cuadraticas-por-factorizacion

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- 47 - 
 
 
2
2
4.9
4.9 1
4.9
h t
h



  
2
2
2
2
2
4.9
19.6 4.9
19.6
4.9
4
4 0
2 2 0
h t
t
t
t
t
t t




 
  
1
2 0
2
t
t
 
  2
2 0
2
t
t
 

 SOLUCIÓN DE ECUACIONES 
 CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN 
 Al finalizar la sección 2-2 asegúrate que hayas adquirido las siguientes competencias o conocimientos: 
  Saber identificar los elementos de una ecuación cuadrática completa. 
  Saber resolver ecuaciones cuadráticas usando la factorización. 
 
 Cada vez que te asegures de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que lleves el control de 
 tu avance. 
 
 
 ACTIVIDAD 2.2.1 Estudiando ecuaciones cuadráticas. Fecha: ____________ 
 
 Física 
 ¿Sabías que puedes conocer la altura de un puente 
sobre un río sin necesidad de usar una cinta para medir? 
Si posees un cronómetro y una piedra solo tienes que 
contar los segundos que transcurren desde que sueltas 
la piedra en caída libre hasta que llegue al agua y 
sustituir el dato en la fórmula 24.9h t . El resultado 
numérico es la altura medida en metros. 
Caso contrario es cuando se conoce la altura, se 
sustituye el dato en la fórmula y se procede a resolver 
la ecuación surgida para conocer el tiempo de caída. 
 
Suponer que una piedra llega al agua en 
un segundo, ¿cuál es la altura en metros 
del puente? 
 
 ¿Cuánto tiempo dura en caída libre una piedra 
 si el puente tiene una altura de 19.6 metros? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación cuadrática Si después de igualar a cero y reducir los términos de una ecuación de un solo tipo de incógnita, uno 
de los términos con variable aun conservara el exponente dos como máximo en la variable, entonces 
se trata de una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática en una variable. 
 
Las ecuaciones cuadráticas tienen por lo común dos fuentes de origen: problemas concretos de la vida 
real o personas que las producen de manera abstracta. Tratándose de utilidad, las ecuaciones 
cuadráticas tienen muchas aplicaciones, algunas se abordarán en este estudio. 
La expresión 2 0ax bx c   se denomina forma general de la ecuación cuadrática completa, 
donde x es la incógnita. Los nombres de cada elemento son: 
 
 
2 0ax bx c   
 
 
 
 
 
Qué vas a aprender: 
 Utilizar ecuaciones 
cuadráticas para 
modelar situaciones 
y resolverlas usando 
la factorización 
 
Por qué es importante: 
 Se pueden resolver 
problemas 
geométricos y de 
caída libre 
 
Término independiente Término lineal o de 1er grado 
Término cuadrático o de 2do grado 
- 48 - 
 
Para que exista la ecuación cuadrática es necesario que el coeficiente 0a  de lo contrario, el término 
cuadrático faltaría y con él la ecuación cuadrática. Sin embargo, pueden faltar a su vez el término 
lineal o el término independiente dando lugar a la ecuación cuadrática incompleta. Las versiones de 
estas ecuaciones son dos: 
 
LA ECUACIÓN CUADRÁTICA INCOMPLETA 
 2 0ax bx  Ecuación cuadrática incompleta donde falta el término independiente 
 2 0ax c  Ecuación cuadrática incompleta donde falta el término lineal. 
 
Hay varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas pero también las distintas formas como 
vienen las ecuaciones requieren para facilidad de solución uno u otro método. En este apartado 
abordaremos especialmente la solución por el método de la factorización. 
 
Ecuaciones incompletas tipo 2 0ax bx  La factorización necesaria para este tipo de ecuaciones es la extracción del 
factor común, después de realizar la extracción se aplica la propiedad del producto nulo (cero), 
entonces los factores se convierten en ecuaciones lineales fáciles de resolver. 
 
