II-MEDIO-Matemática-Guía-Raíces

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Departamento de Matemática 
Profesor Elías Figueroa Quiroz 
 
)3(
3
32
²3
32
33
32
3
2
poramplificase




 
 
GUÍA DE AUTOAPRENDIZAJE N°2: RAÍCES Y RACIONALIZACIÓN 
Nombre:____________________________________________ Curso: II° Medio __ 
Objetivos de Aprendizaje: 
 Racionalizar fracciones, donde en su denominador existen raíces expresadas como 
monomios o binomios. 
 
INTRODUCCIÓN 
Expresiones como 
3
2
5
,
2
,
32
1
,
2
3
x
a

…, tienen en común que sus denominadores son 
irracionales o al menos aparecen en ellos alguna raíz. 
La operatoria con tales expresiones no es sencilla y resulta muy práctico transformar los 
denominadores en expresiones racionales. En otras palabras, se trata de ‘’hacer que desaparezcan’’ las 
raíces que hayan en el denominador. 
El procedimiento por emplear consiste en amplificar por un factor adecuado. Es decir, se multiplica el 
numerador y el denominador por una misma cantidad, con lo cual la expresión original no cambia. 
I. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA: 
a
A
 
¿Cómo racionalizar la fracción
3
2
? En los casos como éste, el factor adecuado para amplificar es la 
raíz que aparece en el denominador, o sea 3 . 
 
Ejemplo: Se puede observar que el denominador original 3 (irracional) 
 se ha transformado en 3 (racional). 
 
Además, si bien la expresión inicial ha cambiado su ‘’forma’’, sigue siendo la misma, ya que al 
amplificar una fracción su valor no se altera. 
 Por lo tanto 
3
32
3
2
 
 
 Denominador Denominador 
 Irracional Racional 
 
En general, cuando el denominador es una raíz cuadrada, ella misma es el factor de amplificación. 
 
 
 
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Profesor Elías Figueroa Quiroz 
2
43
³2
43
²22
43
²22
²23
2
3
3
3
3
3
3
33
3
3







 
 
I. Ejercicios: Racionaliza los denominadores.
 
1. 
2
5
 
2. 
5
3
 
3. 
2
1
 
4. 
3
1
 
5. 
7
3
 
6. 
32
3
 
7. 
32
5
 
8. 
6
12
 
9. 
7
21x
 
10. 
a
ab
6
2
 
11. 
m
mx
52
15
 
12. 
a
ba
10
²20
 
13. 
ax
a
2
2
 
14. 
x
ax
5
5
 
15. 
mx3
1
 
16. 

ab
ba
 
17. 

3
21
 
18. 

2
23
 
19. 

5
232
 
 
II. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA: 
n a
A
 
Para racionalizar, por ejemplo, la fracción 
3 2
3
 es necesario amplificar por 3 ²2 , por lo cual se consigue que 
el radicando sea 2³ 
 
Ejemplo: 
 
 
 
En general, si en el denominador aparece
n ka es necesario amplificar por 
n kna  con el objeto de igualar el 
índice de la raíz con el exponente del radicando. 
 
 
 
 
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Profesor Elías Figueroa Quiroz 
 
II. Ejercicios: Racionaliza los denominadores. 
 
1. 
3 5
3
 
2. 
3 35
4
 
3. 
3 a
m
 
4. 
3 2
2
a
x
 
5. 
3 ²
3
m
 
6. 
3
4
ab
ab
 
7. 
4 22
5
m
m
 
8. 
4 2
²3
a
a
 
9. 
5 ²
3
x
x
 
10. 
5 ³
2
a
a
 
11. 
5 ²2
3
a
a
 
12. 
6 23
10
 
13. 
3
3
a
a
 
14. 
3 3
32
a
a
 
15. 

5 22
21
 
 
16. 

4 ³
2
a
a
 
 
17. 

5
2
xy
yx
 
 
18. 

4 ³³ba
abba
 
 
III. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA: 
 ba
A
 
Si el denominador es un binomio, se amplifica la fracción por su conjugado. Si se trata, por ejemplo, de 
23  se amplifica por 23  . La idea es formar el producto de la suma por la diferencia que es igual a 
la diferencia de los cuadrados, con lo cual se consigue eliminar las raíces. 
 
Ejemplo 
 
       
2333
1
2333
23
2333
²2²3
2333
2323
233
23
3













 
 
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Profesor Elías Figueroa Quiroz 
 
III. Ejercicios: Racionaliza los denominadores 
1. 
 25
2
 
2. 
 35
7
 
3. 
 27
4
 
4. 
 57
2
 
5. 
 32
3a
 
6. 
 26
2m
 
7. 
 211
23
 
8. 
 27
25
 
9. 
 310
107
 
10. 
 232
3
 
11. 
 225
9
 
12. 
 3223
3
 
13. 
 325
23
 
14. 
 2372
32
 
15. 


23
32
 
16. 


35
51
 
17. 


232
26
 
18. 


3263
13