notas17

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Fisica atomica y Molecular o Temas de Fisica
NOTAS 17. Un foton aparece. Bremsstrahlung
J. Miraglia, D. Arbó, M.S. Gravielle, D. Mitnik y C. Montanari.
Departamento de Física. Facultad de Ciencias Exactas
y Naturales. Universidad de Buenos Aires. Argentina.
(Dated: November 16, 2009)
Abstract
faltas dibujos , espanol y bibliografia.
El proceso en cuestion
Emision de un foton
Estimacion y predicciones
Formula de Bethe
Espectro energeticos
Creacion de pares en presencia de nucleos
Notas sobre el calculo
Creacion de pares en presencia de electrones atomicos
Procesos nucleares
Una idea de valores
Seria conveniente hacer un nuevo item (luego de absorcion) que incluya creacion y aniquilacion
y relacionarlo con bremsstrahlung y compton
PACS numbers:
1
I. NOTAS 17. UN FOTON APARECE. BREMSSTRAHLUNG ( ~13 PAGS.)
A. El proceso en cuestion
En el decaimiento radiativo consistia de una emision fotonica como consecuencia de una
transicion que involucraba estados ligados (los dos, el inicial y final). La captura o re-
combinacion radiativa considera que el estdo inicial esta en el continuo (es decir incide un
electron) y finalmente queda atrapado en un estado ligado. El bresmsstrahlung (o radiacion
de frenado) es un proceso que involucra estados del continuo (los dos, el inicial y final).
Esquematicamente
Proyectil + Blanco → Proyectil + Blanco+ �ω (1)
Proyectil = e, e+, H+,, p, iones[He++, He+(1s)], etc (2)
Blanco = atomos, moleculas, iones, etc (3)
O sea que el blanco y proyectil mantienen su identidad y la energia del foton es proveida por
parte de la cinetica del proyectil. Lo que determina la energia del foton aqui es el balance
de la energia
εi = εf + �ω
(�ki)
2
2m
=
(�kf )
2
2m
+ �ω (4)
y aqui hay un espacio adicional
−→
k f (con su densidad de estados d
−→
k f) que permiten un aban-
ico de posibilidades de �ω. A diferencia de la captura radiativa y la emision espontanea que
producian espectros de lineas, el bremsstharlung produce un espectro de radiacion continua.
B. Emision de un foton
El proceo fisico es muy similar al de captura radiativa. La diferencia es que ahora el estado
final es el continuo y no mas el estado ligado. Siguiendo exactamente la misma notacion
y suponiendo que no hay fotones en el medio esto es el vacio, la expresion de partida es
exactamente la misma, o seaa la misma Fermi Golden rule
2
d W+i→f
dt d
−→
f
=
2π
�
δ [εi − εf − �ω]
q2
m2
A21
∣∣∣̂ελ−→k . (e
−i
−→
k .−→r −→p )fi
∣∣∣
2
(5)
pero ahora con
(e−i
−→
k .−→r −→p )fi = 〈ψf | e−i
−→
k .−→r −̂→p |ψi〉 = 〈ψ−−→k f | e
−i
−→
k .−→r −̂→p |ψ+−→
k i
〉
= (e−i
−→
k .−→r −→p )−→
k −
f
←
−→
k +
i
(6)
Si tuviesemos solo interaccion culombiana, o sea la reaccion
q+−→
k i
+ Z+ → q+−→
k f
+ Z+ + �ω (7)
donde indicamos con Z es la carga nuclear y q en general indica la carga del proyectil. En
el caso de tener electrones incidente resulta que q = −e. Las funciones de onda son en este
caso
ψi = ψ
+
−→
k i
(−→r ) = ψ−→
k i
(−→r )D+(ai,
−→
ki |−→r ) (8)
ψi = ψ
−
−→
k f
(−→r ) = ψ−→
k f
(−→r )D−(af ,
−→
kf |−→r ) (9)
ψ−→
k
(−→r ) = exp(i
−→
k .−→r )
(2π)3/2
(10)
D±(a,
−→
k |−→r ) = exp(aπ/2)Γ(1∓ ia)1F1(±ia; 1;±ikr − i
−→
k .−→r ) (11)
ai = −Zeqm/kf�2 af = −Zeqm/kf�2 (12)
y m es la masa reducida de los sistemas colisionates. Los elementos de matriz son analiticos
y son las famosas integrales de Nordsieck (ver apendice). Aqui comienza la diferencia con
la captura radiativa que hace mas complejo este proceso y es en la descripcion del estado
final. En la captura radiativa teniamos en el canal final solamente el espacio de los fotones.
