques del modelo músculo-tendón interactuando con un sis-
tema mecánico. La dinámica del modelo músculo-tendón está compuesta de
dos dinámicas de primer orden (dinámica de activación y dinámica de con-
tracción). u(t) es la entrada de control neural con retroalimentación de fuerza
F T (t), velocidad V MT (t) = ẋ1 = x2 y longitud L
MT (t) = x1, a(t) es el nivel
de activación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.3. Diagrama del sistema mecánico movido por dos actuadores músculo-tendón.
u1(t) es la excitación neural del actuador MT 1, u2(t) es la excitación neural
del actuador MT 2, F T1 es la fuerza producida por el actuador MT 1, F
T
2
es la fuerza producida por el actuador MT 2, x1 = L
MT
1 es la longitud del
músculo-tendón 1 o posición de la masa a partir del origen del actuador MT
1, x′1 = L
MT
2 es la longitud del músculo-tendón 2, L es la longitud del origen
del actuador MT 1 al origen del actuador MT 2: L = x1 + x
′
1 = constante,
M es la masa del cuerpo y Fv es el coeficiente de fricción viscosa. . . . . . . 66
8.1. Función tangente hiperbólica. x ∈ [−10, 10]. Gráfica obtenida con el progra-
ma de la sección B.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.2. Diagrama de bloques del sistema de control formado por una masa y dos
actuadores músculo-tendón en una configuración agonista-antagonista. . . . 81
8.3. Resultado de simulación del sistema (8.8). Error de posición x̃1(t). . . . . . 88
8.4. Resultado de simulación del sistema (8.8). Velocidad x2(t) de la masa. . . . 89
Lista de Figuras xii
8.5. Resultado de simulación del sistema (8.8). Fuerza total x3(t)−x4(t) aplicada
a la masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.6. Resultado de simulación del sistema (8.8). Entrada de control u1(t) al actu-
ador MT 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.7. Resultado de simulación del sistema (8.8). Entrada de control u2(t) al actu-
ador MT 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.8. Resultado de simulación. Función común de Lyapunov V (x). Las ĺıneas dis-
continuas corresponden al sistema no lineal (8.8) y las ĺıneas continuas al sis-
tema lineal (8.12). Las ĺıneas verticales indican los tiempos de conmutación
entre las regiones 1 y 2 de los sistemas (8.8) (ĺınea discontinua) y (8.12) (ĺınea
continua). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.9. Resultado de simulación. Derivada de función común de Lyapunov V̇ (x).
Las ĺıneas discontinuas corresponden al sistema no lineal (8.8) y las ĺıneas
continuas al sistema lineal (8.12). Las ĺıneas verticales indican los tiempos de
conmutación entre las regiones 1 y 2 de los sistemas (8.8) (ĺınea discontinua)
y (8.12) (ĺınea continua). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.1. Diagrama de bloques del sistema de control formado por un motor y dos
actuadores músculo-tendón en una relación agonista-antagonista. . . . . . . 98
9.2. Motor de CD Pittman 9236S009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.3. Diagrama de bloques del sistema experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.4. Resultado de simulación y experimental del sistema (9.4). Error de posición
x̃1(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.5. Resultado de simulación y experimental del sistema (9.4). Velocidad x2(t)
del motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.6. Resultado de simulación y experimental del sistema (9.4). Fuerza total x3(t)−
x4(t) aplicada al motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.7. Resultado de simulación y experimental del sistema (9.4). Entrada de control
u1(t) al actuador 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.8. Resultado de simulación y experimental del sistema (9.4). Entrada de control
u2(t) al actuador 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.9. Resultado de simulación. Función común de Lyapunov V (x). Las ĺıneas dis-
continuas corresponden al sistema no lineal (9.4) y las ĺıneas continuas al
sistema lineal (9.9). Las ĺıneas verticales indican los tiempos de conmutación
entre las regiones 1 y 2 de los sistemas (9.4) (ĺınea discontinua) y (9.9) (ĺınea
continua). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.10. Resultado de simulación. Derivada de función común de Lyapunov V̇ (x).
Las ĺıneas discontinuas corresponden al sistema no lineal (9.4) y las ĺıneas
continuas al sistema lineal (9.9). Las ĺıneas verticales indican los tiemposde
conmutación entre las regiones 1 y 2 de los sistemas (9.4) (ĺınea discontinua)
y (9.9) (ĺınea continua). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
C.1. Estructura de una neurona. Imagen tomada de [46]. . . . . . . . . . . . . . 153
Lista de Figuras xiii
C.2. Ubicación de la unión neuromuscular.(1) Fibra muscular, (2) Fibra de una
motoneurona, (3) Unión neuromuscular, (4) Miofibrillas, (5) Sarcolema, (6)
Terminal presináptica, (7) Veśıculas sinápticas, (8) Membrana postsináptica,
(9) Hendidura sináptica. Imágen modificada de [51]. . . . . . . . . . . . . . 156
C.3. División del musculo esquelético en unidades motoras. Imágen modificada de
[45]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Lista de śımbolos y acrónimos
Śımbolos
La siguiente notación es tomada de la referencia [44].
FPE, (F̃PE) = fuerza del elemento elástico en paralelo o elemento pasivo
FCE , (F̃CE) = fuerza del elemento contréctil o elemento activo
F T , (F̃ T ) = fuerza del tendón
LS = longitud del sarcómero
LM , (L̃M ) = longitud de la fibra muscular
LT , (L̃T ) = longitud del tendón
LMT , (L̃MT ) = longitud del músculo-tendón o actuador
V M , (Ṽ M ) = velocidad de la fibra muscular
V T , (Ṽ T ) = velocidad del tendón
V MT , (Ṽ MT ) = velocidad del músculo-tendón o actuador
t, (τ) = tiempo
σT , (σ̃T ) = tensión en el tendón
εT = deformación del tendón
u(t), (u(τ)) = excitación neural o excitación muscular
a(t), (a(τ)) = activación muscular o estado activo
α = ángulo de plumación de la fibra muscular
FM0 = fuerza isométrica máxima de un músculo activo
LM0 = longitud de fibra muscular óptima (esto es, longitud a la que se alcanza la máxima
fuerza activa FM0 )
xiv
Lista de śımbolos y acrónimos xv
α0 = ángulo de plumación óptimo de la fibra muscular (esto es, el ángulo de plumación α
cuando LM = LM0 )
εT0 = deformación (strain) del tendón cuando F
T = FM0
σT0 = tensión en (stress) el tendón cuando F
T = FM0
LTs , (L̃
T
s ) = longitud de reposo del tendón (proporción de longitud de reposo del tendón a
LM0 )
KT , (K̃T ) = rigidez (stiffness) del tendón
Vm = máxima velocidad de acortamiento de las fibras musculares
τc = parámetro de escalamiento de tiempo (τc =
LM
0
Vm
)
τact, (τ̃act) = constante de tiempo para subida en activación muscular
τdact, (τ̃dact) = constante de tiempo para caida en activación muscular
ET = módulo de elasticidad del tendón
AT = sección transversal del tendón.
Los śımbolos entre paréntesis a la izquierda del śımbolo ‘igual’ representan la forma
sin dimensión (normalizada) de la variable f́ısica o parámetro anterior, obtenidas mediante
el uso de FM0 , L
M
0 , y τc para escalar las cantidades f́ısicas fundamentales de fuerza, longitud,
y tiempo [44].
Otros śımbolos utilizados son:
m = metros
N = Newtons
Pa = Pascal (unidad de presión), está dada en unidades de N
m2
mV = mili volts,
Kg = kilogramos,
M = Masa en unidades de kilogramos.
