RECUPERATORIO 1er REGU 1C 2021 RESUELTOS

Vista previa del material en texto

1 
 
Primera Fecha 
Recuperatorio del Primer Regulatorio 
Bioestadística 
Primer cuatrimestre 2021 
 
Ejercicios de Probabilidad 
Ejercicio 1 
Se sabe que el 10% de la población mundial sufre diabetes. El 44% de los diabéticos ignora 
estar enfermo, es decir son pacientes diabéticos no detectados. Calcular la probabilidad de que 
un paciente que llega a un centro médico no padezca diabetes o sea diabético ya detectado 
anteriormente. 
 
Resolución 
Llamamos a los sucesos D: “el paciente es diabético”, A: “el paciente diabético ya está 
detectado”. Nos piden 𝑃(𝐷′ ∪ 𝐴) = 𝑃(𝐷′) + 𝑃(𝐴) por ser sucesos excluyentes. 
𝑃(𝐷′) = 1 − 𝑃(𝐷) = 1 − 0,1 = 0,9 
Además 𝑃(𝐴) = 𝑃("ya detectado"|𝐷)𝑃(𝐷) = 0,56 ∗ 0,10 = 0,056 porque 
𝑃("ya detectado"|𝐷) = 1 − 𝑃(no detectado|𝐷) = 1 − 0,44 = 0,56 
Finalmente resulta: 𝑃(𝐷′ ∪ 𝐴) = 0,9 + 0,056 = 0,956 
 
Ejercicio 2 
Se sabe que el 15% de la población mundial sufre obesidad. El 64% de los obesos no está en 
tratamiento de la obesidad. Calcular la probabilidad de que un paciente que llega a un hospital 
no padezca obesidad o sea obeso ya en tratamiento. 
 
Resolución 
Llamamos a los sucesos O: “el paciente es obeso”, A: “el paciente obeso está en tratamiento”. 
Nos piden 𝑃(𝑂′ ∪ 𝐴) = 𝑃(𝑂′) + 𝑃(𝐴) por ser sucesos excluyentes. 
𝑃(𝑂′) = 1 − 𝑃(𝑂) = 1 − 0,15 = 0,85 
Además 𝑃(𝐴) = 𝑃("obeso en tratamiento"|𝑂)𝑃(𝑂) = 0,36 ∗ 0,15 = 0,054 porque 
𝑃("obeso en tratamiento"|𝑂) = 1 − 0,64 = 0,36 
Finalmente resulta: 𝑃(𝑂′ ∪ 𝐴) = 0,85 + 0,054 = 0,904 
 
Ejercicio 3 
Se estudia de una nueva vacuna, la cual se suministra a un grupo de ratones. El 50% no presenta 
reacciones alérgicas, el 40% presenta trombosis y el 75% presenta reacciones alérgicas o 
2 
 
trombosis. Calcular la probabilidad de que un ratón presente reacciones alérgicas si presenta 
trombosis. 
 
Resolución 
Definimos los siguientes sucesos: 
A: “el ratón presenta reacciones alérgicas” 
T: “el ratón tiene trombosis” 
0,75 = 𝑃(𝐴 ∪ 𝑇) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝑇) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝑇) = 0,5 + 0,4 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝑇) → 𝑃(𝐴 ∩ 𝑇) = 0,15 
𝑃(𝐴|𝑇) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝑇)
𝑃(𝑇)
=
0,15
0,40
= 0,375 
 
Ejercicio 4 
Se estudia de una nueva vacuna, la cual se suministra a un grupo de cerdos. El 60% no presenta 
reacciones alérgicas, el 30% presenta trombosis y el 80% presenta reacciones alérgicas o 
trombosis. Calcular la probabilidad de que un cerdo no presente reacciones alérgicas si presenta 
trombosis. 
 
