2 Función inversa

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UBA XXI – MÁTEMATICA - Inversa de una función
1
Inversa de una función
Introducción Consideremos algunos ejemplos1:
Ejemplo1
La función f está definida por f(x) = 2x –1. Nos interesa conocer qué
elemento del dominio tiene por imagen a –2.
Es decir, nos interesa encontrar para que x del dominio de f es f(x) = –2.
Como es: f(x) = 2x –1 y f(x) = -2 podemos escribir:
-2 = 2x –1
Por lo que es:
2
1
2
12
x 


Entonces para x =
2
1
 se cumple que f(x) = -2.
Para verificar que realmente es así, basta con reemplazar el valor
de x hallado en la fórmula de f:
2111
2
1
.2
2
1
f 






Nos preguntamos ahora si para cualquier b que pertenezca al conjunto
de imágenes de f es posible hallar una expresión que nos permita saber
para qué elemento x del dominio es f(x) = b.
Para contestarnos, procedemos del mismo modo que antes:
Como es: f(x) = 2x –1 y f(x) = b podemos escribir:
b = 2x –1
Como lo que buscamos es el x que corresponde a este b, para
encontrarlo basta con despejar la x.
2
1b
x


Comprobemos que cuando aplicamos la función f a este elemento,
encontramos y:
b11b
1
2
1b
.2
2
1b
f)x(f








 

Ejemplo 2.
Consideremos ahora la función f: , definida por f(x) = x2.
Interesa conocer qué elemento del dominio tiene por imagen a b = 4.
Es decir, nos proponemos saber para que x del dominio de f es
f(x) = 4.
Como es f(x) = x2 y f(x) = 4, podemos escribir:
4 = x2
Pero nos encontramos con un problema, esta ecuación tiene
solución para x = 2 ó x = -2.
Por lo tanto, existen dos elementos del dominio que tienen por
imagen b = 4.
1 Adaptación de Hansen, G; Matemática Básica, Eudeba; 1987
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Lo mismo sucede para cualquier otro b que pertenezca a la imagen
de f.
La ecuación b = x2 no tiene solución única.
Conclusión 1. No siempre podemos encontrar una solución a la ecuación f(x) = b
para cualquier b que pertenezca a las imágenes de f y un x del
dominio de f.
Para que esto ocurra la ecuación f(x) = b debe tener una única
solución.
Definición Dada la función f: A  B, si cada elemento de la imagen de f,
proviene de un único elemento de su dominio, diremos que la
función f es inyectiva.
O equivalentemente,
Cuando para cada b que pertenece a Im(f), la ecuación f(x) = b tiene
solución única, diremos que la función es inyectiva.
Ejemplo 3.
Consideremos la función: f:  - {2}  ,
2x
x
)x(f

 . ¿Existe algún
elemento del dominio tal que su imagen sea b = 1?
Nos proponemos saber para que x del dominio de f es f(x) = 1. Lo
intentamos:
Como es
2x
x
)x(f

 y f(x) = 1, podemos escribir:
2x
x
1


Como x pertenece al dominio de f es x 2, luego, multiplicando
miembro a miembro por x – 2 es:
x – 2 = x
Y restando x a ambos miembros,
– 2 = 0
Con lo que llegamos a un absurdo. Por lo que podemos afirmar que
no existe x en el dominio de f para el que f(x) = 1.
También podemos decir que 1 no pertenece al conjunto de
imágenes de f.
Conclusión 2 Dada la función f: A  B, si b no pertenece al conjunto de imágenes de la
función f, la ecuación f(x) = b no tiene solución.
Para que esto sea posible, todos los elementos de B deben estar en la
imagen de f. O bien, la imagen de f debe coincidir con el codominio de la f.
Debe ser
B = Im(f)
Definición Dada la función f: A  B, diremos que f es suryectiva (o sobreyectiva) si
y solo si se verifica que B = Im(f)
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Conclusión 3 Si para una función f, f: A  B, queremos encontrar una función que nos
permita conocer para cualquier elemento del conjunto de imágenes de
que elemento del dominio, proviene, f debe ser a la vez inyectiva y
sobreyectiva.
Definición Diremos que f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
Resumimos:
Si f: A  B; y b pertenece a B, entonces;
 f(x) = b tiene solución, entonces b pertenece al Im(f)
 El conjunto de los b  B para los cuales f(x) = b tiene
solución es la imagen de f:
Im(f) = {b B/f(x) = b para algún x de A}
 Si f es inyectiva, entonces f(x) = b tiene solución única.
 Si f es sobreyectiva, entonces existe solución para cada b
que pertenece a las imágenes de f. Esto es, B = Im(f)
 Si f es a la vez inyectiva y sobreyectiva entonces f es
biyectiva.
Definición Dada una función biyectiva, f: A  B se llama función inversa de f y se
indica 1f  a la función
1f  : B  A
definida por
1f  (y) = x si y solo si f(x) = y
Ejemplo 4
Dada la función f: -{2} B,
2x
1
)x(f

 determinar B para que la función
sea biyectiva y encontrar su inversa.
Solución.
Para resolver este tipo de problemas, debemos encontrar la
solución de la ecuación f(x) = y para cualquier y que pertenezca a B.
Las restricciones que impongamos sobre y para que exista
solución, irán conformando el conjunto de imágenes.
Si para cualquier y B, la ecuación f(x) = y tiene solución
única, entonces f es inyectiva.
Luego, planteamos:
2x
1y


