TP 4

Vista previa del material en texto

Modalidad virtual
Matemática
Unidad 4
FUNCIONES ESPECIALES
 Temas de la unidad
Funciones especiales. Función exponencial y logarítmica: gráfico, dominio e imagen,
propiedades. La función logarítmica como inversa de la función exponencial. Derivadas.
Estudio de ambas funciones a través de sus derivadas. Aplicación al estudio de crecimiento
de poblaciones. Escalas logarítmicas. Funciones trigonométricas: definición, gráficos,
propiedades. Periodicidad. Paridad. Funciones inversas. Resolución de problemas que
involucren funciones trigonométricas. Uso de calculadoras.
 Bibliografía obligatoria
AA.VV., Matemática Teórica. Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia
S.R.L., 1995; Capítulo V. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
AA.VV., Matemática Teórica. Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia
S.R.L., 1995; Capítulo VI. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS.
Práctico 4. Funciones especiales.
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
Práctico 4. Funciones trigonométrica, exponencial y logarítmica. 2
PRACTICO 4. FUNCIONES ESPECIALES
1. a. ¿Entre qué valores, medidos en radianes varía la
amplitud de un ángulo contenido en el primer
cuadrante?
b. ¿Y en el segundo, tercero y cuarto cuadrante
respectivamente?
2. En una circunferencia trigonométrica, determiná las coordenadas cartesianas de los
siguientes puntos.





 




 




 
4
5Pd.
4
7-Pc.
2
11
Pb.)P(3a.
3. Si t y t’ verifican que t’= t + 2k, hallá t’ para -1k2, (k ) en los siguientes casos:
a. 
4
7t b.
5
t  c.
3
2t 
4. Resolvé el siguiente problema:
Una autopista describe un arco de circunferencia de 200 metros de longitud.
¿Cuál es el radio de la circunferencia en cuestión, si el ángulo del centro mide 2
radianes?
5. Utilizando la circunferencia trigonométrica, calculá sen x y cos x para:







3
6
xi.
2
3
xh.
3
2x.g
6
xf.2xe.
2
3xd.x.c
2
xb.0x.a
 CAPITULO VI
FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
Práctico 4. Funciones trigonométrica, exponencial y logarítmica. 3
6. Encontrar los valores reales de x que verifican:
 
 
  


 




 
2
3;0y x0xcosf.2;0y x
2
2xcose.
];[-y x1-xcosd.;-y x
2
3xsen.c
2
;0y x
2
3xsen.b2;0y x
2
1xsena.
7. A partir de las gráficas de las funciones seno y coseno, encontrá:
a. Los ceros de la función seno que pertenecen al intervalo [-2; 3].
b. Todos los valores de x que pertenecen al intervalo [-2; 4] tales que sen x = sen
4

.
c. Todos los valores de x que verifican sen x = cos x.
d.
2
1xseny2;
2
3x 


 
8. Si se sabe que el cos =
3
1
y que  ;
2
0; 


  hallá:
a.
2
cos 



 

b.
2
3
sen 



 

c. sen (−)
9. Sabiendo que cos=
5
3 y que  


 2;
2
3 determiná:
a. sen b. sen 2 c. cos
2

10. Graficá las siguientes funciones, en un mismo sistema de coordenadas y en el intervalo
[0; 2], e indicá en cada caso: dominio, imagen, raíces y periodicidad.
a. f(x) = sen x y g(x) = 1 + 2sen x
b. f(x) = cos x y 




 
2
xcos)x(g
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
Práctico 4. Funciones trigonométrica, exponencial y logarítmica. 4
11. Relacioná cada una de las siguientes funciones con el gráfico que le corresponde.
Justificá la decisión.
1-xcos(x)f2xsen(x)fx2cos)x(fx
2
1
sen(x)f 4321 




12. Para las siguientes funciones, hallá C0; C+ y C- en los intervalos indicados.
13. a. Si f(x) = 2 sen 3x + 1, determiná todos los valores de x [-; ] tales que f(x) = 2.
b. Hallá todos los valores de x [0; 2] que verifican 1 + sen x = cos x.
c. Determiná x [0; 5] tales que
4
xsen2)x(fsi2)x(f 




  .
Gráfico 1
Gráfico 2
Gráfico 3
Gráfico 4
 
 
];2[-enxcos
2
1-xcosf(x).e
30;en1-x2senf(x)d.
];[-en1-2xsenf(x).c
20;enxcos-1f(x).b
2
0;enx2senf(x)a.
2
2







 
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
Práctico 4. Funciones trigonométrica, exponencial y logarítmica. 5
14. Para cada una de las funciones determiná:
a. Amplitud, período y conjunto de imágenes.
b. Su valor máximo y mínimo y en qué puntos se alcanzan dichos valores.
  2xcos(x)f
)xcos(
2
1-)x(f1)x2(sen
2
1)x(f
2
-xsen2-)x(f)x3(sen
3
1(x)f
5
43
21






