Guia de ejercicios de estadistica acerca de las distribuciones de probabilidades

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Instrucciones: Lea detenidamente cada uno de los problemas que se proponen a continuación. Conteste de manera clara y ordenada justificando sus respuestas. El profesor responderá solamente preguntas relacionadas con errores de impresión o datos del problema. Entregue sus respuestas y cualquier material adicional que haya utilizado para sus cálculos. Se considerará originalidad en la actividad. Máximo dos (2) participantes por actividad.
Parte I. Valor 5 ptos.
Defina y de dos ejemplos:
· Distribución de probabilidad binomial. Dos ejemplos.
· Distribución de Probabilidad geométrica. Dos ejemplos.
· Distribución de Poisson. Dos ejemplos.
· Distribución de probabilidad Hipergeometrica. Dos ejemplos.
· Distribución de probabilidad Normal. Dos ejemplos.
· Distribución de probabilidad T. Dos ejemplos.
· Distribución de probabilidad Chi cuadrado. Dos ejemplos.
· Distribución de probabilidad F. Dos ejemplos.
Parte I.
· Definición de Distribución de Probabilidad Binomial.
La distribución de probabilidad binomial es un modelo matemático que describe la probabilidad de obtener un número específico de éxitos en un número fijo de ensayos independientes, donde cada ensayo tiene dos posibles resultados: éxito o fracaso. Además, la probabilidad de éxito es constante en cada ensayo.
Ejemplos:
1. Lanzamiento de una moneda justa:
· Ensayo: Lanzar la moneda.
· Éxito: Obtener cara.
· Fracaso: Obtener cruz.
· Número de ensayos: 3.
· Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 3 lanzamientos?
2. Prueba de selección múltiple:
· Ensayo: Responder a una pregunta de opción múltiple con 4 opciones, donde solo una es correcta.
· Éxito: Seleccionar la respuesta correcta.
· Fracaso: Seleccionar una respuesta incorrecta.
· Número de ensayos: 5.
· Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos 3 respuestas correctas en 5 intentos?
Justificación: La distribución binomial se aplica en estos ejemplos porque cada ensayo es independiente, hay dos resultados posibles (éxito o fracaso) en cada ensayo, la probabilidad de éxito es constante, y el número total de ensayos es fijo. 
· Definición de Distribución de Probabilidad Geométrica.
 La distribución de probabilidad geométrica modela el número de ensayos independientes necesarios para obtener el primer éxito en una secuencia de ensayos, donde cada ensayo tiene dos posibles resultados: éxito o fracaso. La probabilidad de éxito es constante en cada ensayo.
Ejemplos:
1. Lanzamiento de un dado justo hasta obtener un 6:
· Ensayo: Lanzar el dado.
· Éxito: Obtener un 6.
· Fracaso: Obtener cualquier otro número.
· Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que el primer 6 ocurra en el tercer lanzamiento?
2. Intentos de encestar una canasta en baloncesto:
· Ensayo: Intentar encestar la pelota.
· Éxito: Encestar la canasta.
· Fracaso: Fallar en encestar.
· Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador enceste por primera vez en el quinto intento?
Justificación: La distribución geométrica se aplica en estos ejemplos porque modela la cantidad de ensayos necesarios para obtener el primer éxito en una secuencia de ensayos independientes, donde cada ensayo tiene dos resultados posibles (éxito o fracaso), y la probabilidad de éxito es constante en cada ensayo.
· Definición de Distribución de Poisson.
La distribución de Poisson modela el número de eventos que ocurrirán en un intervalo de tiempo o en un área fija, cuando estos eventos son raros e independientes entre sí. La distribución está completamente determinada por la tasa media de ocurrencia de los eventos.
Ejemplos:
1. Número de llegadas a una tienda en una hora:
· Evento: Llegada de un cliente a la tienda.
· Tasa media de llegadas: 5 clientes por hora.
· Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 3 clientes en una hora?
2. Número de accidentes de tráfico en una intersección en un día:
· Evento: Ocurrencia de un accidente de tráfico.
· Tasa media de accidentes: 0.5 accidentes por día.
· Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurra ningún accidente en un día en particular?
Justificación: La distribución de Poisson se aplica en estos ejemplos porque modela eventos raros e independientes en un intervalo de tiempo o en un área fija. Además, la tasa media de ocurrencia de los eventos es conocida y constante.
· Definición de Distribución de Probabilidad Hipergeométrica.
 La distribución de probabilidad hipergeométrica modela el número de éxitos en una muestra sin reemplazo de una población finita, donde la probabilidad de éxito no es constante ya que disminuye con cada ensayo.
Ejemplos:
1. Selección de cartas de un mazo sin reemplazo:
· Población: Mazo de cartas con 52 cartas.
· Éxito: Obtener una carta de corazones.
· Tamaño de la muestra: Seleccionar 5 cartas.
· Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 cartas de corazones en la muestra?
2. Selección de estudiantes de una clase:
· Población: Clase con 30 estudiantes (15 hombres y 15 mujeres).
· Éxito: Seleccionar a una estudiante mujer.
· Tamaño de la muestra: Seleccionar 10 estudiantes.
· Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar exactamente 4 estudiantes mujeres en la muestra?
Justificación: La distribución hipergeométrica se aplica en estos ejemplos porque modela la probabilidad de obtener un número específico de éxitos (por ejemplo, cartas de corazones o estudiantes mujeres) en una muestra sin reemplazo de una población finita.
· Definición de Distribución de Probabilidad Normal.
La distribución de probabilidad normal, también conocida como distribución gaussiana, es continua y simétrica en forma de campana. Se utiliza para modelar variables aleatorias que siguen una distribución normal.
Ejemplos:
1. Alturas de una población:
· Variable: Altura de las personas en una población.
· Media: 170 cm.
· Desviación estándar: 10 cm.
· Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga una altura mayor a 180 cm?
2. Puntajes en una prueba estandarizada:
· Variable: Puntajes en una prueba estandarizada.
· Media: 500 puntos.
· Desviación estándar: 100 puntos.
· Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar tenga un puntaje entre 450 y 550 puntos?
Justificación: La distribución normal se aplica en estos ejemplos porque es apropiada para modelar variables continuas como alturas o puntajes, donde la mayoría de los valores se agrupan alrededor de la media y la probabilidad disminuye a medida que nos alejamos de la media.
· Definición de Distribución de Probabilidad T.
La distribución t de Student, o distribución t, se utiliza en inferencia estadística cuando la muestra es pequeña y la desviación estándar de la población es desconocida. Es una distribución simétrica en forma de campana, similar a la distribución normal, pero con colas más amplias.
Ejemplos:
1. Media de las diferencias antes y después de un tratamiento en un grupo pequeño:
· Variable: Diferencia en el rendimiento antes y después del tratamiento en un grupo de 10 personas.
· Grados de libertad: 9 (n-1, donde n es el tamaño de la muestra).
· Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que la media de las diferencias sea significativamente diferente de cero?
2. Media de las diferencias en tiempo de reacción entre dos grupos pequeños:
· Variable: Diferencia en el tiempo de reacción entre dos grupos de 8 individuos cada uno.
· Grados de libertad: 14 (n1 + n2 - 2, donde n1 y n2 son los tamaños de las dos muestras).
· Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en el tiempo de reacción entre los dos grupos sea estadísticamente significativa?
