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Matemática
Unidad 5
DERIVADAS
 Temas de la unidad
Derivadas. Cociente incremental. Definición de derivada. Interpretación geométrica y cinética.
Reglas de derivación. Problemas de aplicación. Estudio de funciones.
 Bibliografía obligatoria
AA.VV., Matemática Teórica. Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia
S.R.L., 1995; Capítulo VIII. DERIVADAS.
Práctico 5: Derivadas.
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Practica 5. Derivadas 2
PRACTICO 5. DERIVADAS
1. Al tirar una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad
inicial de 20 m/seg su altura d(t) expresada (en metros)
después de t segundos está dada por la fórmula:
d(t) = 40 t – 5 t2
a. Construí una tabla que dé la altura de la piedra a
intervalos de un segundo. ¿Qué pasa después de 8
segundos? Dibujá la gráfica.
b. ¿Cuál es la altura máxima? ¿Cuánto tarda en alcanzarla?
¿Cuánto tarda la piedra en volver al suelo?
c. Calculá la velocidad promedio total, la velocidad promedio durante la subida y la
velocidad media durante la bajada. ¿Cómo son estas velocidades?
d. Calculá la velocidad promedio entre t = 1 y t = 3 segundos y entre t = 5 y t = 7
segundos.
e. Escribí la expresión de la velocidad promedio (vm) entre los instantes t1 y t2.
f. Da la expresión de la velocidad instantánea y aplicala para t = 3 y t = 6 segundos
2. Calculá, usando la definición de derivada, la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x)
en el punto dado en cada caso.
1)-(2;Pen
3x-1
5
)x(f.d1)-(-2;Pen
1-x
3
)x(fc.
4)-(-1;Pen4-3xx3)x(fb.)7;3(Pen4x)x(f.a 2


3. Dibujá una función que tenga derivada nula en x = 0 y en x = 2, derivada positiva en el
intervalo (0; 2) y negativa para cualquier otro valor de x.
4. Dadas las siguientes funciones de  en definidas por:
x)x(f 






0x;x
0x;0
)x(g 3
1
x)x(h 
a. Representalas gráficamente.
b. Verificá que f, g y h no son derivables en x0 0 .
5. Determiná para qué valores de abscisa x, la pendiente de la recta tangente vale 13 si
xx)x(f 3  .
 CAPITULO VIII
DERIVADAS
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Practica 5. Derivadas 3
6. Usando las reglas de derivación, hallar las derivadas
de las funciones indicadas en su dominio de definición.
a. xsen5x3)x(f 4 
b. b.
x2xsen
xtg)x(h


c. x
x
4xln)x(g
3

d.   xe2xlnx3x)x(m 
e.  xcos2xsen3xln
x
5
)x(t 3 


  f.
xcos5x4
e3x)x(p 8
x3

 
g. t23 e3t2t)t(s   h. pln3tln5pt3tp)p(r 23 
i. xp2tx4pt2t4)t(l 2233  j.  ln)tx(sen2x10)x(m
k. )2tg()1(cossen)(w  l. p(t) = t. ln t
7. El espacio e (en metros) recorrido por un móvil en un tiempo t (en segundos) está dado por
e(t) = t2 +3t.
a. Calculá lo que indica el velocímetro cuando t = 3 seg.
b. Calculá la velocidad cuando ha recorrido 10 metros.
8. a. Encontrá el valor de a para que la derivada de la función f sea 2 cuando x = 2, siendo
x
ax
)x(f
2 

b. Hallá k para que la tangente a
2x
1x
)x(f

 en x = 2 sea perpendicular a la recta y = kx.
c. Hallá la función cuadrática f que verifica f(1) = -1 y que la pendiente de la recta tangente en
el punto (0; 3) es cero.
9. Calculá en los siguientes ejercicios f’(x), aplicando la regla de la cadena.
a. 3 2x1)x(f  b.  3x2sen)x(f 3 
c. 3x7ln)x(f  d. 2x5e4)x(f 
e. 2xsen
3x4)x(f  f.   xcos23 e2xsenxln)x(h 
g. 1xtg)x(m  h. 31
2x xcos)2xln(e)x(g  
i.
)x(lnsen
3
e
2xcos
)x(p

 j. 