FV = Fricción viscosa en unidades de
[
Kgm
s
]
.
Lista de śımbolos y acrónimos xvi
Acrónimos
ACh = Acetilcolina
CE = Contractile element
FL = Fuerza-Longitud
FV = Fuerza-Velocidad
FVL = Fuerza-Velocidad-Longitud
MT = Músculo-tendón
PE = Passive element
PD = Proporcional-Derivativo
SEE = Series elastic element
SNC = Sistema nervioso central
Caṕıtulo 1
Introducción
1.1. Planteamiento del problema
La fuerza producida por los músculos esqueléticos a través de la contracción, es
transmitida a los huesos del cuerpo y al medio ambiente por medio de los tendones [37, 44].
La contracción muscular es definida en [7] como: acortamiento y producción de fuerza
del músculo; sin embargo, este término es utilizado comunmente de forma indistinta para
referirse a la producción de fuerza del músculo, ya sea que la longitud del músculo disminuya,
incremente o permanezca constante. La contracción muscular es controlada a través del
sistema nervioso central (SNC) mediante la excitación neural. Esta última es la excitación
del tejido neuronal y muscular [48, 44].
Las propiedades de la contracción del músculo pueden ser definidas a través del
estudio del músculo completo [16], de las fibras musculares [44], o a nivel de sarcómero [11].
Diversos modelos matemáticos se pueden encontrar en la literatura para definir
las propiedades de contracción del músculo. Dichos modelos son clasificados principalmente
como: modelos de tipo Hill y modelos de tipo Huxley (ver [7]). De entre los modelos de tipo
Hill disponibles en la literatura, están los modelos estáticos [16] y los modelos dinámicos [44].
Algunos como [16] definen solamente las propiedades de contracción del músculo, mientras
que otros como [44] toman en cuenta las propiedades del músculo y del tendón actuando
juntos para producir y transmitir fuerza. Este último tipo de modelo es referido comúnmente
1
1.1. Planteamiento del problema 2
como modelo músculo-tendón. En este trabajo, se usa un modelo dinámico de tipo Hill, que
describe cómo el músculo y el tendón trabajan juntos para producir y transmitir fuerza.
Espećıficamente, se utiliza el modelo propuesto por Zajac en 1989 [44]. Este tipo de modelos
son llamados biomecánicos. La biomecánica se refiere al estudio de fuerzas, torques, y los
efectos de sus acciones sobre estructuras y materiales biológicos [43].
Para comprender este tipo de modelos, es necesario el entendimiento de conceptos
como:
estructura, función y contracción del músculo,
propiedades y modelo del músculo (incluyendo arquitectura muscular, dinámica de
activación, relación Fuerza-Velocidad, relación Fuerza-Longitud, modelos de tipo Hill
y relación Fuerza-Velocidad-Longitud),
propiedades y modelo del tendón,
escalamiento de los parámetros del músculo y del tendón y normalización de las curvas
Fuerza-Velocidad (del músculo), Fuerza-Longitud (del músculo y del tendón),
dinámica de contracción del actuador músculo-tendón.
Tales conceptos, aśı como las suposiciones que los autores hacen generalmente para
llegar a un modelo matemáticamente tratable, son obtenidos de la literatura y se presentan
a lo largo de este trabajo.
El modelo músculo-tendón estudiado en la presente tesis se utiliza para tratar el
control de posición, en forma teórica, de un sistema mecánico que es movido por uno o dos
actuadores. Lo que se pretende en este estudio es dar una explicación de este problema desde
el punto de vista de control automático, proponiendo algoritmos de control de excitación
neural.
Los casos de estudio son: una masa movida por uno o dos actuadores y un motor
movido por dos actuadores (configuración agonista-antagonista [8] o juego de tira y afloja
[36]). El caso del motor es estudiado en el contexto de control bio-mimético. El problema de
control es diseñar u(t) (exitación neural), tal que el sistema mecánico alcance una posición
deseada constante.
1.2. Antecedentes 3
El modelo estudiado considera que la entrada de control de excitación neural u(t)
está restringida a 0 ≤ u(t) ≤ 1. De esta forma, mediante una dinámica de activación de
primer orden, el nivel de activación a(t) está restringido a 0 ≤ a(t) ≤ 1.
1.2. Antecedentes
En cuanto al estudio de contracción muscular y su representación matemática,
existe una gran cantidad de literatura disponible. En este trabajo se utilizan algunas de
estas referencias con el propósito de tener un panorama general de este tema. Una de las
referencias más relevantes en cuanto a la contracción muscular, es el trabajo desarrollado
por Hill en 1938 [16], el cuál define la relación que hay entre la velocidad de acortamiento
del músculo y la fuerza que éste produce. El modelo de Hill será discutido en este trabajo,
dado que es un referente importante.
Dentro de los modelos de tipo Hill, el modelo músculo-tendón de Zajac [44] es una
referenciaimportante cuando se trata de la representación de sistemas músculo-esqueléticos,
ya que sintetiza la interacción entre el músculo y el tendón. Se eligió utilizar este modelo
debido a que ha servido como referencia en gran cantidad de trabajos que estudian este tipo
de sistemas. Como se verá más adelante, uno de los objetivos de este trabajo es comprender
este tipo de modelos, es por eso que se considera adecuado estudiar el modelo original de
Zajac.
Una vez comprendido el modelo músculo-tendón, se puede proceder a la rep-
resentación de sistemas actuados por músculo-tendones, aśı como a la aplicación de he-
rramientas de control. Algunos trabajos disponibles en la literatura, en los que se presenta
una versión modificada del modelo de Zajac, o se estudian sistemas donde una masa es
movida por dos actuadores son mencionados a continuación:
En [8] se estudia un par de músculos en una configuración agonista-antagonista
interactuando sobre un sistema masa-resorte-amortiguador común. Un músculo se alarga,
mientras el otro se contrae proporcionalmente. Los músculos son estimulados por trenes de
pulsos. Se miden señales de fuerza y posición de cada músculo. El modelo usado contempla
la posición, velocidad, el nivel de activación, la rigidez y viscosidad del músculo. Se presenta
1.2. Antecedentes 4
un enfoque experimental para medir el trabajo hecho por el sistema de dos músculos. Se
trata el problema de maximización del trabajo producido por el par de músculos y se derivan
las condiciones para la activación óptima de los músculos para producir el máximo trabajo.
Los niveles de activación son obtenidos mediante expresiones de conmutación.
En [9] se desarrolla y analiza un modelo de un grado de libertad para locomoción
en el plano horizontal de un sistema de varias piernas. El modelo es un sistema dinámico
h́ıbrido que incorpora activación y pares de músculos agonista-antagonista de tipo Hill,
que manejan una masa puntual a lo largo de una ĺınea. El trabajo mencionado presenta
una sección que considera una configuración donde sólo el músculo agonista está activo
y el músculo antagonista está relajado, por lo que la fuerza producida por el antagonista
depende únicamente de su longitud.
En [14] (tesis doctoral) se establece un modelo del sistema de control neuro-
músculo-esquelético (que incluye control neural, dinámica de activación, actuadores músculo-
tendón y mecánica músculo-esquelética), se propone un algoritmo para estimar las fuerzas
musculares usando el modelo y se investigan las propiedades del modelo tomando en cuenta
la masa y elementos viscosos del músculo (el modelo músculo-tendón utilizado es una versión
modificada del propuesto en [44]). Luego se aplica control cuadrático lineal para calcular la
retroalimentación óptima de los contraladores del modelo para regular la postura y cami-
nata bajo pequeñas perturbaciones. Se hace una comparación entre la retroalimentación de
los receptores musculares calculada por el modelo y las observaciones experimentales.