Justificación: La distribución t se utiliza en estos ejemplos porque estamos trabajando con muestras pequeñas y desconocemos la desviación estándar de la población. La distribución t es más adecuada en estos casos para realizar inferencias sobre las medias poblacionales.
· Definición de Distribución de Probabilidad Chi cuadrado.
La distribución chi cuadrado seutiliza en estadística para analizar la diferencia entre las frecuencias observadas y esperadas en un conjunto de datos categóricos. Es comúnmente utilizado en pruebas de independencia y bondad de ajuste.
Ejemplos:
1. Evaluación de la independencia entre el género de los estudiantes y sus preferencias de asignaturas:
· Datos: Tabla de contingencia que muestra la distribución de género (hombre/mujer) y las preferencias de asignaturas (matemáticas, ciencias, literatura, etc.) en una muestra de estudiantes.
· Grados de libertad: (Número de filas - 1) x (Número de columnas - 1).
· Pregunta: ¿Existe una relación significativa entre el género de los estudiantes y sus preferencias de asignaturas?
2. Evaluación de la independencia entre el color de los automóviles y sus tasas de accidentes:
· Datos: Tabla de contingencia que muestra la distribución del color de los automóviles (rojo, azul, negro, etc.) y sus tasas de accidentes (sin accidentes, leve, grave) en una muestra de automóviles.
· Grados de libertad: (Número de colores - 1) x (Número de niveles de accidentes - 1).
· Pregunta: ¿Hay una relación significativa entre el color de los automóviles y sus tasas de accidentes?
Justificación: La distribución chi cuadrado se utiliza en estos ejemplos porque estamos analizando la independencia entre variables categóricas. La prueba chi cuadrado nos permite determinar si las diferencias entre las frecuencias observadas y esperadas son estadísticamente significativas.
· Definición de Distribución de Probabilidad F.
La distribución F se utiliza en estadística para comparar la varianza entre dos o más grupos. Se emplea comúnmente en análisis de varianza (ANOVA) y pruebas de regresión para evaluar si las diferencias observadas son estadísticamente significativas.
Ejemplos:
1. Comparación de las varianzas de las alturas entre dos grupos de estudiantes:
· Datos: Alturas de dos grupos de estudiantes, por ejemplo, estudiantes de dos escuelas diferentes.
· Grados de libertad numerador: Grado de libertad del primer grupo (número de datos - 1).
· Grados de libertad denominador: Grado de libertad del segundo grupo (número de datos - 1).
· Pregunta: ¿Hay una diferencia significativa en las varianzas de las alturas entre los dos grupos?
2. Evaluación de la igualdad de las medias de varios grupos en un diseño experimental:
· Datos: Puntajes obtenidos por varios grupos en un experimento con diferentes condiciones.
· Grados de libertad numerador: Número de grupos - 1.
· Grados de libertad denominador: Número total de observaciones - Número de grupos.
· Pregunta: ¿Existen diferencias significativas en las medias de los grupos en el experimento?
Justificación: La distribución F se aplica en estos ejemplos porque estamos comparando la varianza entre grupos, ya sea en el contexto de alturas de estudiantes o en la evaluación de medias de varios grupos en un diseño experimental.
Defina y de 2 ejemplos:
· Definición de Distribución de Media.
La distribución de la media se refiere a la distribución de las medias muestrales obtenidas al tomar múltiples muestras de una población. Según el Teorema del Límite Central, a medida que el tamaño de la muestra aumenta, la distribución de las medias muestrales tiende a aproximarse a una distribución normal, independientemente de la forma de la distribución poblacional subyacente.
Ejemplos:
1. Puntajes en un examen:
· Población: Todos los estudiantes de una escuela.
· Tamaño de muestra: 30 estudiantes.
· Proceso: Tomar múltiples muestras de 30 estudiantes y calcular la media de los puntajes en un examen.
· Justificación: A medida que tomamos más muestras y calculamos las medias, la distribución de estas medias tenderá a seguir una distribución normal, según el Teorema del Límite Central.
· 
2. Alturas de una población:
· Población: Todos los individuos en una ciudad.
· Tamaño de muestra: 50 individuos.
· Proceso: Tomar múltiples muestras de 50 individuos y calcular la media de sus alturas.
· Justificación: A medida que aumentamos el número de muestras y calculamos las medias de las alturas, la distribución de estas medias convergerá hacia una distribución normal, independientemente de la distribución original de alturas en la población.
Justificación: El Teorema del Límite Central establece que, con un tamaño de muestra suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales se aproxima a una distribución normal. Este fenómeno es fundamental en estadística inferencial, ya que permite realizar inferencias sobre la media poblacional con base en la distribución de las medias muestrales.
· Definición de Distribución de Proporción.
La distribución de proporción se refiere a la distribución de proporciones muestrales obtenidas al tomar múltiples muestras de una población binaria, donde cada elemento puede clasificarse en una de dos categorías (éxito o fracaso). Esta distribución es particularmente relevante cuando se analiza la proporción de éxitos en una muestra, como en estudios de tasas de éxito o fallo en experimentos binarios.
Ejemplos:
1. Tasa de aprobación de un nuevo medicamento:
· Población: Pacientes con una condición médica específica.
· Tamaño de muestra: 100 pacientes.
· Proceso: Administrar el nuevo medicamento a múltiples muestras de 100 pacientes y calcular la proporción de pacientes que responden positivamente al tratamiento.
· Justificación: La distribución de proporción se aplica aquí, ya que estamos analizando la proporción de pacientes que responden positivamente al nuevo medicamento en múltiples muestras.
2. Calidad del producto en una línea de ensamblaje:
· Población: Productos manufacturados en una línea de ensamblaje.
· Tamaño de muestra: 50 productos.
· Proceso: Tomar múltiples muestras de 50 productos y calcular la proporción de productos que cumplen con los estándares de calidad.
· Justificación: La distribución de proporción es relevante en este contexto, ya que estamos evaluando la proporción de productos que cumplen con los estándares de calidad en diversas muestras.
Justificación: La distribución de proporción es fundamental en inferencia estadística cuando se trabaja con variables binarias. Permite analizar la variabilidad en la proporción de éxitos o fracasos en múltiples muestras, proporcionando herramientas estadísticas para hacer inferencias sobre la proporción poblacional.
· Estimación Puntual.
La estimación puntual es un método en estadística utilizado para proporcionar un único valor, llamado estimador, que se utiliza para aproximar un parámetro desconocido de una población. En otras palabras, es una estimación específica y única del parámetro de interés.
Ejemplos:
1. Media de la edad de una población:
· Parámetro de interés: La verdadera media de la edad de todos los individuos en una ciudad.
· Estimador puntual: La media muestral de edad de una muestra específica de individuos.
· Estimación puntual: Si la media de edad de una muestra de 100 individuos es 35 años, entonces 35 años es la estimación puntual de la media de edad en la población.
2. Proporción de votantes que apoyan una medida:
· Parámetro de interés: La proporción de todos los votantes que apoyan una medida en una elección.
· Estimador puntual: La proporción de votantes en una muestra específica que apoyan la medida.
· Estimación puntual: Si en una muestra de 500 votantes, 60% apoyan la medida, entonces 0.60 es la estimación puntual de la proporción de apoyo en la población.
Justificación: La estimación puntual proporciona un valor único y específico como mejor suposición o aproximación del parámetro poblacional. Sin embargo, esta estimación está sujeta a variabilidad muestral, y su precisión se evalúa mejor cuando se acompaña de un intervalo de confianza o un error estándar.
