Tópicos de ecuaciones diferenciales parciales

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i
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
TÓPICOS SOBRE ECUACIONES
EN DERIVADAS PARCIALES
ALEJANDRO ORTIZ FERNÁNDEZ
(PUCP, Sección Matemática )
TRUJILLO - MARZO, 2004
ii
Alejandro Ortiz Fernández (1936)
Profesor Principal. Sección Matemática. PUCP.
Ex-profesor Principal y Profesor Emérito de la UNT
Ex-profesor de la UNMSM
Tópicos sobre Ecuaciones en Derivadas Parciales
Autor: Alejandro Ortiz Fernández
I.S.B.N.
Digitación y Diagramación en LATEX:
Sr Carlos Ramón Deudor Gómez (www.degoca.com)
carlos@degoca.com
Srta. Shila Antuanett Neciosup Salas
neciosupshila@hotmail.com
c° Todos los derechos reservados
Primera Edición: Marzo 2004
Impreso por la UNT.
Printed in Perú - Impreso en Perú
iii
A Luz Marina,
con profundo amor
por comprenderme.
iv
PRESENTACIÓN
De algún modo este libro es continuación de [ORT. 1]; en aquella oportu-
nidad (1988) expresamos: <<... Queda así el compromiso de que en alguna
oportunidad tratemos a las ecuaciones en derivadas parciales con el lenguaje
de las distribuciones y de los espacios de abstractos...>> .
En el periódo de tiempo que nos separa (15 años) hubo una variación
esencial en mi vida profesional. Cesé de la Universidad Nacional de Trujillo
(Febrero, 1989) y comencé a laborar en la Pontificia Universidad Católica
del Perú (Marzo, 1989). En esta institución tuve la oportunidad de enseñar
el curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales en el programa de Maestría
de Matemática. Ello me dió la oportunidad de tener una continuidad de
lo iniciado en Trujillo, y además, lograr un mayor nivel académico. Año a
año hemos variado el contenido del curso, manteniendo constante algunas
secciones básicas (distribuciones y espacios de Sobolev). Es oportuno men-
cionar mi experiencia docente en la Universidad Nacional Mayor de San
Marcos (1989-1997), en donde también tuve la oportunidad de enseñar el
curso de Ecuaciones Diferenciales Parciales en la Maestría de Matemática.
Toda esta experiencia nos permitió acumular un material que ahora desar-
rollamos en esta publicación.
El libro consta de seis capítulos. En el primero creimos conveniente recor-
dar y revisar algunos aspectos básicos de las ecuaciones en derivadas par-
ciales. La idea es motivar diversos tipos de problemas y métodos que después
se expondrán en un contexto mas elaborado. Tal es el caso, por ejemplo, de
los problemas de Dirichlet y de Cauchy. El capítulo 2 trata un tema que por
si solo tiene su valor, el cálculo de variaciones.
Históricamente, esta área está profundamente relacionada con las ecua-
ciones diferenciales parciales. En posteriores capítulos estarán presentes prob-
lemas variacionales asociadas a problemas de valor de contorno. Los capítu-
los 3 y 4 presentan, de un modo más completo lo iniciado en [ORT. 1] En el
caso de los espacios de Sobolev, posiblemente lo presentado sea más extenso
de lo que realmente se necesite en el libro. No pudimos resistir la tentación
de exponer temas al estilo del análisis armónico (tanto es asi que usamos
mayormente la notación Lpk de Calderón y no H
k,p).
En el capítulo 5 consideramos los métodos del análisis funcional en el
tratamiento de problemas en ecuaciones en derivadas parciales. Es claro
que todo lo tratado en esta oportunidad ya son aspectos clásicos y bien
conocidos en la literatura respectiva pero en nuestro medio podría ser útil
para lectores que deseen iniciarse en tal metodología. El capítulo 6 trata
sobre un problema particular, el problema de Cauchy; comenzamos desde
los aspectos clásicos y básicos. Proporcionamos las pruebas de los teoremas
de Cauchy - Kowalevsky y el de Holgren, algo difícil de encontrarse en la
literatura, al menos en un nivel adecuado a nues- tros objetivos. Este capítulo
v
es centrado en el trabajo de L. Nirenberg [NIR. 1], el cual es complementado
con algunos aspectos sobre operadores diferenciales parciales (Hörmander).
Finalmente introducimos una breve presentación del método de Calderón
sobre la unicidad de la solución del problema de Cauchy.
Otro compromiso: inicialmente nuestro proyecto pretendía presentar
otros tópicos, como son:
(i) estudiar a las ecuaciones en derivadas parciales vía los métodos del
análisis armónico; en este terreno existen bellos y profundos resulta-
dos; en parti- cular estamos tentados a realizar el gran esfuerzo por
presentar algunos aspectos del trabajo realizado por Calderón en este
campo (la inclusión de la sección 6.5 tiene la intención de “preparar el
terreno”, de algún modo);
(ii) estudiar los métodos numéricos de las ecuaciones diferenciales parciales
vía el uso de la teoría de ondículas (“wavelets”). En este ambiente ex-
isten recientes trabajos sobre la utilidad de las ondículas en diversos
problemas de la realidad física. Es un campo de actualidad e impor-
tante por sus multiples aplicaciones.
Tanto (i) y (ii) son amplios dominios que pueden dar origen a una nueva
publicación sobre ecuaciones en derivadas parciales. Escribir este libro es un
compromiso que confío se pueda concretizar pero... no dentro de otros 15
años, “por razones obvias”.
La concretización de este libro surgió cuando fui nombrado Profesor
Emérito por la Universidad Nacional de Trujillo (Octubre 2002) ; una condi-
ción para merecer tal distinción fue el presentar un proyeto para ser real-
izado en un año. Producto de este compromiso es este libro. Agradezco al
Dr. Obidio Rubio, actual autoridad de la Universidad Nacional de Trujillo
por su interés en la realización de esta obra y por el apoyo recibido de él
para hacer realidad esta publicación. En general agradezco a la Universidad
Nacional de Trujillo, por su generosidad en apoyar mi Proyecto. Asimismo
agradezco al profesor Carlos Deudor Goméz y a la srta. Shila A. Neciosup
Salas por su paciencia y competitividad en digitar este libro.
Finalmente , mis palabras de agradecimiento a mi actual centro de tra-
bajo, la Pontificia Universidad Católica del Perú, área Matemática, por las
excelentes condiciones de trabajo que disponemos.
Lima, 20 de Diciembre, 2003.
A.O.F.
jortiz@pucp.edu.pe
vi
CONTENIDO
Capítulo 1
ASPECTOS CLÁSICOS EN EDP
1.1 INTRODUCCIÓN. 1
1.1.1 La Cuerda Vibrante. 1
1.1.2 Teoría del Potencial. 3
1.1.3 La Ecuación del Calor. 4
1.2 ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. 6
1.3 SERIES DE FOURIER. FOURIER. 8
1.4 SISTEMA DE STURM -LIOUVILLE. 13
1.5 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO. 15
1.6 LA ECUACIÓN DEL CALOR. 17
1.7 E.D.P. DE PRIMER ORDEN. 18
1.7.1 Ecuaciones Lineales con dos Variables. 18
1.7.2 Sistema de Ecuaciones de Primer Orden. Clasificación. 21
1.8 TAREAS. 22
1.9 COMENTARIOS. 30
Capítulo 2
CÁLCULO DE VARIACIONES
2.1 SIGLO XVIII 31
2.1.1 Generalidades. 31
2.1.2 Euler. Ecuaciones Diferenciales del Cálculo de Variaciones. 35
2.1.3 Principio de Menor Acción. 36
2.1.4 Lagrange. 38
2.2 SIGLO XIX. 39
vii
2.3 ELEMENTOS SOBRE CÁLCULO DE VARIACIONES. 42
2.3.1 Motivaciones. 42
2.3.2 Las Ecuaciones Diferenciales de Euler. 45
2.3.3 Principio de Dirichlet. 47
2.4 FORMULACIÓN VARIACIONAL DE PROBLEMAS DE
CONTORNO 48
2.4.1 Preliminares. Algo mas sobre el cálculo de variaciones. 48
2.4.2 Problema de Sturm. Liouville. Soluciones débiles. 51
2.5 COMPLEMENTOS Y APLICACIONES. 55
2.5.1 El problema de Plateau. 55
2.5.2 Miscelánea. 56
2.6 TAREAS. 64
2.7 COMENTARIOS. 68
2.8 LAGRANGE. 69
Capítulo 3
TEORÍA DE DISTRIBUCIONES
3.1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS. 71
3.1.1 Motivaciones. 71
3.1.2 ¿Cómo llegar a la “función” δ (x)? 73
3.1.3 Ejemplo. (Otra dificultad Matemática). 74
3.1.4 Una interesante observación. 74
3.1.5 Nace una Nueva Teoría. 75
3.1.6 La Teoría de Laurent Schwartz. 76
3.2 FUNCIONES GENERALIZADAS. 78
3.3 INTRODUCCIÓN A LAS DISTRIBUCIONES. 79
3.3.1 Aspectos Generales. 79
viii
3.3.2 Ejemplos de Distribuciones. 81
3.3.3 Sucesiones Regulares. 86
3.3.4 Soporte de una Distribución. 92
3.3.5 Distribuciones de Soporte Compacto D00 (Rn).
Convolución de Distribuciones con Funciones en D (Rn). 94
3.4 DISTRIBUCIONES TEMPERADAS 97
3.4.1 El espacio de Schwartz S. 98
3.4.2 Topologíaen S. 99
3.4.3 Caso Rn. 102
3.5 LA TRANSFORMADA DE FOURIER 103
3.5.1 Generalidades. 103
3.5.2 El Teorema de Paley - Wiener. 108
3.6 EL ESPACIO DE LAS DISTRIBUCIONES
TEMPERADAS S0. 109
3.6.1 Generalidades. 109
3.6.2 Ejemplos. 110
3.6.3 Topología en S0. 115
3.7 TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA
DISTRIBUCIÓN TEMPERADA. 116
3.7.1 Motivación. 116
3.7.2 La Transformada Inversa de Fourier. 118
3.8 TAREAS. 121
3.9 COMENTARIOS. 125
Capítulo 4
ESPACIOS DE SOBOLEV Lpk (R
n) (ó W k,p (Rn))