En [26] se desarrolla un modelo de la mecánica del movimiento horizontal del
ojo. El movimiento estudiado es controlado por dos actuadores en una relación agonista-
antagonista, usando un modelo músculo-tendón basado en los trabajos [15] y [44]. El mo-
delo presentado toma en cuenta la activación de ambos músculos. El resultado es la repre-
sentación del sistema en variables de estado y la simulación del modelo. En dicho trabajo,
no se proponen controladores neurales.
En [36] se presenta una simulación con las ecuaciones diferenciales que describen
la activación muscular y la dinámica de contracción del músculo-tendón [44], usando un
modelo muscular de tipo Hill. El modelo es una masa sin fricción movida por dos actuadores
músculo-tendón en una relación agonista-antagonista (llamada juego de tira y afloja).
1.3. Objetivos de la investigación 5
El trabajo de maestŕıa [28] se enfoca en la dinámica y control de la postura en
seres humanos, mediante modelos que incorporan: mecánica de cuerpos ŕıgidos, dinámicas
de contracción y de excitación neural en un modelo músculo-esquelético asociado. Se utiliza
el regulador lineal cuadrático. El modelo músculo-tendón de Zajac [44] es modificado. En
la tesis de doctorado del mismo autor [29], se presentan mejoras al modelo biomecánico
desarrollado en [28], el problema de control es resuelto mediante la teoŕıa de control óptimo.
En [41], se comparan las ventajas y desventajas de tres tipos de modelos: ecuación
diferencial de segundo orden, modelo de Hill y modelo de Huxley. Se utiliza un modelo
músculo-articulación de tipo antagonista basado en un modelo de Hill.
Otros trabajos recientes en los que se utiliza un modelo músculo-tendón son: [5],
[27] y [31].
La principal diferencia entre este trabajo y la bibliograf́ıa aqúı referida, es que
el modelo original de Zajac no ha sido estudiado en el contexto del control de sistemas
mecánicos que usan actuadores músculo-tendón. Además, pocos trabajos han presentado
una solución al problema de estabilización de sistemas meánicos actuados por subsistemas
músculo-tendón tomando en cuenta la restricción de saturación de la entrada de excitación
neural u(t) ∈ [0, 1] (ver [8], [28]). En lo que resta del presente caṕıtulo se explicarán los
objetivos y aportaciones del presente trabajo.
1.3. Objetivos de la investigación
1.3.1. Objetivo general
Utilizar herramientas clásicas de control automático para estudiar la estabilización
de una configuración deseada constante de sistemas mecánicos actuados por subsistemas
músculo-tendón, mediante controladores de excitación neural (también llamada excitación
muscular).
1.3.2. Objetivos espećıficos
1. Estudio de bibliograf́ıa correspondiente a las propiedades, mecánica de contracción y
modelo del músculo esquelético.
1.4. Aportaciones 6
2. Estudio del modelo músculo-tendón propuesto por Zajac [44].
3. Estudio de casos particulares de la dinámica de contracción del modelo músculo-
tendón: Caso I (el músculo operando en la región plana de su curva Fuerza-Longitud)
y Caso II (el músculo operando en la región ascendente de su curva Fuerza-Longitud).
4. Estudio del control de posición de un sistema de segundo orden movido por uno o dos
actuadores músculo-tendón, utilizando controladores sin saturación.
5. Estudio del control de posición de un sistema de segundo orden movido por dos actu-
adores músculo-tendón, utilizando controladores con saturación.
1.4. Aportaciones
Los siguientes puntos son aportaciones del presente trabajo:
Modelado de sistemas mecánicos que usan actuadores músculo-tendón usando el mo-
delo de Zajac (1989).
Utilización de herramientas de control clásico en el análisis y diseño de controladores
para dichos sistemas.
Propuesta de controladores lineales de excitación neural no saturados.
Propuesta de controladores de excitación neural saturados a través del uso de la teoŕıa
de sistemas conmutados.
Diseñar un controlador saturado para el control de posición de un motor de corriente
directa.
Si bien es cierto que no se presentan comparaciones con otros modelos músculo-
tendón y con otras metodoloǵıas de control, el presente trabajo responde a la cuestión de
utilizar uno de los primeros modelos dinámicos que modelan la fuerza de contracción para
controlar sistemas mecánicos.
En cuanto al las principales herramientas de control automático utilizadas en esta
tesis, se pueden mencionar:
1.5. Organización de la tesis 7
Linealización de sistemas no lineales.
Teoŕıa de Lyapunov.
Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz.
Localización de ráıces.
Control de sistemas conmutados.
Para encontar las funciones comúnes de Lyapunov se utiliza SOSTOOLS, una caja
de herramientas libre de Matlabr para formular y resolver programas de optimizaciónde
suma de cuadrados (SOS por sum of squares) [33]. Dichas funciones comúnes de Lyapunov
forman parte del estudio de estabilidad de los sistemas conmutados presentados en este
trabajo.
Las simulaciones presentadas para corroborar los resultados teóricos, se obtienen
utilizando Matlabr; mientras que los resultados prácticos son obtenidos utilizando Simulinkr
y una plataforma experimental que se encuentra en el laboratorio de Sistemas Pasivos del
CITEDI-IPN.
1.5. Organización de la tesis
Caṕıtulo 2. Este caṕıtulo contiene una introducción a la definición y función del músculo
esquelético. El concepto y un breve resumen del proceso de contracción, aśı como las
definiciones del acople excitación-contracción y de los diferentes músculos involucrados
en un movimiento, son presentados.
Caṕıtulo 3. Se describen las propiedades del músculo; también se presenta una clasifi-
cación de los diferentes tipos de modelos y la representación mecánica del músculo
esquelético.
Caṕıtulo 4. Se describen las propiedades y el modelo del tendón presentado en [44].
Caṕıtulo 5. Se describen las dinámicas de activación y contracción del modelo del músculo-
tendón de [44].
1.5. Organización de la tesis 8
Caṕıtulo 6. Utilizando aproximaciones lineales del modelo Fuerza-Velocidad-Longitud de
Hill, en [44] se derivan dos casos particulares del modelo general del músculo-tendón,
los cuales son presentados en este caṕıtulo.
Caṕıtulo 7. En este caṕıtulo se utilizan los casos I y II del modelo de Zajac [44] para
modelar sistemas mecánicos movidos por uno o dos actuadores músculo-tendón. Se
presentan controladores sin saturación tipo proporcional-derivativo (PD), como entra-
da de control de excitación neural. El objetivo de control es lograr que un determinado
sistema mecánico alcance una posición deseada constante.
Caṕıtulo 8. En este caṕıtulo se presenta una solución al problema de control de posición de
un sistema mecánico movido por dos actuadores músculo-tendón en una configuración
agonista-antagonista utilizando controladores que permitan satisfacer la condición de
saturación del modelo de Zajac. La prueba de estabilidad es llevada a cabo con el uso de
la teoŕıa de sistemas conmutados y herramientas de control clásico como linealización
de sistemas no lineales y localización de ráıces. Se presentan resultados de simulación.
Caṕıtulo 9. El propósito de este caṕıtulo es el modelado, simulación y validación exper-
imental de sistemas dinámicos actuados por subsistemas músculo-tendón. Se estudia
la estabilidad de un sistema conmutado agonista-antagonista formado por un motor
de CD y dos actuadores músculo-tendón. Se utilizan controladores u(t) saturados y
se presentan resultados de simulación y experimental.