· Estimación por Intervalos.
La estimación por intervalos es un método estadístico que proporciona un rango o intervalo de valores que, con cierto nivel de confianza, se espera que contenga el parámetro desconocidode una población. En lugar de proporcionar un único valor como en la estimación puntual, la estimación por intervalos ofrece un rango plausible para el valor del parámetro.
Ejemplos:
1. Intervalo de confianza para la media de las calificaciones de los estudiantes:
· Parámetro de interés: La verdadera media de las calificaciones de todos los estudiantes en una escuela.
· Estimación por intervalos: Un intervalo, por ejemplo, (75, 80), con un nivel de confianza del 95%, que sugiere que es probable que la verdadera media de las calificaciones se encuentre dentro de este rango.
2. Intervalo de confianza para la proporción de clientes satisfechos:
· Parámetro de interés: La proporción de todos los clientes de una empresa que están satisfechos con un producto.
· Estimación por intervalos: Un intervalo, por ejemplo, (0.85, 0.90), con un nivel de confianza del 90%, indicando que se espera que la verdadera proporción de clientes satisfechos se encuentre dentro de este intervalo.
Justificación: La estimación por intervalos reconoce la incertidumbre inherente en las muestras y proporciona una manera de expresar esa incertidumbre. El nivel de confianza asociado con el intervalo indica la probabilidad de que el intervalo contenga el verdadero valor del parámetro. Cuanto mayor sea el nivel de confianza, mayor será el intervalo.
· Supuesto de normalidad.
El supuesto de normalidad es un requisito o asunción en estadística que implica que los datos siguen una distribución normal. Este supuesto es comúnmente necesario para aplicar ciertas técnicas estadísticas y realizar inferencias sobre la población. Aquí hay algunas consideraciones clave sobre el supuesto de normalidad:
Cuando se aplica el supuesto de normalidad:
1. Pruebas paramétricas: Algunas pruebas estadísticas paramétricas, como la prueba t de Student, la ANOVA y la regresión lineal, asumen normalidad en los datos para garantizar la validez de los resultados.
2. Intervalos de confianza y predicciones: En la construcción de intervalos de confianza y predicciones, se asume normalidad para garantizar la precisión y validez de los resultados.
3. Modelos de regresión lineal: En los modelos de regresión lineal clásicos, se asume que los residuos (diferencias entre los valores observados y predichos) siguen una distribución normal.
¿Por qué es importante?:
1. Validez de las pruebas estadísticas: Los métodos estadísticos basados en la normalidad pueden proporcionar resultados más precisos y confiables cuando se cumple este supuesto.
2. Inferencias precisas: Las inferencias sobre parámetros poblacionales son más válidas cuando los datos siguen una distribución normal, ya que los resultados se derivan de las propiedades matemáticas de la distribución normal.
Alternativas cuando no se cumple:
1. Transformaciones de datos: Aplicar transformaciones matemáticas a los datos (como logaritmos) para acercarse a la normalidad.
2. Pruebas no paramétricas: Utilizar pruebas no paramétricas que no requieren la asunción de normalidad, como la prueba de Wilcoxon o la prueba de Mann-Whitney.
3. Bootstrapping: Utilizar técnicas de remuestreo como el bootstrapping para realizar inferencias sin asumir normalidad.
Es importante destacar que, en muchos casos, las pruebas estadísticas son robustas y pueden proporcionar resultados válidos incluso cuando el supuesto de normalidad no se cumple estrictamente, especialmente con tamaños de muestra grandes. Sin embargo, la evaluación de la normalidad a través de gráficos y pruebas estadísticas puede ser útil para tomar decisiones informadas sobre la elección de métodos estadísticos.
Ejemplo 1: Prueba t de Student para comparar dos medias: Supongamos que queremos comparar las calificaciones promedio de dos grupos de estudiantes (Grupo A y Grupo B) después de un programa de tutoría. Para aplicar la prueba t de Student, necesitamos asumir que las calificaciones en ambos grupos siguen una distribución normal.
Ejemplo 2: Análisis de regresión lineal: Imaginemos que estamos llevando a cabo un análisis de regresión lineal para predecir el rendimiento académico de los estudiantes en función de la cantidad de horas de estudio. Uno de los supuestos en el análisis de regresión clásico es que los residuos (las diferencias entre las calificaciones reales y las predichas) siguen una distribución normal. Este supuesto es esencial para realizar inferencias precisas sobre los parámetros del modelo.
En ambos casos, el supuesto de normalidad es crucial para la validez de los resultados obtenidos mediante estas técnicas estadísticas. Sin embargo, es importante mencionar que, en la práctica, estos métodos pueden ser robustos ante desviaciones moderadas de la normalidad, especialmente con tamaños de muestra grandes.
· Desigualdad de Chebyshev.
La Desigualdad de Chebyshev es un principio en estadística que proporciona una forma de cuantificar la dispersión de datos en relación con su media, sin asumir una distribución específica. Esta desigualdad es útil para obtener límites sobre la proporción de datos que se encuentran dentro de un cierto número de desviaciones estándar de la media. Aquí hay una explicación y un ejemplo:
Desigualdad de Chebyshev: La desigualdad de Chebyshev establece que, para cualquier conjunto de datos (independientemente de su distribución), al menos 
de los datos se encuentran dentro de k desviaciones estándar de la media, donde k es cualquier número real mayor que 1. 
 Fórmula: 
Ejemplo: Supongamos que tenemos un conjunto de datos y queremos evaluar qué proporción de los datos se encuentra dentro de 2 desviaciones estándar de la media. Utilizando la desigualdad de Chebyshev con 2k=2, podemos decir que al menos 
 o el 75% de los datos estarán dentro de este rango.
Otro ejemplo: Imagina que tienes un conjunto de datos que representa el tiempo que las personas pasan en una actividad recreativa en un parque durante un día. La media de este conjunto de datos es de 100 minutos y la desviación estándar es de 20 minutos. Queremos determinar qué proporción de personas pasan entre 60 y 140 minutos en la actividad recreativa. Usando la Desigualdad de Chebyshev con 2k=2 (porque queremos dos desviaciones estándar), podemos calcular la proporción mínima de datos que caen en este rango.
Por lo tanto, según la Desigualdad de Chebyshev, al menos el 75% de las personas pasan entre 60 y 140 minutos en la actividad recreativa en el parque. Esta desigualdad proporciona una cota mínima basada en la desviación estándar y es especialmente útil cuando no se conoce la distribución exacta de los datos.
Justificación: La desigualdad de Chebyshev es útil en situaciones donde no conocemos la forma específica de la distribución de los datos. Proporciona una garantía mínima de la proporción de datos que estarán dentro de ciertos límites en términos de desviaciones estándar de la media.
· Estimación de la Diferencia Media.
 La estimación de la diferencia media se utiliza para obtener un intervalo de confianza alrededor de la diferencia entre las medias de dos grupos o poblaciones. Esto es comúnmente utilizado en estudios comparativos para evaluar si hay una diferencia significativa entre los grupos.
Ejemplo: Supongamos que queremos estimar la diferencia media en el tiempo de respuesta entre dos grupos de usuarios utilizando dos interfaces diferentes. Tomamos muestras de ambos grupos y calculamos un intervalo de confianza para la diferencia media en el tiempo de respuesta. Si el intervalo no incluye cero, podríamos concluir que hay una diferencia significativa entre los dos grupos.