4.1 EL ESPACIO Lp1 (I) . 127
ix
4.1.1 Motivación y Resultados Previos. 127
4.1.2 El Espacio Lp1 (I). 129
4.2 EL ESPACIO DE SOBOLEV Lpk (R
n), k ∈ Z+. 129
4.2.1 Generalidades. 129
4.2.2 Derivadas Débiles y Fuertes. 134
4.2.3 Operadores que Conmutan con Translaciones. 136
4.3 TODOS LOS ESPACIOS Lpk SON ISOMORFOS,
k ≥ 0 ENTERO, 1 < p <∞. 138
4.3.1 El Operador Integración. 138
4.3.2 Isomorfismo de los Espacios Lpk. 143
4.4 LOS ESPACIOS DE SOBOLEV Lps, s Real. 143
4.4.1 Generalidades. 143
4.4.2 El espacio Lps (Rn). Propiedades. 145
4.4.3 El espacio Lp∞. 149
4.5 LOS ESPACIOS Ls ≡ Hs, s REAL. 151
4.5.1 Motivación. 151
4.5.2 El Operador Λs. 157
4.6 ESPACIOS L−s 159
4.6.1 Propiedades y Caracterización. 159
4.7 LOS ESPACIOS L∞ ≡ H∞, Y L−∞ ≡ H−∞ 163
4.7.1 Generalidades. 163
4.7.2 Caso Particular: Los Espacios Lp−k 167
4.7.3 El Operador Transpuesto T 0 de T. 169
4.8 OPERADORES INVARIANTES POR TRANSLACIONES
173
4.8.1 Generalidades. Lema de Sobolev. 173
4.8.2 El Teorema de Hörmander. 175
4.9 REFLEXIVIDAD DE LOS ESPACIOS DE SOBOLEV 176
x
4.9.1 Generalidades. 176
4.10 INMERSIONES DE Lpk (D). 178
4.10.1 Caso n = 1 178
4.10.2 Caso Rn. 182
4.10.3 Caso p = n. 187
4.10.4 Caso p > n. 188
4.11 ESPACIOS L2k (D), L
2
−k (D) Y
OPERADORES DIFERENCIALES. 190
4.11.1 Generalidades 190
4.11.2 Operadores Diferenciales Parciales Lineales. 193
4.11.3 Operadores Elípticos de Segundo Orden. 196
4.12 TAREAS. 197
4.13 COMENTARIOS. 199
4.14 SOBOLEV. 200
Capítulo 5
MÉTODOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL EN
ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
5.1 UN POCO DE ANÁLISIS FUNCIONAL. 203
5.1.1 Algunos Clásicos Teoremas. 203
5.1.2 Una Motivación Física Hacia el Análisis Funcional.
La conducción del Calor. 209
5.1.3 Aplicación a Problemas de Valor de Contorno. 213
5.1.4 Análisis Funcional y Ecuaciones en Derivadas Parciales. 216
5.2 SOLUCIONES DÉBILES. 219
5.2.1 Generalidades. 219
5.2.2 El Problema de Sturm - Liouville. 222
5.2.3 El Problema de Neumann. 223
xi
5.3 EL PROBLEMA DE DIRICHLET. 224
5.3.1 El Problema de Dirichlet para el Laplaciano. 224
5.3.2 El Problema de Dirichlet para Operadores Elípticos
de Orden Superior. 229
5.3.3 Operadores de Orden Superior. 234
5.4 EL PROBLEMA DE NEUMANN. 240
5.4.1 Consideraciones Generales. 240
5.4.2 El Problema de Neumann. 242
5.4.3 El Problema de Neumann para Operadores Elípticos de
Segundo Orden. 246
5.5 PROBLEMAS DE VALOR PROPIO 251
5.5.1 Algo más sobre Análisis Funcional. 251
5.5.2 Teorema Espectral para el Laplaciano. 255
5.6 TAREAS. 260
5.7 COMENTARIOS. 263
5.8 DIRICHLET. - F. RIESZ 265
Capítulo 6
EL PROBLEMA DE CAUCHY
6.1 ALGUNOS ASPECTOS CLÁSICOS. 267
6.1.1 Problema de Cauchy para la Ecuación de la Onda Homogénea.
267
6.1.2 Problema de Cauchy para la Ecuación de la Onda
No - Homogénea. 268
6.1.3 Problema de Cauchy para la Ecuación del Calor. 270
6.1.4 Problemas Bien y Mal Puestos. 274
6.1.5 Los Teoremas de Cauchy - Kowalevsky y de Holgren. 276
6.2 UNICIDADDE LA SOLUCIÓNDEL PROBLEMADE CAUCHY
PARA ECUACIONES DIFERENCIALES CONCOEFICIENTES
PRINCIPALES CONSTANTES. 283
xii
6.2.1 Preliminares. 284
6.2.2 Teorema de Unicidad. 285
6.2.3 Una desigualdad de Hörmander. 290
6.2.4 Extensión de la Desigualdad de Hörmander 298
6.2.5 Prueba del Teorema 6.3. 303
6.3 NO UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE
CAUCHY. CONTINUACIÓN ÚNICA. 305
6.3.1 Reseña Histórica. 305
6.3.2 No Unicidad de la Solución del P. de Cauchy.
Continuación Única. 305
6.4 ALGOMÁS SOBRE OPERADORES DIFERENCIALES.309
6.4.1 Funciones Peso. 309
6.4.2 Espacios Bp.w. 311
6.4.3 Comparación de Operadores Diferenciales. 312
6.4.4 Operadores Elípticos. 314
6.5 LA UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE
CAUCHY SEGUN CALDERÓN. 316
6.5.1 Generalidades. 316
6.5.2 Operadores Integrales Singulares. 317
6.5.3 Algunas Propiedades de los Operadores H. 320
5.5.4 Unicidad. 323
6.6 TAREAS. 325
6.7 COMENTARIOS. 327
6.8 CAUCHY. - L. HÖRMANDER. 328
BIBLIOGRAFÍA. 331
Capítulo 1
ASPECTOS CLÁSICOS EN
EDP
1.1. INTRODUCCIÓN.
Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales surgieron en el intento
de los matemáticos por resolver problemas de la física.
1.1.1. La Cuerda Vibrante.
El estudio de la cuerda vibrante llevó en forma natural a una ecuación
diferencial parcial (la ecuación de la onda). La investigación de los sonidos
creados por la cuerda introdujo extra condiciones. El aire es un tipo de fluido
de propagación (compresible), los líquidos son otros tipos (incompresibles).
Las leyes del movimiento de las ondas en tales fluidos llevaron a progresos
importantes (hidrodinámica). El problema de la gravitación universal, ini-
ciado por Newton, condujo, con Laplace, a un problema de ecuaciones en
derivadas parciales.
Las primeras investigaciones respecto a la cuerda vibrante son debidas
a Euler (1734) y a d’Alembert (1743). La dificultad matemática que surgió
en aquella época fue el paso al infinito. En 1727, John Bernoulli consideró
la discretización de una cuerda de longitud L , la que reposa en el intervalo,
digamos, 0 ≤ x ≤ L . Si xk es la abscisa de la k −masa, k = 1, 2, . . . , n , se
tiene xk = k
L
n
, k = 1, 2, . . . , n.
Analizando la fuerza sobre la k−masa, Bernoulli prueba que si yk es el
desplazamiento de la k - masa, entonces
d2yk
dt2
=
³na
L
´2
(yk+1 − 2yk + yk−1) , k = 1, 2, . . . , n,
donde a2 =
LT
M
, con T la tensión en la cuerda (una constante cuando la
1
2 CAPÍTULO 1. ASPECTOS CLÁSICOS EN EDP
cuerda vibra) yM es la masa total. d’Alembert hace el cambio yk por y (t, x)
y
L
n
por ∆x , obteniendo algo con mas significado matemático,
∂2y (t, x)
∂t2
= a2
µ
y (t, x+∆x)− 2y (t, x) + y (t, x−∆x)
(∆x)2
¶
.
En efecto, si n→∞ , ∆x→ 0 y se obtendrá la ecuación
∂2y (t, x)
∂t2
= a2
∂2y (t, x)
∂x2
,
donde ahora a2 =
τ
σ
, siendo σ la masa por una unidad de longitud. Asi,
por primera vez, se llegó a la ecuación de la onda, 1 − dimensional. Una
natural observación nos dice que la cuerda está fija en los extremos x = 0 y
x = L , luego la solución de tal ecuación debe satisfacer las condiciones de
contorno y (t, 0) = 0, y (t, L) = 0. Por otro lado, se tienen las condiciones
iniciales
y (0, x) = f (x) ,
∂y (t, x)
∂t
¯̄̄̄
t=0
= 0.
El problema de encontrar una solución de la ecuación mencionada (de la
onda) satisfaciendo tales condiones fue resuelto por d’Alembert, obteniendo
la solución
y (t, x) =
1
2
φ (at+ x) +
1
2
ψ (at− x)
donde φ y ψ son funciones a ser precisadas.
Recíprocamente, tal representación de y (t, x) satisface la ecuación de la
onda.
Según Euler, si y = f (x) representa la función inicial, luego de un tiempo
t la ordenada que responderá a la abscisa x de la cuerda en vibración será
y =
1
2
f (x+ ct) +
1
2
f (x− ct) .
En 1760 - 61, Lagrange obtiene (con c = 1 ) la solución:
y (t, x) =
1
2
xf (x+ ct) +
1
2
f (x− ct)− 1
2
Z x+t
0
gdx+
1
2
Z x−t
0
gdx,
donde
f (x) = y (0, x) y g (x) =
∂y
∂t
¯̄̄̄
t=0
son los datos iniciales dados.
1.1. INTRODUCCIÓN. 3
1.1.2. Teoría del Potencial.
Otro campo de la física que influyó en el desarrollo de las ecuaciones
en derivadas parciales fue el trabajo iniciado por Newton sobre la atracción
gravitacional entre los cuerpos celestes.
Sea dξ dη dς un pequeño volumen, tan pequeño que puede considerarse
como una partícula centrada en el punto (ξ, η, ς) ; sea P una partícula con
coordenadas (x, y, z) , entonces la atracción ejercida por la pequeña masa
de densidad ρ sobre la partícula unidad es un vector dirigido de P a la
pequeña masa. Por la ley de gravitación de Newton, lascomponentes de
este vector son:
−Kρ x− ξ
r3
dξdηdς, −Kρ y − η
r3
dξdηdς, −Kρ z − ς
r3
dξdηdς
donde K es la constante en la ley de Newton y
r =
q
(x− ξ)2 + (y − η)2 + (z − ς)2.
Luego, la fuerza ejercida por el cuerpo entero sobre la masa unitaria en
P tiene componentes:
fx = −K
ZZZ
ρ
x− ξ
r3
dξdηdς,
fy = −K
ZZZ
ρ
y − η
r3
dξdηdς,
fz = −K
ZZZ
ρ
z − ς
r3
dξdηdς.
Nota Las integrales tienen como dominio al cuerpo entero.
4 CAPÍTULO 1. ASPECTOS CLÁSICOS EN EDP
Tales integrales son finitas cuando P está dentro del campo de atracción.
Sea la función
V (x, y, z) =
ZZZ
ρ
r
dξdηdς.
Se tiene
∂V
∂x
=
1
K
fx,
∂V
∂y
=
1
K
fy,
∂V
∂z
=
1
K
fz
(ecuaciones que se cumplen si P está dentro del campo gravitacional).
La función V es llamada función potencial.
Nota En vez de trabajar con tres funciones, fx , fy , fz , se trabaja con V .
Corolario 1.1 Si (x, y, z) está fuera del campo gravitacional del cuerpo,
V satisface la ecuación diferencial parcial
∂2V
∂x2
+
∂2V
∂y2
+
∂2V
∂z2
= 0 ecuación del potencial o ecuación de Laplace.
1.1.3. La Ecuación del Calor.
A inicio del siglo XIX se produce un acontecimiento de gran importancia
en la ciencia y en la tecnología futura. Es la obra de Joseph Fourier sobre
la conducción del calor. En el interior de un cuerpo, que está ganando o
perdiendo calor, la temperatura es generalmente distribuida en forma no
uniforme y cambia en cualquier punto con el tiempo. Tal función T depende
del espacio y del tiempo. La precisa forma de la función dependerá de la
forma del cuerpo, de su densidad, de la distribucción inicial de T (en el
tiempo t = 0 ) y las condiciones del contorno del cuerpo. Fourier probó,
usando principios de la física, que T satisface la ecuación diferencial parcial
∂2T
∂x2
+
∂2T
∂y2
+
∂2T
∂z2
= K2
∂T
∂t
ecuación del calor (ec)
donde K2 es una constante que depende del material del cuerpo.
Sea una varilla cilíndrica de longitud L , con 0◦ en sus extremos y cuya
superficie lateral está aislada, no sujeta a ningún flujo de calor sobre ella.
Estamos en el caso 1 - dimensional, asi
∂2T
∂x2
= K2
∂T
∂t
con las condiciones
iniciales T (0, t) = 0 y T (L, t) = 0 para t > 0, y la condición inicial
T (x, 0) = f (x) para 0 < x < L.
Idea de Fourier: Uso del método de separación de variables,
T (x, t) = φ (x)ψ (t) .
Luego,
φ00 (x)
K2φ (x)
=
ψ0 (t)
ψ (t)
≡ −λ.
1.1. INTRODUCCIÓN. 5
Por tanto,
φ00 (x) + λK2φ (x) = 0 y ψ0 (t) + λψ (t) = 0.
Por las condiciones de contorno, se obtiene φ (0) = 0 y φ (L) = 0 .
Se sabe que la solución general de
φ00 (x) + λK2φ (x) = 0
es φ (x) = b sen
³√
λKx+ c
´
. Observemos que φ (0) = 0 implica c = 0 ;
pero φ (L) = 0 impone una limitación sobre λ :
√
λ es un múltiplo entero
de
π
KL
.
Luego existe un número infinito de valores admisibles λν de λ ó
λν =
³ νπ
KL
´2
, ν ∈ Z.
λν son llamados valores propios o valores característicos.
La solución general de ψ0 (t)+λψ (t) = 0 es una función exponencial con
λ ≡ λν . Luego, T (x, t) = φ (x)ψ (t) es
Tν (x, t) = bνe
− ν2π2
K2L2
t sen
³νπx
L
´
, ν = 1, 2, 3, . . .
Entonces,
T (x, t) =
∞X
ν=1
Tν (x, t) =
∞X
ν=1
bνe
− ν
2π2
K2L2
t sen
³νπx
L
´
.
Como T (x, 0) = f (x) , debemos tener
f (x) =
∞X
ν=1
bν sen
³νπx
L
´
.
¿Puede f ser representado como una serie trigonométrica?, asi, ¿pueden los
bν ’s ser determinados?. . . Fourier responde estas cuestiones. Por simplicidad
asumamos que L = π . Asi, f (x) =
∞P
ν=1
bν sen (νx) , 0 < x < π . Ahora la
idea de Fourier es considerar la expresión,
sen (νx) =
∞X
n=1
(−1)n−1
(2n− 1)!ν
2n−1x2n−1;
entonces intercambiando límites (!), se obtiene
f (x) =
∞X
n=1
(−1)n−1
(2n− 1)!
à ∞X
ν=1
ν2n−1bν
!
x2n−1.
