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Ingeniería Industrial. Actualidad y Nuevas
Tendencias
ISSN: 1856-8327
revistaiiaynt@gmail.com
Universidad de Carabobo
Venezuela
Otero Caicedo, Ricardo; Bolívar Atuesta, Stevenson; Palacios Caicedo, Juan
Análisis de la retención de estudiantes de ingeniería basado en la pérdida consecutiva de
una misma asignatura. Un enfoque de Cadenas de Markov
Ingeniería Industrial. Actualidad y Nuevas Tendencias, vol. V, núm. 16, junio, 2016, pp. 7-
18
Universidad de Carabobo
Carabobo, Venezuela
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ISSN: 1856-8327 
 
Otero et al., Análisis de la retención de estudiantes… un enfoque de Cadenas de Markov, p. 7-18 
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Análisis de la retención de estudiantes de ingeniería basado en 
la pérdida consecutiva de una misma asignatura. Un enfoque de 
Cadenas de Markov 
Retention analysis of engineering students based on consecutive course failure. A Markov 
Chain Approach 
Ricardo Otero Caicedo, Stevenson Bolívar Atuesta, Juan Palacios Caicedo 
Palabras clave: Cadenas de Markov, retención estudiantil, matriz de transiciones 
Key words: Markov chains, student retention, transition matrix 
 
 
RESUMEN 
 
En los últimos años, la retención estudiantil ha 
sido una variable crítica para las 
Universidades ya que comprende el 
compromiso que éstas adquieren con la 
formación de profesionales a través de la 
aplicación completa de un proyecto educativo. 
En este artículo, se analiza la intención de los 
estudiantes de desertar de su programa 
académico en ingeniería, basado en el número 
de veces que pierde una misma asignatura de 
su plan de estudios. El comportamiento de los 
estudiantes se modeló usando cadenas de 
Markov discretas, donde los estados 
representan el número de veces que se repite 
un curso o se retira del programa académico. 
Este enfoque permite a la Universidad 
analizar cómo el nivel de dificultad de las 
asignaturas puede impactar los niveles de 
deserción. 
 
ABSTRACT 
 
Recently, student retentions have become a 
main factor in the educational institution 
project, because Universities main objective is 
to develop professional trough a complete 
application of its educational project. In this 
paper, we propose to analyze the student’s 
dropout intention based on the repeated 
failure of one course. We use discrete Markov 
chain DMC to estimate the likelihood of 
repeating a course or leaving the academic 
program. Statistics test for homogeneity and 
dependence between chain states were also 
made. This approach makes easier for the 
University to analyze how the course 
difficulty could increase the dropout 
proportion. 
 