Justificación: La estimación de la diferencia media proporciona una forma de cuantificar la incertidumbre alrededor de la verdadera diferencia entre las medias poblacionales. Esto es crucial para realizar inferencias precisas sobre si la diferencia observada es estadísticamente significativa.
Estimación para la Proporción. La estimación para la proporción se utiliza para obtener un intervalo de confianza alrededor de la proporciónde una característica en una población. Es comúnmente utilizado en estudios de encuestas y pruebas de proporciones para evaluar la variabilidad alrededor de la proporción poblacional.
Ejemplo: Imagina que queremos estimar la proporción de votantes que apoyan una medida en una elección. Tomamos una muestra de votantes y calculamos un intervalo de confianza para la proporción de votantes que apoyan la medida. Si el intervalo no incluye el valor de 0.5, podríamos concluir que hay una proporción significativa de votantes que apoyan la medida.
Justificación: La estimación para la proporción proporciona un rango plausible para la verdadera proporción en la población. Esto es esencial para cuantificar la incertidumbre asociada con la estimación y realizar inferencias sobre la proporción poblacional.
Ambos tipos de estimaciones son fundamentales en la investigación y permiten tomar decisiones informadas basadas en la variabilidad observada en las muestras.
· Estimación de varianza.
La estimación de la varianza se refiere al proceso de obtener un intervalo de confianza para la varianza de una población. Este intervalo proporciona una estimación plausible del rango en el que podría encontrarse la verdadera varianza poblacional. Acontinuacion se muestra una explicación y un ejemplo:
Proceso de Estimación de Varianza:
· Datos de la muestra: Se recolecta una muestra de la población de interés.
· Cálculo de la varianza muestral: Se calcula la varianza muestral, que sirve como una estimación puntual de la varianza poblacional.
· Intervalo de Confianza: Se utiliza la distribución chi cuadrado para construir un intervalo de confianza alrededor de la varianza muestral.
Ejemplo: Supongamos que estamos interesados en estimar la varianza del tiempo que los estudiantes dedican a estudiar en una universidad. Tomamos una muestra de estudiantes y calculamos la varianza muestral, que resulta ser 
Luego, utilizamos la distribución chi cuadrado para construir un intervalo de confianza del 95% para la varianza.
Donde n es el tamaño de la muestra y son los percentiles correspondientes de la distribución chi cuadrado con n−1 grados de libertad.
Otro Ejemplo:
Supongamos que estamos interesados en estimar la variabilidad en los tiempos de entrega de un servicio de mensajería. Tomamos una muestra de 20 entregas y registramos los tiempos de entrega en minutos. Después de calcular la varianza muestral, encontramos que 
Queremos construir un intervalo de confianza del 90% para la varianza de los tiempos de entrega.
Dado que n=20 y queremos un intervalo de confianza del 90%, necesitamos encontrar los percentiles de la distribución chi cuadrado con 20−1=19 grados de libertad.
Supongamos que estos percentiles son aproximadamente 10 y 32, respectivamente.
Por lo tanto, el intervalo de confianza sería aproximadamente:
(21.375,68.4)
Este intervalo sugiere que, con un nivel de confianza del 90%, la verdadera varianza de los tiempos de entrega de este servicio de mensajería podría estar entre 21.375 y 68.4 minutos cuadrados. Este proceso de estimación de varianza es fundamental para entender la variabilidad en los datos y proporciona un rango plausible para la varianza poblacional desconocida.
Justificación: La estimación de la varianza es crucial para cuantificar la incertidumbre asociada con la varianza poblacional desconocida. El intervalo de confianza proporciona una gama plausible de valores para la varianza, teniendo en cuenta la variabilidad inherente en las muestras.
Es importante destacar que, en la práctica, la varianza se asume a menudo como conocida en algunos contextos, especialmente cuando se trata de técnicas paramétricas. Sin embargo, cuando la varianza no es conocida y se desea obtener una estimación más precisa, la estimación de varianza es esencial.
· Estimación del cociente de varianza.
La estimación del cociente de varianza se refiere al proceso de obtener un intervalo de confianza para el cociente de dos varianzas poblacionales. Esto es útil cuando se desea comparar la variabilidad entre dos grupos o poblaciones. Aquí te proporcionaré una explicación y un ejemplo:
Proceso de Estimación del Cociente de Varianza:
· Datos de las muestras: Se toman muestras independientes de dos poblaciones.
· Cálculo de las varianzas muestrales: Se calculan las varianzas muestrales de las dos muestras.
· Intervalo de Confianza para el Cociente de Varianza: Se utiliza la distribución F para construir un intervalo de confianza para el cociente de varianza.
Fórmula del Intervalo de Confianza: 
donde n1​ y n2​ son los tamaños de las muestras y Fα/2​(a,b) es el percentil 
 de la distribución F con a y b grados de libertad.
Ejemplo: Supongamos que queremos comparar las varianzas de dos métodos de medición de la altura de árboles. Tomamos dos muestras independientes de tamaños n1​=25 y n2​=30 y calculamos las varianzas muestrales 
Queremos construir un intervalo de confianza del 95% para el cociente de varianza.
Supongamos que estos valores son aproximadamente 0.399 y 1.765.
Entonces, el intervalo de confianza sería aproximadamente:
(0.399,1.765)
Este intervalo nos proporciona una estimación plausible del cociente de varianza entre los dos métodos de medición de la altura de los árboles.
Otro Ejemplo:
Supongamos que queremos comparar las varianzas de dos métodos de producción en una fábrica de dispositivos electrónicos. Tomamos dos muestras independientes de tamaños n1​=20 y n2​=25 y calculamos las varianzas muestrales 
Queremos construir un intervalo de confianza del 90% para el cociente de varianza.
Supongamos que estos valores son aproximadamente 0.235 y 2.436.
Entonces, el intervalo de confianza sería aproximadamente:
(0.235,2.436)
Este intervalo nos proporciona una estimación plausible del cociente de varianza entre los dos métodos de producción en términos de variabilidad.
Es importante notar que si el intervalo incluye 1, no hay evidencia convincente para afirmar que las varianzas son significativamente diferentes. En cambio, si el intervalo excluye 1, podríamos concluir que hay una diferencia significativa en las variabilidades.
Este proceso de estimación del cociente de varianza es valioso en la comparación de la variabilidad entre dos grupos o procesos.
Justificación: La estimación del cociente de varianza es útil cuando se desea comparar la variabilidad entre dos grupos y proporciona información sobre la relación relativa de las varianzas poblacionales.
Parte II.
EJERCICIOS: 1) Utilizando la tabla de área de la curva normal, calcular el área en los siguientes casos: 
a) entre Z = 0 y Z= 1,32 
b) ente Z=0 y Z= 1,27 
c) entre Z=-0,98 y Z= 0 
d) entre Z= 2,04 y Z= 3,01 
e) entre Z= 2,05 y Z= 4 
f) entre Z=-1,17 y Z=1,7 
g) a la derecha de Z= 2,25 
i) a al izquierda de Z= 3,01 
j) mayor que Z= 1,89
	Caso
	Intervalo Z
	Área
	a)
	0≤Z≤1.32
	0.4066
	b)
	0≤Z≤1.27
	0.3985
	c)
	-0.98≤Z≤0
	0.3365
	d)
	2.04≤Z≤3.01
	0.0789
	e)
	2.05≤Z≤4
	0.0192
	f)
	−1.17≤Z≤1.7
	0.8892
	g)
	Z>2.25
	0.0122
	i)
	Z<3.01
	0.9983
	j)
	Z>1.89
	0.0294
	
2) Utilizando la tabla de la curva normal calcular el valor de Z que corresponde a las áreas que se indican en los siguientes casos: 
a) área de 0 a Z es 0,377 
b) área de menos infinitos a Z es de 0,8621 
c) área desde -1,5 a Z es de 0,0217 
d) área de Z hasta 3,15 es de 0,1833.