6 CAPÍTULO 1. ASPECTOS CLÁSICOS EN EDP
Esta serie de potencias debe ser la serie de Maclaurin de f (x) , esto es,
f (x) =
∞X
k=0
1
k!
f (k) (0)xk.
Fourier encuentra que f (k) (0) = 0 si k es par y que
∞X
ν=1
ν2n−1bν = (−1)n−1 f (2n−1) (0) , n = 1, 2, 3, . . .
Como f (x) y sus derivadas son conocidas, tenemos un sistema infinito
de ecuaciones lineales algebraicas, con infinitas incognitas bν . Vía ingeniosos
argumentos, Fourier llega a la fórmula
bν =
2
π
Z π
0
f (s) sen νsds.
Nota. El método de Fourier es ingenioso pero, en general, no es consistente
matemáticamente. Euler llega al mismo resultado pero usando propiedades
de funciones trigonométricas.
1.2. ECUACIONES ENDERIVADASPARCIALES.
Notación:
ux ≡
∂u
∂x
, uxy ≡
∂2u
∂x∂y
, . . .
Definición 1.1 Una ecuación en derivadas parciales (edp) es una ecuación
de la forma f (x, y, . . . , u, ux, uy, . . . , uxx, uxy, . . .) = 0. Una edp es lineal
si ella es lineal en la función incógnita y en todas sus derivadas, con coefi-
cientes dependiendo solo de las variables independientes.
Ejemplo: xuxx + 5xyuxy + u = 2 .
Definición 1.2 Un problema matemático (pm) consiste en encontrar
una función incógnita de una edp satisfaciendo apropiadas condiciones su-
plementarias.
Estas condiciones puede ser condiciones iniciales y/o condiciones
de contorno.
Ejemplo Sea la edp ut − uxx = 0 , 0 < x < L , t > 0 , con la condición
inicial u (x, 0) = senx , 0 ≤ x ≤ L , y las condiciones de contorno u (0, t) =
0 = u (L, t) para t ≥ 0.
Un pm es llamado bien puesto si verifica las condiciones de:
existencia: existe al menos una solución del problema
1.2. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. 7
unicidad: existe a lo mas una solución
estabilidad: la solución depende continuamente de los dados o condi-
ciones.
Clásicas Ecuaciones.
Ecuación de la onda: utt − c2 (uxx + uyy + uzz) = 0,
Ecuación del calor: ut −K (uxx + uyy + uzz) = 0,
Ecuación de Laplace: uxx + uyy + uzz = 0 .
Forma General de una EDP de Segundo Orden
nX
i,j=1
aijuxixj +
nX
i=1
biuxi + fu = g,
donde x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn , aij = aji , aij , bi , f y g son funciones
reales definidas en Rn.
Caso Particular: u = u (x, y). Entonces
auxx + buxy + cuyy + dux + euy + fu = g,
donde asumimos que u y los coeficientes son dos veces continuamente difer-
enciables.
Si b2 − 4ac es : > 0 , la edp es hiperbólica,
= 0 , la edp es parabólica,
< 0 , la edp es elíptica.
Problema de Cauchy para la cuerda Vibrante.
El Problema de Cauchy para la cuerda vibrante consiste en encontrar
una función u tal que⎧⎨⎩
utt − c2uxx = 0
u (x, t0) = u0 (x)
ut (x, t0) = v0 (x)
donde u0 (x) es el desplazamiento inicial y
v0 (x) es la velocidad inicial.
Caso particular. Para el problema de Cauchy⎧⎨⎩
utt − c2uxx = 0
u (x, 0) = f (x)
ut (x, 0) = g (x)
la solución es
u (x, t) =
1
2
f (x+ ct) +
1
2
f (x− ct) + 1
2c
Z x+ct
x−ct
g (s) ds.
Nota Ver Capítulo 6 para los detalles de este problema, asi como otras
consi- deraciones relacionadas.
8 CAPÍTULO 1. ASPECTOS CLÁSICOS EN EDP
1.3. SERIES DE FOURIER.
La función f (x) posee límite por la izquierda en x0 si existe
f (x0−) = ĺım
h→0
f (x0 − h) ,
donde h > 0 real. Similarmente, (límite por la derecha)
f (x0+) = ĺım
h→0
f (x0 + h) .
Si f (x) es continua en x0 , entonces f (x0−) = f (x0+) = f (x0) .
Diremos que f (x) es seccionalmente continua en [a, b] si existen a =
x1 < x2 < . . . < xn = b tal que f es continua en (xj , xj+1) y existen f (xj+)
y f (xj+1−), j = 1, 2, . . . , n− 1 .
La derivada lado izquierdo de f (x) en x0 es por definición:
f 0 (x0−) = ĺım
h→0
f (x0−)− f (x0 − h)
h
,
y la derivada lado derecho es
f 0 (x0+) = ĺım
h→0
f (x0 + h)− f (x0+)
h
.
Diremos que f (x) es seccionalmente regular en [a, b] si f es seccional-
mente continua en [a, b] y si f 0 es continua en cada intervalo xj < x < xj+1
y si existen f 0 (xj+) y f 0 (xj−) .
Una función f (x) , seccionalmente continua, es llamada periódica si
existe p ∈ R tal que f (x+ p) = f (x) , ∀ x.
p es el período de f .
Corolario 1.2 Si f es periódica, de período p , entonces f (x+ np) = f (x)
, ∀ n ∈ Z .
f (x) = senx , f (x) = cosx son periódicas, de periodo 2π .
La sucesión {φn (x)} es llamada ortogonal , con respecto al peso q (x)
, sobre [a, b] , si Z b
a
φm (x)φn (x) q (x) dx = 0
cuando m 6= n . Si m = n , se obtiene la norma
kφnk =
µZ b
a
φ2n (x)q (x) dx
¶1/2
.
El caso familiar es cuando q (x) = 1 .
1.3. SERIES DE FOURIER. 9
La familia {senmx}m=1,2,... es ortogonal sobre [−π, π] ya que
R π
−π senmx sennxdx =
0 si m 6= n . Además,
ksennxk =
µZ π
−π
sen2 nxdx
¶1/2
=
√
π.
La familia {1, cosx, senx, cos 2x, sen 2x, . . . , cosnx, sennx, ...} es ortogo-
nal sobre [−π, π] ya queZ π
−π
senmx sennxdx =
½
0 , m 6= n
π , n = m
,Z π
−π
senmx cosnxdx = 0, ∀n, m yZ π
−π
cosmx cosnxdx =
½
0 , m 6= n
π , m = n
.
Además, los elementos de tal familia son linealmente independientes y
por tanto podemos considerar una representación de f (x) vía una serie; asi,
f (x) ∼ a0
2
+
∞X
k=1
(ak cos kx+ bk sen kx) .
Si f (x) es integrable Riemann sobre [−π, π] , entonces se encuentra que
a0 =
1
π
Z π
−π
f (x) dx , ak =
1
π
Z π
−π
f (x) cos kxdx y bk =
1
π
Z π
−π
f (x)senkxdx
.
a0, ak y bk son llamados los coeficientes de Fourier de f (x) , y la
serie es la serie de Fourier asociada a f (x) .
Corolario 1.3 (i) Sea f (x) seccionalmente continua y periódica con peri-
odo 2π . Pongamos
sn (x) =
a0
2
+
nX
k=1
ak cos kx+ bk sen kx.
Entonces,
0 ≤
Z π
−π
[f (x)− sn (x)]2 dx
=
Z π
−π
f2 (x) dx− 2
R π
−π f (x) sn (x) dx+
R π
−π s
2
n (x) dx . [∗]
Luego, usando las representaciones para a0, ak, bk se obtieneZ π
−π
f (x) sn (x) dx =
Z π
−π
f (x)
"
a0
2
+
nX
k=1
(ak cos kx+ bk sen kx)
#
dx
=
π
2
a20 + π
nX
k=1
¡
a2k + b
2
k
¢
,
10 CAPÍTULO 1. ASPECTOS CLÁSICOS EN EDP
donde hemos usado las relaciones de ortogonalidad de senx y cosx . Simi-
larmente,Z π
−π
s2n (x) dx =
Z π
−π
"
a0
2
+
nX
k=1
(ak cos kx+ bk sen kx)
#2
dx
=
π
2
a20 + π
nX
k=1
¡
a2k + b
2
k
¢
.
Luego [∗] implica
a20
2
+
nX
k=1
¡
a2k + b
2
k
¢
≤ 1
π
Z π
−π
f2 (x) dx,∀n ∈ Z+.
Por tanto,
a20
2
+
∞X
k=1
¡
a2k + b
2
k
¢
≤ 1
π
Z π
−π
f2 (x) dx.. . . .desigualdad de Bessel.
Observemos que si Z π
−π
f2 (x) dx <∞,
entonces ∞X
k=1
¡
a2k + b
2
k
¢
<∞,
y por tanto, la condición necesaria para que
a20
2
+
∞X
k=1
¡
a2k + b
2
k
¢
<∞,
es que
ĺım
k→∞
ak = 0 y ĺım
k→∞
bk = 0.
Definición 1.3 La serie de Fourier
a0
2
+
∞P
k=1
(ak cos kx+ bk sen kx) con-
verge en la media ó en L2 ([−π, π]) a f (x) si
ĺım
n→∞
Z π
−π
"
f (x)−
Ã
a0
2
+
nX
k=1
(ak cos kx+ bk sen kx)
!#2
dx = 0.
(ii) Si la citada serie de Fourier converge en la media a f (x) , entonces
a20
2
+
∞X
k=1
¡
a2k + b
2
k
¢
=
1
π
Z π
−π
f2 (x) dx . . . . . . relación de Parseval.
1.3. SERIES DE FOURIER. 11
Nota. Parseval establece una interesante relación entre un universo discreto
con uno continuo.
Sea f (x) definida en el intervalo (0, π) . Consideremos las extensiones:
extensión par de f......Fp (x) =
⎧⎨⎩
f (x) , 0 < x < π
f (−x) , −π < x < 0
,
extensión impar de f......Fi (x) =
⎧⎨⎩
f (x) , 0 < x < π
−f (−x) , −π < x < 0.
Desde que Fp (x) es una función par y Fi (x) es impar, ambas de periodo
2π, las representaciones en series de Fourier de Fp y Fi son:
Fp (x) =
a0
2
+
∞X
k=1
ak cos kx y Fi (x) =
∞X
k=1
bk sen kx.
FORMA COMPLEJA. Si f(x) =
a0
2
+
∞P
k=1
(ak cos kx+ bk sen kx) ,
usándose senx =
eix − e−ix
2i
y cosx =
eix + e−ix
2
, se obtiene
f (x) =
∞X
k=−∞
cke
ikx, −π < x < π,
donde ck =
1
2π
R π
−π f (x) e
−ikxdx.
LEMA DE RIEMANN - LEBESGUE. Si f (x) es seccionalmente con-
tinua sobre el intervalo [a, b] , entonces
ĺım
λ→∞
Z a
b
f (x) senλxdx = 0.
Teorema 1.1 (DE LA CONVERGENCIA PUNTUAL) Si f (x) es
seccionalmente regular y periódica, con período 2π en [−π, π] , entonces para
cualquier x,
a0
2
+
∞X
k=1
(ak cos kx+ bk sen kx) =
1
2
[f (x+) + f (x−)] ,
donde ak =
1
π
Z π
−π
f (x) cos kxdx y bk =
1
π
Z π
−π
f (x) sen kxdx , ∀ k.
12 CAPÍTULO 1. ASPECTOS CLÁSICOS EN EDP
Nota. Si, además, f es continua en x , entonces
a0
2
+
∞X
k=1
(ak cos kx+ bk sen kx) = f (x) .
Veamos una breve presentación sobre Fourier y su análisis.
“La Teoría Analítica del calor”, publicada en 1822, es una obra maestra
en donde Fourier combina maravillosamente un problema del mundo obje-
tivo con ideas matemáticas, aún no bien formalizadas. Era una época en
que la matemática entraba en su etapa de rigorización. Fourier introduce los
desarro- llos en series e integrales de funciones trigonométricas para estudiar
la conducción del calor. Esta obra es el punto de partida de un desarrollo
de la matemática, mas precisamente, del análisis; la cosecha es inmensa con
el transcurrir de los años. De ella han de surgir teorías y métodos que han
de marcar rutas en el desarrollo del análisis moderno.
Fourier fundamentó la teoría de las series trigonométricass en base a los
trabajos de sus predecesores del siglo XVIII. Fue un matemático aplicado
que trabajó en geofísica, en oceanografía, en meteorología; fue secretario
de la Academia de Ciencias en Francia. Escribió diversos artículos sobre
las series trigonométricas en relación con la conducción del calor. Fourier
verifica que, en casos especiales, una función f (x) puede ser expresada vía
una serie de la forma a0+(a1 cosx+ b1 senx)+(a2 cos 2x+ b2 sen 2x)+ · · · ,
donde los coeficientes son de la forma
a0 =
1
2π
Z π
−π
f (x) dx, an =
1
π
Z π
−π
f (x) cosnxdx, bn =
1
π
Z n
−n
f (x) sennxdx
n = 1, 2, . . . . Es oportuno remarcar que la representación para an ya había
sido establecida por Euler; asi mismo Clairaut ya conocía las fórmulas para
tales coeficientes; ello fue reconocido por Fourier. Como hemos mencionado,
por aquella época aún no existía el análisis y el rigor en los argumentos.