Resolución 
Definimos los siguientes sucesos: 
A: “el cerdo presenta reacciones alérgicas” 
T: “el cerdo tiene trombosis” 
0,80 = 𝑃(𝐴 ∪ 𝑇) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝑇) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝑇) = 0,6 + 0,3 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝑇) → 𝑃(𝐴 ∩ 𝑇) = 0,10 
𝑃(𝐴|𝑇) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝑇)
𝑃(𝑇)
=
0,10
0,30
≅ 0,3333 
Ejercicios de V.A. Discreta 
Ejercicio 1 
Hallar la función de distribución de una variable aleatoria discreta X, sabiendo que la E(X) = 0,7 
y su función de probabilidad puntual es: 
 
xi -1 0 1 2 
p(xi) a 0,4 0,2 b 
 
Resolución 
𝐸(𝑋) = −1 ∙ a + 0 + 1 ∙ 0,2 + 2𝑏 = 0,7 
-a + 2 b = 0,7 - 0,2 
y además sabemos que ∑ 𝑝(𝑥𝑖 ) = 1 
a + 0,4 + 0,2 + b = 1 
3 
 
a + b = 1 – 0,6 a = 0,4 - b 
Reemplazo a 
-( 0,4 - b) + 2 b = 0,5 
3 b = 0,4 + 0,5 b = 0,3 
a = 0,4 - b a = 0,4 – 0,3 a = 0,1 
Función de distribución 
𝐹𝑥(𝑡) = 
{
 
 
 
 
0 𝑠𝑖 𝑡 < −1
0,1 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑡 < 0
0,5 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 < 1
0, 7 s𝑖 1 ≤ 𝑡 < 2
1 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 2
 
 
 
Ejercicio 2 
La función de distribución de una variable aleatoria discreta es: 
𝐹𝑥(𝑡) = 
{
 
 
 
 
0 𝑠𝑖 𝑡 < −1
0,1 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑡 < 0
0,5 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 < 1
0, 7 s𝑖 1 ≤ 𝑡 < 2
1 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 2
 
Hallar el recorrido de la variable, la función de probabilidad puntual y la esperanza y varianza 
para dicha variable aleatoria. 
Resolución 
xi -1 0 1 2 
p(xi) 0,1 0,4 0,2 0,3 
 
𝐸(𝑋) = −1 ∙ 0,1 + 0 + 1 ∙ 0,2 + 2. 0,3 = 0,7 
Var(X) = (-1)2. 0,1 + 0 + 12. 0,2 + 22. 0,3 -  0,72 = 1,01 
Ejercicio 3 
Hallar la función de distribución de una variable aleatoria discreta X, sabiendo que la E(X) = 1,4 
y su función de probabilidad puntual: 
 
xi 0 1 2 3 
p(xi) 0,2 a 0,4 b 
Resolución 
𝐸(𝑋) = 1 ∙ a + 2 ∙ 0,4 + 3 ∙ b = 1,4 
a + 3 b = 1,4 - 0,8 = 0,6 
4 
 
y además sabemos que ∑ 𝑝(𝑥𝑖 ) = 1 
0,2+ a + 0,4 + b = 1 
a + b = 1 – 0,6 a = 0,4 – b 
Reemplazo a 
(0,4 – b) + 3 b = 0,6 
2 b = 0,6 – 0,4 b = 0,1 
a = 0,4 – b a = 0,4 – 0,1 a = 0,3 
Función de distribución 
𝐹𝑥(𝑡) = 
{
 
 
 
 
0 𝑠𝑖 𝑡 < 0
0,2 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 < 1
 0,5 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑡 < 2
0, 9 s𝑖 2 ≤ 𝑡 < 3
1 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 3
 
 
 
Ejercicio 4 
La función de distribución de una variable aleatoria discreta es: 
 
𝐹𝑥(𝑡) = 
{
 
 
 
 
0 𝑠𝑖 𝑡 < 0
0,2 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 < 1
 0,5 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑡 < 2
0, 9 s𝑖 2 ≤ 𝑡 < 3
1 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 3
 
Hallar el recorrido de la variable, la función de probabilidad puntual y la esperanza y varianza 
para dicha variable aleatoria. 
Resolución 
xi 0 1 2 3 
p(xi) 0,2 0,3 0,4 0,1 
 
𝐸(𝑋) = 0 + 1 ∙ 0,3 + 2 ∙ 0,4 + 3 ∙ 0,1 = 1,4 
Var(X) = 12 .0,3 + 22 .0,4 + 32 .0,1 -  1,42 = 2,8 – 1,96 = 0,84 
 
Ejercicios de v.a. Binomial 
Ejercicio 1 
Sea 𝑋 ∼ 𝐵𝑖(8; 0,3) 
Si 𝑌 = 3𝑋 − 5 calcular 𝑉𝑎𝑟(𝑌 − 𝑋) y determinar 𝑃(𝑌 = 13) 
5 
 