Ejemplos: 
 
 a) Resolver 2 10 0x x  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) Resolver 28 20 0x x  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con la práctica descubrirás que en este tipo de ecuaciones incompletas una solución siempre valdrá 
cero. 
 
 
Ecuaciones incompletas tipo 2 0ax c  Este tipo de ecuaciones puede factorizarse fácilmente cuando se trata de una 
diferencia de cuadrados o de una simple diferencia. 
 
 Ejemplos: 
 
 a) Resolver por factorización 2 36 0x   
 
 
 
 
 
 
Comprobación:(sustituyen-
do cada solución en la 
ecuación original) 
 
   
   
1
2
2
2
0
0 10 0 0
 0 0 0
 0 0
10
10 10 10 0
 100 100 0
 0 0
x
x

 
 

 
   
 

 
 
2
1
2
10 0
10 0 Extrayendo el factor común
0 10 0 Aplicando la propiedad del producto nulo*
 10 Despejando
x x
x x
x x
x
 
 
  
 
 
2
1
8 20 0
4 2 5 0 Extrayendo el factor común
4 0 2 5 0 Aplicando la propiedad del producto nulo
0
 2 5 Despejando
4
0 
x x
x x
x x
x x
x
 
 
  
 
 2
5
 
2
x 
*La propiedad del 
producto nulo establece 
que si al multiplicar dos 
factores el resultado es 
cero entonces al menos 
uno de esos factores es 
igual a cero. 
 
  
2
1 2
 36 0
6 6 0 Factorizando la diferencia de cuadrados como dos binomios conjugados
6 0 6 0 Aplicando la propiedad del producto nulo
 6 6 
x
x x
x x
x x
 
  
   
   Despejando
- 49 - 
 
 b) Resolver por factorización 2 5 0x   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones cuadráticas completas Una buena cantidad de ecuaciones cuadráticas de este tipo pueden resolverse por 
factorización siempre y cuando sean productos notables. 
 
Ejemplos: 
 
 a) Resolver por factorización 2 8 16 0x x   
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Resolver por factorización 2 7 10 0x x   
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) Resolver por factorización     24 2 2 5 12x x x x     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ACTIVIDAD 2.2.2 Resolviendo ecuaciones cuadráticas por factorización. Fecha: ____________ 
 
 1. Solamente simplificar cada ecuación y escribirla en el formato 2 0ax bx c   . 
 
 a) 210 12 7x x   b)  
2
9 20x   
 
 
 
 
  
2 5 0
5 5 0 Factorizando la diferencia de cuadrados como dos binomios conjugados
5 0 5 0 Aplicando la propiedad del product
x
x x
x x
 
  
   
1 2
o nulo
 5 5 Despejandox x  
  
2 8 16 0 Es un trinomio cuadrado perfecto
4 4 0 Factorizando como un binomio al cuadrado aquí mostrado en forma de factores
4 0 4 0 Aplic
x x
x x
x x
  
  
   
1 2
ando la propiedad del producto nulo
 4 4 Despejandox x   
  
2 7 10 0 Es un trinomio de segundo grado
5 2 0 Factorizando como dos binomios con un término común
5 0 2 0 Aplicando la propiedad del pro
x x
x x
x x
  
  
   
1 2
ducto nulo
 5 2 Despejandox x   
   2
2 2
2 2
4 2 2 5 12
 2 8 2 5 12 Aplicando la propiedad distributiva en el primer miembro de la igualdad
 0 2 5 12 2 8 Pasando t
x x x x
x x x x
x x x x
    
    
     
  
2
odos los términos a un solo miembro de la igualdad
 3 4 0 Reduciendo, resulta ser un trinomio de segundo grado
 4 1 0 
x x
x x
  
  
1 2
 Factorizando
4 0 1 0 Aplicando propiedad del producto nulo
 4 1 
x x
x x
   
   Despejando
Con un sencillorazonamiento se puede 
concluir que las 
ecuaciones cuadráticas 
que tienen la forma de 
un trinomio cuadrado 
perfecto tendrán única 
solución pues provienen 
de factores iguales 
- 50 - 
 
 
 c) 
16
6 0x
x
   d) 
1 4
2
3
x
x

  
 
 
 
 
 
 
 
2. Escribe los valores de a, b y c de cada ecuación cuadrática, si es completa o incompleta y en caso de 
ser incompleta incluye el nombre del término faltante. 
 