Su afirmación de que “cualquier función periódica podía ser expresada por
una tal serie”, llamada posteriormente, serie de Fourier, es falsa como fue
1.4. SISTEMAS DE STURM - LIOUVILLE. 13
mostrada años después pero gracias a esta circunstancia es que a comien-
zo del siglo XX, A. Haar ha de construir una base ortonormal para cierto
espacio de funciones, en donde está encerrada la idea de “wavelet”, la que
ha de ser re - descubierta a comienzos de los años 1980’s y de gran impor-
tancia en nuestros días en el campo de las aplicaciones. El lector interesado
en algunos aspectos históricos del análisis de Fourier puede consultar, por
ejemplo, [ORT 3].
1.4. SISTEMAS DE STURM - LIOUVILLE.
Sea la ecuación, en forma canónica,
a (x, y)uxx + c (x, y)uyy + d (x, y)ux + e (x, y)uy + f (x, y)u = 0.
Si u (x, y) = X (x)Y (y) , entonces:
aX 00Y + cXY 00 + dX 0Y + eXY 0 + fXY = 0.
Permitamos que exista una función p (x, y) tal que si dividimos esta
ecuación por p (x, y) , entonces obtendríamos
a1 (x)X
00Y +b1 (y)XY
00+a2 (x)X
0Y +b2 (y)XY
0+[a3 (x) + b3 (x)]XY = 0.
Dividiendo ahora por XY ( 6= 0 ), obtendremos
a1
X 00
X
+ a2
X 0
X
+ a3 = −
∙
b1
Y 00
Y
+ b2
Y 0
Y
+ b3
¸
. (+)
Derivando con respecto a x ,
d
dx
∙
a1
X 00
X
+ a2
X 0
X
+ a3
¸
= 0.
Integrando esta ecuación obtenemos
a1
X 00
X
+ a2
X 0
X
+ a3 = λ,
siendo λ una constante (de separación).
Considerando (+) , tendremos
b1
Y 00
Y
+ b2
Y 0
Y
+ b3 = −λ.
Luego
a1X
00 + a2X
0 + (a3 − λ)X = 0. (∗)
b1Y
00 + b2Y
0 + (b3 + λ)Y = 0. (∗∗)
14 CAPÍTULO 1. ASPECTOS CLÁSICOS EN EDP
Conclusión. u (x, y) es una solución de
a (x, y)uxx + c (x, y)uyy + d (x, y)ux + e (x, y)uy + f (x, y) = 0
si X (x) y Y (y) son soluciones de (∗) y (∗∗).
Nota. La estrategia usada se llama el método de separación de variables.
En general podemos asumir que (∗) ó (∗∗) es de la forma
c1 (x)
d2u
dx2
+ c2 (x)
du
dx
+ [c3 (x) + λ]u = 0.
Si introducimos
p (x) = e
c2
c1
dx
, q (x) =
c3
c1
p (x) y s (x) =
1
c1
p (x)
en la anterior ecuación, obtendremos
d
dx
µ
p (x)
du
dx
¶
+ [q (x) + λs (x)]u = 0,
llamada ecuación de Sturm - Liouville.
A fin de garantizar la existencia de soluciones de la ecuación de Sturm-
Liouville, q (x) y s (x) deben ser funciones continuas y p (x) continuamente
diferenciable en el intervalo [a, b], a, b ∈ R . Además, tal ecuación es regular
en [a, b] si p (x) y s (x) son positivas en [a, b].
PROBLEMA DE STURM - LIOUVILLE. Resolver:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
d
dx
µ
p (x)
du
dx
¶
+ [q (x) + λs (x)]u = 0
a1u (a) + a2u
0 (a)= 0
b1u (b) + b2u
0 (b) = 0,
donde a1, a2, b1, b2 son números reales
Nota. Observemos que u = 0 es la solución trivial de tal problema.
Sea el conjunto
{λ / problema de Sturm - Liouville tiene una solución no trivial}.
Estos λ0s son llamados valores propios, las correspondientes soluciones
son las funciones propias y el conjunto de tales λ0s es el espectro del
problema.
Asumamos p (a) = p (b) ; en este caso es factible imponer las condiciones
u (a) = u (b) y u0 (a) = u0 (b) . El respectivo problema es llamado periódico.
Un valor propio λ es llamado de multiplicidad k si existen k funciones
propias linealmente independientes correspondientes a λ .
1.5. PROBLEMAS DE VALOR DE CONTORNO. 15
Teorema 1.2 “Si p (x) , q (x) y s (x) son continuas en [a, b] en un proble-
ma de Sturm - Liouville, y si las funciones propias uj y uk, correspondi-
entes a λj y λk, son continuamente diferenciables, entonces uj es ortog-
onal a uk con respecto a la función peso s (x) en [a, b] , esto es, se tieneR b
a uj (x)uk (x) s (x) dx = 0”.
Corolario 1.4 “En un problema de Sturm - Liouville periódico en [a, b], las
funciones propias son ortogonales respecto a s (x) en [a, b] ”.
Teorema 1.3 “En un problema de Sturm - Liouville regular, con s (x) > 0,
todos los valores propios son números reales”.
Teorema 1.4 “Todo problema de Sturm - Liouville regular tiene una suce-
sión infinita de valores propios reales λ1 < λ2 < λ3 < . . ., con ĺım
n→∞
λn =∞.
Las correspondientes funciones propias un , determinadas a menos de un
factor constante, tiene exactamente n raices en el intervalo (a, b) . Además,
tales funciones propias forman un sistema ortogonal completo.
Cualquier función seccionalmente regular en [a, b] que satisface las condi-
ciones de contorno de un problema de Sturm - Liouville regular puede ser
expandido en una serie absoluta y uniformemente convergente
f (x) =
∞X
n=1
cnun, donde cn =
R b
a funsdxR b
a u
2
nsdx
.”
Observemos que si s (x) = 1 y un tiene L2 - norma igual a 1, entonces
cn =
Z b
a
f (x)un (x) dx
como es usual encontrar.
1.5. PROBLEMASDEVALORDECONTORNO.
Un problema de valor de contorno (pvc) consiste en encontrar una
función, la cual satisface una edp dada y particulares condiciones de con-
torno.
Físicamente un pvc es independiente del tiempo; depende solo de coor-
denadas espaciales.
Un pvc está relacionado a ecuaciones de tipo elíptico. Una edp de segundo
orden de tipo elíptico en x1, x2, . . . , xn ,es de la forma:
nX
i=1
uxixi ≡ ∇2u ≡ ∆u = F (x1, x2, . . . , xn, ux1 , . . . , uxn) .
16 CAPÍTULO 1. ASPECTOS CLÁSICOS EN EDP
Algunas conocidas ecuaciones elípticas son:∆u = 0 (ecuación de Laplace);
∆u = g (x) , x = (x1, x2, . . . , xn) (ecuación de Poisson); ∆u+λu = 0, λ >
0 constante (ecuación de Helmoltz) y ∆u+ [λ− q (x)]u = 0 (ecuación
de Schrödinger).
Definición 1.4 u (x) es una función armónica en un dominio D si ∆u =
0, u y sus dos primeras derivadas parciales son continuas en D .
Remarcamos que ∆ ≡
nX
i=1
∂2
∂x2i
. Una combinación lineal de funciones
armónicas es armónica.
PROBLEMA DE DIRICHLET ( R2 ). Encontrar una función armóni-
ca u (x, y) armónica en D tal que u = f sobre el contorno B ≡ ∂D , donde
f (s) es una función continua dada sobre B .
Físicamente, la solución u es la distribución constante o estable del estado
de temperatura en un cuerpo que no contiene fuentes o sumideros de calor,
con una temperatura prescrita en todo los puntos sobre el contorno del
cuerpo.
PROBLEMADENEUMANN. Encontrar una función armónica u (x, y)
en D tal que
∂u
∂n
= g sobre B .
∂
∂n
es la derivada direccional, en la dirección
de la norma unitaria exterior, donde g ∈ C◦ (B) .
PROBLEMAS MIXTOS.
(i) Encontrar u (x, y) armónica en D tal que
∂u
∂n
+ h (s)u = 0 sobre B,
donde h (s) ≥ 0 , h (s) 6≡ 0 .
(ii) Problema de Robin. Encontrar u (x, y) armónica en D tal que⎧⎨⎩
u = f1 sobre B1
∂u
∂n = f2 sobre B2 , donde B = B1 ∪B2 según la figura.
1.6. LA ECUACIÓN DEL CALOR. 17
Teorema 1.5 Principio del Máximo. “Sea u (x, y) armónica en D ,
dominio acotado, y continua en D ∪ B . Entonces u asume su máximo
valor (y su mínimo valor) sobre B”.
Teorema 1.6 (Unicidad) “La solución del problema de Dirichlet, si ex-
iste, es único”.
Teorema 1.7 (Estabilidad) “La solución del problema de Dirichlet de-
pende continuamente de los datos de contorno”.
Corolario 1.5 “Sea {un} una sucesión de funciones armónica en D , con-
tinuas sobre D ∪B . Si fi = ui|B y {fn} converge uniformemente sobre B ,
entonces {un} converge uniformemente sobre D ∪B ”.
1.6. LA ECUACIÓN DEL CALOR.
Sea la ecuación del calor
∂2u
∂x2
=
∂u
∂y
.
Para b > 0 , sea el rectángulo (0, 0) , (π, 0) , (π, b) y (0, b) ;D es su interior
y sean los segmentos L1, L2, L3 y L4 como en la figura adjunta. Pongamos
L∗4 = L4 − {(0, b) , (π, b)} .
Sean las funciones g1 (y) , 0 ≤ y ≤ b ;
g2 (x) , 0 ≤ x ≤ π, y g3 (x) , 0 ≤ y ≤ b,
definidas y continuas tales que g1 (0) = g2 (0) y g2 (π) = g3 (0).
PROBLEMA . Encontrar una función u = f (x, y) tal que
(i) u es continua sobre D ∪B ,
18 CAPÍTULO 1. ASPECTOS CLÁSICOS EN EDP
(ii) u satisface uxx = uy sobre D ∪ L∗4,
(iii) tenemos
f (0, y) = g1 (y) sobre L1
f (x, 0) = g2 (x) sobre L2
f (π, y) = g3 (y) sobre L3.
Proposición 1.1 Bajo las condiciones indicadas arriba,
(i) u = f (x, y) asume su máximo, y su mínimo, valor sobre L1 ∪L2 ∪L3,
(ii) si el problema tiene solución, ella es única.
(iii) Si el problema tiene solución u , entonces ella depende continuamente
de g1 (y) , g2 (x) y g3 (y).
Nota. Mayores detalles sobre este capítulo, el lector puede consultar (por
ejemplo), [EPS], [FIG.1], [GRE] y [ORT.1]. Ver también otros detalles en el
capítulo 6.1. En especial el lector es sugerido ver 5.1.2 en donde discutimos
la obtención de la ecuación del calor en sus diferentes formas. Asi mismo,
en 5.1.3 damos algunas consideraciones históricas del problema.
1.7. ECUACIONESDIFERENCIALES PARCIALES
DE PRIMER ORDEN.
1.7.1. Ecuaciones Lineales con dos variables.
En forma breve consideremos a las ecuaciones en derivadas parciales de
primer orden. El objetivo es llegar a motivar al celebrado teorema de Cauchy
- Kowalevsky, que estudiaremos con mas detalle en el capítulo 6.2. Así mis-
mo algunas ideas de esta sección servirán para comprender al problema de
Cauchy en contextos mas generales.(Ver capítulo 6).
Sea un dominio D ⊂ R2 y la ecuación diferencial
L (u) = aux + buy = c (i)
donde a (x, y) , b (x, y) y c (x, y) son apropiadas funciones definidas sobre D .
(i) es una ecuación diferencial lineal de primer orden. u (x, y) es una solución
de (i) si u está definida en D (o en un subconjunto de D ) si al reemplazarla
en la ecuación, ella se reduce a una identidad . La misión es determinar
las condiciones (suficientes) para que sea única la solución de (i). La idea
es, vía un apropiado cambio de variables, transformar (i) a una mas simple
ecuación y que pueda ser tratada como una ecuación diferencial ordinaria.
1.7. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE PRIMERORDEN.19
Es sospechable que tales condiciones sean las hipótesis que deban satisfacer
los coeficientes a (x, y) , b (x, y) y c (x, y) .