x-1
x
ln)x(q
2
 CAPITULO VIII
REGLAS DE
DERIVACION
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Practica 5. Derivadas 4
10. Hallá las ecuaciones de las rectas tangente a las gráficas de las siguientes funciones en los
puntos que se indican.
a. 9x)x(f 2  en 4x0 
b. x2senxcos3)x(g  en
2
x0

c.
1x
x4)x(h
2 
 en 2x0 
11. En un cierto instante dos móviles cuyas trayectorias son:
s(t) = t3 - 45t +100 y e(t) = 3t2 +60 t – 439
están en el mismo lugar y con la misma velocidad.
Hallá cuál es ese instante y los valores correspondientes de la velocidad y la aceleración de
cada uno de ellos.
12. Calculá f’; f’’ y f’’’
1xlnf(x).bexf(x).a 32x2 
13. Calculá los valores de a, b, c y d en f(x) = ax3 + bx2 + cx + d si se verifica que:
f(0) = 2; f’(0) = -1; f’’(0) = -2 y f’’’(0) = 10.
14. Hallá si existen, máximos y mínimos relativos de las siguientes funciones.
x
1xf(x)d.
x-4
xf(x)c.
2-x
2
1-xf(x).b512x-xf(x)a.
2
2
242


15. Indicá en qué subconjuntos del dominio, las siguientes funciones son
crecientes o decrecientes, de acuerdo con el signo de su derivada primera.
a. x12x9x2)x(f 23  b.
2x
4x2
)x(f



c.
2xx2e3)x(g  d. 2t41)t(h 
16. Indicá los intervalos de crecimiento y decrecimiento y hallá los extremos relativos, si existen,
para las siguientes funciones.
a. 3 1x)x(f  b.
2x
1x
)x(g 2
2



c. 1x2 ex)x(m  d. )2t(t)t(p 4
3

 CAPITULO VIII
DERIVADAS Y EL
ESTUDIO DE
FUNCIONES
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Practica 5. Derivadas 5
17. Escribí los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos y
ecuaciones de asíntotas, si las hay, de las siguientes funciones.
a. 1x3 ex)x(f  b. 3 3 2x)x(g 
c. xcos3)x(h 2 e. tlnt)t(p 3
d. 2x
5
1)x(f 2 
18. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la
función V(t)= 40 + 15t - 9t2 + t3, donde t es el tiempo (en horas) transcurrido desde que
comenzó el estudio (t = 0).
Indicá los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos
en que ésta crece y decrece.
19. La cantidad de agua f recogida (en millones de litros) en cierto pantano, en un tiempo (en
meses) viene dada a través de la expresión
12t0;
16)-(t
10)t(f
2



a. ¿En que periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida?
b. ¿En que instante se obtuvo la cantidad máxima de agua?
c. ¿Cuál fue esa cantidad máxima?
20. Representá gráficamente las siguientes funciones, determiná el dominio de definición,
ceros, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos singulares, asíntotas, máximos y
mínimos relativos.
2x
2x
2
e
e
f(x)d.3)-(xlnf(x)c.
x-1f(x).b
3-x
2xf(x)a.