 
15. La función f(x) = 2 sen (x + ) + b, está definida en el intervalo [-2; 2].
a. Hallá el valor de b para que Im f = [0; 4]
b. Para ese valor de b, encontrá:
b.1. m y n tal que f(m) = 0 y f(n) = 4
b.2. Los intervalos de positividad y negatividad de f.
16. A partir del gráfico de f(x) = ex,
a. Graficá las siguientes funciones:
1-x-
6
x-
5
x-
4
1x
3
1-x
2
x
1
e)x(f1-e)x(f
e)x(fe)x(f
e)x(f2e)x(f




b. En cada caso, hallá Im f y da las ecuaciones de las asíntotas de f.
17. A partir de la gráfica de f(x) = 3X graficá las siguientes funciones, hallá la imagen y la
ecuación de la asíntota de cada una de ellas.
23)x(f3)x(f13)x(f3)x(f -x4
2-x
3
x
2
1x
1 

18. Obtené los siguientes números sin usar calculadora ni tabla.
  5loge333
5
3
23
1ln6ln2
99.i1log.h3loglog.g
4
9log.f10000log.e
9
1log.d
e2.ce.beln.a
 CAPITULO VII
FUNCIONES
EXPONENCIALES Y
LOGARITMICAS
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
Práctico 4. Funciones trigonométrica, exponencial y logarítmica. 6
19. Dada f(x) = 3x-4 – 7.
a. Hallá los valores de x tal que f(x) = -4.
b. Hallá la intersección del gráfico de f con los ejes.
c. Graficá la función.
d. Hallá los intervalos de positividad y negatividad.
20. Escribí dominio, imagen y asíntotas horizontales y verticales, si existen, de f.
Cuando existan dichas asíntotas, da sus ecuaciones.
2-
e
1m(x)d.e-4f(x)c.
ef(x).bef(x)a.
x
1
x
3
x
2
x2
1










21. Hallá, en caso, el dominio, las ecuaciones de las asíntotas verticales, los ceros y los
conjuntos de positividad y de negatividad de f.
  






x-2
1lnf(x)e.40;encosx)ln(-1f(x).d
)4(xlnf(x).c3)-|xln(|f(x)b.3)ln(-xf(x)a. 2
22. Dadas las funciones:
)x(3log)x(f|)x(|log)x(f32)x(fe)x(f 2423
-x
2
2-x
1 

Decidí cuáles de los siguientes gráficos corresponde a cada una de ellas.
Gráfico 1
Gráfico 2
Gráfico 3 Gráfico 4
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
Práctico 4. Funciones trigonométrica, exponencial y logarítmica. 7
23. Para cada una de las siguientes funciones calculá )x(flimy)x(flim
xx 
y grafícalas.
Decidí si existen las asíntotas horizontales. En caso afirmativo da su ecuación.
13f(x)e.2f(x).d
3ef(x)c.
3
1f(x)b.ef(x)a.
1-2x-2
4
1x-
2-x
x4
x-







24. Para cada función, hallá la fórmula, el dominio y la imagen de la función inversa f -1.
3)ln(-2x2m(x)e.
2x)-n(4lk(x).d
1-e3h(x)c.
eg(x)b.
ef(x)a.
3x-2
1x2
1-x







25. Encontrá las fórmulas de h y h-1, donde h = f o g para:
a. f(x) = ln(x - 3), g(x) = 2(x -1)
b. f(x) = ln(3 – 2x), g(x) = |x|
26. La función f verifica 

)x(flim
2x
y 0f(x)1 para 0x1.
Indicá cuál de las siguientes funciones cumple estas condiciones.









2
x1log1f(x)d.
x)2(-log1f(x).c
)x2(log1f(x)b.
)x2(log-1f(x)a.
2
2
2
2
27. La desintegración de un cierto material radiactivo está dada por Q = Q0 10 -kt , donde Q
está dado en gramos y t en años.
Si Q0 = 500, encontrar k si Q = 450 cuando t = 1000.
28. Una población de insectos crece según la ley P(t) = 1 + 2et donde P es la cantidad (en
miles) de insectos y t es el tiempo en meses desde el instante inicial.
a. ¿En cuánto tiempo se duplicará la población inicial?
b. ¿En cuánto tiempo se duplicará la población existente después del primer mes?
29. La recta de ecuación 3x
2
9
y  se corta con la gráfica de la función xa.k)x(f  en
2x  y en el eje y. Encontrá k y a.
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
Práctico 4. Funciones trigonométrica, exponencial y logarítmica. 8
30. Un cultivo de bacterias triplica su número cada media hora y originalmentehabía 2.500
de ellas.
a. ¿Cuál es la expresión general del número de bacterias después de n horas?
b. ¿Cuántas bacterias habrá después de 45 minutos?
c. ¿Cuántas habrá al cabo de 10 horas?
d. ¿Cuándo habrá 25.000 bacterias?
31. Un compuesto químico A se reduce a
5
2 de la cantidad inicial cada 6 horas
transformando el resto en otro compuesto B. Originalmente se disponía de 16.000
gramos de compuesto A.
a. ¿Cuántos gramos de A habrá después de 4 días?
b. ¿Cuántos gramos de A habrá después de 40 días?
32. En ciertas regiones la cantidad de agua dulce comenzó a reducirse un 4% cada 5 años
desde 1.990.
a. Si llamamos x a la cantidad de agua dulce que había en 1.990, ¿cuál de las
siguientes expresiones indica la cantidad de agua dulce en dichas regiones t años a
partir de 1.990?
  
   t55
t
t5
5
x
t5
t
96,0tC96,0xtC96,0xtC
96,0ttC96,0xtC96,0tC


b. Obtené la expresión de la cantidad de agua dulce en función de x para el año 2.040.