Geométricamente, bajo ciertas hipótesis sobre a, b y c , la unicidad de la
solución (i) es obtenida requiriendo que la superficie z ≡ u = u (x, y) , que
representa a la solución, deba contener una determinada curva del espacio
R3 . Asi sea la curva C definida por las ecuaciones
x = ξ (t) , y = η (t) , z = ζ (t) ; t1 ≤ t ≤ t2 (ii)
donde las funciones ξ (t) , η (t) y ζ (t) son suficientemente derivables en tal
intervalo. Para cada t , por hipótesis, asume que C posee una recta tangente
(no paralela al eje z ); para tener esto, ξ0 (t) y η0 (t) no se deben anular
simultáneamente para cada t . De esta manera, la superficie que contiene C
posee plano tangente (no vertical) en los puntos de intersección. Se requiere
además, que la curva C se proyecte sobre el plano xy de un modo unívoco
(la solución debe ser una función).
Asumamos todo ello, esto es, asumamos que (i) posee una solución z =
u (x,y) , superficie que contiene a la curva C, dada por (ii). Luego, de (i) y
(ii) será posible determinarse los valores de ux y uy en cada punto de C ya
que, en estos puntos, ux y uy satisfacen también
ζ 0 (t) = uxξ
0 (t) + uyη
0 (t) (iii)
Asi, se ha obtenido un sistema de ecuaciones (i) y (ii), con incógnitas ux
y uy , y además sabemos que la solución es única, a menos que tengamos¯̄̄̄
a b
ξ0 (t) η0 (t)
¯̄̄̄
= aη0 (t)− bξ0 (t) = 0 (d)
La condición determinante (d) es llamada la “condición característi-
ca”
Es claro que cuando tengamos (d), entonces (i) y (ii) es un sistema
inconsistente. Por otro lado, si (d) no es satisfecha sobre C , entonces existe
una única solución de (i) conteniendo C .
Viendo (ii), la condición (d) la podemos escribir en forma
dy
dx
=
b
a
,
cuya solución nos lleva a ciertas curvas “peligrosas” enD . Así, esta ecuación
diferencial determina en cada punto de D una única dirección “piso carac-
terística”.
Entonces, una curva en D ⊂ R2 , teniendo en cada uno de sus puntos esa
dirección, es llamada una curva piso-característica, y es obtenida de la
ecuación diferencial bdx−ady = 0 . Se verifica (usando el teorema de Cauchy
- Picard) que bajo ciertas condiciones sobre los coeficientes a (x, y) y b (x, y)
20 CAPÍTULO 1. ASPECTOS CLÁSICOS EN EDP
, existe una única curva característica que pasa a través de D. Así mismo, la
condición (d) garantiza que la proyección ortogonal de la curva C , sobre el
plano xy , posee la dirección piso-característica; además, bajo la condición
aη0 (t) = bξ0 (t) y bζ 0 (t) = cη0 (t) se tiene que la curva C posee en (x (t) , y (t))
la dirección característica determinada por los número directores a, b y c .
Definición 1.5 Una curva en el espacio R3 , que posee en cada pun-
to la dirección característica, es llamada una curva característica de la
ecuación
aux + buy = c.
Se sabe que la ecuación dada aux + buy = c admite:
infinitas soluciones conteniendo a la curva C , si esta curva es carac-
terística;
ninguna solución si C no es una curva característica pero posee una
curva piso-característica (su proyección);
una solución si C no es característica y si su curva piso-característica
tampoco es característica.
Por otro lado, de (i) y (ii) es factible determinarse formalmente, en
cualquier punto P de C en el cual (d) no es satisfecha, los valores de todas
las derivadas de la solución ( y no solamente de ux y uy ). Para garantizar
esta conclusión, es necesario que las funciones coeficientes a, b y c posean
derivadas parciales de todas las órdenes, y que las funciones ξ (t) , η (t) y
ζ (t) posean derivadas parciales de todas las órdenes con respecto a t . Así,
a la solución u se le asocia la serie de Taylor
∞X
m,n=0
cm,n (x− x0)m (y − y0)n ,
donde (x0, y0) es la proyección de P . La cuestión es: en una vecindad
de (x0, y0), ¿converge esta serie?. Tal límite sería la solución de (i), la
que contiene a la curva C . La respuesta es afirmativa si las funciones
a, b, c, ξ (t) , η (t) y ζ (t) fueran funciones analíticas. Esta afirmación es el
famoso teorema de Cauchy - Kowalevsky.
1.7.2. Sistemas de Ecuaciones de Primer orden. Clasificación.
Sea D un dominio en R2 . Trataremos con un sistema casi - lineal de
ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, en dos variables indepen-
dientes x1 y x2 , y n funciones incógnitas u1 = u1 (x) , . . . , un = un (x) . Un
tal sistema es, por definición, de la forma
Li =
nX
j=1
2X
k=1
aijkujxk + fi, i = 1, 2, . . . , n (s1)
1.7. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE PRIMERORDEN.21
donde (s1) es considerado en D , y aijk ∈ C◦
¡
D
¢
.
Definición 1.6 (s1) es llamado:
un sistema casi - lineal si aijk y fi son funciones de x y u =
(u1 (x) , . . . , un (x));
un sistema casi∗ - lineal si los aijk son funciones que solo dependen
de x , y fi depende de x y u .
un sistema lineal si
fi =
nX
j=1
bijuj + ci
y si los aijk, b
i
j y ci son funciones de x solamente.
Recordemos la noción de derivada direccional de una función. Sea v ∈
C1
¡
D
¢
y α un campo vectorial, con |α| > 0 , α (x) = (α1 (x) , α2 (x)) ,
α1, α2 ∈ C◦ .Entonces, por definición,
vα =
2X
k=1
αk (x) vxk
es llamada la derivada direcional de v (x) en la dirección de α . Observe-
mos que (s1) contiene en general, n2 derivadas direccionales.
Sean λi = λi (x, u) adecuadas funciones; entonces, vía la combinación
lineal
nX
i=1
λiLi ≡ λi
nX
i,j=1
2X
k=1
aijkujxk+
nX
i=1
λifi = 0, (+)
la idea a desarrollar es encontrar un sistema de ecuaciones que sea equiva-
lente a (s1) y que contenga exactamente una derivada direccional
uτα =
2X
k=1
ατkuxk , τ = 1, 2, . . . , n,
en toda dirección, donde los ατ son vectores los cuales son reales y dos a dos
linealmente independiente en todo x ∈ D .
Ahora pasemos a construir al sistema anunciado. Para ello necesitamos
de n vectores linealmente independientes
λτ = (λτ1, . . . , λ
τ
n) .
Si substituimos estos vectores en (+) , el resultante sistema toma la
forma
eLτ ≡ nX
i=1
λτi Li =
nX
j=1
gτj ujατ +
nX
j=1
λτj fi = 0, τ = 1, 2, . . . , n.
22 CAPÍTULO 1. ASPECTOS CLÁSICOS EN EDP
Si este sistema lo igualamos con (+) , se obtiene
nX
i=1
λτi a
i
j1 = g
τ
j α
τ
1,
nX
i=1
λτi a
i
j2 = g
τ
j α
τ
2 (∗)
Asumamos que λτ1 6= 0 en D; si ζτ =
ατ2
ατ1
, de (∗) se obtiene
nX
i=1
λτi
¡
aij1ζ
τ − aij2
¢
= 0.
Ahora, si deseamos que la ecuación algebraica en ζ , de grado n ,¯̄
aij1ζ − aij2
¯̄
= 0 (∗∗)
tenga n distintas raices reales ζτ en D , entonces debemos dar n campos
vectoriales ατ .
Bien, ahora es posible obtener una clasificación de (s1) usando (∗∗) .
Se tiene, si x ∈ D es un punto fijo, diremos que (s1) es de tipo:
elíptico . . . si (∗∗) posee ninguna raíz real ζ; distintas
hiperbólico . . . si (∗∗) posee precisamente n raices reales distintas ζ;
parabólico . . . si (∗∗) posee precisamente ν raices reales distintas ζ,
donde 1 ≤ ν ≤ n− 1 .
(s1) es de tipo elíptico, hiperbólico o parabólico si, respectivamente lo es
en todo x ∈ D.
1.8. TAREAS.
1. Verificar que las funciones u (x, y) = x2 − y2 y u (x, y) = ex sen y son
soluciones de la ecuación uxx + uyy = 0.
2. Si u = f (x, y) es una función arbitrariamente diferenciable, pruebe
que u satisface xux − yuy = 0 . Además verifique que las funciones
u = sen (xy) , u = log (xy) y u = exy
son también soluciones de tal ecuación.
3. Sea la ecuación de Laplace uxx+uyy = 0 . Pongamos x = r cos θ, y =
r sen θ y w (θ, r) = u (r cos θ, r sen θ). Pruebe que, en coordenadas
polares, tal ecuación es
wrr +
1
r2
wθθ +
1
r
wr = 0,
donde se asume que uxy = uyx.
1.8. TAREAS. 23
4. f (x, y) es llamada una función homogénea de grado n , si para
todo λ > 0 (real) se tiene f (λx, λy) = λnf (x, y). Si f es homogénea
de grado n , pruebe que
x2fxx + xyfxy + xyfyx + y
2fyy = n (n− 1) f.
5. Teorema de la divergencia. Sea D ⊂ Rn un dominio regular, con
∂D suficientemente regular, y sea H = (h1, . . . , hn) ∈ C1
¡
D
¢
una
función vectorial tal que
divH (x) =
nX
i=1
∂hi
∂xi
(x)
es integrable, x = (x1, . . . , xn) ∈ D . Entonces,Z
D
divHdx =
Z
∂D
hnq,H (n)i dσ (n) ,
donde q ∈ ∂D y nq es el vector normal unitario exterior a ∂D en q .
dσ es una medida de superficie en ∂D y h, i es un producto interno.
Si u ∈ C◦
¡
D
¢
∩ C1 (D) y v ∈ C1
¡
D
¢
∩ C2 (D), usando el teorema de
la divergencia, pruebe queZ
D
(u∆v + h∇u,∇vi) dx =
Z
∂D
u
∂v
∂n
dσ
fórmula conocida como la primera identidad de Green.
Establezca la segunda identidad de GreenZ
D
(u∆v − v∆u) dx =
Z
∂D
µ
u
∂v
∂n
− v ∂u
∂n
¶
dσ.
6. Por definición, u (x) es una función armónica en un dominioD ⊂ Rn
si:
u ∈ C2 (D) y ∆u = 0 .
Se dice que una función u tiene la propiedad del valor medio en
x0 ∈ D si
u (x0) =
1
|∂B (x0, r)|
Z
∂B(x0,r)
u (q) dσ (q) . . . ∀B (x0, r) ⊂ D,
donde en general |A| es la medida de A .
Pruebe que: u es armónica en D ⇔ u tiene la propiedad del valor
medio en cada x0 ∈ D .
24 CAPÍTULO 1. ASPECTOS CLÁSICOS EN EDP
7. Dada la función f ∈ C◦ (∂D) , pruebe:
(i) la unicidad de la solución del problema de Dirichlet:
“encontrar u ∈ C◦
¡
D
¢
talque
∆u = 0 . . . en D
u = f . . . sobre ∂D ”.
(ii) la unicidad de la solución, a menos de una constante arbitraria,
del problema de Neumann: “encontrar u ∈ C◦
¡
D
¢
tal que
∆u = 0 . . . en D
∂u
∂n = f . . . sobre ∂D ”.
(iii) la unicidad de la solución del problema de Robin o mixto:
“encontrar u ∈ C◦
¡
D
¢
tal que
∆u = 0 . . . en D
h (x)u+ ∂u∂n = f . . . sobre ∂D , donde h (x) > 0
sobre ∂D .”
8. Si v (x) es una función armónica en D, pruebe queZ
∂D
∂v
∂n
dσ = 0. (Teorema de Gauss).
9. Sea x = (x1, x2, x3) ∈ R3 , t variable tiempo; D es un dominio acotado.
Sean c, ρ, k tres constantes físicas apropiadas; f = f (x, t) representa la
densidad del calor producido en D por unidad de tiempo y u = u (x, t)
representa la temperatura. Sea Di un subdominio arbitrario de D ,
con frontera ∂Di . Se sabe que el calor contenido en Di en un tiempo
dado es
R
Di
cρudx .Luego, el cambio del calor contenido en Di es dado
por
d
dt
Z
Di
cρudx ó
Z
Di
cρ
∂u
∂t
dx ((i))
Por otro lado, el flujo de calor por unidad de tiempo en Di , a través
de ∂Di , es
−
Z
∂Di
k
∂u
∂n
dσ. ((ii))
Finalmente, el calor producido por unidad de tiempo en Di esZ
Di
fdx. ((iii))
1.8. TAREAS. 25
El Principio de la Conservación del Calor dice que ((i)) = ((ii)) +
((iii)), es decir,Z
Di
cρ
∂u
∂t
dx = −
Z
∂Di
k
∂u
∂n
dσ +
Z
Di
fdx
ó Z
Di
cρ
∂u
∂t
dx+
Z
∂Di
k
∂u
∂n
dσ =
Z
Di
fdx ((1))
Esta fórmula ((1)) es conocida como la ecuación del calor en forma
integral.