En bremsstrahlung tenemos ademas el espacio de los electrones dispersados d
−→
k f , esto es
d
−→
f =
∑
λ
V
(2π)3
d
−→
k
︸ ︷︷ ︸
foton
d
−→
k f︸︷︷︸
electron
(13)
3
donde con
−→
k queremos indicar todo el espacio de posibilidades del foton. y con d
−→
k f la del
electron dispersado. Esto suma 3 dimensiones mas al problema que lo hace extremadamente
tedioso amen del calculo de los elementos de matriz que involucra funciones hypergeometricas
Aca tenemos dos alternativas para proceder a calcular la probabilidad. O estamos in-
teresados en el electron dispersado o en el espectro fotonico. Ya que estamos en emision de
radiacion nos concentraremos en el espectro fotonico
∫
d
−→
k f δ [εi − εf − �ω] =
∫
d
−→
k f δ
[
(�ki)
2
2m
− (�kf )
2
2m
− �ω
]
(14)
=
∫
dΩf
∫
dkf k
2
fδ
[
�
2
2m
(k2f − k2fω)
]
(15)
con
kfω = kf =
√
k2i −
2m
�
ω (16)
∫
d
−→
k f δ [εi − εf − �ω] =
∫
dΩf
2m
�2
k2f
2kf
=
∫
dΩf
m
�2
kf (17)
Notese que ahora kf = kf (ω) Lo que indica que la velocidad de salida del electron depende
de la del foton. Reemplazando en la probabilidad, tenemos
d W+i→f
dt dΩfd
−→
k
=
2π
�
V
(2π)3
∑
λ
m
�2
kf
q2
m2
A21
∣∣∣̂ελ−→k . (e
−i
−→
k .−→r −→p )−→
k −
f
←
−→
k +i
∣∣∣
2
(18)
haciendo −→ω = c−→k
d W+i→f
dt dΩf d
−→ω =
1
(2π)2(�c)3
V
kfq
2
m
A21︷ ︸︸ ︷
�
2ε0ωV
∑
λ
∣∣∣ε̂λ−→k . (e
−i
−→
k .−→r −→p )−→
k −
f
←
−→
k +i
∣∣∣
2
(19)
=
kf
2π �2c3ωm
q2
4πε0
∑
λ
∣∣∣ε̂λ−→k . (e
−i
−→
k .−→r −→p )−→
k −
f
←
−→
k +i
∣∣∣
2
(20)
En estos casos, la magnitud de interes es la seccion eficaz, con lo que debemos obtenerla
dividiendo la probabilidad por el flujo incidente de electrones
d σ
dΩf d
−→ω =
d W+i→f
dt dΩf d
−→ω
1
Jin
(21)
4
donde Jin ya fue calculado en la captura radiativa y es Jin = �ki/((2π)
3m)
d σ
dΩf d
−→ω =
(2π)3m
�ki︸ ︷︷ ︸
1/Jin
kf
2π �2c3ωm
q2
4πε0
∑
λ
∣∣∣̂ελ−→k . (e
−i
−→
k .−→r −→p )fi
∣∣∣
2
(22)
= (2π)2
kf
ki
1
ω �3c3
q2
4πε0
∑
λ
∣∣∣̂ελ−→k . (e
−i
−→
k .−→r −→p )−→
k −
f
←
−→
k +i
∣∣∣
2
(23)
Ahora pasamos a unidades atomicas que resulta con q = ±e, � = m = e2/4πε0 = 1
d σ
dΩf d
−→ω =
(2π)2
ω c3
kf
ki
∑
λ
∣∣∣ε̂λ−→k . (e
−i
−→
k .−→r −→p )−→
k −
f
←
−→
k +i
∣∣∣
2
(24)
C. Estimacion y predicciones
Como hemos indicado el elemento de matriz (e−i
−→
k .−→r −→p )−→
k −
f
←
−→
k +i
para el caso Culombiano
puro es analitico. Para otro caso mas general de potencial central V (r), se requiere una
fuerte dosis de algebra. Si adoptamos la aproximacion dipolar e−i
−→
k .−→r = 1, entonces
(−→p )−→
k −
f
←
−→
k +i
=
∫
d−→r ψ−−→
k f
(−→r )
(
1
i
−→∇−→r
)
ψ+−→
k i
(−→r ) (25)
Las integrales de Nordsieck permiten calcular estos terminos exactamente. Luego se proyecta
sobre los ε̂
λ
−→
k
y posteriormente se integra sobre dΩf y asi obtengo dσ/d
−→ω O sea el espectro
fotonico que es de interes aqui.