	Caso
	Área
	Valor de Z
	a)
	0.377
	0.27
	b)
	0.8621
	1.07
	c)
	0.0217
	-2.03
	d)
	0.1833
	0.92
3) En una distribución normal con media aritmética de 100 y desviación típica de 10 se pide determinar las siguientes probabilidades: 
a) x es menor o igual a 120 
b) x es mayor o igual a 76 
c) x entre 82 y 112 
d) x es mayor que 80 
e) x es mayor que 100
a) x es menor o igual a 120:
Para determinar la probabilidad de que x sea menor o igual a 120 en una distribución normal, utilizamos la función de distribución acumulativa (CDF) de la distribución normal estándar. Primero,normalizamos x restando la media y dividiendo por la desviación estándar:
Luego, buscamos en la tabla de la distribución normal estándar el valor de Z=2. La probabilidad de que x sea menor o igual a 120 es igual al área bajo la curva normal hasta Z=2. Esta probabilidad se lee directamente de la tabla y es aproximadamente 0.9772.
b) x es mayor o igual a 76:
Siguiendo el mismo enfoque, normalizamos x para obtener Z:
	
Buscamos en la tabla de la distribución normal estándar el valor de Z=−2.4. La probabilidad de que x sea mayor o igual a 76 es igual al área bajo la curva normal a la derecha de Z=−2.4. Esta probabilidad es aproximadamente 0.9918.
c) x entre 82 y 112:
Normalizamos ambos extremos:
Luego, calculamos la probabilidad de que x esté entre 82 y 112 restando las probabilidades acumuladas correspondientes:
P(82≤x≤112)=P(Z≤1.2)−P(Z≤−1.8)
Consultamos la tabla para obtener las probabilidades acumuladas y restamos para obtener el resultado. Esta probabilidad es aproximadamente 0.9104.
d) x es mayor que 80:
Normalizamos x:
La probabilidad de que x sea mayor que 80 es igual al área bajo la curva normal a la derecha de Z=−2, que es aproximadamente 0.9772.
e) x es mayor que 100:
Normalizamos x:
La probabilidad de que x sea mayor que 100 es igual al área bajo la curva normal a la derecha de Z=0, que es 0.5.
Estos cálculos se basan en la propiedad de la distribución normal estándar y el uso de la tabla de áreas bajo la curva normal. 
4) La puntuación de un examen se distribuye normalmente con una media aritmética de 14 puntos y una desviación típica de 2,5 puntos. Determine la probabilidad de que un alumno obtenga una nota en los siguientes casos:
a) x mayor o igual a 13 puntos 
b) x entre 16 y 19 puntos 
c) x entre 10 y 12 puntos 
d) x entre 13 y 20 puntos 
e) la mayor nota de 15% inferior 
f) la menor nota del 10% superior
a) x mayor o igual a 13 puntos:
Normalizamos x usando la fórmula 
Buscamos en la tabla de la distribución normal estándar el valor de Z=−0.4, que nos da la probabilidad de que x sea mayor o igual a 13. Esta probabilidad es aproximadamente 0.65540.6554.
b) x entre 16 y 19 puntos:
Normalizamos ambos extremos:
Calculamos la probabilidad de que x esté entre 16 y 19 restando las probabilidades acumuladas correspondientes:
P(16≤x≤19)=P(Z≤2)−P(Z≤0.8)
Consultamos la tabla para obtener las probabilidades acumuladas y restamos para obtener el resultado. Esta probabilidad es aproximadamente 0.21190.2119.
c) x entre 10 y 12 puntos:
Normalizamos ambos extremos:
Calculamos la probabilidad de que x esté entre 10 y 12 restando las probabilidades acumuladas correspondientes:
P(10≤x≤12)=P(Z≤−0.8)−P(Z≤−1.6)
Esta probabilidad es aproximadamente 0.78810.7881.
d) x entre 13 y 20 puntos:
Normalizamos ambos extremos:
Calculamos la probabilidad de que x esté entre 13 y 20 restando las probabilidades acumuladas correspondientes:
P(13≤x≤20)=P(Z≤2.4)−P(Z≤−0.4)
Esta probabilidad es aproximadamente 0.98750.9875.
e) La mayor nota de 15% inferior:
La normalización se realiza igual que en el caso a. Encontramos Z tal que P(Z≤Z15% inferior​)=0.15. 
f) La menor nota del 10% superior:
Encontramos Z tal que P(Z≤Z10% superior​)=0.9.
	Caso
	Puntuación
	Z
	Probabilidad
	a)
	x≥13
	-0.4
	0.6554
	b)
	16≤x≤19
	0.8, 2
	0.2119
	c)
	10≤x≤12
	-1.6, -0.8
	0.7881
	d)
	13≤x≤20
	-0.4, 2.4
	0.9875
	e)
	Mayor nota del 15% inferior
	-1.04
	0.1500
	f)
	Menor nota del 10% superior
	1.28
	0.1003
5) Suponiendo que los salarios de 800 trabajadores siguen una distribución normal donde el salario promedio es de 1000 Bs. y una desviación típica de 300 Bs. se pide determinar: 
a) El número de trabajadores que tienen un salario entre 1050 y 1135 
b) El número de trabajadores que tienen un salario mayor a 1500 
c) La proporción de trabajadores que tienen un salario entre 900 y 1100
a) El número de trabajadores que tienen un salario entre 1050 y 1135:
Primero, normalizamos ambos extremos:
Luego, calculamos la probabilidad de que el salario esté entre 1050 y 1135 restando las probabilidades acumuladas correspondientes:
P(1050≤x≤1135)=P(Z≤0.45)−P(Z≤0.1667)
Esto nos dará la proporción de trabajadores en ese rango. Si multiplicamos esta proporción por el número total de trabajadores (800), obtendremos el número de trabajadores en ese rango.
b) El número de trabajadores que tienen un salario mayor a 1500:
Normalizamos x para obtener Z:
La probabilidad de que el salario sea mayor a 1500 es igual al área bajo la curva normal a la derecha de Z1500​. Multiplicamos esta probabilidad por el número total de trabajadores (800) para obtener el número de trabajadores con un salario mayor a 1500.
c) La proporción de trabajadores que tienen un salario entre 900 y 1100:
Normalizamos ambos extremos:
Calculamos la probabilidad de que el salario esté entre 900 y 1100 restando las probabilidades acumuladas correspondientes:
P(900≤x≤1100)=P(Z≤0.3333)−P(Z≤−0.3333)
Esto nos dará la proporción de trabajadores en ese rango. Multiplicamos esta proporción por el número total de trabajadores (800) para obtener el número de trabajadores en ese rango.