En el caso estacionario, ((1)) es
Z
∂Di
k
∂u
∂n
dσ =
Z
Di
fdx . . . (10),
de donde, si f = 0 , obtenemos el teorema de Gauss mencionado en 8.
De ((1)) obtenga la ecuación del calor en forma diferencial:
cρ
∂u
∂t
− k∆u = f ((2))
y de (10) la ecuación de Poisson: −k∆u = f . . . (20)
[Sugerencia: en el teorema de la divergencia considere el campo vec-
torial
H = −k∇u y −
Z
∂Di
ya que n es una normal interior en Di ]
10. Bajo las consideraciones de la tarea 9, si v es una función suficiente-
mente regular, la ecuación del calor en la forma de la identidad de
la energía es de la formaZ
D
cρ
∂u
∂t
vdx+
Z
∂D
k
∂u
∂n
vdσ +
Z
D
k h∇u,∇vi dx =
Z
D
fvdx ((e))
y en el caso estacionario,Z
∂D
k
∂u
∂n
vdσ +
Z
D
k h∇u,∇vi dx =
Z
D
fvdx ((e0))
Pongamos E (u, v) =
R
D k h∇u,∇vi dx . Remarcamos que k > 0.
E (u, v) es la energía de u respecto a v . Verifique E (u, v) sat-
isface:
E (u) ≡ E (u, u) ≥ 0; E (u) = 0⇔ u es una constante;
E (u, v) = E (v, u); E (αu, v) = αE (u, v) , E (u, βv) = βE (u, v);
26 CAPÍTULO 1. ASPECTOS CLÁSICOS EN EDP
E (u1 + u2, v) = E (u1, v)+E (u2, v) y E (u, v1 + v2) = E (u, v1)+
E (u, v2).
11. D es un dominio acotado en R2 . Si u (x, y) es armónica enD y continua
en D , pruebe que u asume su máximo y mínimo valor sobre ∂D .
12. Estabilidad • Pruebe que la solución del problema de Dirichlet de-
pende continuamente de los datos de contorno
•• Sea {un} una sucesión de funciones armónicas enD, continuas sobre
D. Si
fn = un|∂D y {fn} converge uniformemente sobre ∂D pruebe que {un}
converge uniformemente sobre D.
13. Precisemos que un problema de valor inicial o problema de
Cauchy para una ecuación diferencial casi-lineal
auxx + buxy + cuyy + φ (x, y, u, ux, uy) = 0 (+)
con a2 + b2 + c2 6≡ 0, consiste en encontrar una función (solución)
de la ecuación dada sobre un conjunto D ⊂ R2 tal que si I es un
intervalo de número reales, C es una curva en el espacio R3 dada por
x = x (t) , y = y (t) , u = u (t) , con x (t) , y (t) y u (t) de clase C2 tal
que µ
dx
dt
¶2
+
µ
dy
dt
¶2
+
µ
du
dt
¶2
6≡ 0,
y C0 : x = x (t) , y = y (t) , u = 0 , con x (t) y y (t) ∈ C2, t ∈ I ,µ
dx
dt
¶2
+
µ
dy
dt
¶2
6≡ 0,
tal que tengamos
• u asume valores dados en cada punto de C0 , y
•• ux, uy asumen valores dados en cada punto de C0 .
Aplicación. Sea R el conjunto de los números reales. Pruebe que ,
sobre R2 , la función
u = u (x, y) = x+
1
6
h
(x+ y)3 − (x− y)3
i
es una solución del problema de Cauchy: uxx − uyy = 0 , con x =
t, y = 0, t ∈ R tal que
• u (t, 0) = t , t ∈ R
•• ∂u (t, 0)
∂x
≡ 1 , ∂u (t, 0)
∂y
≡ t2 , t ∈ R
1.8. TAREAS. 27
14. Dada la ecuación casi-lineal (+) , tarea 13, la ecuación diferencial
característica asociada a ella es, por definición, a (dy)2−b (dy) (dx)+
c (dx)2 = 0 (Ver 9(i))
Las soluciones de la ecuación diferencial característica se llaman cur-
vas características o simplemente características.
Aplicación. Encontrar las ecuaciones de las características de las si-
guientes ecuaciones
(i) uxx + 2uxy + uyy = 0
(ii) uxx + 4uxy + 5uyy = 0
(iii) uxx − 3uxy + uyy − ux = 0.
15. En 4. hemos clasificado a las ecuaciones diferenciales parciales de se-
gundo orden, en hiperbólicas, parabólicas, o elípticas según, respec-
tivamente, b2 − 4ac es: > 0, = 0, ó < 0. Clasifique las siguientes
ecuaciones:
(i) x2uxx − 2xyuxy + y2uyy = ex
(ii) exuxx + e
yuyy = u
(iii) uxx + 2uxy + 3uyy + 4ux + 5uy + u = e
x.
16. Teorema. El signo del descriminante b2 − 4ac de la ecuación
auxx + buxy + cuyy + dux + euy + fu+ g = 0 (++)
es invariante bajo la transformación afin
x = α1x+ β1y + γ1, y = α2x+ β2y + γ2,
donde α1, β1, α2, β2, γ1, γ2 son constante y α1β2−α2β1 6= 0 . Además,
bajo una transformación afín una ecuación hiperbólica, elíptica o parabóli-
ca se transforma, respectivamente, en una ecuación hiperbólica, elíp-
tica o parabólica.
Caso Hiperbólico. “Dada la ecuación (++) , donde a, b, c, d, e y
f son constantes reales, g es una función de x, y sobre D ⊂ R2,
a2 + b2 + c2 6≡ 0, si (++) es hiperbólica sobre D, entonces existe
una transformación afín de la forma
x = α1x+ β1y, y = α2x+ β2y (∗)
tal que (++) toma la forma:
ux y = d1ux + e1uy + f1u+ g1 (x, y)
28 CAPÍTULO 1. ASPECTOS CLÁSICOS EN EDP
donde d1, e1 y f1 son constantes y g1 es una función de valor - real de
x, y sobre D1 , el cual es la imagen de D bajo la transformación afín
(∗) .”
Nota. Bajo las mismas consideraciones anteriores, existe una trans-
formación afín de la forma (∗) tal que (++) toma la forma:
ux x − uy y = d1ux + e1uy + f1u+ g1 (x, y) ,
con d1, e1, f1 y g1 como antes.
Caso Elíptico. Dada la ecuación (++) , como antes, si ella es elíptica
sobre D, entonces existe una transformación afín de la forma (∗) tal
que (++) toma la forma
ux x + uy y = d1ux + e1uy + f1u+ g1 (x, y) ,
con d1, e1, f1 y g1 como antes.
Caso Parabólico. Dada la ecuación (++), como antes, si ella es
parabólica sobre D , entonces existe una transformación afín de la
forma (∗) tal que (++) toma la forma
ux x = d1ux + e1uy + f1u+ g1 (x, y) ,
con d1, e1, f1 y g1 como antes.
Nota. Las ecuaciones en las variables x, y , se llaman formas canóni-
cas. Transformar a su formas canónicas las siguientes ecuaciones difer-
enciales parciales:
(i) uxx + uxy − uyy = 0
(ii) uxx + 2uxy + uyy = 0
(iii) 2uxx − uxy + uyy = 0
(iv) uxx + uxy − 3uyy + 7 = 0
(v) 2uxx + 3uxy + 4uyy + ux − exy = 1
(vi) uxx − 4uxy + 4uyy − ux − x2 = 0.
Nota. Para mas detalles relativo a esta tarea, el lector puede consultar
[GRE].
17. Problema de Cauchy I (para la cuerda vibrante): Hallar la
solución sobre R2 de los problemas:
(i) uxx − utt = 0 , u (x, 0) = 1 , ut (x, 0) = 0
(ii) uxx − utt = 0, u (x, 0) = senx, ut (x, 0) = cosx
(iii) utt − uxx = 0, u (x, 0) = x, ut (x, 0) = x .
1.8. TAREAS. 29
Problema de Cauchy II “Sea g (x, t) una función de clase C2
¡
R2
¢
y
D un conjunto de números reales. Encontrar una solución u = u (x, t)
de la ecuación de la onda uxx − utt = g (x, t) tal que si p (x) ∈
C2, q (x) ∈ C1 , x ∈ D, se tiene
u (x, 0) = p (x) , x ∈ D; ut (x, 0) = q (x) , x ∈ D”.
La única solución de este problema, en cualquier punto (x1, t1) , es
dada por
u (x1, t1) =
1
2
(p (x1 + t1) + p (x1 − t1))+
1
2
Z x1+t1
x1−t1
q (x) dx−1
2
ZZ
R
g (x, t) dR,
donde R es la unión del interior y la frontera del triángulo con vértices
(x1, t1) , (x1 − t1, 0) , (x1 + t1, 0) .
Hallar la solución sobre R2 de los problemas:
(i)uxx − utt = 1, u (x, 0) = 1, ut (x, 0) = 0
(ii)uxx − utt = 4t, u (x, 0) = x2, ut (x, 0) = 1
(iii)uxx − utt = xt, u (x, 0) = cosx, ut (x, 0) = senx.
18. Pruebeel lema de Riemann - Lebesgue.
19. Sea u (x) una función, la cual satisface la propiedad del valor medio
(ver tarea 6) sobre un dominio acotado D ⊂ Rn y u ∈ C0
¡
D
¢
. Pruebe
que u asume su valor mínimo sobre ∂D . [Ver el principio del máximo].
20. Sea u (x) armónica en Rn . Pruebe que v (x) = u (λx) es armónica,
donde λ es real.
21. Sea D un dominio en Rn con ∂D suficientemente regular; sea u ar-
mónica en D tal que u es una constante sobre ∂D . Verifique que u es
constante sobre D .
22. En R2 , sea un rectángulo con vértices P1, P2, P3 y P4 (P1 y P4 son
vértices opuestos, y cuyos lados son segmentos de características de la
ecuación de la onda
utt − uxx = 0. (*)
Pruebe que: u (x, t) ∈ C2
¡
R2
¢
es solución de (*) ⇔ u (P1) + u (P4) =
u (P2) + u (P3) para todo tal rectángulo.
30 CAPÍTULO 1. ASPECTOS CLÁSICOS EN EDP
1.9. COMENTARIOS.
(i) Este capítulo pretende presentar un conjunto de temas básicos-clásicos
de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales; así mismo, de mo-
tivar algunas ideas que en el resto del libro presentamos de un modo
generalizado vía el análisis funcional y las distribuciones. Su lectura,
y la realización de las tareas dadas, permiten al lector hacer un rápi-
do repaso de los tópicos presentados. Un lector con experiencia en los
temas dados puede pasar al capítulo 2 ó 3.
(ii) En los libros [MIL], [GRE], [MYI], [EPS], [FIG.1], [SEE], [ORT.1], el
lector puede encontrar un desarrollo detallado de lo tratado en ese
capítulo. En particular, [PET] es una clásica obra en el tema. Para
aplicaciones a la física, [SOM] es una apropiada obra; ver también
[COU-HIL]. Para las series de Fourier, consultar [SEE].
(iii) Es importante que el estudiante que se inicia en el estudio de las ecua-
ciones en derivadas parciales tenga una buena visión y formación en los
aspectos clásicos, incluyendo las aplicaciones a la física y otras áreas.
Si se omite esto y se entra directamente a los aspectos generalizados
de los espacios abstractos y de la teoría de operadores diferenciales,
posiblemente el lector pueda no tener dificultades matemáticas, pero
creemos que se pierde la oportunidad de aprender muchas ideas y méto-
dos motivadores, en donde están (muchas veces) las ideas esenciales
de las ecuaciones en derivadas parciales.
Capítulo 2
CÁLCULO DE
VARIACIONES
2.1. SIGLO XVIII
2.1.1. Generalidades.
Pocos años despues de la muerte de Newton, el cálculo se desarrolló en
varias direcciones, como son las ecuaciones diferenciales, las series y el cálculo
de variaciones. Nuestro proposito en esta oportunidad es estudiar el cálculo
de variaciones y su conexión con las ecuaciones en derivadas parciales.
• Problema [Newton. Libro II. “Principia”]
“Encontrar el minimo valor de la integral
J =
Z x2
x1
y (x) [y0 (x)]3
1 + [y0 (x)]2
dx ,
escogiendo la función adecuada y(x), cuyo gráfico rota alrededor del eje x”.