Hagamos una aproximacion. En el espacio Fourier es
(−→p )−→
k −
f
←
−→
k +i
=
∫
d−→u ψ̃−−→
k f
∗
(−→u ) (−→u ) ψ̃+−→
k i
(−→u ) (26)
donde como siempre hacemos
f̃(−→u ) =
∫
d−→r exp(−i
−→u .−→r )
(2π)3/2
f(−→r ) (27)
f(−→r ) =
∫
d−→u exp(i
−→u .−→r )
(2π)3/2
f̃(−→u ) (28)
Ahora podemos expandir las funciones en continuo en forma perturbativa a partir de la onda
plana tal como vimos en los primeras clases
5
ψ̃+−→
k i
(−→u ) = δ(−→k i −−→u ) +
2
(2π)3/2
Ṽ (
−→
k i −−→u )
k2i − u2 + iǫ
(29)
ψ̃−−→
k f
(−→u ) = δ(−→k f −−→u ) +
2
(2π)3/2
Ṽ (
−→
k f −−→u )
k2f − u2 − iǫ
(30)
Entonces
ψ̃−−→
k f
∗
(−→u ) ψ̃+−→
k i
(−→u ) = δ(−→k i −−→u )δ(
−→
k f −−→u )
+
2
(2π)3/2
Ṽ (
−→
k i −
−→
kf )
k2i − k2f + iǫ
δ(
−→
k f −−→u )
+
2
(2π)3/2
Ṽ (
−→
k f −
−→
k i)
k2f − k2i + iǫ
δ(
−→
k i −−→u ) +O(V 2) (31)
Reemplazando en la Eq.(26)
(−→p )−→
k −
f
←
−→
k +i
≃ (−→p )−→
k f ←
−→
k i
=
−→
k iδ(
−→
k i −
−→
kf )
+
2
(2π)3/2
Ṽ (
−→
k i −
−→
kf )
k2f − k2i + iǫ
(
−→
k i −
−→
kf ) +O(V
2) (32)
La primera e interesante conclusion es que el primer termino O(V 0) es la conservacion del
momento con lo cual impone
−→
k i =
−→
kf pero contradice la conservacion de la energia y por
lo tanto debe ser nulo. O mas precisamente si
−→
k i =
−→
kf tenemos una colision elastica y no
hay energia para el foton. Fisicamemente nos dice algo muy importante: una particula libre
(en ausencia de potencial no puede emitir fotones).
Lo interesante del desarrollo que estamos haciendo es que no necesariamente nos debemosconcentrar en la interaccion culombiana V puede tener cualquier forma . Esto da lugar a,
por ejemplo, atomos. Digamos podemos extender la Eq.(7) a
e−−→
k i
+Atomo → e−−→
k f
+Atomo+ �ω (33)
Vamos a considerar un potencial del tipo de Yukawa para tener una idea del comportamiento
de un blanco atomico neutro del tipo
6
V (r) = −Z exp(−λr)
r
, (34)
Ṽ (−→u ) = −Z
√
2
π
1
u2 + λ2
(35)
donde Z seria la carga nuclear del atomo. Reemplazando la Eq.(32) en la (26) y removiendo
+iǫ ya que sabemos siempre k2i > k
2
f resulta
∑
λ
∣∣∣ε̂λ−→k . (
−→p )−→
k f ←
−→
k i
∣∣∣
2
=
22
(2π)3
Ṽ 2(
−→
k i −
−→
kf )
(k2f − k2i )2
∑
λ
∣∣∣̂ελ−→k . (
−→
k i −
−→
kf )
∣∣∣
2
(36)
Y ahora nos queda definir los versores, Seguimos el mismo criterio de siempre



k̂i = (0, 0, 1)
k̂f = (sin θf cosϕf , sin θf sinϕf , cos θf )
k̂ = (sin θ, 0, cos θ)
ε̂
1
−→
k
= (0, 1, 0)
ε̂
2
−→
k
= (cos θ, 0, − sin θ)
(37)
entonces


ε̂
1
−→
k
.(
−→
k i −
−→
kf ) = −kf sin θf sinϕf
ε̂
2
−→
k
. (
−→
k i −
−→
kf ) = −ki sin θ − kf cos θ sin θf cosϕf + kf sin θ cos θf
(38)
Nos va a convenir reproducir aca un resultado que se obtiene recurriendo a un programa de
de algebra
IΩ =
∫
dΩω︸︷︷︸
foton
∫
dΩf︸︷︷︸
electron
[
Ṽ (
−→
k i −
−→
k i)
]2∑
λ
∣∣∣̂ελ−→k . (
−→
k i −
−→
kf )
∣∣∣
2
(39)
con
(
−→
k i −
−→
kf )
2 = k2i + k
2
f − 2kikf cos θf (40)
7
Luego de tedioso calculo resulta ser para el potencial de Yukawa (??)
