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VECTOR 
 
Es un elemento matemático, cuya representación convencional es por medio de un segmento de recta 
orientado, y caracterizado por poseer módulo, dirección y sentido. 
Ejemplo: El desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el torque, cantidad de movimiento, etc. 
 
ELEMENTOS DE UN VECTOR: 
 
a) Magnitud, valor, norma, intensidad o módulo: Este elemento está representado gráficamente por la 
longitud del vector, incluyendo su unidad, es decir a mayor longitud el vector tendrá mayor valor. 
 
b) Dirección: Este elemento está definido por el ángulo medido en sentido antihorario desde un eje de 
referencia hasta la línea de acción del vector. 
 
c) Sentido: Es la orientación que tiene el vector en la línea de acción. 
 
d) Origen o punto de aplicación: Está determinado por el punto de origen O del segmento que forma el 
vector. 
 
 
REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y SÍMBOLO: 
Vector A : 
→
A 
Módulo del 
→
A : |
→
A | = A 
Dirección del 
→
A : θ 
Origen del 
→
A : O 
 
 
 
 
 
 
 
TIPOS DE VECTORES: 
 
Vectores colineales: Son aquellos que se encuentran sobre la misma línea de acción. 
 Tienen por tanto la misma dirección, pero no siempre el mismo sentido. 
 
 ⇒ 
→→
= AkB 
 
→→
= A'kC 
 
Donde k y k´ son números reales de signos opuestos. 
 
Vectores paralelos: Son aquellos que se encuentran sobre líneas de acción paralelas. 
 Tienen por tanto la misma dirección, pero no siempre el mismo sentido. 
 
→→→
CBA //// 
⇒ 
→→
= AkB 
 
→→
= A'kC 
Donde k y k´ son números reales de signos opuestos. 
V e c t o r e s 
 
 
 
 
 
23 
 
 
Vectores iguales: Son aquellos que tienen igual magnitud, igual dirección e igual sentido. 
 
→→
= BA 
→→
= BA 
 
 
 
 
 
Vectores opuestos: Son aquellos que tienen igual magnitud, igual dirección, pero sentido contrario. 
 
 
→→
−= AB 
 
 
→→
= BA 
 
 
 
Vectores coplanares: Son aquellos que están contenidos en un mismo plano. 
 
 A contenido en el plano P
→
 
 B contenido en el plano P
→
 
 C contenido en el plano P
→
 
 
 
 
Vectores Concurrentes: Son aquellos que tienen un origen común, o, cuando al extrapolar sus líneas de acción se 
cortan en un mismo punto. 
 
 
⇒ 
→→→
≠≠ CBA 
 
 
 
 
 
 
Vectores ortogonales: Son aquellos cuyas líneas de acción forman entre si un ángulo recto. 
 
 
 
→→
⊥ BA 
 
 ⇒ tg θA . tg θB = -1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
Vectores fijos: Son aquellos que tienen un punto de aplicación fijo. Ejm.: fuerza, desplazamiento, vector 
posición, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vectores libres: No tienen su origen O fijado en ningún punto en particular. 
 
Vectores rotatorios: Es aquel vector que gira en el plano XY en sentido horario o antihorario, con su origen 
fijo situado en el origen de coordenadas O. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vectores deslizantes: Son vectores que actúan sobre una misma recta. Esto es, pueden deslizarse sobre una 
misma recta. Ejm.: velocidad, aceleración, velocidad angular, etc. 
 
 
OPERACIONES VECTORIALES: 
 
 Por ser los vectores elementos matemáticos se pueden realizar operaciones con ellos, así por ejemplo 
dos vectores se pueden sumar, restar, multiplicar, etc. En este libro, sólo contemplaremos la Adición (Suma) y 
Sustracción (Diferencia) de vectores. 
 