Caṕıtulo 10. Se presentan las conclusiones sobre los resultados obtenidos y posibles tra-
bajos futuros.
Apéndice A. En este apartado se describen conceptos y teoremas de la teoŕıa de control
automático utilizados a lo largo de la tesis.
Apéndice B. Se listan los códigos fuente en Matlabr, utilizados para las simulaciones.
Apéndice C. Algunos conceptos básicos del control neurológico del movimiento, con el fin
de tener una visión general de este complejo proceso son presentados en este apéndice.
1.5. Organización de la tesis 9
Apéndice D. Se listan las definiciones de algunos de los términos utilizados en este trabajo
de tésis.
Caṕıtulo 2
Músculo esquelético y contracción
muscular
Los músculos del cuerpo se dividen en esqueléticos, cardiacos y lisos [3, 7, 37, 39].
El tipo de músculos tratados en esta tesis son los esqueléticos. Éstos forman parte del sistema
músculo-esquelético, el cual incluye también huesos y articulaciones. Las funciones de este
sistema son: mantenimiento de la forma corporal, soporte y protección de las estructuras de
partes blandas, movimiento, respiración y almacenamiento de calcio y fósforo de los huesos
[3].
En este caṕıtulo se presentan algunas definiciones referentes al músculo esquelético
ya que son los responsables del movimiento, tema de estudio de este trabajo.
2.1. Definición y función de músculo esquelético
Las siguientes dos definiciones son tomadas de la literatura.
El músculo esquelético es un tejido constituido por células contráctiles, capaces de
producir movimiento o tensión [3].
Los músculos esqueléticos son órganos que pueden equipararse a motores flexibles y
elásticos que se insertan en palancas ŕıgidas, los huesos, de manera que al contraerse
10
2.2. Organización del músculo esquelético 11
producen un giro de estas palancas a través de las articulaciones, las cuales funcionan
como puntos de apoyo [37].
La contracción de la musculatura esquelética suele ser voluntaria o refleja [3].
Los músculos esqueléticos son denominados aśı por que se unen y mueven al es-
queleto. Estos músculos producen rotación de los huesos al rededor de las articulaciones,
son los responsables de los movimientos de los segmentos del cuerpo sujetos a control vol-
untario. El cuerpo humano tiene más de 600 músculos de este tipo. También son llamados
músculos estriados (por su apariencia rallada) o músculos voluntarios [7, 39, 42, 48].
2.2. Organización del músculo esquelético
Las partes que componen el músculo esquelético se mencionan a continuación (ver figuras
2.1 y 2.2 ):
El epimisio es el tejido conectivo que rodea todo el músculo. Las células mus-
culares individuales son llamadas fibras musculares. Los fasćıculos son haces de fibras
envueltos en una vaina de tejido conectivo y están rodeadeos por otra vaina de tejido conec-
tivo llamada perimisio. Una fibra muscular individual está rodeada por una fina vaina de
tejido conectivo (endomisio) la cual conecta las fibras individuales dentro de un fasćıculo.
El sarcolema es una membrana de plasma que rodea la fibra. En el extremo de cada fi-
bra su sarcolema se une con el tendón. Los tendones están formados por cuerdas fibrosas
de tejido conectivo que transmiten la fuerza generada por las fibras a los huesos, creando
con ello el movimiento. Las fibras están compuestas de miofibrillas que son los elementos
contráctiles de los músculos esqueléticos. La disposición sistemática de las miofibrillas da al
músculo su apariencia rallada. A su vez las miofibrillas están compuestos de miofilamen-
tos, llamados filamento delgado (actina) y filamento grueso (miosina). El sarcoplasma
es una sustancia similar a la gelatina y llena los espacios entre las miofibrillas. Los tu-
bos transversales (tubos T) son extensiones del sarcolema. Están interconectados cuando
pasan entre las miofibrillas, permitiendo que los impulsos nerviosos recibidos por el sarcole-
ma sean transmitidos rápidamente a las miofibrillas individuales (ver apéndice C). Dentro
de las fibras musculares se halla también una red longitudinal de túbulos, conocida como
2.2. Organización del músculo esquelético 12
ret́ıculo sarcoplásmico, y corren paralelos a las miofibrillas y dan vueltas alrededor de
ellas. Sirven como depósito de calcio, que es escencial para la contracción muscular. Bajo
el microscopio las miofibrillas muestran bandas obscuras (bandas A) y claras (bandas I)
de forma alternada, las cuales muestran el traslape de los miofilamentos. En medio de cada
banda I hay una ĺınea vertical densa llamada ĺınea Z. El área entre dos ĺıneas Z es llamada
sarcómero, el cual es la unidad funcional más pequeña del músculo esquelético. El espa-
cio entre los miofilamentos consiste en una estrutura de puente-cruzado, es ah́ı donde
se genera la tensión y toma lugar el acortamiento y alargamiento. Elemento con-
tráctil CE (contractile element) se le llama a la parte del músculo que genera la tensión,
es éste el elemento que se acorta o alarga conforme se hace trabajo positivo o negativo
[7, 39, 40, 42, 48].
Figura 2.1: Organizacióndel músculo esquelético. Imagen modificada de [50].
2.2. Organización del músculo esquelético 13
Figura 2.2: Organización de la fibra muscular. Imagen modificada de [52] y [53].
2.2. Organización del músculo esquelético 14
La miosina es un filamento grueso, está localizada t́ıpicamente en el centro del
sarcómero. Causa la banda obscura (banda A). La miosina se dobla formando una cabeza
globular en un extremo. Las cabezas se extienden hacia fuera del filamento grueso en pares.
Éstas contienen sitios de enlace para la actina. Dado que las cabezas de miosina tienen la
habilidad para establecer un enlace entre los filamentos grueso y delgado, han sido llamadas
puentes cruzados. Las cabezas de miosina están dispuestas de tal forma que jalan los
filamentos de actina hacia la parte central del sarcómero [7, 39].
Cada filamento delgado (actina), se compone en realidad de tres tipos de moléculas
[7, 39]:
Actina: forma la columna vertebral del filamento. Cada molécula de actina tiene un
lugar de enlace activo que sirve de punto de contacto con la cabeza de miosina.
Tropomiosina: es una proteina en forma de tubo que se enrolla alrededor de hilos
de actina.
Troponina: es una proteina más compleja que se une a intervalos regulares a los dos
hilos de actina y a la tropomiosina.
La tropomiosina y la troponina actúan junto con iones de calcio para mantener la
relajación o para iniciar la acción de la miofibrilla (el elemento contráctil) [39].
2.3. Contracción muscular 15
2.3. Contracción muscular
Cuando son estimulados por un nervio (ver apéndice C), los músculos se acor-
tan, siempre que puedan superar la resistencia externa que se les impone. Acortamiento y
producción de fuerza del músculo es referido como contracción [7]. Como se mencionó an-
teriormente en el caṕıtulo 1, este término se utiliza indistintamente en la literatura para
referirse a la producción de fuerza (incremento, decremento o longitud fija del músculo).
Los responsables de la contracción muscular son los filamentos de actina y miosina
[39]. La contracción en el músculo esquelético inicia con potenciales de acción, los cuales
son transferidos desde las fibras nerviosas a las fibras musculares (ver apéndice C).