IΩ =
16πZ2
3kfki
(L−X) (41)
L = log
(ki + kf)
2 + λ2
(ki − kf )2 + λ2
(42)
X =
4kfkiλ
2
(k2i − k2f )2 + 2λ2(k2i + k2f) + λ4
(43)
Obviamente la conservacion de la energia impone kf = kfω =
√
k2i − 2ω con lo que la
maxima energia sera cuando
k2f = k
2
i − 2ωmax > 0 (44)
ωmax <
k2i
2
(45)
Lo cual indica que para el caso que ω = k2i /2, se transformo toda la energia cinetica del
electron incidente en la del foton y finalmente quedo quieto, kf = 0. Reemplazando, tenemos
d σ
ω2dω
=
(2π)2
ω c3
kf
ki
22
(2π)3(k2f − k2i )2
16πZ2
3kfωki
(L−X) (46)
=
32 Z2
3ω c3
1
k2i
1
(2ω)2
(L−X)
d σ
dω
=
8 Z2
3ω c3
1
k2i
(L−X) (47)
A primer orden perturbativo en Z hemos resuelto analiticamente el problema.
Pero esta no es la ecuacion mas famosa. Si consideramos ki muy grandes, ki ≫ λ, y
para bajos valores de ω entonces podemos aproximar
λ << kf =
√
k2i − 2ω ≈ ki −
ω
ki
+ .. (48)
con lo que
8
X =
4kfkiλ
2
(k2i − k2f)2︸ ︷︷ ︸
(2ω)2
+ 2λ2(k2i + k
2
f) + λ
4 ≃ 1 (49)
L = log
(ki + kf)
2 + λ2
(ki − kf)2 + λ2
≃ log 4k
2
i
( ω
ki
)2
(50)
≃ 2 log 2k
2
i
ω
(51)
Con lo que se reduce a
d σ
dω
≃ 16 Z
2
3ω c3
1
k2i
(log
2k2i
ω
− 1
2
) (52)
d σ
dω
≃ 16 Z
2
3ω c3
1
k2i
log
2k2i
αω
(53)
donde α es un valor digamos cercano a
√
e. Esta es la famosa ecuacion de Bethe Heitler
i) Lo hicimos para impacto de electrones donde m = 1 en unidades atomicas. Si el
proyectil tuviese una masa M (protones por ejemplo M = 1836.12) La Eq.(53) deberia
dividirse por M2
ii) Si el proyectil tuviese una carga qe, (por ejemplo q = 2 para He++) entonces la Eq.(53)
deberia multiplicarse por q2
iii) Su valor es pequeno ( ∝ c−3) pero es un mecanismo que sobrevive en el rango ultra-
violeta y rayos X
4i) Notese que dσ/dω presenta una divergencia en ω = 0, y en esa region es muy parecida
a 1/ω
5i) En relacion a la Eq.(53), recordemos que ki = v =velocidad en unidades atomicas.
Hay muchisimas formas de escribirla (el Jackson tiene un capitulo dedicado a este tema)
6i) El frenamiento de iones en la materia debida a bremsstrahlung es muy importante a
altas energias de impacto. Su importancia es capital en ciencia basica (estrellas, plasma de
fusion, PIXE, creacion de pares) Y esta presente en muchos aparatos tecnologicos, (generador
de rayos X, radiacion contaminante, reactores de fusion y fision, etc)
Hay fenomenos interesantes, stripping, bremsstrahlung internuclear. da una dimension
distinta a los procesos colisionales (es como "escuchar" la colision)
9
D. Creacion de pares en presencia de nucleos
(Blackett PN 1948). Como habiamos dicho, bremsstrahlung es un proceso en que un
electron en presencia de un nucleo emite un foton y se frena. Simbolicamente
e−→
k i
+ Blanco → e−→
k f
+ Blanco+ �ω (54)
y la conservacion de la energia es
εi = εf + �ω (55)
En el rango no relativista sera
(�ki)
2
2m
=
(�kf)
2
2m
+ �ω (56)
El proceso inverso (temporal ) seria
e−→
k i
+ �ω + Blanco→ e−→
k f
+ Blanco (57)
el electron se aceleraria.