A este problema llegó Newton al estudiar el movimiento de los objetos en el
agua. Considera la cuestión sobre la forma que debe tener la superficie de
revolución que se mueve a una velocidad constante en la dirección de su eje
si ella ofrece la menor resistencia al movimiento. Así tenemos el problema
31
32 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DE VARIACIONES
de determinar superficies de revolución de área mínima, que precisamos en
la forma: “entre las curvas que unen dos puntos de un plano, hallar aquella
cuyo arco, al rotar al rededor del eje x, engendra la superficie con menor
área”. Veamos. Sean los puntos dados P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) ; y = f (x) es
la función que describe la curva arbitraria dada y que satisface la condición:
y1 = f (x1) e y2 = f (x2) . (2.1)
Al girar la curva alrededor del eje x, ella describe una superficie cuya
área es dada por la integral
J = 2π
Z x2
x1
y
q
1 + (y0)2dx.
Asi el problema consiste en determinar a la curva y = f (x), que verificando
(2.1), haga que J sea mínimo.
• Problema de la Braquistócrona [John Bernoulli. Acta Erudito-
rum. 1696.]
En junio de 1696, J. Bernoulli propuso en el Acta Eruditorum un proble-
ma isoperimétrico, quizás el mas antiguo en su género, llamado el problema
de la braquistócrona o de la curva de descenso mas rápida, y que consiste
en: ¿entre todas las curvas que unen los puntos P1 y P2, se desea hallar
aquella curva que a lo largo de ella una partícula (o punto matemático),
moviéndose bajo la fuerza de la gravedad de descenso mas rápida desde P1,
sin velocidad inicial, llega al punto P2 en el menor tiempoÀ .
Asi se deben considerar todas las posibles curvas l que unen P1 y P2. Sea T
el tiempo invertido para descender la particula desde el punto P1 al punto
P2 a través de l. Es claro que T depende de l. Luego, el problema consiste en
encontrar l tal que T sea mínimo. Por estrategia consideremos P1 = (0, 0) y
2.1. SIGLO XVIII 33
el diagrama adjunto arriba. Sea P2 (x2, y2) . y = f (x) , 0 ≤ x ≤ x2, describe
una curva arbitraria donde asumimos que f es continuamente diferenciable.
Desde que la curva pasa por P1 y P2 se debe tener
f (0) = 0 y f (x2) = y2. (2.2)
Sea P (x, y) un punto arbitrario sobre la curva, entonces la velocidad v de
una partícula en P estará relacionada con la ordenada del punto por la
ecuación (física):
gy =
1
2
v2 (g constante de gravedad),
esto es, v =
√
2gy. Luego el tiempo necesario para que la partícula recorra
un elemento de arco ds de la curva es:
ds
v
=
q
1 + (y0)2
√
2gy
dx ;
luego, el tiempo total del descenso de la partícula a lo largo de la curva, de
P1 a P2 , es:
T =
1√
2g
Z x2
0
s
1 + (y0)2
y
dx.
Conclusión: “entre todas las posibles curvas, dadas por y = f (x) que
verifican (2.2), hallar aquella que haga T un mínimo ”.
Newton, Leibniz, L’Hospital, John Bernoulli y James Bernoulli encon-
traron la solución correcta del problema de la braquistócrona; tales solu-
ciones fueron publicadas en el Acta Eruditorum de mayo 1697.
• Geodésicas. Otro problema en la dirección anterior es el problema
de determinar trayectorias de mínima longitud entre dos puntos sobre una
superficie. Si la superficie es un plano, la integral a ser considerada es
J =
Z x2
x1
q
1 + (y0 (x))2dx,
y la respuesta es una recta. En el siglo dieciocho el problema geodésico de
interés fue encontrar la mas corta trayectoria sobre la superficie de nuestra
Tierra. En general, sobre una esfera las “geodésicas” son arcos de grandes
círculos. Sean P y Q dos puntos, no diametralmente opuestos, sobre una
esfera y c el mas corto arco conectando P y Q, y que están sobre un gran
34 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DE VARIACIONES
círculo.
Ahora preguntamos: ¿cuál es el arco mas grande c0 sobre el mismo gran
círculo?. . . ciertamente c0 no da la mínima longitud ni da la máxima lon-
gitud para curvas uniendo P y Q desde que podemos trazar curvas largas
arbitrarias entre P y Q. Estamos ante un problema máximo - mínimo y se
busca la solución c0. En esta dirección, consideremos un punto S sobre un
gran círculo fijo que separa P y Q. Se indaga ahora por la mas corta conex-
ión entre P y Q sobre una esfera que pasa a través de S. Modifiquemos
un poco la anterior situación para comprender mejor el problema máximo -
mínimo: “determinar la trayectoria de mínima longitud de P a Q pasando a
través de n puntos prescritos S1, S2, . . . , Sn sobre una esfera”; “determinar
los puntos S1, S2, . . . , Sn de modo que esta mínima longitud venga a ser tan
grande posible”.
Nota 1. Este tipo de problema máximo - mínimo es típico de cuestiones en
el cálculo de variaciones.
Nota 2. Problema isoperimétrico: entre todas las curvas cerradas, de lon-
gitud dada, ¿cuál es la que encierra la mayor área?... el círculo.
Formulación Analítica De un modo general, los problemas anteriores
pueden ser formulados en la forma siguente: “encontrar y (x) que va se
(x1, y1) a (x2, y2) y que minimiza o maximiza
J =
Z x2
x1
F
¡
x, y, y0
¢
dx ”. J es una funcional.
Es curioso e interesante saber que problemas del tipo dado en la Nota 2 ya
era conocido, en algún sentido, en la antigua Grecia.
Formulación Analítica del Problema Isoperimétrico Basico: x=
x (t) , y = y (t) , t1 ≤ t ≤ t2, representan las posibles curvas cerradas y
2.1. SIGLO XVIII 35
por tanto x (t1) = x (t2) , y (t1) = y (t2); asumimos que las curvas no se
intersectan entre si.
Problema. “Determinar la curva tal que la longitud
L =
Z t2
t1
q
(x0)2 + (y0)2dt
sea constante y tal que (integral-área)
J =
Z t2
t1
¡
xy0 − x0y
¢
dt sea un máximo”.
Nota. La Membrana. Sea D el dominio del plano ocupado por una
membrana; ∂D es su contorno. φ (s) es el desplazamiento de s ∈ ∂D al
deformarse el contorno. Entonces el interior de la membrana también se
deforma. Se desea hallar la posición de equilibrio de la membrana cuando
conocemos la deformación del contorno.
Este problema lleva a minimizar una integral y asi estamos en el estilo
del cálculo de variaciones.
2.1.2. EULER. Ecuaciones Diferenciales del Cálculo de Varia-
ciones.
Como sabemos, una condición necesaria para que existe un valor extremo
(máximo ó mínimo) de una función diferenciable f en x es que f 0 (x) = 0.
Ahora la idea es encontrar una condición necesaria que debe satisfacer una
función F para que dé un valor extremo de una funcional J . Como veremos
posteriormente, tal función debe satisfacer una cierta ecuación diferencial.
Mas concretamente, sea la funcional
J (x) =
Z t2
t1
F
¡
t, x, x0
¢
dt.
Entonces F satisface la ecuacion diferencial de euler del problema varia-
cional:
d
dt
Fx0 − Fx = 0. (2.3)
Así, si una función x (t) minimiza la funcional J (x) entonces debe satisfacer
la ecuación diferencial (2.3).
Ejemplo 2.1 Recordemos al problema de la braquistócrona. Se trata de hal-
lar el mínimo de la integral Z x2
0
s
1 + (y0)2
y
dx,
con la condición y (0) = 0, y (x2) = y2.
36 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DE VARIACIONES
En este caso, F =
q
1 + (y0)2
√
y
. Luego la ecuación de Euler (2.3) es:
Fy −
d
dx
Fy0 = 0 ó −
1
2
y−
3
2
q
1 + (y0)2 − d
dx
⎡⎣y− 12 y0q
1 + (y0)2
⎤⎦ = 0.
Operando obtenemos
2y00
1 + (y0)2
= −1
y
.
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por y0 e integrando, obten-
emos
ln
³
1 +
¡
y0
¢2´
= − ln y + ln k ,
esto es ¡
y0
¢2
=
k
y
− 1, ó
r
y
k − ydy = ±dx .
Si
y =
k
2
(1− cos t) , dy = k
2
sent dt.
Reemplazando y simplificando, obtenemos
k
2
(1− cos t) dt = ±dx.
Integrando
x = ±k
2
(t− sent) + c.
La curva pasa por el origen, luego c = 0.
Conclusión: la braquistócrona es la cicloide
x =
k
2
(t− sent) , y = k
2
(1− cos t) .
2.1.3. Principio de Menor Acción.
¿Cuál es la idea? Veamos algunas motivaciones históricas. Euclides
probó que la luz viajando de P a un espejo y entonces aQ toma la trayectoria
tal que ]α = ]β, ver figura. Posteriormente Herón probó que la trayecto-
ria PRQ, que la luz hace, es mas corta que cualquier otra trayectoria, por
2.1. SIGLO XVIII 37
ejemplo, PR0Q.
Filósofos y científicos muchos años posteriores a la era griega afirmaron que:
¿La naturaleza actúa en el camino mas corto posibleÀ o ¿La naturaleza
no hace nada superfluo o cualquier trabajo innecesarioÀ. En el siglo XVII,
Fermat (1657 y 1662) estableció su “Principio del Menor Tiempo”:¿La
luz siempre toma la trayectoria que requiere el menor tiempoÀ .
Veamos como llegamos, en esta dirección, a minimizar una funcional. La
ley de refracción dice:
senα
senβ
=
v1
v2
,
siendo v1 la velocidad de la luz en un medio y v2 en otro; llamemos n =
v1
v2
el
índice de refracción del segundo medio con respecto al primero. Si el primer
medio fuera el vacío, n se llama el índice absoluto de refracción del medio
no vacío. Sea c la velocidad de la luz en el vacío y v es la velocidad en un
medio, entonces tenemos el índice absoluto n =
c
v
.
Si el medio fuera variable en el comportamiento de punto a punto, en-
tonces n y v son funciones de x, y, z. Luego el tiempo requerido por la luz
para viajar de un punto P1 a P2 a lo largo de la curva x (t), y (t) , z (t) es
dado por
J =
Z t2
t1
ds
v
=
Z t2
t1
n
c
ds =
1
c
Z t2
t1
n (x, y, z)
q
(x0)2 + (y0)2 + (z0)2dt ,
donde t1 es el valor de t en P1 y t2 el valor en P2. Por tanto tenemos el
Principio del Menor Tiempo: “La trayectoria seguida por la luz para ir
de P1 a P2 es la curva (x (t) , y (t) , z (t)) que hace J un mínimo”.
38 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DE VARIACIONES
Otras contribuciones sobre el principio del menor tiempo fueron hechas
por diversos matemáticos, sobre todo deben ser mencionadas las debidas a
Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759), a Euler y a Lagrange.
2.1.4. LAGRANGE.
A los 19 años, Lagrange comenzó a interesarse por problemas del cálculo
de variaciones (1750) motivado por los trabajos de Euler. Su gran aporte es
que introdujo métodos analíticos obteniendo asi un procedimiento general y
uniforme para una amplia variedad de problemas. Escribió una notable obra:
“Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima
des formules intégrales indéfinies”. En una comunicación a Euler (1755),
llama a su estrategia “método de variaciones” y que Euler en 1756 llamó
“Cálculo de Variaciones”.
Veamos brevemente el porqué de “Cálculo de Variaciones”. Como sabe-
mos, el problema consiste en encontrar y = y (x) tal que minimice o max-
imice la funcional
J =
Z x2
x1
F
¡
x, y, y0
¢
dx.
La idea de Lagrange fue introducir nuevas curvas, que van de (x1, y1) a
(x2, y2). Tales nuevas curvas las denota y (x) + δy (x), donde δ indica la
variación de la curva y (x) . La idea ahora es introducir esta nueva curva en
la anterior integral y considerar la diferencia, obteniéndose el incremento:
4J =
Z x2
x1
£
F
¡
x, y + δy, y0 + δy0
¢
− F
¡
x, y, y0
¢¤
dx .
Lagrange obtiene
4J = δJ + 1
2
δ2J +
1
3!
δ3J + · · ·
2.2. SIGLO XIX. 39
donde
δJ =
Z x2
x1
£
Fyδy + Fy0δy
0¤ dx · · · primera variación de J ;
δ2J =
Z x2
x1
h
Fyy (δy)
2 + 2Fyy0 (δy)
¡
δy0
¢
+ Fy0y0
¡
δy0
¢2i
dx
· · · segunda variación de J.
Luego de cierto argumento, establece que
δJ =
Z x2
x1
∙
Fyδy −
µ
d
dx
Fy0
¶
δy
¸
dx,
que δJ = 0 para toda variación δy, y que Fy −
d
dx
¡
Fy0
¢
= 0, que es precisa-
mente la ecuación diferencial de Euler.