Ecuación a b c 
Completa o 
incompleta 
Término faltante 
a) 2 8 15 0x x   1 8 15 Completa 
b) 2 18 0x x  
c) 2 324x  
d) 2169 0x   
e) 2 20x x 
 
 
3. Resuelve las ecuaciones cuadráticas incompletas por el método de factorización (extrayendo el 
factor común). Incluir comprobación en los ejercicios que lo indiquen. 
 
 a) 2 28 0x x  Comprobar b) 25 35 0x x  c) 2 36 0x x  
 
 
 
 
 
 d) 2
2 3
0
7 7
x x  e) 2 3x x Comprobar f) 230x x  
 
 
 
 
 
 
 
 g)  28 0x x  h)  4 3 16x x x  i) 210 50x x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 j)    2 7 5 7v v v v   k)  0 14y y  l) 
2 4
0
3 5
y y
 
  
 
 
 
 
 
 
 
- 51 - 
 
4. Resuelve las ecuaciones cuadráticas incompletas por factorización. Incluir comprobación donde se 
requiera. 
 
 a) 2 169 0x   Comprobar b) 2 324 0x   c) 2 1000x  
 
 
 
 
 
 
 
 d)  8 8 25x x x   e)   3 12 12 0x x   f) 2
49
0
81
x   
 
 
 
 
 
 
 
 g) 23 300 0x   Comprobar h) 2
2
2 0
9
x   i) 2 98 0x   
 
 
 
 
 
 
 
 j) 2 72 0x   k) 2 225 0x   Comprobar l) 2 800 0x   
 
 
 
 
 
 
 
5. Resolver las ecuaciones cuadráticas por factorización. Comprobar donde se requiera. 
 
 a) 2 18 81 0x x   b) 2 32 256 0x x   c) 2
1
0
4
x x   
 
 
 
 
 
 
 
 
 d) 2 2 80 0x x   e) 2 7 12 0x x   f) 2 6 16 0x x   
 
 
 
 
 
 
 
- 52 - 
 
 g) 2 40 400 0x x   h) 2 2 15 0x x   i) 2 10 9 0x x   
 
 
 
 
 
 
 
 
 j)    6 1 0x x   k) 2 3 2 0x x   l) 2 15 26 0x x   
 
 
 
 
 
 
 
 
 m) 
3 2
4 6 0
4 3
x x
   
     
   
 n)   2 10 3 15 0x x   o) 2 2 1x x  
 
 
 
 
 
 
 
 p) 22 20 50 0x x   q) 2 12 0x x   r) 2 7 18 0x x   
 
 
 
 
 
 
 
 
 s)    
2
2 5 5x x   t)  
2
5 49x   Comprobar u) 
5
6 0x
x
   
 
 
 
 
 
 
 
 v) 
2 1
1
1 3
x x
x x
 
 
 
 w) 
8 11
2
1 2 3x x
 
 
 x) 
2
2 1
x
x x

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. En los siguientes ejercicios armar la ecuación cuadrática con coeficientes enteros más sencilla que 
tenga como soluciones los números dados. 
 
 
Soluciones Ecuación Soluciones Ecuación Soluciones Ecuación 
a) 0 y 6 b) 0 y –9 c) 0 y 
4
5
 
d) –2 y 8 e) –3 y 3 f) 
3
4
 solamente 
 
g) 12 solamente h) 
2
3
 y 
1
4
 i) 
3
10
 y 
3
10
 
 
j) 3 y 7 k) –9 y 1 l) 12 y –12 
 
 
 
 
 
 
 
 CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = 
#
10
75
aciertos
  ______