La creacion de pares fisicamente es lo siguiente
�ω + Blanco→ e+−→
k +
+ e−→
k −
+ Blanco (58)
donde con e+−→
k +
representamos el positron y con e−→
k −
el electron con momentos �
−→
k + y
�
−→
k −. La conservacion de la energia resulta ser (relativista ciertamente)
�ω = ε+ + ε− (59)
con
�ω =
√
m2c4 + �2c2k2+ +
√
m2c4 + �2c2k2− (60)
Recordemos los limites
10
√
m2c4 + �2c2k2 →



�2k2
2m
+mc2, �2k2/m2c2 << 1
�ck �2k2/m2c2 >> 1
(61)
Ya lo sabiamos de relatividad, a pequenas energias se comporta clasicamente (mas la energia
en reposo) y a muy altas energias las particulas se comportan como fotones La energia
minima para que este proceso exista es (k− = k+ = 0)
�ω = 2mc2 (62)
= 2× 1× 1372 = 37538 au. = 1.02 MeV (63)
E. Notas sobre el calculo
El calculo debe ser estrictamente relativista usando la ecuacion de Dirac. Lo que veremos
aca es una idea de como se puede interpretar no relativisticamente.
Recordemos la hole theory de Dirac para particulas de spin 1/2.
i) los spinores de Dirac tienen 4 componentes
ii) Las enegias positivas y negativas son posibles, o sea
E = ±
√
m2c4 + �2c2k2
3i) estos estados de energia negativa (mar de Dirac), que cubren desde E = −mc2 a
E = −∞, estan ocupados, no hay estados vacios y esta es la razon por la cual los electrones
no decaen
4i) Los electrones del mar de Dirac representa el vacio : no producen ningun campo, no
contribuyen a la carga total, ni a la energia ni al momento. Ese mar de electrones representa
el cero de todo.
Interpretemos ahora la creacion de pares
La radiacion (rayos γ) en presencia del campo nuclear Z interactua con uno de esos
electrones del mar de Dirac con energia E = −
√
m2c4 + �2c2k2 y momento −→p = �−→k que
estaba acompanado (que por ahora llamemos) un agujero (hole) del electron con energia
Eh =
√
m2c4 + �2c2k2 y momento −→p h = −�
−→
k para satisfacer el cero o vacio. El electron
11
absorbe el foton y va a un estado con energia E− = +
√
m2c4 + �2c2k2− y momento
−→p − =
�
−→
k −. Entonces el agujero que dejo el electron es considerado como un positron que irrumpe
en el espacio "real" con energia E+ = Eh = +
√
m2c4 + �2c2k2 y −→p + = −→p h = −�
−→
k = �
−→
k +
Hay otra forma de interpretarlo matematicamente: podemos decir que la ausencia de
electrones con energias negativas son positrones. Lo correcto es recurrir a Dirac.
A los efectos de calcular el elemento de matriz, escribamos simbolicamente
entra←−−−−−−−→
Blanco+ �ω →
sale←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
Blanco+e−(
−→
k −, E−) + e
+(
−→
k +, E+)
Blanco+e−(
−→
k −, E−) + e
+(
−→
k +, E+) → Blanco+ �ω
Blanco+e−(
−→
k −, E−) → Blanco+ �ω + e−(−
−→
k +,−E+)
Valen las ecuaciones de Bremsstrahlung reemplazando
−→
k i →
−→
k − εi = E− (64)
−→
k f → −
−→
k + εf = −E+
De esta manera tenemos el elemento de matriz correspondiente a la reaccion (58). Notemos
que la conservacion de la energia es de (64)
εi = εf + �ω
E− = −E+ + �ω
�ω = E− + E+
=
√
m2c4 + �2c2k2+ +
√
m2c4 + �2c2k2−
Que esta de acuerdo con (60)
Hay tener en cuenta e signo del positron en el potencial. Para tener una idea de la relacion
entre carga y parametro de Sommerfeld. Partamos de la Eq.(12) para un electron
12
a− =
Ze2m
kf�2
=
Ze2kf
2
2m
k2f�
2
︸ ︷︷ ︸
1/Energia
(65)
Si la energia fuese negativa, Energia=-
2m
k2f�
2
, entonces
a− = −
Ze2kf
2
2m
k2f�
2
= −Ze
2m
kf�2
= a+ (66)
o sea que hay una relacion entre carga y energia aun en el parametro de sommerfeld no rel-
ativista. O sea que no es descabellado poner e−(−−→k +,−E+) ≡e+(−
−→
k +, E+). Pero recorde-mos una vez mas que lo correcto es recurrir a Dirac.