INTRODUCCIÓN 
 
La retención estudiantil ha sido una 
variable crítica dentro de los planes 
institucionales de las universidades, 
debido a los altos índices de deserción que 
usualmente se presentan en las 
instituciones de educación superior. 
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A pesar de los grandes avances en el tema, 
hoy en día su análisis sigue siendo un reto 
debido a la complejidad del problema. Los 
casos de deserción no siempre son 
evidentes, ya que están contextualizados 
en tres perspectivas diferentes: la 
individual, la institucional y la estatal 
(Ministerio de Educación Nacional, 2009). 
Cada agente (individuos, universidades o 
el estado) aborda el problema desde su 
perspectiva y el análisis de la problemática 
depende del enfoque dado por el 
investigador. Por ejemplo, las 
transferencias entre instituciones de 
educación superior son consideradas 
como deserción para la universidad pero 
no para el estado, dado que los estudiantes 
no han abandonado el sistema educativo. 
Como parte del ejemplo, el ministerio de 
educación nacional resalta que la situación 
de crisis económica en un país se convierte 
en un factor determinante dentro de la 
deserción de instituciones privadas hacia 
instituciones públicas y del abandono 
definitivo del sistema educativo. 
A nivel nacional, si bien es cierto que cada 
vez existen mayores apoyos 
gubernamentales dirigidos a incrementar 
el número de estudiantes con acceso a la 
educación superior, es necesario también 
implementar sistemas que permitan 
mantener la motivación con la que los 
estudiantes inician el programa 
académico. Esto permite asegurar, no 
solamente que los estudiantes culminen su 
proceso académico, sino también, que esta 
motivación se vea reflejada en la 
formación académica de los estudiantes. 
Claramente, no se puede abordar la 
perspectiva estatal a nivel institucional, 
pero tal como lo menciona Torres (2010), 
actualmente las instituciones cuentan con 
varias herramientas de gestión pedagógica 
que están dirigidas a apoyar y a prevenir 
las intenciones de deserción en los 
estudiantes universitarios. Desde la 
perspectiva individual, si bien es cierto 
que no hay un modelo que involucre las 
particularidades de cada individuo, sí se 
han identificado factores 
sociodemográficos y socioeconómicos 
relacionados con la deserción, como por 
ejemplo las variables identificadas por 
Patricia (2011), Murtaugh, Burns y 
Schuster (1999) y Duque, Duque y 
Surinach (2012) presentadas en la tabla 1. 
El objetivo principal de esta perspectiva es 
determinar cómo se relacionan los factores 
con la decisión de desertar, permitiendo 
identificar grupos de estudiantes que 
requerirían un acompañamiento adicional 
y enfocar los esfuerzos de la universidad 
para aumentar el nivel de retención 
universitaria. 
Entre algunos estudios que aprovechan 
esta perspectiva para crear herramientas 
que apoyen la retención, se encuentran 
Murtaugh, Burns y Schuster (1999), 
quienes emplean un modelo de 
supervivencia que utiliza las 
características del individuo para predecir 
el tiempo hasta que deserta; Awadhi y 
Ahmed (2002) empelan un modelo de 
regresión logística para identificar los 
factores relevantes y el grado de 
asociación con la decisión de desertar; 
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Duque, Duque y Surinach, (2012) elaboran 
un indicador de deserción mediante 
mínimos cuadrados parciales, con lo cual 
realizan comparaciones entre grupos de 
individuos sobre el tiempo. 
Otros autores, como Kwak, Brown y 
Schiederjans (1986); Awadhi, Ahmed 
(2002) y Alawadhi, Konsowa (2010) han 
realizado análisis a nivel institucional, en 
los cuales a través de cadenas de Markov, 
se analiza el comportamiento de los 
estudiantes con respecto a la permanencia 
en las asignaturas o las inscripciones en 
cursos. 
 
Tabla 1. Factores relacionados con la deserción estudiantil universitaria 
Variable Categoría 
Edad 
Personal y 
familiar 
Género 
Procedencia 
Residencia 
Recursos financieros 
Desempeño escolar 
ProgramaAcadémico 
Universitario 
Promedio académico 
Expectativas de éxito 
Percepción de dificultad 
Calidad de los recursos de la institución 
 
Adeleke, Oguntuase y Ogunsakin, (2014) 
emplearon cadenas de Markov para 
modelar la deserción estudiantil, con 
estados absorbentes graduarse y desertar, 
y con estados transitorios número de años 
cursados. Este enfoque trae una ventaja 
adicional, permite estimar el tiempo 
promedio que un estudiante tarda en 
graduarse o desertar. Sin embargo, no 
permite a las instituciones identificar 
oportunidades de mejora en la 
problemática analizada. 
Es evidente que las instituciones de 
educación superior tengan la necesidad de 
ejercer liderazgo en los programas de 
retención haciendo uso de la información 
y recursos disponibles. Esto genera la 
necesidad de utilizar cualquier tipo de 
herramientas que generen información 
sobre la intención de los estudiantes de 
continuar en el programa académico. 
A pesar de la posibilidad de mejorar las 
predicciones de retención, implementando 
las variables mencionadas en la tabla 1, no 
todas las instituciones de educación 
superior cuentan con esta información o 
no la tienen disponible en una misma base 
de datos. Sin embargo, usualmente cada 
una de las carreras cuenta con registros 
históricos de los resultados académicos de 
los estudiantes por cada uno de los 
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periodos de estudio y para cada una de las 
asignaturas que cursaron. 
Adicionalmente, vale la pena resaltar que 
estos enfoques relacionan la deserción con 
factores o variables sociodemográficas y 
académicas propias del individuo, pero no 
con las materias que pueden influir en la 
decisión de desertar por su grado de 
dificultad, lo cual permitiría detectar 
necesidades de acompañamiento especial 
para los estudiantes que cursan estas 
asignaturas. 
Este artículo busca medir la dificultad de 
la asignatura a través del número de veces 
que la cursa un estudiante antes de 
aprobarla o desertar, con lo cual se analiza 
su intención de deserción, basándose en su 
desempeño académico desde el punto de 
vista de los resultados obtenidos en 
algunas asignaturas de su plan de 
estudios. Para ello, se analizaron los 
resultados de los estudiantes de la facultad 
de ingeniería civil de una Universidad de 
Bogotá – Colombia en las asignaturas que 
son consideradas críticas en el proceso de 
formación. 
Se pretende determinar para un 
estudiante, la probabilidad de desertar de 
la institución educativa o aprobar una 
materia en particular, teniendo en cuenta 
como estados transitorios el número de 
veces que la ha cursado. Se modeló este 
comportamiento como una cadena de 
Markov discreta, en la cual, los estados 
representan el número de veces que ha 
cursado la materia, incluyendo además 
dos estados absorbentes: aprobó la 
asignatura o desertó del programa. 
Con el modelo planteado se pueden 
determinar las materias que presentan una 
probabilidad alta de ser reprobadas 
reiteradamente y su relación con la 
deserción estudiantil en cada programa 
académico. 
Esta información le permite a la 
universidad tomar decisiones sobre planes 
de acompañamiento y validación de 
prerrequisitos, entre otras medidas que 
podrían favorecer la gestión pedagógica 
para disminuir los niveles de deserción. 
 