 Dado que los vectores poseen magnitud, dirección y sentido, es que se emplean métodos gráficos y 
métodos analíticos para realizar estas operaciones. Así: 
X 
Y 
 
O 
θ 
Y 
X 
 
O 
 
 
 
 
 
25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→→→
+= BAR 
→→→
+= BAR 
 
→→→
−= BAD 
→→→
−= BAD 
Se utiliza para sumar o restar los Se utiliza para sumar o restar los 
vectores de dos en dos. vectores de dos en dos. Permite obtener el módulo del vector 
→→→→→
+++= DCBAR suma (
→
R ) y del vector diferencia (
→
D ) 
 
→
R se denomina vector suma o vector resultante. 
OPERACIONES CON VECTORES 
MÉTODO DEL 
POLÍGONO 
 
MÉTODOS GRÁFICOS 
 
MÉTODO ANALÍTICO 
 
MÉTODO DEL 
TRIÁNGULO 
 
SUSTRACCIÓN 
 
ADICIÓN 
 SUSTRACCIÓN 
 
ADICIÓN 
 
MÉTODO DEL 
PARALELOGRAMO 
 
SUSTRACCIÓN 
 
ADICIÓN 
 
Utilizado para 
sumar más de 
dos vectores 
sin necesidad 
de agruparlos 
de dos en dos. 
 
 
LEY DE COSENOS 
 
 
 
 
 
26 
 
¡DEBO RECORDAR! 
 
Para 2 vectores de igual módulo, obtener el 
valor del vector suma (R) es muy sencillo, 
sobre todo para algunos ángulos notables, 
sólo basta aplicar la siguiente tabla: 
 
A B θ R 
X X 60º X 
X X 90º X 
X X 120º X 
R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPIEDADES REFERIDAS A LAS OPERACIONES VECTORIALES: 
 
a) Resultante máxima y mínima 
 
• Cuando dos vectores forman 0° entre sí, el módulo de su resultante será máxima. 
 
 
Rmáx = A + B 
 
 
• Si el ángulo que forman es 180°, el módulo de su resultante será mínima. 
 
 
Rmín = A - B 
 
 
b) Respecto a la suma y diferencia de 
→→
ByA 
 
 Si 
→→
+= BAR y 
→→
−= BAD , entonces: 
 
 1. A B B A
→ →→ →
− = − y A B B A
→ →→ →
+ = + 
 
 2. Si 
→
A es perpendicular a 
→
B ⇒ 
→→→→
−=+ BABA 
 
 
Rmáx 
 
 
Rmín 
 
 
 
 
 
27 
 
x 
y 
z 
 
c) Multiplicación de un vector por un escalar: Cuando dos vectores 
→
A y 
→
B son colineales o paralelos, 
entonces uno de ellos se puede escribir en función del otro, y viceversa. Así: 
 
→→
= AkB 
1. Si el escalar k es positivo o negativo, la dirección no cambia. Sólo se invierte el sentido en el caso 
que sea negativo. 
 
2. Si el valor del escalar k es mayor o menor que 1, el módulo del vector aumenta o disminuye 
respectivamente. 
 
d) Ley de senos: 
Si 
→
A , 
→
B y 
→
C son tres vectores que forman un triángulo, entonces se cumple la siguiente relación entre los 
módulos de dichos vectores: 
 
 
 
γβα sen
C
sen
B
sen
A
== 
 
 
 
 
Dónde: 
→
A , 
→
B y 
→
C , serán necesariamente vectores coplanares. 
 
VECTOR UNITARIO 




 ∧
µ 
 
 
 Para comprender el concepto de vector unitario, veamos el siguiente ejemplo en donde 
consideraremos un sistema referencial XYZ para representar el desplazamiento de una alumna 
cuando ésta se dirige desde su casa hasta el CPU. Primero imaginemos que la alumna camina 
600m a lo largo del eje X+, a continuación 200 m sobre el eje Y+, y por último 300 m en 
dirección del eje Z+; nuestro interés es encontrar un modelo capaz de describir al detalle el 
desplazamiento de esta dedicada estudiante. 
 