La secuencia de acontecimientos que conducen a una acción muscular son:
a) Una motoneurona libera el neurotransmisor acetilcolina (ACh), que se fija a receptores
en el sarcolema. Si se une suficiente ACh, se genera un potencial de acción en la fibra
muscular.
b) El impulso eléctrico viaja a través de la estructura de túbulos de la fibra (túbulos T y
ret́ıculo sarcoplásmico) hacia el interior de la célula. La llegada de una carga eléctrica
hace que el ret́ıculo sarcoplásmico libere grandes cantidades de calcio almacenados en
el sarcoplasma.
c) El calcio se une con la troponina sobre el filamento de actina, y la troponina expulsa la
tropomiosina de los puntos activos, permitiendo que las cabezas de miosina se adhieran
al filamento de actina (se cree que en estado de reposo, las moléculas de tropomiosina
se hallan encima de los puntos activos de los filamentos de actina, impidiendo la unión
de las cabezas de miosina) [39, 42].
El conjunto de eventos que se producen desde el inicio de un potencial de acción
en el sarcolema, la contracción del músculo y la relajación subsecuente es llamado Acople
excitación-contracción (EC) [3]. Éste es un proceso que implica la transmisión de señales
a lo largo de las fibras nerviosas, a través de la unión neuromuscular y a lo largo de las
fibras musculares [7]. Una secuencia de potenciales de acción en la unión neuromuscular
es denominada excitación u(t) [28]. Esta excitación a su vez, está acoplada a la parte
2.4. Diferentes músculos que intervienen en un movimiento 16
contráctil a través de la llamada activación muscular. La activación muscular puede ser
medida a través de la fuerza activa en contracciones isométricas (subsección 3.1.2) [44].
La teoŕıa de los filamentos deslizantes explica cómo se acortan las fibras
musculares. A grandes rasgos, cuando un puente cruzado de miosina se une a un filamento
de actina, los dos filamentos se deslizan uno a lo largo del otro generando fuerza [37, 39].
Las caracteŕısticas básicas de esta teoŕıa fueron introducidas por Huxley [18].
2.3.1. Tipos de contracción
La contracción se puede expresar de dos formas en términos de acortamiento o de
tensión (consultar referencias [3, 24, 39, 42]).
Contracción isométrica o estática: En este tipo de contracción, la longitud del
músculo permanece constante. El peso levantado es igual a la fuerza del músculo.
Concéntrica: El músculo se acorta. El peso levantado es menor que la fuerza del
músculo.
Excéntrica: El músculo se alarga. El peso es mayor que la fuerza que el músculo
puede producir.
Contracción isotónica: El músculo está sometido a una tensión constante (puede
ser concéntrica o excéntrica).
Contracción isocinética: El músculo está sometido a una velocidad constante puede
ser concéntrica o excéntrica).
2.4. Diferentes músculos que intervienen en un movimiento
La interacción entre diferentes músculos durante un movimiento de la articulación
sobre la cual actúan es explicada en [47] de la siguiente forma:
En cada ejercicio hay cuatro principales funciones de los músculos asocia-
dos, agonistas, antagonistas, estabilizadores y asistentes. El agonista es general-
mente el músculo que estamos ejercitando. El antagonista es el músculo opuesto
y actúa en contra del agonista. Los músculos estabilizadores son aquellos que
2.4. Diferentes músculos que intervienen en un movimiento 17
mantienen una articulación en el lugar para que el ejercicio pueda efectuarse.
Los asistentes ayudan al músculo agonista a hacer el trabajo. Los músculos es-
tabilizadores no necesariamente se mueven durante el ejercicio, pero proveen
soporte estacionario.
La relación agonista-antagonista cambia dependiendo de qué músculo se de-
sea ejercitar. Sin embargo, cada grupo de músculos tiene un grupo opuesto.
En [39] se dividen los músculos en agonistas, antagonistas y sinergistas (músculos
que ayudan a los agonistas). Se dice que los músculos actúan sobre los huesos a los que
están unidos, tirando de los unos hacia los otros. Los sinergistas facilitan esta acción y a
veces intervienen en la afinación en la dirección del movimiento. Los músculos antagonistas
desempeñan una función protectora.
Como se puede observar, durante el movimiento de una articulación, hay más de
un músculo contribuyendo a dicho movimiento. De esta forma, se tienen más actuadores que
grados de libertad. Aunque existen diferencias en cuanto al nombre otorgado a la función
que desempeña cada músculo durante el movimiento, la literatura coincide en que los dos
principales son los músculos agonista y antagonista.
Una configuración donde sólo intervienen los músculos agonista y antagonista ha
sido reportada en [8, 9, 26, 41]. En este trabajo primero se trata el caso más simple: utilizan-
do sólo un músculo (agonista). Esto con la finalidad de estudiar la configuración que aqúı es
considerada como aquella que presenta menos complejidad en el análisis de estabilidad (ver
caṕıtulo 7, secciones 2 y 3). En los caṕıtulos 7 (ver secciones 4 y 5), 8 y 9 del presente
trabajo de tesis se presenta el estudio de la configuración agonista-antagonista.
Caṕıtulo 3
Propiedades y modelo del músculo
En este caṕıtulo se describen las propiedades del músculo, se presenta la clasi-
ficación más común de los diferentes tipos de modelos y la representación mecánica del
músculo esquelético.
3.1. Propiedades
Las propiedades del músculo esquelético están dadas por la arquitectura muscular,
la relación Fuerza-Velocidad y la relación Fuerza-Longitud. Dichas propiedades son presen-
tadas en esta sección.
3.1.1. Arquitectura muscular
Ladisposición de las fibras musculares con respecto al eje de generación de la fuerza
se llama arquitectura muscular. La arquitectura muscular incluye la masa muscular, la
longitud de las fibras y el ángulo de plumación α, el cual es la dirección de la fibra
relativa a la ĺınea de acción del músculo [7, 37, 44] . De acuerdo al ángulo de plumación las
fibras musculares se dividen en:
Fusiformes: Fibras paralelas al eje de transmisión de la fuerza.
Plumadas: Fibras insertadas obĺıcuamente en el tendón.
18
3.1. Propiedades 19
Dependiendo del numero (n) de distintas direcciones de fibras, el músculo es lla-
mado unipennate (n = 1), bipennate (n = 2), o multipennate (n ≥ 3) [7]. La componente
fc de la fuerza de la fibra f en la dirección de la ĺınea de acción del músculo está dada por
fc = f cos(α).
El número de ángulos requeridos para describir la geometŕıa de un músculo es igual al
número de diferentes direcciones de fibras. El ángulo de plumación cambia como una función
de la longitud del músculo y la producción de fuerza [7].
En el modelo estudiado en este trabajo [44], el músculo es considerado como una
colección de fibras de igual longitud y paralelas entre śı, donde todas las fibras están orien-
tadas en la dirección del tendón o a un ángulo agudo α > 0.
Por su velocidad de contracción y capacidad para producir fuerza, las fibras del
músculo esquelético se pueden dividir en tres tipos como se muestra en la tabla 3.1.
Tipo Velocidad de fuerza y contracción Resistencia a la fatiga
I lenta, 10 % de la fuerza del tipo IIb alta
IIa rápida, fuerza y velocidad de contracción menores
que las del tipo IIb intermedia
IIb rápida y de gran fuerza baja
Tabla 3.1: Tipos de fibras musculares [3, 39].
3.1.2. Propiedad Fuerza-Longitud
La presente subsección está basada en las referencias [3, 7, 11, 24, 25, 34, 40, 43, 44].
Por conveniencia matemática, el más simple modelo de activación a(t) es definido
como el porcentaje de fibras musculares que son instantáneamente activadas a un tiempo
dado t. El incremento de fibras contrayéndose activamente, y el incremento en la frecuencia
de estimulación de cada fibra activa incrementa la activación cuando a(t) es definida de esta
forma [43]. Los valores de a(t) se encuentran en el intervalo a ∈ [0, 1], donde a = 1 equivale
al 100% de la activación muscular [44].
