UNIDAD 1

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1
PROBABILIDADES
¿Qué es la Bioestadística?
2
PROBABILIDADES
Es la aplicación de los métodos estadísticos a la 
solución de problemas que surgen de las 
investigaciones biológicas.
3
MÉTODOS ESTADÍSTICOS
NOS PERMITEN
DISEÑAR LAS 
INVESTIGACIONES
RECOGER, 
CLASIFICAR, 
RESUMIR Y 
ANALIZAR DATOS
DETERMINAR 
GRADO DE 
CONFIABILIDAD
4
BIOESTADÍSTICA
Nos proporcionará métodos que nos permitirán 
generalizar y evaluar la magnitud del error que 
cometemos al efectuar esas generalizaciones.
5
MODELOS MATEMÁTICOS
En las ciencias experimentales se utilizan 
modelos matemáticos que nos permiten 
simplificar y esquematizar los fenómenos 
observados y luego, sacar conclusiones.
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MODELOS DETERMINÍSTICOS 
Se denomina modelo determinístico a aquél que 
permite determinar el resultado de un 
experimento cuando se conocen las condiciones 
en que se lo realiza.
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MODELOS ALEATORIOS
Un experimento aleatorio se caracteriza porque:
�Es posible repetirlo indefinidamente bajo las 
mismas condiciones.
�El resultado de una repetición no se puede 
predecir pero se conoce el conjunto de todos los 
posibles resultados.
8
MODELOS ALEATORIOS
�Si se lo repite un gran número de veces, cada 
uno de los resultados aparece en una proporción 
definida, es decir, hay cierta regularidad en los 
resultados.
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ESPACIO DE RESULTADOS
Llamamos espacio de resultados o espacio 
muestral asociado a un experimento aleatorio al 
conjunto formado por todos los posibles 
resultados del mismo. A este conjunto lo 
denotamos con S.
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SUCESO
Dado un experimento aleatorio llamamos suceso 
a un subconjunto del espacio muestral.
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SUCESO ELEMENTAL
Tiene un solo resultado posible
12
Suceso contenido en otro
Dados dos sucesos A y B decimos que el suceso 
A está contenido en el suceso B si y sólo si cada 
vez que ocurre A también ocurre B, lo 
indicamos A ⊂⊂⊂⊂ B.
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Suceso complementario
Llamamos suceso complementario de A al 
suceso que ocurre si y sólo si no ocurre A. Lo 
indicamos A’.
14
Suceso Unión
Dados dos sucesos A y B llamamos suceso 
unión al que ocurre si y sólo si ocurre A o B. 
Lo indicamos A ∪∪∪∪ B.
15
Propiedades de la Unión 
de Sucesos
1) A ∪∪∪∪ A’ = S
2) A ∪∪∪∪ S = S
3) A ∪∪∪∪ ∅∅∅∅ = A
4) A ⊂⊂⊂⊂ B ⇒⇒⇒⇒ A ∪∪∪∪ B = B
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Suceso Intersección
Dados dos sucesos A y B llamamos suceso 
intersección al que ocurre si y sólo si ocurren 
simultáneamente A y B. Lo indicamos A ∩∩∩∩ B.
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Propiedades de la 
Intersección de Sucesos
1) A ∩∩∩∩ A’ = ∅∅∅∅
2) A ∩∩∩∩ S = A
3) A ∩∩∩∩ ∅∅∅∅ = ∅∅∅∅
4) A ⊂⊂⊂⊂ B ⇒⇒⇒⇒ A ∩∩∩∩ B = A
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Sucesos mutuamente 
excluyentes
Excluir significa “dejar fuera ” , de manera que 
dos sucesos será n excluyentes o 
mutuamente excluyentes si ellos no tienen 
elementos comunes. Es decir, A ∩∩∩∩ B = ∅∅∅∅
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FRECUENCIA
Se llama frecuencia del suceso A y se indica 
f(A) al número de veces que ocurre A.
Se la denomina también frecuencia absoluta.
20
EJEMPLO
Se quiere saber el n úmero de hijos por 
matrimonio. Se obtienen los siguientes 
datos:
21
EJEMPLO
2 2 4 1 3 5 3 2 1 6 
3 4 1 2 0 2 3 1 7 4 
2 3 0 5 1 4 3 2 4 1 
5 2 1 2 4 0 3 3 2 6 
1 5 4 2 0 3 2 4 3 1 
22
EJEMPLO
En nuestro ejemplo, la frecuencia 
absoluta indica el n úmero de familias que 
tienen esa cantidad de hijos.