 
METODOLOGÍA 
 
Descripción del problema 
En el transcurso del programa académico, 
los estudiantes pasan por diferentes 
asignaturas que contienen diferentes 
niveles de dificultad. Existen algunas 
ocasiones en las que los estudiantes 
después de haber reprobado una 
asignatura un número determinado de 
veces, pierden la motivación de seguir 
adelante debido al incremento en la 
percepción de dificultad sobre la carrera y 
la disminución de su propia confianza. 
Este comportamiento se modeló como una 
cadena de Markov de tiempo discreto, con 
la cual se estimó la probabilidad de que un 
estudiante se retire del programa 
académico con base en las probabilidades 
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condicionadas al número de veces que ha 
perdido la asignatura. 
Las cadenas de Markov de tiempo 
discreto, son procesos estocásticos que 
toman valores discretos en puntos 
particulares del tiempo y que 
adicionalmente cumplen con la propiedad 
de Markov, es decir, la probabilidad 
asociada a un evento depende solamente 
de la ocurrencia del evento 
inmediatamente anterior. 
Esto se resume en: sea Xn el estado del 
proceso estocástico en el tiempo n ∈ Z, 
una cadena de Markov cumple que: 
 
 ,, 
 
donde es el estado del proceso en el 
tiempo i. Esta propiedad permite expresar 
todas las probabilidades asociadas a la 
cadena de Markov en una matriz de 
transición, la cual tiene dimensiones 
 , donde es el número de posibles 
valores que puede tomar la variable 
aleatoria. Por ejemplo: una cadena de 
Markov, en donde la variable aleatoria 
sólo puede tomar 3 estados, todas las 
posibles transiciones entre sus estados 
pueden representarse a través de la 
siguiente matriz: 
 
 
 
 
 
 , 
 
en donde representa la probabilidad de 
pasar del estado al estado en un paso, 
es decir, entre dos periodos consecutivos. 
En este caso, debe cumplirse que: 
 
 
 . 
Para el presente estudio, cada uno de los 
estados se va a definir de la siguiente 
manera: 
 A - Asignatura aprobada 
 R - Deserción 
 1, 2, …, n - Número de veces que 
se cursa la asignatura. 
 
 
 
Figura 1. Gráfico de estados de la cadena de Markov 
 
Base de datos 
La base de datos cuenta con 
aproximadamente 8.000 registros 
académicos desde el año 2007 hasta el año 
2011, incluyendo todas las materias del 
programa. De esta base de datos se 
emplearon las variables: i) código 
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estudiante, ii) periodo académico, iii) 
asignatura y iv) calificación obtenida. 
Para este caso, debido al gran impacto que 
históricamente han tenido las asignaturas 
de ciencias básicas en los programas de 
ingeniería, el presente trabajo hace 
referencia sólo a las asignaturas descritas 
en la tabla 2. 
Como primer paso se calculó para cada 
uno de los estudiantes el número de veces 
que cursó la asignatura. Se asume que un 
estudiante se ha retirado del programa 
académico, si después de haber cursado y 
reprobado una asignatura, no la vuelve a 
inscribir en los periodos siguientes. 
Tabla 2. Asignaturas que se analizan en esta 
investigación 
Variable Semestre 
Cálculo diferencial 1 
Cálculo integral 2 
Cálculo vectorial 3 
Física mecánica 2 
 
En la siguiente sección se describe el 
procedimiento realizado para la 
asignatura Cálculo Diferencial, presentado 
el procedimiento para probar los 
supuestos de una cadena de Markov y 
estimar las probabilidades de transición. 
 
