UNIDAD 4

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Estimación puntualEstimaciEstimacióón puntualn puntual
Consideremos la siguiente v.a.
X: peso en kg de niños de 5 años de la 
provincia de Buenos Aires.
¿Cómo podemos tomar una muestra de X?
22
Estimación puntualEstimaciEstimacióón puntualn puntual
Tenemos que considerar el conjunto de todos 
los niños de 5 años de la provincia de Buenos 
Aires. Extraemos al azar un subconjunto más 
chico, por ejemplo 6. Luego, le medimos el peso 
a esos 6 niños que llamaremos x1, x2,…, x6 y 
constituyen una muestra de la v.a. X.
33
Estimación puntualEstimaciEstimacióón puntualn puntual
El conjunto de todos los niños de 5 años de la 
provincia de Buenos Aires es la población de 
individuos.
Cada uno de los niños es una unidad 
experimental.
El conjunto de los 6 niños de 5 años elegidos es 
la muestra de individuos.
44
Estimación puntualEstimaciEstimacióón puntualn puntual
Esta muestra es aleatoria si está elegida de 
manera tal que todos los individuos de la 
población tengan la misma probabilidad de 
ingresar a ella.
Si a un individuo le medimos el peso tenemos 
un valor de la v.a. X, que lo llamamos 
observación individual y lo indicamos con 
minúscula. 
55
Muestra de una 
Variable Aleatoria
Muestra de una Muestra de una 
Variable AleatoriaVariable Aleatoria
Definición:
Una muestra de tamaño n de una variable 
aleatoria X está constituída por n valores 
observados de X que indicamos x1, x2,…, xn. 
66
EstadísticoEstadEstadíísticostico
Definición:
Lamamos estadístico a cualquier función de la 
muestra de tamaño n de una variable aleatoria 
X está constituída por n valores observados de 
X que indicamos x1, x2,…, xn. 
77
EstadísticoEstadEstadíísticostico
Ejemplo:
Los datos de la siguiente tabla corresponden al 
peso de los comprimidos fabricados por un 
laboratorio.
52,0 56,1 50,2 53,4 52,3 52,8 53,5 54,2 
54,3 48,5 56,4 58,3 50,1 58,4 61,5 60,8 
88
MínimoMMíínimonimo
Lamamos mínimo de la muestra al valor más 
pequeño.
Lo indicaremos xmín. 
99
MáximoMMááximoximo
Lamamos máximo de la muestra al valor más 
grande.
Lo indicaremos xmáx. 
1010
Rango o RecorridoRango o RecorridoRango o Recorrido
Lamamos rango o recorrido de la muestra al 
número:
r = xmáx - xmín
1111
MedianaMedianaMediana
Para calcularla se ordenan las observaciones 
de menor a mayor. Si n es impar, la mediana 
es la observación central.
Si n es par, la mediana se define como la 
media de las dos observaciones centrales
1212
Media aritméticaMedia aritmMedia aritmééticatica
Si x1, x2,…, xn representan una muestra de 
tamaño n de la población, la media aritmética 
se calcula como:
n
x
X
n
i i
∑
== 1
1313
Media aritméticaMedia aritmMedia aritmééticatica
Engloba en ella toda la información de la 
muestra; esto, con ser una ventaja, supone una 
cierta desventaja, pues, los valores muy 
extremos, en muestras pequeñas afectan 
mucho a la media.
1414
Varianza muestralVarianza muestralVarianza muestral
Es la desviación cuadrática media de las 
observaciones a la media muestral. 
∑
=
−
−
= n
i i
xx
n
s
1
22 )(
1
1
1515
Varianza muestralVarianza muestralVarianza muestral
A la expresión (n-1) se la llama grados de 
libertad y a se la llama Suma de 
Cuadrados.
∑
=
−n
i i
xx
1
2)(
)( xxi − mide cuánto se aparta xi de la media 
muestral. Cuanto más dispersos son los datos de 
una muestra, mayor será su varianza muestral. 
1616
Fórmula de Cálculo de la 
Varianza muestral
FFóórmula de Crmula de Cáálculo de la lculo de la 
Varianza muestralVarianza muestral
( )








−
−
= ∑
∑
=
=n
i
n
i i
i n
x
x
n
s
1
2
122
1
1
Demostrar
1717
Estimación de ParámetrosEstimaciEstimacióón de Parn de Paráámetrosmetros
Sea θ un parámetro desconocido de la 
distribución de una variable aleatoria X. A 
partir de una muestra x1, x2,…, xn podemos 
calcular un valor aproximado de θ que lo 
llamamos estimador y lo indicamos .θ̂
1818
Estimación de ParámetrosEstimaciEstimacióón de Parn de Paráámetrosmetros
es un estadístico porque se calcula a partir 
de una muestra.
Cuando estimamos un parámetro θ cometemos 
un error.
θ̂
1919
Estimación de ParámetrosEstimaciEstimacióón de Parn de Paráámetrosmetros
error absoluto = valor verdadero – valor estimado
error absoluto de la estimación = θ – θ̂
2020
Estimación de ParámetrosEstimaciEstimacióón de Parn de Paráámetrosmetros
verdaderovalor
absolutoerror
relativoerror =
θ
θθ ˆ−=estimaciónladerelativoerror
2121
Estimadores de E(X) y Var(X)Estimadores de Estimadores de E(XE(X) y ) y Var(XVar(X))
XXE =)(
2)( sXVar =
2222
Estimadores de µ y σ de una 
normal
Estimadores de Estimadores de µµ y y σσ de una de una 
normalnormal
X=µ̂
22ˆ s=σ
Si X~N(µ, σ) buscamos los estimadores de µ y σ. 
Sabemos que E(X) = µ y Var(X) = σ2
2323
Estimador del parámetro p 
de una distribución binomial
Estimador del parEstimador del paráámetro p metro p 
de una distribucide una distribucióón binomialn binomial
m
X
p =ˆ
Si X~B(m, p) buscamos un estimador de p 
pues m es un parámetro conocido. Sabemos 
que E(X)=mp.
2424
Estimadores del parámetro λ de 
una distribución de Poisson
Estimadores del parEstimadores del paráámetro metro λλ de de 
una distribuciuna distribucióón de Poissonn de Poisson
X=λ̂
Si X~P(λ) buscamos un estimador de λ. 
Sabemos que E(X)=λ.