Resultados Finales:
a) El número de trabajadores que tienen un salario entre 1050 y 1135: Número de trabajadores ≈ Proporción × Número total de Trabajadores.
 b) El número de trabajadores que tienen un salario mayor a 1500: Número de trabajadores ≈ Proporción × Número total de trabajadores
c) La proporción de trabajadores que tienen un salario entre 900 y 1100: 
Número de trabajadores ≈ Proporción × Número total de trabajadores
Resultados:
a) El número de trabajadores que tienen un salario entre 1050 y 1135: Número de trabajadores ≈ 0.1806 × 800 ≈ 144.5
b) El número de trabajadores que tienen un salario mayor a 1500: Número de trabajadores ≈ (1−0.9525) × 800 ≈ 37.5
c) La proporción de trabajadores que tienen un salario entre 900 y 1100: Número de trabajadores ≈ 0.5742 × 800 ≈ 459.4
6) En una distribución normal con media aritmética 90 y desviación estándar 15, encontrar sobre qué valor existe: a) El 30% central de los casos b) El valor máximo del 40% de los casos inferiores c) El valor mínimo del 35% de los casos superiores.
a) El 30% central de los casos:
En una distribución normal, el 30% central corresponde al intervalo entre el percentil 15 y el percentil 85. Normalizamos estos percentiles para encontrar los valores de Z:
· Percentil 15: Z15​=invNorm(0.15)
· Percentil 85: Z85​=invNorm(0.85)
Luego, aplicamos la fórmula de desnormalización para encontrar los valores reales de la distribución:
X15​=media+Z15​×desviación estándar
X85​=media+Z85​×desviación estándar
El intervalo será [X15​,X85​].
b) El valor máximo del 40% de los casos inferiores:
Para encontrar el valor máximo del 40% de los casos inferiores, buscamos el percentil 40 y lo normalizamos:
· Percentil 40: Z40​=invNorm(0.40)
Luego, aplicamos la fórmula de desnormalización:
X40​=media+Z40​×desviación estándar
c) El valor mínimo del 35% de los casos superiores:
Similar al caso anterior, encontramos el percentil 65 (ya que queremos el 35% superior) y lo normalizamos:
· Percentil 65: Z65​=invNorm(0.65)
Luego, aplicamos la fórmula de desnormalización:
X65​=media+Z65​×desviación estándar
Resultados:
a) El 30% central de los casos: 
X15​≈73.8 
X85​≈106.2 
Intervalo: [73.8, 106.2]
b) El valor máximo del 40% de los casos inferiores: X40​≈96.0
c) El valor mínimo del 35% de los casos superiores: X65​≈105.2
Parte III.
1) Dos amigos (Pedro y Juan) hacen una apuesta, la cual consiste en lanzar un dado una vez, pedro gana xxx$ si sale un número par y Juan gana si sale 1 y 3 y si sale 5 es empate. Determine la distribución de probabilidad ganando Pedro, lo que espera ganar pedro y la variabilidad de ganar pedro
Distribución de probabilidad ganando Pedro:
En un dado estándar de seis caras, los números pares son 2, 4, y 6. Pedro gana si sale un número par.
La distribución de probabilidad para Pedro es:
Esperanza de ganar de Pedro:
La esperanza (o valor esperado) de ganar para Pedrose calcula como la suma ponderada de cada posible ganancia multiplicada por su probabilidad. 
Variabilidad de ganar de Pedro:
La variabilidad, en términos de la varianza, se calcula como la suma de los cuadrados de las diferencias entre cada posible ganancia y la esperanza, ponderada por su probabilidad.
En este caso, como la ganancia es constante, la variabilidad es cero, ya que no hay cambio en la ganancia esperada.
Entonces, Pedro tiene una probabilidad del ​ de ganar y la variabilidad es cero.
Estos resultados se basan en la probabilidad teórica y en la constancia de la ganancia de Pedro.
2) Se estima el nacimiento de 3 hijos. Determine la distribución de probabilidad (hijos varones), la esperanza de que sea varón y calcule la varianza.
Distribución de probabilidad (hijos varones):
Cuando se estima el nacimiento de 3 hijos, cada hijo puede ser varón (M) o mujer (F). La distribución de probabilidad se calcula considerando todas las posibles combinaciones:
· Probabilidad de 0 hijos varones: P(0M)=P(FFF)
· Probabilidad de 1 hijo varón: P(1M)=P(MFF)+P(FMF)+P(FFM)
· Probabilidad de 2 hijos varones: P(2M)=P(MMF)+P(MFM)+P(FMM)
· Probabilidad de 3 hijos varones: P(3M)=P(MMM)
Donde P(FFF), por ejemplo, es la probabilidad de tener tres hijos mujeres.
Esperanza (media) de hijos varones:
La esperanza (o valor esperado) se calcula multiplicando cada cantidad de hijos varones por su probabilidad y sumando estos productos. En este caso:
E(hijos varones)=0×P(0M)+1×P(1M)+2×P(2M)+3×P(3M)
Varianza de hijos varones:
La varianza se calcula como la suma de los cuadrados de las diferencias entre cada cantidad de hijos varones y la esperanza, multiplicada por su probabilidad. En este caso:
 
A continuación se aplica el cálculo de este ejercicio: 
Distribución de probabilidad (hijos varones): 
Esperanza (media) de hijos varones:
Varianza de hijos varones:
Resultados:
· Distribución de probabilidad (hijos varones):
Esperanza (media) de hijos varones: 
Varianza de hijos varones:
Var(hijos varones) ≈ 0.9375Var(hijos varones) ≈ 0.9375
Justificación del proceso: 
Distribución de probabilidad (hijos varones):
Para calcular la distribución de probabilidad de hijos varones, consideramos todas las combinaciones posibles de género para los tres hijos. La probabilidad de que no haya hijos varones P(0M)) es el producto de las probabilidades individuales de tener tres hijas. Para 1, 2, y 3 hijos varones, consideramos las diferentes formas en que podrían ocurrir y sumamos las probabilidades correspondientes.
Esperanza (media) de hijos varones:
La esperanza se calcula ponderando cada cantidad de hijos varones por su probabilidad y sumando estos productos. En este caso, multiplicamos cada cantidad (0, 1, 2, 3) por la probabilidad correspondiente y sumamos estos resultados para obtener la esperanza, que representa el valor esperado o promedio de la cantidad de hijos varones.
Varianza de hijos varones:
La varianza se calcula como la suma de los cuadrados de las diferencias entre cada cantidad de hijos varones y la esperanza, multiplicada por su probabilidad. Este cálculo nos da una medida de qué tan dispersos están los valores con respecto a la esperanza. En este caso, consideramos las diferencias al cuadrado para 0, 1, 2, y 3 hijos varones, las ponderamos por sus probabilidades y sumamos estos términos para obtener la varianza.
Estos cálculos nos permiten entender la distribución de probabilidad de la cantidad de hijos varones, la esperanza que se puede esperar y la variabilidad asociada a esta expectativa.
3) Aplicando la geométrica. Calcular las siguientes probabilidades: a) Al lanzar un dado. ¿Qué salga un número múltiplo de 3, en 4 intentos? b) Calcular la probabilidad de obtener un número par excluyendo el 2 después de xxx fracasos?
a) Al lanzar un dado. ¿Qué salga un número múltiplo de 3 en 4 intentos?
La probabilidad de obtener un número múltiplo de 3 en un solo intento es (considerando que hay dos múltiplos de 3 en un dado estándar: 3 y 6).
La probabilidad de que el primer éxito (obtener un múltiplo de 3) ocurra en el cuarto intento se calcula como la probabilidad de fracaso en los primeros tres intentos y éxito en el cuarto intento: 
Realizando los cálculos:
b) Calcular la probabilidad de obtener un número par excluyendo el 2 después de xxx fracasos?