La curva Fuerza-Longitud (FL) es una propiedad de estado estable del tejido mus-
cular; relaciona la fuerza y la longitud del músculo en contracciones isométricas. Esta
3.1. Propiedades 20
relación es obtenida mediante la estimulación máxima (ver la curva que corresponde al
100% de activación en la figura 3.1) en un músculo esquelético a diferentes longitudes y
midiendo la tensión generada a cada longitud [25, 44].
Figura 3.1: Curva Fuerza-Longitud. LM0 es la longitud óptima. La fuerza activa depende de
la longitud y de la activación muscular (100% máxima, 60%, 30% y 0% submáximas). La
fuerza pasiva es independiente de la activación y es adherida a la fuerza activa para producir
la fuerza total. Imagen modificada de [43].
Lieber en 1993 [24], hace una breve recopilación bibliográfica de los primeros es-
tudios en la relación Fuerza-Longitud de un músculo:
Los experimentos biológicos originales efectuados por Blix [4] demostraron
que la fuerza desarrollada por un músculo durante contracción isométrica (i.e.,
cuando no es permitido que el músculo se acorte) varia con la longitud del
músculo.
El trabajo de Blix [4] también es mencionado en [34]:
Blix efectuó experimentos en músculos estriados de rana y encontró [...] que
la fuerza isométrica aumentó con incremento de longitudes, alcanzó una región
plana, luego disminuyó.
Los experimentos realizados por Gordon y colaboradores [11] son un trabajo im-
portante para comprender la relación Fuerza-Longitud a nivel de sarcómero (la unidad
funcional más pequeña del músculo).
3.1. Propiedades 21
En la relación FL, la longitud del tejido muscular LM a la cual se alcanza la máxima
fuerza activa FM0 (máxima fuerza activa producida por el elemento contráctil CE) se llama
longitud óptima y aqúı es expresada como LM0 . A esta longitud hay un mayor número
de puentes cruzados entre los filamentos de actina y miosina. Si hay un alargamiento más
allá de esta longitud, los filamentos se apartan, se reduce el número de puentes cruzados y
con ello la fuerza. Si hay un acortamiento a una longitud menor que LM0 , hay un traslape
entre los puentes-cruzados, cuando se alcanza un traslape total la tensión se reduce a cerca
de cero.
Las longitudes óptima LM0 y de relajación (longitud de reposo) de las fibras mus-
culares tienen valores muy aproximados, en [43] y en otros trabajos, estos dos valores se
consideran iguales por razones prácticas.
La fuerza total en un músculo a una longitud dada FML , es la fuerza producida por
un músculo activo [44], es decir por la contracción isométrica del músculo como respuesta
a un est́ımulo. Es la combinación de la fuerzas producidas por los elementos contráctil y
pasivo del músculo.
Fuerza pasiva FPE es la tensión registrada si un músculo no excitado, ya sea
neural o eléctricamente, es estirado a varias longitudes (no depende de la activación) [24, 44].
Resulta del estiramiento del músculo en ausencia de contracción y es el producto de las
fuerzas elásticas [3]. Se presenta nominalmente a partir de la longitud óptima [44]. La
tensión pasiva incrementa exponencialmente a medida que el músculo es estirado [43].
La fuerza activa FCEL es el aumento en fuerza (del elemento contráctil) obser-
vado en activación de un músculo y es asociado con las interacciones entre miofilamentos
(miosina y actina) [34]. Esta fuerza depende no sólo de la longitud del músculo, sino tam-
bién de su nivel de activación [40, 43, 44] (figura 3.1). Esta fuerza también se define como
la diferencia entre la fuerza total y la fuerza pasiva y se presenta nominalmente cuando
LM ∈
[
0.5LM0 , 1.5L
M
0
]
[44].
La curva FL puede dividirse en tres regiones de operación según la longitud del
músculo. Las definiciones de estas regiones son tomadas de la literatura y se presentan a
continuación:
3.1. Propiedades 22
Región plana (LM = LM0 ): Es aquella en la que un cambio en la longitud, no
ocasiona un cambio en la fuerza producida. Más allá de los extremos de esta región
(mayores o menores longitudes) la fuerza activa decrece. En esta parte de la curva,
la longitud LM corresponde a la longitud óptima LM0 . Obsérvese en la figura 3.1 que
la región plana es un pequeño rango de longitudes, en las cuales el músculo puede
alcanzar el 100% de su máxima fuerza activa FM0 .
Región ascendente(LM < LM0 ): Es la parte de la curva donde las longitudes son
menores que las que se encuentran en la región plana. La fuerza pasiva nominalmente
es 0 y la fuerza total es igual a la fuerza activa.
Región descendente (LM > LM0 ): En esta región las longitudes son mayores que
las que se encuentran en la región plana. La fuerza activa decrece y la fuerza pasiva
incrementa [11].
Una vez que se tienen las definiciones relativas a la propiedad FL, la fuerza total debida a
la longitud puede ser expresada como:
FML = aF
CE
L + F
PE, (3.1)
donde FML es la fuerza del tejido muscular debida a la longitud y a la activación muscular
a, FCEL y F
PE son las fuerzas activa y pasiva respectivamente.
3.1.3. Propiedad Fuerza-Velocidad
Durante cualquier movimiento dado ocurre alternadamente acortamiento y alar-
gamiento [40]. La relación Fuerza-Velocidad (FV) describe la máxima fuerza FMV en estado
estable del tejido muscular como una función de su tasa de cambio de longitud [7]. La
curva para máxima activación (etiquetada con 100% en la figura 3.2) es la que se presenta
comúnmente en la literatura.
Las contracciones isométricas, es decir, sin variación de longitud (definidasen la
subsección 2.3.1), están a lo largo de la parte de la gráfica donde la velocidad de acortamiento
V M es cero y deben ser consideradas como un caso especial dentro del rango de todas las
velocidades posibles [40].
3.1. Propiedades 23
Figura 3.2: Curva Fuerza-Velocidad. Vm es la velocidad máxima de acortamiento. La fuerza
está escalada por la activación (100% máxima, 75%, 50% y 25% submáximas). Imagen
modificada de [43].
Durante contracciones concéntricas (acortamiento), a medida que la carga aumen-
ta, la velocidad disminuye (ver figura 3.2). Para contracciones isotónicas (carga constante),
esta parte de la curva FV fue descrita por Hill en 1938 [16] y es expresada por una ecuación
hiperbólica, la cual es presentada más adelante en este caṕıtulo.
Durante contracciones excéntricas (alargamiento), la curva FV es diferente que
para contracciones concéntricas. Existe un conocimiento relativamente limitado de esta
parte de la curva FV y raramente es descrito por una ecuación estándar [7, 40]. La forma de
la curva es diferente para contracciones isotónicas e isocinéticas (velocidad constante), siendo
la primera la que se utiliza comunmente (la figura 3.2 presenta contracciones isotónicas
tanto para alargamiento como para acortamiento). Tanto para contracciones isotónicas como
isocinéticas, parece ser que la curva FV presenta una discontinuidad en el punto isométrico:
el incremento en fuerza asociado con alargamiento lento es mucho mayor que el decremento
en fuerza asociado con las velocidades correspondientes de acortamiento [7].