RESULTADOS y ANÁLISIS 
 
En la tabla no. 3 se presenta el número de 
estudiantes que se encuentra en cada uno 
de los estados para cada uno de los 
periodos de la base de datos. Es decir, en 
el periodo 2007-2, han aprobado 30 
estudiantes, 34 se encuentran cursando la 
asignatura por primera vez, 2 por segunda 
y se retiraron del programa 5 estudiantes. 
Los estados A y R son absorbentes, por lo 
que llevan un acumulado de los 
estudiantes que hanaprobado y los que se 
han retirado del programa. Es necesario 
aclarar que los valores obtenidos para el 
primer periodo, es decir 2007-2, se 
obtuvieron a partir del análisis de los 
resultados del periodo inmediatamente 
anterior 2007-1. 
Tabla 3. Frecuencias absolutas de estados por periodo para la asignatura cálculo diferencial 
Periodo A 1 2 3 R 
2007-2 30 34 5 0 5 
2008-1 54 35 2 2 18 
2008-2 81 23 9 0 21 
2009-1 105 53 5 3 21 
2009-2 148 33 8 2 30 
2010-1 173 75 12 2 34 
2010-2 221 49 21 2 52 
2011-1 271 95 8 7 58 
2011-2 344 42 13 0 81 
 
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Después de obtener la conformación de 
estados por cada uno de los periodos, se 
obtuvo las transiciones entre estados para la 
asignatura, obteniendo los siguientes 
resultados para la asignatura cálculo 
diferencial. 
 
Tabla 4. Transiciones entre estados para la asignatura de cálculo diferencial 
2007-2 A 1 2 3 R 2008-1 A 1 2 3 R 
1 21 0 2 0 11 1 23 0 1 0 2 
2 3 0 0 2 0 2 2 0 0 0 0 
3 0 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 
 
2008-2 A 1 2 3 R 2009-1 A 1 2 3 R 
1 18 0 5 0 0 1 38 0 7 0 8 
2 6 0 0 3 0 2 2 0 0 2 1 
3 0 0 0 0 0 3 3 0 0 0 0 
 
2009-2 A 1 2 3 R 2010-1 A 1 2 3 R 
1 17 0 12 0 4 1 37 0 21 0 17 
2 6 0 0 3 0 2 9 0 0 2 1 
3 2 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 
 
2010-2 A 1 2 3 R 2011-1 A 1 2 3 R 
1 35 2 7 0 5 1 62 1 13 0 19 
2 13 0 0 7 1 2 6 0 0 0 2 
3 2 0 0 0 0 3 5 0 0 0 2 
 
2011-2 A 1 2 3 R 
1 31 1 9 0 1 
2 10 0 0 1 1 
3 0 0 0 0 0 
 
En este caso, se omiten las filas 
relacionadas con los estados A y R por 
considerarse redundantes, debido a que 
son estados absorbentes y por lo tanto, 
representan el total de estudiantes que 
hasta el momento han aprobado la 
asignatura o se han retirado del programa. 
 
Análisis de supuestos de la cadena de Markov 
 
A continuación se describe el 
procedimiento que se realizó para probar 
los supuestos de la cadena de Markov, 
tomando como ejemplo la asignatura de 
Cálculo diferencial. 
Las cadenas de Markov son procesos 
estocásticos que cumplen dos supuestos 
fundamentales: poseen probabilidades 
estacionarias y cumplen la propiedad de 
Markov. 
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Para que se cumpla la propiedad de 
probabilidades estacionarias, se requiere 
homogeneidad de las probabilidades de 
transición durante todos los periodos. Este 
supuesto es fundamental para poder 
soportar los cálculos de probabilidades de 
largo plazo. En particular, se debe cumplir 
que: 
 
 
 
(1) 
Para verificar esta propiedad se debe 
asegurar que la frecuencia de estudiantes 
en cada uno de los estados no sea 
dependiente del tiempo en el cual se toma 
la medición. Para esto se utilizó una 
prueba de independencia chi cuadrado. 
La tabla de contingencia debe probarse 
para cada una de las posibles transiciones 
 , sin embargo, debido a que en los 
estados son absorbentes, sólo se 
determinará la independencia entre los 
periodos académicos y las frecuencias de 
estudiantes que cambian de estado para 
cada una de las veces que se reprueba una 
asignatura. 
 