Es aquí que introducimos el concepto de vector unitario, para ayudarnos en nuestro cometido. Definimos el 
vector unitario como: 
 
Es un vector utilizado generalmente para indicar una dirección referencial, y se caracteriza porque su 
módulo es la unidad (1), frecuentemente se llama también versor o vector normalizado. Así: 
A
A
→
∧
=µ 
 donde: 1=
∧
µ 
 
 
 
 
 
Podemos deducir entonces, que todo vector puede 
representarse multiplicando su módulo, por su vector unitario de 
dirección referencial. 
 Así: 
∧→
= µAA 
 
 
 
 
 
28 
 
Propiedades: 
ü Existen dos versores asociados al vector 
→
A , uno en la dirección de 
→
A y otro opuesto a el. 
ü Dos vectores paralelos, tienen el mismo versor. 
ü No existe el versor del vector nulo 
→
0 . 
ü La suma vectorial de dos versores da como resultado un vector no versor. 
ü El producto escalar de dos versores da como resultado un numero real, que puede ser: 0,1 0 -1. 
ü El producto vectorial de dos versores da como resultado otro versor, perpendicular a ambos. 
 
Nota: 
Al proceso de obtener un versor asociado a un vector se le llama normalización del vector, razón por la 
cual es común referirse a un vector unitario como vector normalizado. 
 
Un caso particular de vectores unitarios son los que representan la dirección de los ejes X+, Y+ y Z+ designadospor 
∧∧∧
kyj,i respectivamente. 
 
 De esta manera, en el ejemplo dado inicialmente, se puede 
representar su desplazamiento como 600
∧
i m, 200
∧
j m y 300
∧
k m, 
respectivamente. 
 
 Así agregando las direcciones en las que se ha desplazado esta 
alumna una tras otra obtenemos: (600
∧
i + 200
∧
j + 300
∧
k m). 
 
Notemos que a pesar que 1kji ===
∧∧∧
 se cumple que 
∧∧∧
≠≠ kji , puesto 
que actúan en direcciones diferentes perpendiculares mutuamente entre sí. 
 
Así, de manera general, tomando como referencia los vectores 
unitarios 
∧∧∧
kyj,i , todo vector en el espacio se puede escribir: 
 
∧∧∧→
++= kAjAiAA ZYX 
donde: 
→
XA =AX 
∧
i = componente rectangular de 
→
A en la dirección del eje X 
→
YA =AY 
∧
j = componente rectangular de 
→
A en la dirección del eje Y 
→
ZA =AZ 
∧
k = componente rectangular de 
→
A en la dirección del eje Z 
 
y de módulo: 2Z
2
Y
2
X AAAA ++= 
 
 
¡ATENCIÓN! 
 
Es usual escribir también como: ( )ZYX A,A,AA =
→
 para referirse al vector 
→
A . 
 
 
 Con esta forma de expresión vectorial, resulta muy práctico sumar o restar vectores. Por ejemplo, si 
definimos los vectores: 
∧∧∧→
++= kAjAiAA ZYX y 
∧∧∧→
++= kBjBiBB ZYX , entonces: 
 ( ) ( ) ( )
∧∧∧→→
+++++=+ kBAjBAiBABA ZZYYXX , y 
 ( ) ( ) ( )
∧∧∧→→
−+−+−=− kBAjBAiBABA ZZYYXX 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Caso particular: 
 
Una situación sencilla se presenta cuando AZ = 0; en estas 
condiciones el vector se encontrará en el plano XY, y su expresión 
simplificada será: 
∧∧→
+= jAiAA YX 
con módulo: 2Y
2
X AAA += 
 
y dirección: 





= −
X
Y1
A
Atgθ 
pagina 54 
 
Producto escalar: 
Dados dos vectores �� y ���, su producto escalar o interno se representa por ��.��� y se define como el producto 
de sus módulos por el coseno del ángulo “θ” que forman, esto es: 
 
 
 