En este caso, el éxito es obtener un número par excluyendo el 2. La probabilidad de éxito en un solo intento es (considerando que hay tres números pares excluyendo el 2 en un dado estándar: 4, 6, y 8).
La probabilidad de que el primer éxito ocurra después de xxx fracasos se calcula como la probabilidad de fracaso en los primeros xxx intentos y éxito en el intento xxx+1:
Estos cálculos representan la aplicación de la distribución geométrica para modelar el número de intentos hasta el primer éxito en cada escenario.
4) Aplicando Poisson. El trabajo de mantenimiento llegan a un pequeño taller de reparaciones de manera totalmente aleatoria con una tasa de 10 por día. 
a) ¿Número promedio de trabajo que se espera obtener en una semana? 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 reparaciones se hagan en dos días?.
a) Número promedio de trabajo que se espera obtener en una semana:
La distribución de Poisson modela la ocurrencia de eventos en un intervalo de tiempo dado con una tasa constante. En este caso, la tasa de llegada de trabajos es de 10 por día.
Para calcular el número promedio de trabajos en una semana (7 días), utilizamos la fórmula de la distribución de Poisson:
Número promedio en una semana=Tasa diaria × Número de días
Número promedio en una semana = 10 × 7 = 70 
Por lo tanto, se espera recibir un promedio de 70 trabajos en una semana.
b) Probabilidad de que más de 10 reparaciones se hagan en dos días:
La probabilidad de que ocurran más de 10 eventos en un intervalo dado se calcula utilizando la función de masa de probabilidad de Poisson. La fórmula es:
P(X>k)=1−P(X≤k)
Donde k es el número de eventos deseados. En este caso, queremos encontrar la probabilidad de que más de 10 reparaciones se hagan en dos días, por lo que k=10.
Resultados:
a) Número promedio de trabajo que se espera obtener en una semana: 
Número promedio en una semana=70
b) Probabilidad de que más de 10 reparaciones se hagan en dos días: 
P(más de 10 reparaciones en dos días) ≈ 0.982
Por lo tanto, la probabilidad de que más de 10 reparaciones se hagan en dos días es aproximadamente 0.982 o 98.2%.
5) Aplicando Binomial. En una prueba de 20 pregunta la selección es múltiple (5 posibilidades) y dos de estas son respuesta correcta a la pregunta realizada. a) ¿Probabilidad de aprobar en la UNEXCA la prueba? b) ¿Probabilidad de no responder ninguna de ellas?
Aplicando la distribución binomial:
a) Probabilidad de aprobar en la UNEXCA la prueba:
En una prueba de 20 preguntas con selección múltiple (5 posibilidades) y dos respuestas correctas, se considera aprobar si se responde correctamente al menos una pregunta. Utilizamos la distribución binomial para calcular la probabilidad de aprobar:
La fórmula de la distribución binomial es:
Donde:
· n es el número de ensayos (preguntas en este caso),
· k es el número de éxitos deseado (al menos una respuesta correcta),
· p es la probabilidad de éxito en un solo ensayo.
En este caso, n=20, k≥1 (al menos una respuesta correcta), y p es la probabilidad de responder correctamente una pregunta, que es la probabilidad de elegir la respuesta correcta entre las 5 opciones, es decir, 
b) Probabilidad de no responder ninguna de ellas:
En este caso, queremos encontrar la probabilidad de que no se responda correctamente ninguna de las dos preguntas. Utilizamos la misma fórmula de la distribución binomial:
Resultados:
a) Probabilidad de aprobar en la UNEXCA la prueba:
Por lo tanto, la probabilidad de aprobar en la UNEXCA la prueba es aproximadamente 98.8%.
b) Probabilidad de no responder ninguna de ellas:
La probabilidad de no responder correctamenteninguna de las dos preguntas es aproximadamente 1.17%.
Parte VI.
1) Una muestra aleatoria de 169 propietarios de automóvil en la ciudad de Caracas indica que los automóviles recorren anualmente un promedio de 25.000 kilómetro con una desviación estándar de 4000 kilómetros. Calcule e interprete un intervalo de confianza del 95% para el verdadero recorrido promedio anual.
Cálculo del intervalo de confianza del 95% para el recorrido promedio anual:
Dado que ahora tenemos el tamaño de la muestra (n=169), podemos calcular el intervalo de confianza utilizando la fórmula: 
Donde:
· X es la media de la muestra,
· Z es el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de confianza deseado (95%95% en este caso),
· σ es la desviación estándar de la población,
· n es el tamaño de la muestra.
Primero, determinamos el valor crítico Z para un intervalo de confianza del 95%, que es aproximadamente 1.96.
Z=1.96
Luego, sustituimos los valores en la fórmula:
Realizando los cálculos:
Interpretación del resultado:
Esto significa que podemos estar 95% seguros de que el verdadero recorrido promedio anual de los automóviles en la ciudad de Caracas está entre aproximadamente 24,397.842 y 25,602.158 kilómetros.
Este intervalo proporciona una estimación de la variabilidad que podríamos esperar en el recorrido promedio anual de todos los propietarios de automóviles en la ciudad de Caracas basándonos en esta muestra particular.
2-Se administra un test estándar a una numerosa clase de estudiantes. La puntuación promedio de 169 estudiantes escogidos al azar fue de 75 puntos. Suponga que la puntuaciones tienen distribución normal con varianza σ2 = 2,5 y determine un intervalo de confianza del 95% para la verdadera puntuación promedio. Interprete el intervalo hallado. 169 es igual al 1. 
Cálculo del intervalo de confianza del 95% para el puntuación promedio:
Dado que ahora tenemos el tamaño de la muestra (n=169), podemos calcular el intervalo de confianza utilizando la fórmula:
Donde:
· Xˉ es la media de la muestra,
· Z es el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de confianza deseado (95% en este caso),
· σ es la desviación estándar de la población,
· n es el tamaño de la muestra.
Primero, determinamos el valor crítico Z para un intervalo de confianza del 95%, que es aproximadamente 1.96.
Z=1.96
Luego, sustituimos los valores en la fórmula:
Interpretación del resultado:
Esto significa que podemos estar 95% seguros de que la verdadera puntuación promedio en el test estándar para la población de estudiantes está entre aproximadamente 74.756 y 75.244 puntos.
3- Sea 1 la vida útil en millas de ciertas llantas, al ser 1 de distribución normal y con media desconocida. Suponga que se tomó una muestra aleatoria de tamaño 25 y se obtuvo una vida útil promedio 55.000 kilómetros y una desviación estándar σ = 4000. Calcule e intérprete un intervalo de confianza del 95% para la verdadera vida promedio de estas llantas.
Cálculo del intervalo de confianza del 95% para la vida promedio de las llantas:
Dado que ahora tenemos el tamaño de la muestra (n=25), podemos calcular el intervalo de confianza utilizando la fórmula:
· Xˉ es la media de la muestra,
· Z es el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de confianza deseado (95% en este caso),
· σ es la desviación estándar de la población,
· n es el tamaño de la muestra.
Primero, determinamos el valor crítico Z para un intervalo de confianza del 95%, que es aproximadamente 1.96.
Z=1.96
Luego, sustituimos los valores en la fórmula:
Realizando los cálculos:
Interpretación del resultado:
Esto significa que podemos estar 95% seguros de que la verdadera vida promedio de las llantas está entre aproximadamente 53,432 y 56,568 kilómetros.