 
 
Resolución 
Claramente la variables no son independientes, entonces: 
𝑉𝑎𝑟(𝑌 − 𝑋) = 𝑉𝑎𝑟(3𝑋 − 5 − 𝑋) = 𝑉𝑎𝑟(2𝑋 − 5) = 22 ∗ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 4 ∗ 8 ∗ 0,3 ∗ 0,7
= 6,72 
Por otra parte, 
𝑃(𝑌 = 13) = 𝑃(3𝑋 − 5 = 13) = 𝑃(3𝑋 = 18) = 𝑃(𝑋 = 6) = 0,01 
Ejercicio 2 
El número de pacientes de un grupo de m que se recuperan de una enfermedad luego de un tratamiento 
puede suponerse con distribución binomial. Se sabe que si m = 4, la probabilidad de que todos se 
recuperen es 0,015, pero si se trataran 8 pacientes, ¿cuál es el número esperado de pacientes que no se 
recuperarán? 
 
Resolución 
Defino X = n° de pacientes que se recuperan de un grupo de 4, y se tiene que 
𝑃(𝑋 = 4) = 0,015, entonces: 
p = P(El paciente se recupere) = 0,35 ⇒ 𝑋 ∼ 𝐵𝑖(4; 0,35) 
De esta forma, si tenemos m = 8 pacientes podemos definir una variable binomial nueva: 
Y = n° de pacientes que no se recuperan de un grupo de 8. Así el número esperado de no 
curados es 
𝐸(𝑌) = 𝑚 ∗ 𝑝 = 8 ∗ 0,65 = 5,2 
 
Ejercicio 3 
La hemólisis interfiere en la determinación de potasio plasmático debido a la alta concentración 
intraeritrocitaria del mismo. La probabilidad de que llegue un tubo hemolizado al laboratorio donde 
usted trabaja es de 0,1. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que solicitar nueva muestra a 2 pacientes 
ante el pedido de determinación de potasio en plasma por este problema, si le son entregados 9 tubos 
de pacientes distintos? 
 
Resolución 
Se trata de una binomial m = 9, p = 0,1, entonces P(2) = 0,1722 
Ejercicio 4 
En una población de hombres adultos, la probabilidad de tener un valor de colesterol en sangre superior 
a 214 mg/dl es igual a 0,4. Si se seleccionan 10 hombres adultos de esta población, hallar la probabilidad 
de que a lo sumo 5 de ellos tengan un valor de colesterol en sangre superior a 214 mg/dl sabiendo que 
por lo menos 3 lo tienen. 
 
Resolución 
Sea X= cantidad de hombres adultos, cuyo valor de colesterol en sangre es superior a 214 mg/dl. Esta 
variable es Bi(10;0,4) 
𝑃(𝑋 ≤ 5/𝑋 ≥ 3) =
𝑃(3 ≤ 𝑋 ≤ 5)
𝑃(𝑋 ≥ 3)
=
0,6665
0,8327
= 0,08 
6 
 
Ejercicios de Estimación Puntual 
Ejercicio 1 
La siguiente tabla corresponde a la distribución de frecuencias de ciertos microorganismos 
hallados en muestras de una solución de tamaño 3 mm3.X: número de microorganismos en la muestra 0 1 2 3 4 o más 
Frecuencia 31 22 24 12 11 
 
Se supone que la variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson. Sean los sucesos: 
A: En una muestra de tamaño 4 mm3 de la solución se hallaron al menos 2 microorganismos. 
B: En una muestra de tamaño 4 mm3 de la solución se hallaron a lo sumo 3 microorganismos. 
A partir de los datos de la tabla estimar 𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) 
Resolución 
X3: Cantidad de microorganismos en la muestra de tamaño 3 mm3 
�̂� = �̅� =
150
100
= 1,5 
X4: Cantidad de microorganismos en la muestra de tamaño 4 mm3 
 
 
 
 
Ejercicio 2 
La siguiente tabla corresponde a la distribución de frecuencias de ciertos microorganismos 
hallados en muestras de una solución de tamaño 3 mm3. 
X: número de microorganismos en la muestra 0 1 2 3 4 o más 
Frecuencia 
 