Tabla 5. Frecuencia de transiciones entre el estado 1 los demás estados para cada periodo 
Periodo 
2007-2 21 0 2 0 11 
2008-1 23 0 1 0 2 
2008-2 18 0 0 0 0 
2009-1 38 0 7 0 8 
2009-2 17 0 12 0 4 
2010-1 37 0 21 0 17 
2010-2 35 2 7 0 5 
2011-1 62 1 13 0 19 
2011-2 31 1 9 0 1 
 
En este caso se comparan las frecuencias 
de cada una de las transiciones para cada 
uno de los estados, y se debe asegurar que 
estas frecuencias puedan considerarse 
homogéneas a través de cada uno de los 
periodos. La prueba de independencia en 
este caso, compara las frecuencias 
absolutas encontradas en la muestra y las 
frecuencias esperadas cuando se asume 
independencia entre el periodo y las 
transiciones. En este caso el estadístico: 
 
 
 
 
 
 
 
 (2) 
 
Sigue una distribución chi cuadrado 
cuando el tamaño de muestra es lo 
suficientemente grande. Los resultados 
para todos los estados se presentan en la 
tabla no. 6. 
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Tabla 6. Resultados de la prueba de independencia entre periodos y transiciones 
Periodos 
2007-2 hasta 2011-2 <1% <1% <1% 
2009-1 hasta 2011-2 <1% <1% <1% 
2010 hasta 2011-2 >5% >5% >5% 
 
Los resultados indican que en los periodos 
posteriores a 2010-1, las frecuencias de 
transiciones son estadísticamente 
independientes del periodo. Es posible que 
para los periodos anteriores no exista 
homogeneidad, debido a los cambios que 
usualmente se presentan cada cierto tiempo en 
los currículos de las asignaturas. En este caso, 
si deseamos obtener estimaciones a largo 
plazo del comportamiento de las transiciones, 
debemos tener en cuenta únicamente los 
periodos del 2010 en adelante. 
Orden de la Cadena de Markov 
Se debe asegurar que las frecuencias de 
transición obtenidas cumplan con la principal 
característica de las cadenas de Markov, deben 
ser dependientes únicamente de su estado 
anterior. Para ello, se realizó una tabla de 
contingencia y una prueba de chi cuadrado 
para cada una de las matrices de frecuencias 
estipuladas en la Tabla 3. Los resultados de la 
prueba se presenta en la tabla no. 7. 
Los resultados de la prueba indican que se 
rechaza la hipótesis nula de la 
independencia entre los estados, por lo 
que se puede garantizar que los resultados 
obtenidos en un estado, dependen de su 
estado anterior. Esto puede resultar 
evidente, ya que la única forma de cursar 
la asignatura 2 veces es haberla cursado 1 
vez. 
Estimación de las matrices de transición 
Anderson y Goodman (1956), demostraron 
que para estimar las probabilidades de 
una cadena de Markov, es posible utilizar 
el enfoque de la maximización de la 
función de verosimilitud. Según los 
resultados, el estimador de máxima 
verosimilitud de cada probabilidad de la 
matriz de transición, está dada por: 
 
 
 
 
 (3) 
Es decir, el estimador es tan solo un 
cociente entre las frecuencias absolutas de 
cada estado de destino sobre el total de 
observaciones del estado de origen. Los 
resultados de las matrices de transición 
para las asignaturas de la tabla 2 son 
mostrados en las tablas 8, 9, 10 y 11. 
Tabla 7. Resultados de la prueba de 
independencia para garantizar la dependencia 
entre estados para cálculo diferencial 
Periodo 
2007-2 <1% 
2008-1 <1% 
2008-2 <1% 
2009-1 <1% 
2009-2 <1% 
2010-1 <1% 
2010-2 <1% 
2011-1 <1% 
2011-2 <1% 
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Tabla 8. Matriz de transición Cálculo Diferencial 
Cálculo 
Diferencial 
A 1 2 3 R 
A 100% 0 0 0 0 
1 68% 1% 17% 0 14% 
2 71% 0 1% 21% 7% 
3 89% 0 0 0 11% 
R 0 0 0 0 100% 
Tabla 9 Matriz de transición Cálculo Integral 
Cálculo Integral A 1 2 3 R 
A 100% 0 0 0 0 
1 75% 1% 15% 0 9% 
2 83% 0 0 8% 8% 
3 80% 0 0 0 20% 
R 0 0 0 0 100% 
Tabla 10. Matriz de transición Cálculo Integral 
Cálculo 
Vectorial 
A 1 2 3 4 R 
A 100% 0 0 0 0 0 
1 66% 4% 21% 0 0 9% 
2 70% 0 6% 22% 0 2% 
3 86% 0 0 0 14% 0 
4 100% 0 0 0 0 0 
R 0 0 0 0 0 100%Tabla 11. Matriz de transición Física Mecánica 
Física Mecánica A 1 2 3 4 R 
A 100% 0 0 0 0 0 
1 60% 0 32% 0 0 8% 
2 73% 0 0 16% 0 11% 
3 63% 0 0 0 21% 16% 
4 100% 0 0 0 0 0 
R 0 0 0 0 0 100% 
Ingeniería Industrial. 
Actualidad y Nuevas Tendencias 
 