23
EJEMPLO
0 4 
1 9 
2 12 
3 10 
4 8 
5 4 
6 2 
7 1 
24
FRECUENCIA RELATIVA
Se llama frecuencia relativa del suceso A al 
cociente f(A)/n, siendo n el número de 
repeticiones del experimento. Se indica:
n
Af
Af r
)(
)( =
25
EJEMPLO
0 4 0,08 
1 9 0,18 
2 12 0,24 
3 10 0,20 
4 8 0,16 
5 4 0,08 
6 2 0,04 
7 1 0,02 
26
Propiedades de las 
frecuencias relativas
1)
2)
3) Si A y B son sucesos mutuamente 
excluyentes
1)(0 ≤≤ Af r
1)( =Sf r
)()()( BfAfBAf rrr +=∪
27
Definición Axiomática de 
Probabilidad
Sea S el espacio de resultados de un 
experimento aleatorio. A cada suceso A le 
asignamos un n úmero real llamado 
probabilidad del suceso A, lo indicamos 
P(A).
28
Definición Axiomática de 
Probabilidad
1) 0 ≤≤≤≤ P(A) ≤≤≤≤ 1
2) P(S) = 1
3)Si A y B son sucesos mutuamente 
excluyentes, entonces 
P(A ∪∪∪∪ B) = P(A) + P(B)
29
Definición Axiomática de 
Probabilidad
4) Si son sucesos mutuamente 
excluyentes de a pares, entonces 
,...,...,1 nAA
...)(...)()(...)...( 2121 ++++=∪∪∪∪ nn APAPAPAAAP
30
PROPIEDAD 1.1
P(∅∅∅∅) = 0
31
PROPIEDAD 1.2
P(A’) = 1 - P(A)
32
PROPIEDAD 1.3
Si A⊂⊂⊂⊂ B ⇒⇒⇒⇒ P(A) ≤≤≤≤ P(B)
33
PROPIEDAD 1.4
Si A y B son dos sucesos cualesquiera
P(A ∪∪∪∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩∩∩∩ B) 
34
PROPIEDAD 1.5
Cálculo de probabilidades en el caso 
de un número finito de resultados 
igualmente probables
En este caso podemos calcular la probabilidad 
de un suceso A de la siguiente manera:
posiblesresultadosdenúmero
Aafavorablesresultadosdenúmero
AP =)(
35
Sucesos mutuamente 
excluyentes
Observe cuidadosamente la siguiente urna
Esta urna tiene bolitas rojas, amarillas y 
verdes.
36
Sucesos mutuamente 
excluyentes
Supongamos que se elige una bolita al azar, 
entonces hay tres tipos de sucesos que son 
de interés:
37
Sucesos mutuamente 
excluyentes
El suceso “que la bolita sea amarilla ” que 
lo denotamos con la letra A.
El suceso “que la bolita sea roja ” que lo 
denotamos con la letra R.
El suceso “que la bolita sea verde ” que 
lo denotamos con la letra V.
38
Sucesos mutuamente 
excluyentes
Observe que ninguno de estos sucesos 
tienen elementos comunes, de manera que 
entre ellos son mutuamente excluyentes.
Podemos calcular la probabilidad de obtener 
una bolita amarilla, esto es,
39
Sucesos mutuamente 
excluyentes
12
5
)( =AP
Podemos calcular la probabilidad de obtener 
una bolita amarilla, esto es,
40
Sucesos mutuamente 
excluyentes
De igual forma podemos calcular la 
probabilidad de sacar una bolita roja, esto es,
12
4
)( =RP
41
Sucesos mutuamente 
excluyentes
Y la probabilidad de obtener una bolita 
verde, que es
12
3
)( =VP
42
Sucesos mutuamente 
excluyentes
Ahora nos preguntamos: ¿cuál es la probabilidad
de sacar una bolita roja o una bolita amarilla?
P(R ∪∪∪∪ A) = P(R) + P(A) = 9/12
43
Sucesos mutuamente 
excluyentes
Es decir, cuando los sucesos son 
mutuamente excluyentes , la probabilidad de 
la unión de ellos es simplemente la suma de 
cada una de las probabilidades .
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PROBABILIDAD 
CONDICIONAL
Si B es un suceso tal que la P(B) > 0, llamamos 
probabilidad condicional del suceso A dado B:
)(
)(
)/(
BP
BAP
BAP
∩=
45
REGLA DE LA 
MULTIPLICACIÓN
Cuando necesitamos calcular P(A∩∩∩∩B) 
podemos utilizar:
)/().()( ABPAPBAP =∩
)/().()( BAPBPBAP =∩
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SUCESOS 
INDEPENDIENTES
Ahora sacaremos dos bolitas, una tras otra y
con reposición .