Pasemos ahora a la regla de oro de Fermi. L a gran diferencia ahora es que la densidad
de estado se complica ya que la densidad del estado final es ahora
d
−→
f = d
−→
k +︸ ︷︷ ︸
positron
d
−→
k −︸ ︷︷ ︸
electron
(67)
Hay dos particulas saliendo. Si se desea calcular la seccion eficaz, se debe dividir por el flujo
incidente que aqui es el flujo fotonico, o sea
Jin = Jin =
N
λ
−→
k
V
c (68)
donde N
λ
−→
k
es numero de fotones por unidad de volumen V. El calculo tiene la misma
complejidad que Bremsstrahlung (Bethe Maximon PR 54. o Heither p.257) y da en a.u.
σpair ≃ 28 Z
2
9c5
[
log
2ω
c2
− 109
42
]
(69)
Y esta ecuacion es muy famosa pero valida para interacciones del tipo culombiano puro .
Si hubiesemos considerado un atomo de un determinado radio con un potencial de un solo
parametro del tipo de Yukawa segun Thomas Fermi tenemos que
σpair ≃ 28 Z
2
9c5
[
(log 183Z−1/3)− 1
42
]
(70)
con lo que nos da un valor constante!
Demos algun ejemplo. Para fotones sobre plomo
13
Pb) �ω = 3mc2 σpair = 0.085 σ0
= ∞mc2 σpair = 13.40 σ0
con
σ0 =
Z2
c5
= Z2 2.072× 10−11 a.u.
= 5.8× 10−4 Barns
F. Creacion de pares en presencia de electrones atomicos
Este es un caso similar al anterior pero con la diferencia que la creacion de pares la hace
en presencia de electrones, no del nucleo atomico, y ademas el electron es ionizado. El
mecanismo en cuestion es
�ω + Blanco(e)→ Blanco+ + e−→
k 3
+ e−→
k +
+ e−→
k −
(71)
Y por esta razon se llama triplete ya que a la salida se encuentran tres particulas.
El calculo no difiere mucho del anterior pero ahora tiene un umbral de 4mc2 (Hubbell,
verificar)
4mc2 = 4× 1372 = 75000 a.u. = 2.04 MeV (72)
La seccion eficaz es muy similar a la anteriror
σtriple ≃
28
9c5
[
log
2ω
c2
− 3.63
]
(73)
y resulta casi igual a la creacion de pares en presencia del nucleo peor ahora no tenemos Z2
ya que tenemos solo electrones que son totalmente culombianos. Como en el atomo neutro
tengoZ electron entonces la total por atomo sera
σtripl ≃ Z 28
9c5
[
log
2ω
c2
− 3.63
]
(74)
Obviamnete vale solo como correccion a atomo livianos ya que
σtripl
σpair
∼ Z
Z2
∼ 1
Z
(75)
14
para elementos pesados es irrelevante
G. Procesos nucleares
Hay otro proceso que ocurre a muy altas energia y los efectos fotonucleares en la que
un foton es absorbido y uno o dos nucleones son emitidos, serian el caso de fotoionizacion
atomica. Hay ciertos casos importantes debido a resonancias gigantes. Se puede decir que
su contribucion al frenamiento de radiacion es del orden de 2% para Z altos y 6% para bajos
Z en el rango de energias de foton entre 5 y 40 MeV (Hubbell)
H. Una idea de valores
Veremos el efecto fotoelectrico en la proxima nota, y en la otra Compton, pero demos
una idea de los ordenes de magnitud para aluminio (heitler363)
Fotoelectrico �ω < < 50 eV
Compton 50 eV << �ω < < 15 MeV (76)
Pair formation �ω > > 15 MeV
15