62 44 8 24 22 
 
Se supone que la variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson. Sean los sucesos: 
A: En una muestra de tamaño 5 mm3 de la solución se hallaron al menos 2 microorganismos 
B: En una muestra de tamaño 5 mm3 de la solución se hallaron a lo sumo 3 microorganismos 
A partir de los datos de la tabla estimar 𝑃(𝐵 𝐴⁄ ) 
Resolución 
X3: Cantidad de microorganismos en la muestra de tamaño 3 mm3 
7 
 
�̂� = �̅� =
220
160
= 1,375 
X5: Cantidad de microorganismos en la muestra de tamaño 5 mm3 
𝑋5 ~ 𝑃(2,3) 
�̂�(𝐵 𝐴⁄ ) =
𝑃(𝐵 ∩ 𝐴)
𝑃(𝐴)
=
𝑃(2 ≤ 𝑋5 ≤ 3)
𝑃(𝑋5 ≥ 2)
=
0,7993 − 0,3309
1 − 0,3309
≅ 0,70 
Ejercicio 3 
La siguiente tabla corresponde a la distribución de frecuencias de ciertos microorganismos 
hallados en muestras de una solución de tamaño 3 mm3. 
X: número de microorganismos en la muestra 0 1 2 3 4 o más 
Frecuencia 
 
27 24 26 18 5 
 
Se supone que la variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson. Sean los sucesos: 
A: En una muestra de tamaño 5 mm3 de la solución se hallaron menos de 2 microorganismos 
B: En una muestra de tamaño 5 mm3 de la solución se hallaron más de 4 microorganismos 
A partir de los datos de la tabla estimar P (A U B). 
Resolución 
X3: Cantidad de microorganismos en la muestra de tamaño 3 mm3 
�̂� = �̅� =
150
100
= 1,5 
 X5: Cantidad de microorganismos en la muestra de tamaño 5 mm3 
 
�̂�(𝐴 ∪ 𝐵) = �̂�(𝑋 < 2) + �̂�(𝑋 > 4) − �̂�[(𝑋 < 2) ∩ (𝑋 > 4)] = 0,2873 + 0,1088 − 0 =
= 0,3961 
Ejercicio 4 
La siguiente tabla corresponde a la distribución de frecuencias de ciertos microorganismos 
hallados en muestras de una solución de tamaño 3 mm3. 
X: número de microorganismos en la muestra 0 1 2 3 4 o más 
Frecuencia 
 
54 48 52 36 10 
 
Se supone que la variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson. Sean los sucesos: 
A: En una muestra de 4 mm3 de la solución se hallaron menos de 3 microorganismos 
B: En una muestra de 4 mm3 de la solución se hallaron más de 2 microorganismos 
A partir de los datos de la tabla estimar P (A U B). 
8 
 
Resolución 
X3: Cantidad de microorganismos en la muestra de tamaño 3 mm3 
�̂� = �̅� =
300
200
= 1,5 
X4: Cantidad de microorganismos en la muestra de tamaño 4 mm3 
 
�̂�(𝐴 ∪ 𝐵) = �̂�(𝑋 < 3) + �̂�(𝑋 > 2) − �̂�[(𝑋 < 3) ∩ (𝑋 > 2)] = 0,6767 + 0,3233 − 0 = 1 
 
Ejercicios de Estadística Descriptiva 
Ejercicio 1 
Se tomó una muestra aleatoria de 10 envases de un alimento para propósitos médicos 
especiales, y se le determinó el valor energético (Kcal/dL) a cada unidad, por el método de 
Calorimetría Directa. 
A partir de los valores informados, calcular dos estadísticos de tendencia central y dos 
estadísticos de dispersión. 
105 105,6 105,5 104 106 104,5 104,6 103 105,9 107 
 
Resolución 
 
Estadísticos de tendencia central: 
Media aritmética 
 
�̅� = 105,11 𝐾𝑐𝑎𝑙/𝑑𝐿 
Mediana 
Como n es par, la mediana se calcula como el promedio de los dos valores centrales, una vez 
ordenados en forma creciente. 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 105,25 𝐾𝑐𝑎𝑙/𝑑𝐿 
9 
 
 
Estadísticos de dispersión: 
Rango 
𝑥𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑥𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 = 107,0 − 103,0 = 4,0 𝐾𝑐𝑎𝑙/𝑑𝐿 
Varianza 
 