3.2. Modelos musculares 24
La máxima fuerza alcanzada durante alargamiento en contracciones isotónicas
está limitada superiormente por 2FM0 [43] ó por 1.8F
M
0 [44]. La velocidad máxima de
acortamiento Vm vaŕıa según el tipo de fibra (ver tabla 3.1) [3, 7, 39]. Al igual que como
sucede con la relación Fuerza-Longitud activa, la relación FV es escalada por la activación
muscular [40, 43, 44].
En algunos trabajos, el signo de la velocidad V M durante acortamiento en la curva
FV, suele representarse con signo negativo [43, 44]; mientras que en otros se utiliza el signo
positivo [16]. La velocidad de alargamiento es de signo opuesto a la de acortamiento.
En el modelo aqúı estudiado se toman como positivas las velocidades durante
alargamiento y negativas durante acortamiento y la curva FV es obtenida mediante con-
tracciones isotónicas (tanto para alargamiento como para acortamiento).
3.1.4. Propiedades de los elementos pasivos
El tejido muscular consiste de un elemento activo (elemento contráctil) y tejido
conectivo pasivo. El tejido conectivo es dividido en elemento elástico en paralelo (parallel
elastic element) PE y elemento elástico en serie (series elastic element) SEE. El primero
rodea el elemento contráctil y tiene influencia en la curva Fuerza-Longitud (fuerza pasiva,
subsección 3.1.2), actua de forma similar a una banda elástica con un comportamiento no
lineal. El segundo se encuentra en serie con el elemento contráctil e incluye al tendón [40].
El elemento pasivo en serie transmite la fuerza del músculo al hueso. Está asociado con
elementos linealmente elásticos en el puente cruzado y los filamentos de actina y miosina,
aśı como con los tendones y aponeurosis [7]. Las propiedades y el modelo del tendón descritos
en [44] son presentados en el caṕıtulo 4.
3.2. Modelos musculares
La teoŕıa presentada en esta sección está basada principalmente en las referencias
[7] y [16].
En la literatura, los modelos musculares se dividen principalmente en dos tipos:
modelos de tipo Hill y modelos de tipo Huxley, también llamados modelos de puente cruzado.
3.2. Modelos musculares 25
Estos dos tipos de modelos son tratados a continuación:
3.2.1. Modelos musculares de tipo Hill
Los experimentos de Hill en 1938 [16] lo condujeron a su famoso modelo llamado
“modelo de Hill”. Este modelo fue realizado en función de la tasa de enerǵıa liberada
durante la contracción muscular. Durante contracciones isométricas el músculo produjo
calor, cuando repentinamente fue liberado bajo una carga, se inició el acortamiento del
músculo, hubo un incremento en la tasa de producción de calor proporcional a la velocidad
de acortamiento y terminó cuando el músculo terminó de acortarse. El calor total extra
durante acortamiento fue proporcional a la distancia acortada. La ecuación de Hill obtenida
mediante estos experimentos se escribe de la siguiente forma:
(FMV + aH)V
M = bH(F
M
0 − F
M
V ), (3.2)
donde FMV es la fuerza del músculo a una velocidad determinada, F
M
0 es la máxima fuerza
que el músculo puede producir en una contracción isométrica, V M corresponde a la velocidad
de acortamiento del músculo, bH es una constante que define la tasa absoluta de liberación
de enerǵıa, y tiene unidades de velocidad, aH es la constante que relaciona el exceso de calor
liberado y la cantidad de acortamiento en unidades de fuerza.
Es importante mencionar que Hill [17] demostró un valor aproximado de 14 para
la relación aH
F M
0
.
Las constantes FM0 y aH dependen de la sección transversal y la activación del
músculo (para FM0 la activación es máxima). La ecuación (3.2) describe la pérdida de
fuerza con el incremento de velocidades de acortamiento para un músculo máximamente
activado a una longitud óptima o cercanamente óptima [7]. Cuando FMV = 0, la velocidad de
acortamiento V M es igual a una cantidad Vm llamada velocidad máxima de acortamiento.
Si V M = 0, entonces FMV = F
M
0 . Esta ecuación representa una hipérbola con aśıntotas en
FMV = −aH y V
M = −bH .
Basado en el trabajo experimental disponible, Hill [16] concluye que un músculo
activo contiene un elemento elástico no amortiguado y un elemento amortiguado en serie con
un elemento elástico no amortiguado. Revisando toda la evidencia experimental, Hill [16]
3.2. Modelos musculares 26
concluye que el músculo esquelético activo está compuesto principalmente de un elemento
contráctil en serie con un elemento puramente elástico (modelo básico de Hill). El elemento
contráctil está gobernado por la ecuación (3.2).
Para tomar en cuenta la fuerza pasiva observada durante alargamiento (subsección
3.1.2), el modelo básico de Hill es t́ıpicamente suplementado con un resorte elástico no
amortiguado en paralelo con el elemento contráctil o en paralelo con el elemento contráctil
y el elemento elástico en serie (ver subsección 3.2.3).
En la ecuación (3.2) la velocidad de acortamiento es positiva. Dado que en este
trabajo se consideran velocidades negativas durante acortamiento, el modelo de Hill se
reescribe como:
(FMV + aH)(−V
M ) = bH(F
M
0 − F
M
V ). (3.3)
Resolviendo para FMV , la ecuación (3.3) puede ser reescrita como
FMV =
bHF
M
0 + aHV
M
−V M + bH
. (3.4)
De esta forma, el modelo de Hill ha sido deducido para un intervalo de velocidades negativas,
lo que significa que el modelo refleja la relación entre fuerza y velocidad negativa del músculo
(acortamiento).
La ecuación (3.4) normalizada (ver referencia [49]) con los valores máximos Vm y
FM0 puede escribirse como:
F̃MV =
1 + Ṽ M
1 − Ṽ
M
c
, (3.5)
donde
Ṽ M = V
M
Vm
∈ [−1, 0] es la velocidad normalizada del músculo,
Vm es la velocidad máxima de acortamiento, la cual sucede cuando F
M = 0,
F̃MV =
F M
V
F M
0
∈ [0, 1] es la fuerza normalizada del músculo debida a la velocidad,
y
c = aH
F M
0
= bH
Vm
≈ 14 , constante.
3.2. Modelos musculares 27
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ṽ M
F̃
M
Figura 3.3: Relación Fuerza-Velocidad de la ecuación de Hill [16] definida para velocidades
negativas durante acortamiento. Ṽ M ∈ [−1, 0] es la velocidad de acortamiento normalizada
y F̃M ∈ [0, 1] es la fuerza normalizada. Figura obtenida con el programa de la sección B.1.
La gráfica resultante de la ecuación (3.5) es presentada en la figura 3.3.
Las dificultadesde los modelos de tipo Hill son que la división de fuerzas entre
el elemento contráctil y el elemento en paralelo, y la separación de estiramientos entre el
elemento en serie y el elemento contráctil, son más bien arbitrarias. Una limitación adicional
es que la ecuación (3.2) es válida sólo para condiciones de máxima activación, acortamiento,
y longitud óptima o cercanamente óptima. Dichas condiciones son raramente encontradas
durante movimiento voluntario en la vida diaria [7].
A pesar de sus limitaciones, el modelo de Hill es el más frecuentemente usado en
modelos biomecánicos de sistemas músculo-esqueléticos que cualquier otro modelo. Esto
debido a su simplicidad matemática y a las predicciones cualitativamente correctas para
una variedad de condiciones contráctiles [7].