 
 
 0	� � � � 
 
El resultado de ��.���	es un escalar, es decir un número. 
Propiedades: 
1) ��.��� =	���.�� 
2) ��.(���+��) = ��.���+��.�� 
3) m(��.���) = (m��).���=��.(m���) 
4) �̂.�̂ = �̂.�̂ = ��.�� = 1 
5) �̂.�̂ = �̂.�� = �̂.�� = 0 
6) Dados: �� = ����+����+����� 
 ��� = ����+����+����� 
Se verifica que: 
• ��. ��� = ����+����+���� 
• ��.�� = ���+���+��� = �� 
• ��.�� = ���+���+��� = �� 
7) Si ��.��� = 0 y ninguno de los vectores es nulo, entonces, ambos son perpendiculares entre si. 
Producto Vectorial: 
Dados dos vectores �� y ���, su producto vectorial o externo se representa por ��x��� y se define como el 
producto de sus modulos por el seno del angulo “�” que forman, esto es: 
 
 
 
 0� � � � 
 
 
 
Siendo �� un vector unitario que indica la dirección del producto ��x���. 
Si, �� = ���, o bien si �� tiene la misma dirección que ���, sen� = 0, con lo que ��x���	= 0��. 
��.���=ABcos� 
�� 
��� 
� 
�� x ��� = ABsen� �� 
�� 
��� 
 
� 
��	�	���		 
�� 
 
 
 
 
 
30 
 
Propiedades: 
1) ��x��� = -���x�� 
2) ��x(���+��) =��x���+��x�� 
3) m(��x���) = (m��)x ��� = ��x (m���) 
4) �̂x�̂ = �̂x�̂	= ��x�� = 0� 
5) �̂x�̂ = ��; �̂x�� = �̂; ��x�̂ = �̂ 
6) Dados: �� = ���̂+ ���̂+ ���� 
 ��� = ���̂+ ���̂+ ���� 
Se verifica que: 
������� �
�̂ �̂ ��
�� �� ��
�� �� ��
� 
7) El módulo de ��x��� representa el área del paralelogramo de lados ���� y �����. 
8) Si ��x��� = 0�� y ninguno de los vectores es nulo, ambos tienen la misma dirección. 
Proyección y componentes de un vector: 
 
• Proyección de un vector 
La proyección ortogonal del vector �� sobre el vector ���, viene dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
��������� = ( 
���.���
�����
�)��� , ���� 0�� 
 
Como se aprecia la proyección de �� sobre ��� es un vector. 
• Componente de un vector 
La componente del vector ��	en la dirección del vector ���, viene dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
La componente de �� en la dirección de ��� es un escalar. También, se cumple: 
��������� = ��� ������
���
�����
 
 
 
 
 
 
 
 
��� 
�� 
� 
��������� 
��� 
�� 
� 
��� ������ 
 
 
 
 
 
31 
 
Ejemplos ilustrativos: 
1. Se tiene dos vectores: 
 
→
a = (3 ; 4) µ y 
→
b = (-8 ; 6) µ; respecto a las siguientes afirmaciones marcar falso (F) o verdadero (V), 
donde corresponda. 
 
I) 
→
a y 
→
b son ortogonales y coplanares ( ) 
II) |
→
a + 
→
b | = 5 3 µ ( ) 
III) |
→
a - 
→
b | = 5 5 µ ( ) 
IV) La dirección de 
→
b con respecto al eje x+ es 143° ( ) 
V) El vector unitario de la resultante es 
5
5 (-1 ; 2) ( ) 
VI) El ángulo que forma 
→
a + 
→
b y 
→
a - 
→
b es 135° ( ) 
 
 
a) FVVVF b) VFVFV c) VFFVF d) VFVVF e) VFVVV 
 
Solución: 
 
Graficando los vectores en el plano XY: 
 
I) Es verdadero (del gráfico) 
 