 
Año 9, Vol. V, N° 16 
ISSN: 1856-8327 
 
Otero et al., Análisis de la retención de estudiantes… un enfoque de Cadenas de Markov, p. 7-18 
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Probabilidades al largo plazo 
A pesar de que las cadenas descritas 
anteriormente son absorbentes, es 
posible determinar cómo se estabilizan 
las probabilidades a largo plazo, de esta 
forma se puede encontrar la 
probabilidad de que un estudiante que 
está cursando la asignatura por primera 
vez, termine retirándose del programa. 
Esto permite identificar cuáles son las 
asignaturas que generan un mayor 
riesgo de deserción. 
Tabla 12. Probabilidades de retiro o 
aprobación al largo plazo 
Asignatura Probabilidad 
de aprobar 
Probabilidad 
de desertar 
Cálculo 
Diferencial 
84% 16% 
Cálculo 
Integral 
89% 11% 
Cálculo 
Vectorial 
90% 10% 
Física 
Mecánica 
88% 12% 
 
Es posible modelar el comportamiento 
de repetir una asignatura a través de 
cadenas de Markov discretas. Este tipo 
de modelamiento permite obtener las 
probabilidades estimadas de que un 
estudiante al cursar una asignatura, 
corra el riesgo de desertar y además, 
permite calcular las probabilidades por 
cada una de las veces que el estudiante 
pierde la asignatura. 
Según los resultados obtenidos, se 
puede apreciar que la asignatura que 
describe mayor deserción, es cálculo 
diferencial, con un total del 16% de los 
estudiantes que la cursan por primera 
vez. De igual manera, se recomienda a la 
Universidad realizar un 
acompañamiento personalizado a los 
estudiantes que están cursando Cálculo 
integral por tercera vez, debido a que, 
como se aprecia en la tabla no. 9, en 
promedio 1 de cada 5 estudiantes que 
están en esta situación, termina 
retirándose del programa académico. 
Para profundizar los resultados de este 
estudio se planea continuar con este 
análisis para las demás asignaturas del 
plan de estudios y se espera incrementar 
la base de datos incluyendo más 
periodos académicos y diferentes 
programas de ingeniería. 
Se pretende que los resultados de este 
estudio permitan profundizar el análisis 
que se realiza sobre la manera en que 
algunas asignaturas tienen un impacto 
mayor que otras dentro de la deserción 
de los estudiantes de Ingeniería. 
Además, las probabilidades de 
transición pueden convertirse en alertas 
tempranas para que la Universidad 
realice un seguimiento especial a 
aquellos estudiantes que tienen una alta 
probabilidad de retirarse del programa 
académico en un semestre específico. 
Finalmente, los resultados también 
pueden ser utilizados para un análisis 
descriptivo de los porcentajes de 
reprobaciones en las asignaturas del 
programa académico. 
CONCLUSIONES 
 
 
 
Ingeniería Industrial. 
Actualidad y Nuevas Tendencias 
 
 
Año 9, Vol. V, N° 16 
ISSN: 1856-8327 
 
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Autores 
Ricardo Fernando Otero Caicedo. Ingeniero Industrial. Pontificia Universidad Javeriana, 
Bogotá, Colombia. 
E-mail: r.otero@javeriana.edu.co 
Juan Carlos Palacios Caicedo. Ingeniero físico. Pontificia Universidad Javeriana, Bogotá, 
Colombia. Florida Institute of Technology, Florida, USA. 
E-mail: jpalacioscai2014@my.fit.edu. 
Stevenson Bolívar Atuesta. Ingeniero Industrial. Pontificia Universidad Javeriana, Bogotá, 
Colombia. 
E-mail: s_bolivar@javeriana.edu.co 
Recibido: 12-12-2015 Aceptado: 23-03-2016 
REFERENCIAS 
 
 
 
mailto:%20r.otero@javeriana.edu.co
mailto:%20j
mailto:s_bolivar@javeriana.edu.co