21. La función f(x) = x2 + ax + b pasa por el punto P = (-2¸1) y alcanza un extremo relativo en x= 3
Hallá a y b.
22. En la gráfica está representada la función f’, derivada de
la función f.
a. Determiná los intervalos de crecimiento
y decrecimiento de f.
b. ¿Cuáles son los extremos relativos de f?
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Practica 5. Derivadas 6
23. Sea f:[0; 4]y derivable en (0; 4) tal que el gráfico de su derivada es el de la figura.
a. ¿En qué intervalos es creciente f?
¿Y decreciente?
b. Decidir, justificando, si en x = 0; x = 1; x = 2;
x = 3 y x= 4 son extremos relativos de f.
24. Dibujá, en cada caso, una función continua que satisfaga:
a. f’(-5) = f’(5) = f’(0) = 0; f’(x) >0 si |x| > 5; f’(x) < 0 si 0 <|x|< 5
b. f(1) = 2; f(4) = 5; f’(1) = 0; f’(x) 0 para x<4; f tiene un máximo en x= 4.
c. f(3) = 2; f’(3) = 0; f’’(x) > 0 para x< 3 y f’’(x) < 0 para x>3.
25. Calculá el costo marginal de las siguientes funciones de costo. (Se llama costo marginal a
la derivada de la función de costo total)
a. 2x40x5300)x(C  b. 32 x01,0x05,0x1001000)x(C 
c. 100
x
e1000)x(C  d.
2x
400
x02,0400)x(C 
26. Calculá el ingreso marginal de las siguientes funciones de ingreso. (Se llama ingreso
marginal a la derivada de la función de ingreso total)
a. 2x02,0x2)x(I  b. 5
4
x001,020)x(I  c. 32 x01,0x2,0x20)x(I 
27. La concentración de una droga en la sangre, t horas después de haber sido inyectada es
aproximada por:
44tt
t0,14)t(C
2 

Determiná los extremos relativos para t> 0 y determinar cuando la droga está en su máxima
concentración.
28. Dada la función de demanda p de una empresa 0p480x  y su función de costo
promedio:
x
5,77100x21xC 2  , determiná el nivel de producción (en miles de
unidades) que:
a. Maximiza el ingreso total.
b. Minimiza el costo marginal.c. Maximiza el beneficio.
29. Una empresa de televisión por cable tiene actualmente 100.000 suscriptores que pagan una
cuota mensual de $40. Una encuesta reveló que se tendrían 1000 suscritores más por cada
$0,25 de disminución por cuota.
¿Para qué cuota se obtendrá el ingreso máximo y cuántos suscriptores se tendrían
entonces?
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Practica 5. Derivadas 7
30. Un fabricante encontró que para cierto producto el costo promedio (en dólares por unidad)
está dado por la expresión:
x
200-21036x-2xf(x) 2  , donde 2x10.
a. ¿A qué nivel debe fijarse la producción para minimizar el costo total? En ese caso,
¿cuál es el costo total mínimo?
b. Si la producción tuviera que encontrarse en [5; 10] ¿qué valor de x minimizaría el costo
total?
31. ¿En qué punto del primer cuadrante, la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = 4 – x2
determina junto con los ejes coordenados un triángulo de área mínima?
32. La producción de cierta hortaliza en un invernadero (Q(x) en kg) depende de la temperatura
(x enC) según la expresión: Q(x) = (x + 1)2 (32 - x)
a. Calculá cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero.
b. ¿Qué producción de hortaliza se obtendría?
33. Con listones de madera de 3 metros de largo se quiere fabricar marcos para cuadros.
¿Para qué valor de la base la superficie es máxima?
34. ¿Cuál de los puntos de la recta y = -2x + 5 está más cerca del origen?
35. Se introduce una población de 500 bacterias en un cultivo, creciendo en número de acuerdo
con la ecuación 





t50
4t1500P(t) donde t se mide en horas.
Hallá a qué ritmo está creciendo la población cuando han pasado 120 minutos.
36. Durante una epidemia de gripe de cuatro semanas de duración, el número de personas P(t)
infectadas t días después del comienzo de la epidemia, es aproximado por:
P(t) = t3 -60t2 + 900 t + 20 para 0< t < 28.
¿Cuándo comenzará a declinar el número de personas infectadas?
37. Un profesor comprueba que el grado de atención que le prestan sus alumnos (puntuado de
0 a 100) durante los 40 minutos de duración de su clase sigue la función:
f(t) = t(-t); 0 t 40.
Sabiendo que a los 20 minutos de comenzar la clase le prestan la máxima atención, es
decir el grado de atención es 100; se pide:
a. Determiná y .
b. Representá la función obtenida.