II) 
→
a + 
→
b = (-5 ; 10) 
 |
→
a + 
→
b | = 55105 22 =+ 
 
∴ Es falso 
 
III) 
→
a - 
→
b = (11 ; -2) 
 |
→
a - 
→
b | = 554121211 22 =+=+ 
 
∴ Es verdadero 
 
IV) Es verdadero (del gráfico) 
 
V) 
→
µ = )2;1(
55
5
55
)10;5(
|ba|
ba
R
R
−=
−
=
+
+
=
→→
→→→
 
 
→
µ = )2;1(
5
5
− 
 
∴ Es verdadero 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
VI) Graficando: 
 
→→→
+= baA A = 5 5 µ 
 
 
→→→
−= baB B = 5 5 µ 
 
 
→→
ByA se bisecan 
 
a = 5 µ y b = 10 µ 
 
 
Trabajando con: 
 
R2 = θ−




+




 Cos
2
Bx
2
A2
2
B
2
A 22 
 
100 = θ−+ Cos
4
125x2
4
125
4
125 
 
R = 10 
Cos θ = -3/5 ⇒ θ = 127° 
 
∴ Es falso 
 
 Rpta. d 
 
2. Los puntos A, B, C y D determinan un cuadrado. 
Escribir el vector 
→
x en función de los vectores 
→→
bya . 
 
 a) 





+
→→
ba2 b) 





+
→→
ba
2
2 
 c) 
2
ba
→→
+ d) 
3
ba
→→
+ 
 e) 




 +
→→
ba
3
2 
 
Solución: 
 Comparando los gráficos. El vector 
→
x es colineal con el 
vector suma 





+
→→
ba . 
 
a bx
x a b
→→→
→
→ →→
+
µ = =
+
 
 
2L
ba
L
x
→→→
+
= 
θ 
 
 
 
O 
. 
. 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 ∴ )ba(
2
2x
→→→
+= Rpta. b 
3. Los puntos P, Q, R y S determinan un cuadrado donde M y N son 
puntos medios de PQ y QR respectivamente. Relacionar el 
vector 
→
x con los vectores 
→→
bya . 
 
 a) 
5
ba
→→
+
 b) 
10
ba2
→→
+
 c) 
5
b3a2
→→
+
 
 d) 
10
b2a3
→→
+ e) 
15
b2a
→→
+ 
 
 
Solución: 
 
 Los triángulos SPM y PQN son congruentes. 
 
 Luego: 
 α + β = 90° 
 
 
 Los triángulos rectángulos POM, POS y MPS son semejantes, 
cuyos lados están en la razón de 1 a 2. 
Luego: 
 
 |
→
PO | = 2 |
→
OM | y | |x|4|SO
→→
= 
 
 Método del polígono, en el ∆SPM: 
 
2
bax5
→
→→
+= 
 
∴ 
10
)ba2(
x
→→
→ +
= 
 
Rpta. b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
Donde: 
X= longitud 
V= velocidad 
 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
MAGNITUDES FÍSICAS Y VECTORES 
 
1. En el estudio del MRUV, se utilizan las cantidades físicas: desplazamiento, longitud, 
velocidad, aceleración y tiempo; que cantidades físicas son vectoriales: 
a. Velocidad y aceleración 
b. Desplazamiento, velocidad y aceleración 
c. Desplazamiento y aceleración 
d. Longitud y velocidad. 
e. Todas. 
 
2. Calcular el valor numérico de: 
A. 
�	���� ���������
�������� ����
 B. 
�� �����������
��� ����������
 
a. 6�10���; 2,5�10�� b. 6�10���; 	2,5�10�� c. 6�10���; 2,5�10��� 
 d. 6�10��; 2,5�10�� e. 6�10���; 2,5�10�� 
 
3. En la siguiente expresión dimensionalmente correcta, calcular X,Y,Z. 
P � 2x�� . log	� � Yd �	�� 
 
Donde: P= presión; t= tiempo; d= densidad; F= fuerza. 
a. ���� ��� b. ���� ��� c.��� ���� d. �� ���� e. ���� ��� 
 