4. Con el propósito de estimar la proporción de estudiantes regulares que asistirán a los cursos intermedios, los profesores analizan una muestra aleatoria de 169. Cuarenta y cinco de éstos indicaron que asistirían. Construya e intérprete un intervalo de confianza del 90% para la verdadera proporción de los que asistirán a los cursos intermedios. 169 igual es igual al 6.
Cálculo del intervalo de confianza del 90% para la proporción de estudiantes que asistirán a los cursos intermedios:
Dado que ahora conocemos el tamaño de la muestra (n=169) y la proporción de estudiantes que indicaron que asistirían podemos calcular el intervalo de confianza utilizando la fórmula para la proporción:
Donde:
· p es la proporción de la muestra,
· Z es el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de confianza deseado (90% en este caso),
· n es el tamaño de la muestra.
Primero, determinamos el valor crítico Z para un intervalo de confianza del 90%, que es aproximadamente 1.645.
Z=1.645
Luego, sustituimos los valores en la fórmula:
Esto significa que podemos estar 990% seguros de que la verdadera proporción de estudiantes que asistirán a los cursos intermedios está entre aproximadamente 26.5% y 42.5%.
5. Se selecciona una muestra aleatoria de xxx fumadores de cigarrillos y se encuentra que 125 prefieren la marca A. Encuentre e interprete un intervalo del 99% de confianza para la verdadera proporción. Si el fabricante de estos cigarrillos asegura que el 39% de los fumadores prefiere la marca A, ¿qué puede decirse según el intervalo hallado? Donde 169 son los 3 dígitos primeros de su cedula de identidad.
Para calcular un intervalo de confianza del 99% para la verdadera proporción de fumadores que prefieren la marca A, podemos utilizar la fórmula del intervalo de confianza para una proporción:
Donde:
· p^​ es la proporción muestral (125/169 en este caso).
· Z es el valor crítico de la distribución normal estándar para un intervalo de confianza del 99%. Este valor es Z=2.576.
· n es el tamaño de la muestra (169 en este caso).
Realizando los cálculos:
Ahora, calculamos esto para obtener el intervalo.
Entonces, el intervalo de confianza del 99% para la verdadera proporción de fumadores que prefieren la marca A es aproximadamente (0.704,0.830)(0.704,0.830).
Ahora, para interpretar este resultado: Estamos 99% seguros de que la verdadera proporción de fumadores que prefieren la marca A está dentro de este intervalo. Dado que el intervalo no incluye el valor del fabricante (39%), hay evidencia suficiente para cuestionar la afirmación del fabricante. Es decir, basado en la muestra, parece que la proporción real es diferente del 39% afirmado por el fabricante.
6. Se tiene un intervalo de diferencia de medias que contiene al 0 cero. Que se puede decir al respecto.
Cuando se tiene un intervalo de diferencia de medias que contiene al 0, esto sugiere que no hay evidencia suficiente para afirmar que hay una diferencia significativa entre las dos medias. En otras palabras, no se puede rechazar la hipótesis nula de que las medias son iguales.
La presencia del 0 en el intervalo implica que la diferencia entre las medias podría ser 0, lo que significa que no hay diferencia real entre las poblaciones. En términos prácticos, no se puede afirmar con confianza que exista una diferencia significativa basándose en los datos proporcionados y el nivel de confianza establecido para el intervalo.
En resumen, cuando el intervalo de diferencia de medias contiene al 0, se concluye que no hay evidencia estadística para sugerir que las medias de las dos poblaciones son diferentes.
7. Se tiene un intervalo de diferencia de medias el cual es netamente positivo. Que se puede decir al respecto.
Si se tiene un intervalo de diferencia de medias que es netamente positivo, significa que hay evidencia para sugerir que la media de la primera población es probablemente mayor que la media de la segunda población. La positividad del intervalo indica una dirección en la diferencia de medias.
Para interpretar esto de manera más específica, se puede decir que, con un cierto nivel deconfianza, se espera que la media de la primera población esté por encima de la media de la segunda población. Sin embargo, para llegar a una conclusión más sólida, sería necesario conocer el nivel de confianza asociado con el intervalo y asegurarse de que este intervalo no contenga el valor 0, lo que indicaría una diferencia no significativa.
En resumen, un intervalo de diferencia de medias netamente positivo sugiere que hay evidencia para respaldar la idea de que la media de la primera población es mayor que la media de la segunda población.
8. Se tiene un intervalo de diferencia de medias el cual es netamente negativo. Que se puede decir al respeto.
Si se tiene un intervalo de diferencia de medias que es netamente negativo, significa que hay evidencia para sugerir que la media de la segunda población es probablemente mayor que la media de la primera población. La negatividad del intervalo indica una dirección específica en la diferencia de medias.
En términos más concretos, con un cierto nivel de confianza, se puede afirmar que la media de la segunda población está probablemente por encima de la media de la primera población. No obstante, para llegar a una conclusión más sólida, sería necesario conocer el nivel de confianza asociado con el intervalo y asegurarse de que este intervalo no contenga el valor 0, lo que indicaría una diferencia no significativa. En resumen, un intervalo de diferencia de medias netamente negativo sugiere que hay evidencia para respaldar la idea de que la media de la segunda población es mayor que la media de la primera población.
9. Se tiene un intervalo del cociente de varianzas y este es mayor que 1. Que puede decir al respecto.
Cuando se tiene un intervalo del cociente de varianzas y este es mayor que 1, indica que hay evidencia para sugerir que las varianzas de las dos poblaciones son probablemente diferentes. La comparación del cociente de varianzas con 1 es crucial en este caso.
Un cociente de varianzas mayor que 1 sugiere que la variabilidad en una población es probablemente mayor que en la otra. Esto podría tener implicaciones importantes, dependiendo del contexto del problema. Por ejemplo, en un experimento, podría indicar que una condición experimental tiene una variabilidad significativamente mayor que otra.
10. Se tiene un intervalo del cociente de varianzas y este es menor que 1. Que puede decir al respecto.
Cuando se tiene un intervalo del cociente de varianzas y este es menor que 1, indica que no hay evidencia suficiente para sugerir que las varianzas de las dos poblaciones son diferentes. La comparación del cociente de varianzas con 1 es clave en este caso.
Un cociente de varianzas menor que 1 sugiere que la variabilidad en ambas poblaciones es probablemente similar. Este resultado es importante en situaciones donde se busca evaluar si hay diferencias significativas en la variabilidad entre dos grupos.
11. Se tiene un intervalo del cociente de varianzas y este contiene 1. Que puede decir al respecto.
Cuando se tiene un intervalo del cociente de varianzas y este contiene el valor 1, indica que no hay evidencia suficiente para sugerir que las varianzas de las dos poblaciones son diferentes. El valor 1 en el intervalo implica que la posibilidad de que las varianzas sean iguales es plausible dentro del nivel de confianza establecido.
En otras palabras, no se puede rechazar la hipótesis nula de igualdad de varianzas entre las dos poblaciones. Este resultado es relevante en contextos donde se está investigando la homogeneidad de las varianzas, y un intervalo que contiene 1 sugiere que no hay una diferencia estadísticamente significativa en la variabilidad entre las dos poblaciones. Es esencial tener en cuenta el nivel de confianza asociado con el intervalo y comprender que la inclusión de 1 indica que no hay evidencia suficiente para afirmar que las varianzas son diferentes.