3.2. Modelos musculares 28
3.2.2. Modelos musculares de tipo Huxley
Este tipo de modelos se enfocan en el elemento contráctil. Integran el conocimiento
de las propiedades estructurales del músculo esquelético con el conocimiento de aspectos
mecánicos y biomecánicos de la contracción. La teoŕıa de puentes cruzados de producción
de fuerza muscular fue descrita primeramente por Andrew Fielding Huxley [18]. Éste debe
ser considerado el primer intento por una teoŕıa unificada de contracción muscular - unifi-
cación en el sentido que toma en cuenta simultáneamente los cambios mecánicos, térmicos,
qúımicos y estructurales que ocurren durante la contracción. Este tipo de modelos permite
la cuantificación de producción de calor y enerǵıa durante la contracción, pero es raramente
usado en aplicaciones biomecánicas debido a su complejidad matemática [7].
Otros nombres dados a los modelos de tipo Hill son: “aproximación de caja negra”
[44], phenomenoligical [7] y masa-resorte-amortiguador [6]. Mientras que los modelos Huxley
también son llamados: “aproximación reduccionista” [44], estructural [7] y biof́ısicos [6].
Otros modelos de la literatura son puramente matemáticos, los cuales como se menciona en
[6], pueden ser “libres” de cuaquier mecanismo f́ısico y puede ser dif́ıcil ganar intuición en
el entendimiento y predicción del comportamiento del músculo.
3.2.3. Representación mecánica del músculo
El músculo puede ser representado por un modelo mecánico como en la figura
3.4 [5, 44] o como en la figura 3.5 [7]. Una representación de este tipo es llamada modelo
muscular de tipo Hill [5, 7, 43, 44].
En estas figuras, CE es el elemento contráctil responsable de la fuerza activa
FCE , la cual depende de su longitud LCE , de su velocidad V CE y de la activación muscular
a(t). SEE es el elemento elástico en serie, PE es el elemento elástico en paralelo (llamado
también elemento pasivo) que produce la fuerza pasiva FPE , la cual depende sólo de la
longitud; FM es la fuerza total del músculo y LM es la longitud del músculo.
Las relaciones de longitud y de fuerza entre los elementos activo y pasivo cuando
el músculo es representado como en la figura 3.4 son:
LM = LPE = LSEE + LCE ,
3.2. Modelos musculares 29
Figura 3.4: Modelo muscular de tipo Hill: elemento elástico en paralelo con el elemento
contráctil y el elemento en serie. CE elemento contráctil, SEE elemento elástico en serie,
PE elemento elástico en paralelo, FCE fuerza activa, FPE fuerza pasiva, FM fuerza total,
a(t) activación muscular, LM longitud del músculo, V M velocidad del músculo.
FSEE = FCE,
FM = FSEE + FPE = FCE + FPE.
donde las letras L y F representan la longitud y fuerza del elemento correspondiente.
Si el músculo es representado como en la figura 3.5, con un elemento pasivo en
paralelo sólo con el elemento contráctil y a su vez, ambos en serie con un elemento elástico,
las relaciones de longitud y fuerza son:
LCE = LPE,
LM = LSEE + LPE = LSEE + LCE ,
FM = FSEE = FCE + FPE.
Utilizando cualquiera de las dos representaciones, se obtiene la misma longitud y
fuerza del músculo. Aśı, la fuerza total producida por el músculo como una función de la
longitud, la velocidad y activación muscular está dada por:
FM (LM , V M , a) = FCE + FPE, (3.6)
donde FM es la fuerza del músculo debida a una longitud LM , velocidad V M y activación
a(t); FCE es la fuerza activa desarrollada por el elemento contráctil del músculo y FPE es
la fuerza en el elemento pasivo. A su vez, la fuerza activa puede ser obtenida como:
FCE = aFMV F
CE
L , (3.7)
3.2. Modelos musculares 30
Figura 3.5: Modelo muscular de tipo Hill: elemento elástico en paralelo con el elemento
contráctil y ambos en serie con otro elemento elástico. CE elemento contráctil, SEE ele-
mento elástico en serie, PE elemento elástico en paralelo, FCE fuerza activa, FPE fuerza
pasiva, FM fuerza total, a(t) activación muscular, LM longitud del músculo, V M velocidad
del músculo.
donde FMV es la fuerza en el elemento contráctil debida a la velocidad (relación FV) y F
M
L
es la fuerza en el elemento contráctil debida a la longitud (relación FL) [9, 14, 42].
De la ecuación (3.6), se puede observar que la fuerza del músculo depende de su
velocidad de contracción, longitud y activación. La representación de la relación Fuerza-
Velocidad-Longitud (FVL) es dada a través de una superficie, la cuál comunmente es pre-
sentada sólo para activación máxima [40]. En la literatura es posible encontrar gran cantidad
de modelos matemáticos para obtener esta relación. Una aproximación de la relación FVL
para máxima activación del elemento contráctil, es presentada en [7] utilizando la ecuación
(3.2) del modelo de Hill (que modela contracciones concéntricas) para la relación Fuerza-
Velocidad y la siguiente ecuación como relación Fuerza-Longitud:
F̃CEL = −6.25
[
LCE
LCE
0
]2
+ 12.5
[
LCE
LCE
0
]
− 5.25, (3.8)
donde F̃CEL =
F CE
F CE
0
es la fuerza del elemento CE o fuerza activa debida a la longitud
normalizada con su fuerza máxima FCE0 , L
CE es la longitud del elemento CE y LCE0 es la
longitud óptima del elemento CE.
Nótese que la máxima fuerza activa FM0 y la velocidad de contracción V
M del
músculo definidas en la ecuación de Hill, son propiedades del elemento contráctil. De esta
forma FM0 = F
CE
0 y V
M = V CE. Entonces, la velocidad de contracción máxima del elemento
contráctil V CE0 es igual a la velocidad de contracción máxima del músculo Vm.
3.2. Modelos musculares 31
En la simulación de la superficie FVL del elemento CE aqúı presentada, se utiliza
(3.5) como relación Fuerza-Velocidad y (3.8) como relación Fuerza-Longitud. El uso de
(3.5) es debido a que en este trabajo se toman como negativas las velocidades durante
acortamiento y a que la ecuación (3.8) está normalizada respecto a FM0 . Con esto, la relación
FVL para máxima activación (100%) y con cantidades normalizadas queda:
F̃CE = F̃MV F̃
CE
L . (3.9)
Para obtener unidades de Newtons como en (3.7), es necesario multiplicar (3.9)
por FM0 , ya que (3.5) y (3.8) están normalizadas con respecto a este parámetro y los valores
resultantes están en el intervalo [0, 1]. La ecuación (3.9) supone máxima activación. Para
otros niveles de activación, se debe escalar (3.9) con a ∈ [0, 1].
Los parámetros utilizados para llevar a cabo la simulación son obtenidos de [7]:
LCE0 = 10 [cm],
FCE0 = 1000 [N],
V CE0 = 100
[cm
s
]
,
LCE ∈ [6, 14] [cm],
V CE ∈ [0, 100]
[cm
s
]
.
Para trabajar con velocidades negativas durante acortamiento, se sustituye V CE ∈
[0, 100][ cm
s
] por V CE ∈ [−100, 0][ cm
s
].
El modelo de interés de este trabajo (modelo de Zajac), estudiado en el caṕıtulo
5, considera las propiedades del elemento SEE como parte del tendón. De esta forma, la
longitud del músculo LM está dada por LCE , la longitud óptima LM0 equivale a L
CE
0 y
la fuerza FM0 es igual a F
CE
0 . Considerando estas relaciones, la superficie de la figura 3.6
3.2. Modelos musculares 32
representa la relación Fuerza-Velocidad-Longitud del elemento