47
SUCESOS 
INDEPENDIENTES
Esto significa que sacamos la primera bolita, 
anotamos su color, y la regresamos a la urna , y 
luego hacemos la segunda extracción.
Definamos el suceso “la primera bolita extraí da fue 
de color amarillo ” , que llamaremos suceso A1; y 
definamos el suceso “la segunda bolita extraí da fue 
de color amarillo ”, que llamaremos A2.
48
SUCESOS 
INDEPENDIENTES
Queremos calcular la probabilidad del siguiente 
suceso “la primera bolita sea amarilla y la 
segunda bolita también sea amarilla”.
49
SUCESOS 
INDEPENDIENTES
Miremos cuidadosamente los siguiente 
cuadritos, el primer cuadro denotará las formas 
de obtener una bolita cualquiera y el segundo 
cuadro las formas de obtener una bolita 
cualquiera de la segunda extracción.
50
SUCESOS 
INDEPENDIENTES
12 12 = 144 formas diferentes
51
SUCESOS 
INDEPENDIENTES
5 5 = 25 formas diferentes
Ahora vamos a calcular las formas diferentes de 
obtener una bolita amarilla en la primera 
extracción y una bolita amarilla en la segunda 
extracción:
52
SUCESOS 
INDEPENDIENTES
Luego la probabilidad de obtener dos bolitas 
amarillas de dos extracciones con reposición (con 
reemplazo) es:
144
25
)( =AP
53
SUCESOS 
INDEPENDIENTESPor otro lado, la probabilidad de que en la primera 
extracción la bolita sea amarilla, es:
12
5
)( 1 =AP
54
SUCESOS 
INDEPENDIENTES
Una vez repuesta la bolita, la probabilidad de saca r 
en la segunda extracción una bolita amarilla, es:
P(A2) = 5/12
55
SUCESOS 
INDEPENDIENTES
)().()( 2121 APAPAAP =∩
De manera que podemos ver que la probabilidad de 
obtener A1 y A2, es igual al producto de la 
probabilidad de A1 por la probabilidad de A2, esto 
es:
Cuando esto ocurre, se dice que los sucesos A1 y 
A2 son independientes. 
56
SUCESOS 
INDEPENDIENTES
Dos sucesos A y B son independientes si y sólo si :
)().()( BPAPBAP =∩
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EJEMPLO (Sin reposición)
Ahora sacaremos dos bolitas, pero esta vez lo 
haremos sin reposición (sin reemplazo).
Esto significa que una vez que hagamos la primera 
extracción, la bolita no es devuelta a la urna , o sea 
que en la segunda extracción tendremos una 
bolita menos.
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EJEMPLO (Sin reposición)
Sea el suceso “la primera bolita es amarilla”, que 
denotaremos por A1.
Sea el suceso “la segunda bolita es roja”, que 
denotaremos por R2.
Queremos calcular la probabilidad de que la 
primera bolita sea amarilla y la segunda bolita sea 
roja, ¿cómo la calculamos?
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12
5
)( 1 =AP
EJEMPLO (Sin reposición)
60
)()./()( 11212 APARPARP =∩
EJEMPLO (Sin reposición)
61
11
4
)/( 12 =ARP
EJEMPLO (Sin reposición)
62
EJEMPLO (Sin reposición)
132
20
12
5
.
11
4
)( 12 ==∩ ARP
63
EJEMPLO (Sin reposición)
Con el ejemplo anterior queremos decir que 
cualquier suceso que dependa de la primera 
extracción afectará a cualquier otro suceso que 
dependa de la segunda extracción, y por lo tanto
ellos no serán independientes (se dice que son 
dependientes).
64
EJEMPLO (Concepto de 
Independencia)
Se realizó una encuesta a 200 personas, 100 
hombres y 100 mujeres y se les preguntó si son 
fumadores activos. Los resultados figuran en la 
siguiente tabla:
65
EJEMPLO (Concepto de 
Independencia)
 Fuman No Fuman Total 
Mujeres 20 80 100 
Hombres 40 60 100 
Total 60 140 200 
 
66
EJEMPLO (Concepto de 
Independencia)
10
1
200
20
)( ==∩ FMP
20
3
10
3
.
2
1
200
60
.
200
100
)().( ===FPMP