Lagrange (1760−61) considera problemas que lo llevan a integrales múlti-
ples de la forma
J =
ZZ
D
F (x, y, z, p, q) dxdy (2.4)
donde z = z (x, y), p =
∂z
∂x
, q =
∂z
∂y
y D es una región en el plano xy.
Problema: Encontrar z = z (x, y) que maximice o minimice J.
Lagrange obtuvo la ecuación diferencial que debe satisfacer z (x, y) para
minimizar (2.4). Ella es
R
∂2z
∂x2
+ S
∂2z
∂x∂y
+ T
∂2z
∂y2
= U
donde R,S, T y U son funciones de x, y, z, p y q.
2.2. Siglo XIX.
Como sabemos, Euler y Lagrange fundaron el cálculo de variaciones en
el siglo XVIII en relación con problemas de la física, siendo el principio
de la menor acción una de las motivaciones para posteriores trabajos en el
campo de la física matemática. En el siglo XIX se continuó trabajando en
tal dirección pero aplicado a otras ramas, como es la astronomía. El cálculo
de variaciones está en la búsqueda de valores extremos para funcionales
definidas en clases de funciones, cada vez mas amplias. Veamos algunas
ideas matemáticas.
Sea dada la funcional
J =
Z x
x0
F
¡
x, y, y0
¢
dx.
40 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DE VARIACIONES
Si δJ = 0 pero δ2J 6= 0, entonces el signo de4J coincide con el de δ2J , para
pequeñas variaciones de las funciones y de sus derivadas. Legendre (1786)
obtuvo la condición: “se tendrá un máximo o un mínimo si F satisface
∂2F
∂ (y0)2
≤ 0 ó ∂
2F
∂ (y0)2
≥ 0 respectivamente”.
En la intersección de los siglos XVIII y XIX surgieron nuevas ideas que
consolidaban la relación entre el cálculo de variaciones y las ecuaciones en
derivadas parciales. Asi, en 1834, el matemático ruso M.V. Ostrogradski
probó que el problema de obtener valores extremos para integrales múltiples
es equivalente al problema de resolver ciertas ecuaciones diferenciales de la
física-matemática. Retomemos las ideas de Lagrange para integrales en el
plano. Sea la funcional (2.4)
J =
ZZ
D
F (x, y, z, p, q) dxdy
donde como sabemos, z = z (x, y) , p =
∂z
∂x
, q =
∂z
∂y
. Luego, como antes,
(D es un adecuado dominioen el plano):
4J =
ZZ
D
[F (x, y, z + δz, p+ δp, q + δq)− F (x, y, z, p, q)] dxdy
=
ZZ
D
µ
∂F
∂z
δz +
∂F
∂p
δp+
∂F
∂q
δq +R
¶
dxdy.
La condición necesaria para tener un valor extremo de la funcional es:
δJ =
ZZ
D
µ
∂F
∂z
δz +
∂F
∂p
δp+
∂F
∂q
δq
¶
dxdy = 0.
Usando cierta fórmula de Ortrogradsky para integrales dobles, se obtiene:ZZ
D
∙
∂F
∂z
− ∂
∂x
µ
∂F
∂p
¶
− ∂
∂y
µ
∂F
∂q
¶¸
δzdxdy = 0,
luego, asumiendo continuidad del integrando, se tendrá:
∂F
∂z
− ∂
∂x
µ
∂F
∂p
¶
− ∂
∂y
µ
∂F
∂q
¶
= 0.
Conclusión. El problema de determinar un valor extremo para una fun-
cional dada por una integral doble es equivalente a resolver un problema
de contorno para una ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo
grado.
2.2. SIGLO XIX. 41
En una próxima sección, veremos que la solución del problema de Dirich-
let z = z (x, y) (esto es, z satisface la ecuación de Laplace
∂2z
∂x2
+
∂2z
∂y2
= 0)
proporciona un valor extremo para la funcional
J =
ZZ
D
"µ
∂z
∂x
¶2
+
µ
∂z
∂y
¶2#
dxdy .
En el espacio usual
¡
R3
¢
, donde ocurren los fenómenos físicos, si u es
el potencial de las velocidades de una corriente estacionaria de un líqui-
do homogéneo e incomprensible, tendríamos la ecuación de Laplace 4u =
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
+
∂2u
∂z2
= 0. Entonces, la solución deseada u0, que además, en la
frontera de la región D asume valores dados, minimiza a la funcionalZZZ
D
∙
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
+
∂2u
∂z2
¸
dxdydz.
Físicamente, esto correponde al mínimo de la energía cinética.
Riemann llamó a este hecho:“Principio de Dirichlet”. Este principio
fue el origen histórico del desarrollo del análisis funcional en el siglo XX; en
verdad, fue el origen objetivo para los métodos del cálculo de variaciones y
muchos otros métodos del análisis numérico.Generalizemos estas ideas al
espacio Rn. Sea D ⊂ Rn un domino acotado y sea, para f ∈ C0 (∂D) dado,
la clase
A =
©
v ∈ C1 (D) ∩C0
¡
D̄
¢
/ v = f sobre ∂D
ª
.
Entonces,
J (v) =
Z
D
nX
i=1
µ
∂v
∂xi
¶2
dx, v ∈ A,
es llamada la Integral de Dirichlet.
Principio de Dirichlet (ya formulado por Gauss en 1840 y por Kelvin en
1847) dice: ¿Si la función u es solución del problema variacional J (u) =
ı́nf J (v) , v ∈ A , entonces u es solución del problema de Dirichlet clásico:½
4u = 0 en D
u = f sobre ∂D
À .
Motivación Física. En la física J (v) es la integral de energía; puesto que
la solución del problema de Dirichlet corresponde a un estado estacionario
(no depende del tiempo) esta solución tiene que corresponder a un mínimo
de la energía.
42 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DE VARIACIONES
Para los matemáticos y físicos del siglo XIX la existencia de un mínimo
de la integral de Dirichlet era algo evidente por “intuición física”; luego, se
asumió que también era evidente el problema de Dirichlet, es decir, siempre
tendría solución.
Nota. Muchas partes de la obra de Riemann están basadas en esta convic-
ción (por ejemplo en las superficies de Riemann). Pero, en 1869, Weierstrass
demostró, con un ejemplo simple, que el mínimo de la integral de Dirichlet
no necesariamente tiene que existir. Remarcamos que esta falla en nada
opaca al brillante genio que fue Riemann!.
Tal resultado de Weierstrass produjo una gran consternación. Mas tarde
J. Hadamard construyó, en el caso de la esfera, una función sobre la frontera
para la cual la solución del problema de Dirichlet correspondiente no tiene
una integral de Dirichlet finita, es decir, que en cierto sentido general, el
Principio de Dirichlet y el Problema de Dirichlet no son equivalentes.
Las primeras demostraciones correctas de una solución del problema de
Dirichlet sin el uso del Principio de Dirichlet, en casos especiales, fueron
logrados por H. Poincaré, Neumann, H.A. Schwartz. En 1900, David Hilbert
demostró que el Principio de Dirichlet es válido con condiciones especiales
para la clase de funciones donde se busca la solución (La clase A de arriba).
En este trabajo de Hilbert por primera vez se consideran los “espacios de
funciones” y marcó el origen del desarrollo del análisis funcional.
Hilbert influyó poderosamente,entre otras áreas, al desarrollo de métodos
directos del cálculo de variaciones, con contribuciones de R. Courant, entre
otros.
2.3. ELEMENTOS SOBRECÁLCULODEVARIA-
CIONES.
2.3.1. Motivaciones.
Sea la función J : A → R, donde A es un conjunto arbitrario. Supong-
amos que exista una constante m (ó M) tal que
m ≤ J (x) (ó J (x) ≤M) , ∀x ∈ A.
Questión. ¿Existe x0 ∈ A tal que m = J (x0) (ó M = J (x0))?
Ejemplo 2.3.1 Si A = [0, 1] , J = f es continua, entonces sabemos que
la respuesta es afirmativa.
2.3. ELEMENTOS SOBRE CÁLCULO DE VARIACIONES. 43
Ejemplo 2.3.2 Si A es un espacio topológico compacto y J = f es
continua, entonces la respuesta es también afirmativa.
Definición 2.1 Si A es un espacio de funciones, J : A → R es llamada
una funcional. En este caso la respuesta puede ser falsa.
Contra Ejemplo 2.3.2 Sean
A = {x : [0, 1]→ R continua / x (0) = x (1) = 1}
y la funcional
J (x) =
Z 1
0
x2 (t) dt.
Tenemos que infJ(x) = 0 pero no existe x ∈ A tal que J(x) = 0.
Definición 2.2 Un Problema Variacional consiste en encontrar una
función en A que minimice o maximice la funcional J.
Ejemplo 2.3.3 Sean
A =
©
x : [a, b]→ R, x ∈ C2 ([a, b]) / x (a) = x1, x (b) = x2
ª
y
J (x) =
Z b
a
F
¡
t, x, x0
¢
dt , donde x0 =
dx
dt
y F ∈ C2
¡
t, x, x0
¢
.
Nota En la física aparecen algunos problemas variacionales de este tipo.
44 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DE VARIACIONES
Ejemplo 2.3.4 (Extensión del ejemplo 2.3.3). Sea
A =
½
(x (t) , y (t)) , x, y ∈ C2 ([a, b]) / x (a) = x1 x (b) = x2
y (a) = y1 y (b) = y2
¾
y sea la funcional
J (x, y) =
Z b
a
F
¡
t, x, y, x0, y0
¢
dt donde F ∈ C2
¡
t, x, y, x0, y0
¢
.
Ahora consideramos funciones las cuales dependen de mas variables. Por
simplicidad consideremos dos variables; en el caso general es una cuestión
de notación.
Ejemplo 2.3.5 Sea D ⊂ R2 un dominio regular (con contorno “suave”)
y sean
A = {u = u (x, y) : D→ R de clase C2 (D) /
u toma valores dados sobre Γ = ∂D(u = f sobre Γ)},
J (u) =
Z
D
F (x, y, u, ux, uy) dxdy,
donde
ux =
∂u
∂x
y F ∈ C2 (x, y, u, ux, uy) .
Ejemplo 2.3.6 Sea D ⊂ R2 un dominio regular.
A = {(u, v) ; u, v : D→ R de clase C2 (D) /
u = f , v = g sobre Γ siendo f y g dados}.
Sea la funcional
J (u, v) =
Z
D
F (x, y, u, v, ux, uy, vx, vy) dxdy
donde F ∈ C2 (x, . . . vy) .
Es dificil decir cuando un problema variacional tiene solución. Presen-
tamos a continuación (en 2,3,2) algunas condiciones necesarias para que los
problemas 2,3,4 y 2,3,5 tengan solución.
Lema 2.1 Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones.
Sea f : D ⊂ Rn → R continua. Si para toda función real continua η (x)
sobre D, tal que η es nula en una vecindad de Γ, se tuvieraZ
f ηdx = 0,
entonces f (x) = 0, ∀x ∈ D.
2.3. ELEMENTOS SOBRE CÁLCULO DE VARIACIONES. 45
Prueba
Por el absurdo, supongamos que exista x0 ∈ D donde f (x0) 6= 0, digamos
f (x0) > 0. Siendo f ∈ C0 (D) existirá una vecindad N (x0) donde f (x) > 0.
Consideremos ahora η (x) > 0 en N (x0) y η (x) = 0 en el complemento de
N (x0) , entonces tendremosZ
f ηdx =
Z
N(x0)
f ηdx > 0 ,
lo que es una contradicción.
¥
2.3.2. Las Ecuaciones Diferenciales de Euler.
Teorema 2.1 Si x = ϕ (t) e y = ψ (t) es una solución del problema varia-
cional dado en el ejemplo 2.3.4, entonces ello es también solución del sistema
de ecuaciones diferenciales:
d
dt
Fx0 − Fx = 0
d
dt
Fy0 − Fy = 0 ... ecuaciones de Euler
Prueba
Supongamos que
J (x, y) =
Z b
a
F
¡
t, x, y, x0, y0
¢
dt
asume su mínimo (su máximo) en (ϕ,ψ) . Luego
J (ϕ,ψ) ≤ J (ϕ+ ε1η1, ψ + ε2η2) , ∀ ε1, ε2 > 0
y η1 = η1 (t), η2 = η2 (t) son funciones de clase C
2 ([a, b]) y tal que ellas son
nulas en a y b.
Ahora definamos la función de valor real en las variables ε1, ε2 :
q (ε1, ε2) =
Z b
a
F
¡
t, ϕ+ ε1η1, ψ + ε2η2, ϕ
0 + ε1η
0
1, ψ
0 + ε2η
0
2
¢
dt
46 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DE VARIACIONES
la cual, asumimos, toma su mínimo en el origen (0, 0) ; lo cual implica que
las primeras derivadas son