Y resolvemos la ecuación para x, (despejamos” x).
Como la función no está definida para x = 2 podemos multiplicar
miembro a miembro por x – 2.
)2x(
2x
1
)2x(y 


Por lo que resulta:
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y (x – 2) = 1
Como nos interesa hallar x, debemos dividir por y ambos
miembros, pero esto es posible si es y distinto de cero
(restricción 1)
Entonces, dividiendo por y:
)0y(
y
1
2x 
Y sumando 2 en ambos miembros:
)0y(2
y
1
x 
Entonces la ecuación f(x) = y tiene solución si y sólo si y 0, de
donde es B = Im(f) = -{0}.
Además como para cada y  Im(f) = -{0}, la solución es única,
afirmamos que la función definida por:
f: -{2} -{0},
2x
1)x(f


es inyectiva. Y además es sobreyectiva pues es el codominio es
igual al conjunto de imágenes.
Por lo tanto es biyectiva, con lo que podemos encontrar la función
inversa.
La inversa de f es la función definida de -{0} en -{2}.
Como debe ser 1f (y) = x si y solo si f(x) = y, el valor de x es el
que corresponde al despejar x de la ecuación
2x
1
y

 .
Y esto ya lo hicimos: 2
y
1
x 
Luego es 1f  (y) = 2
y
1 
Como en general, se conviene en llamar x a la variable
independiente e y a la variable dependiente, en la fórmula
cambiamos y por x.
Entonces la función inversa de f es la función:
1f  : -{0} -{2}/ 1f (x) = 2
x
1 
Ejemplo 5
Dada la función f: / f(x) = x3 – 2
a) Hallar su inversa
b) Graficar ambas funciones.
Solución
a) Procedemos como en el caso anterior, buscando la solución de
f(x) = y para todo y en .
Sea entonces:
y = x3 – 2
Sumando miembro a miembro 2 y operando;
y + 2 = x3
Calculando la raíz cúbica en ambos miembros.
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3 33 x2y 
x2y3 
De este modo, vemos que la ecuación f(x) = y tiene una única
solución, por lo que es f inyectiva. Además como no hemos
puesto ninguna restricción sobre y, es Im(f) = . Por lo que es f
sobreyectiva.
De este modo, al ser f inyectiva y sobreyectiva, es biyectiva y
podemos definir su inversa del siguiente modo:
1f  :  / 1f (x) = 3 2x 
b) En el gráfico representamos ambas funciones.
En el gráfico de ambas funciones podemos observar que éstas se
comportan como en espejo. Y esto realmente es así.
En general, dada una función y su inversa sus gráficas son simétricas
respecto a la recta y = x. Esto significa que si el (a; b) pertenece a la
gráfica de f, entonces (b; a) pertenece a la gráfica de 1f  .
De esta manera, conocido el gráfico de f, podemos construir el gráfico de
1f  buscando los simétricos respecto de la recta y = x, de los puntos que
pertenecen a la gráfica de f.
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Resolvemos un problema.
Ejemplo 6
Se pone un recipiente con agua al fuego.
La función que da la variación de la temperatura del agua (en ºC) con
respecto al tiempot (en minutos) es T(t) = 36 + 8t, para 0 t10.
a) Calculá para qué instante t la temperatura del agua es de 76ºC.
b) Dá la función que permite, dada una temperatura cualquiera, calcular
el tiempo transcurrido desde que se pone a hervir el agua.
Solución
a) Calculá para qué instante t la temperatura del agua es de 76ºC.
La función que da la variación de la temperatura es:
T(t) = 36 + 8t, para 0 t10
Como T(t) = 76, reemplazamos en la fórmula de T para hallar el
instante t.
76 = 36 + 8t
76 – 36 = 8t Restamos miembro a miembro 36.
40 = 8t
40 : 5 = t Dividimos miembro a miembro por 5.
8 = t
Por lo tanto a los 5 minutos la temperatura del agua es de 76º
b) Dá la función que permite, dada una temperatura cualquiera, calcular
el tiempo transcurrido desde que se pone a hervir el agua.
Sabemos que T(t) = 36 + 8t expresa la temperatura en función del
tiempo. Podemos decir, por ejemplo que T(t) =T
Queremos encontrar una función que exprese el tiempo en función
de la temperatura. A esa función la llamaremos F, de modo que
F(T) = t.
Reemplazando en T(t) = 36 + 8t obtenemos:
T = 36 + 8 F(T)
Entonces:
2
9
T
8
1
)T(F
)T(F
8
36
T
8
1
)T(F
8
36T
)T(F836T
)T(F836T






La función T(t) está definida para 10t0  .
Veamos para qué valores de T está definida F(T)
T(0) = 36 + 80 y T(10) = 36 + 810
= 36 + 0 = 36 + 80
T(0) = 36 T(10) = 116
Por lo tanto 
2
9
T
8
1
TF  está definida para 116T36  .
Luego, la función que permite calcular el tiempo transcurrido desde que
se pone a hervir el agua, conocida la temperatura de la misma es:

2
9
T
8
1
TF:]116;36[:F 