𝑠2 = 1,30 
𝐾𝑐𝑎𝑙2
𝑑𝐿2
 
 
Ejercicio 2 
Se tomó una muestra aleatoria de 12 envases de un alimento para propósitos médicos 
especiales, y se le determinó la concentración de proteína (gr %) a cada unidad, por el método 
de Kjeldahl. 
A partir de los valores informados, calcular dos estadísticos de tendencia central y dos 
estadísticos de dispersión. 
5,8 5,5 6,2 5,9 6,4 4,9 5,2 5,3 5,2 5,0 
 
Resolución 
 
 
Estadísticos de tendencia central: 
Media aritmética 
 
�̅� = 5,54 𝑔𝑟 % 
10 
 
Mediana 
Como n es par, la mediana se calcula como el promedio de los dos valores centrales, una vez 
ordenados en forma creciente. 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 5,40 𝑔𝑟 % 
Estadísticos de dispersión: 
Rango 
𝑥𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑥𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 = 6,40 − 4,90 = 1,50 𝑔𝑟 % 
Varianza 
 
𝑠2 = 0,26 𝑔𝑟2 % 
Ejercicio 3 
Se tiene información de la cantidad de casos de meningitis notificados durante el año 2020 en 
nuestro país, clasificados según el tipo de meningitis: BSA (bacteriana sin aislar), HI 
(Haemophilus infuenzae), MTB (meningitis tuberculosa), NM (Neisseria meningitidis), OG 
(otros gérmenes), SE (sin especificar), SN (streptococo neumoniae) y TV (total viral). 
Esta información, contenida en una tabla de frecuencias, se resume en los siguientes gráficos 
equivalentes: 
Gráfico 1: 
 
 
Gráfico 2: 
11 
 
 
¿Cómo se llaman estos gráficos que se utilizan para la representación gráfica de una 
distribución de frecuencias? ¿Qué representan las barras y cada porción del círculo? 
En el Gráfico 1, ¿cuál es la barra que tiene mayor altura? ¿Qué porcentaje de los casos 
informados se corresponde con este tipo de meningitis? 
Si el total de casos de meningitis reportados en el país durante el año 2020 fue 1.952, 
¿cuántos casos de meningitis del tipo BSA y SN se registraron? 
 
Resolución 
Gráfico de barras y gráfico de tortas o sectores. La altura de cada barra y cada porción del 
círculo, representa la frecuencia relativa porcentual de esa clase. 
NM (24%) 
BSA: 429 casos (22%); SN: 312 casos (16%). 
 
Ejercicio 4 
Se tiene información de casos de neumonía reportados por las 24 provincias argentinas, durante 
el año 2020 (tasa cada 1.000 habitantes). La tasa mínima es igual a cero, correspondiente a la 
provincia de Corrientes y la tasa máxima es igual a 10,83; correspondiente a Chaco. 
Con esta información se realizaron los gráficos siguientes: 
 
12 
 
¿Cómo se llaman estos gráficos y cómo se construyen? 
¿Qué característica de la distribución de la variable puede observarse? Si ambos gráficos 
se basan en los mismos datos de tasas de neumonía, ¿a qué se debe la diferencia entre 
ambos? 
Calcular el número máximo de clases apropiado para este conjunto de datos, en base al 
número de datos disponible (Regla de Sturges). ¿Cuál de los dos histogramas elegiría para 
representar mejor las características principales de la distribución? 
 
Resolución 
Histograma: se divide el rango de los datos de la variable numérica “tasa de neumonía”, en 
clases o intervalos y se cuenta el número de observaciones que caen en cada una, para 
determinar la frecuencia relativa porcentual de cada clase. Los valores obtenidos son las 
alturas de las barras para cada intervalo. 
 
El propósito de un histograma es mostrar la forma de la distribución de los datos. En este 
caso, la distribución es asimétrica, con mayor concentración de datos en tasas bajas y con 
algunas provincias con tasas altas. La diferencia entre ambos se debe a que el primero se 
construyó con intervalos de longitud unitaria, mientras que el segundo, con intervalos de 
longitud dos, lo que hace variar la cantidad total de barras. 
 
Según esta regla, la cantidad apropiada está entre 5 y 6 clases (histograma de la derecha): 
1 + 3,3.log(n) = 1 + 3,3.log(24) = 5,55