4. En la siguiente expresión dimensionalmente correcta, calcular la dimensión de K 
 �� � 2 ��
�
�√�� � �� � ��2 donde: 
 � � ����������; 			� � � ����, � � ���������� 
a. �� � b. LM c.	� � d.	���� e. ����� 
 
5. En la ecuación dimensionalmente correcta, calcular la dimensión de R: 
� � ��6�� � ������ � 4����� �		���� 
 
a. �� b. � � c.�� d.���� e. ����� 
 
6. En la ecuación dimensionalmente correcta, calcular la dimensión de P: 
VP�√K� �x		 ��		 ��		 √⋯ ∞�
��
n
 
a. ����� b. ������ c. �
�� �
� . � d. �
���
�� �. � e. ���� 
 
 
 
 
 
35 
 
Donde: F= fuerza 
 � = 45° 
7. Calcular la ecuación dimensional de A (A, B y K son magnitudes físicas): 
���� � � ���� ��� � � � � 
 
a. �� �� b. ���� ����� c. ��� ���� d. ���� ���� e. ��� ��� 
 
 
8. Convertir: a) 50cm3 a litros b) 20 litros a dm3 
a. 6�10�; 2 b. 50; 20 c. 5; 2 d. 5�10��; 20 e. 0,5; 2 
 
9. Determinar el ángulo sólido registrado: 
a)Por una semiesfera b) Por el vértice de un cubo (en sr) 
a. 2�	;	 �
�
 b. �
�
	 ; 	�	 c. 2�	; 	� d. �	; 	4� e. �	; 	� 
 
10. En la relación de unidades físicas: 
I) Kwh II) Amperio III) Voltio IV) Ergio V) Atmosfera x litro 
Son unidades de energía: 
a. I y IV b. II y V c. Solamente IV d. I, IV,V e. Todos 
 
11. La resultante de 2 vectores, varía al girar uno de ellos; si el mínimo módulo de la 
resultante es 2u y la máxima 14u. Calcular el módulo de la resultante, cuando los 
vectores forman un ángulo de 120° 
a. 5√13� b. 3√13� c. 2√13� d. 7√7� e. √13� 
 
12. Se tiene 2 vectores de módulos 6u y 4u. ¿Qué valor no puede ser su resultante? 
a. 6,5u b. 3,2u c. 8,7u d. 10,2u e. 4,2u 
 
13. ¿Cuál (o cuáles) de los siguientes diagramas son correctos? 
 ��� �� 
I) ��� ��� ��� II) �� ��� �� III) ��� �� 
 �� �� 
a. Solo I b. I y III c. Solo II d. Solo III e. I y II 
 
14. Calcular la dirección del vector ���� 6�	��� 8�	��� 
a. �
�
��� 	 �
�
�� b. �
�
��� �
�
�� c. ��� 2�� d. 2��� 	2�� e. �
�
��� 	 �
�
�� 
 
 
15. Calcular �� en función de los vectores ��	�	��� 
Si ��
��
� �
�
 ; ��
��
	 � �
�
 
 B �� 
a. ����	���
��
��
 b. �����	����
��
��
 c. �����	���
��
��
 Q 
 
 
 
 
 
36 
 
 �� ��� 
d. �����	����
��
��
 e. ����	���
��
��
 A P C 
 
 
 
16. En la figura, calcular el módulo del vector resultante, si: 
� � 2√3�; 							� � 10�	; 						� � 4�; 						� � 10√2� 
 ��� 
a. √2� b. 2√2� c. 2� �� 
 d. 3√2� e. 
√��
�
 �� 
 
 ���� 
 
17. En la figura, calcular “	∝”, para que la 
resultante de los vectores sea mínima; ��� �� 
si B=20u ; C=40u. 
 
a. 8° b. 10° c. 15° �� 
d. 22° e. 25° 
 
18. En el siguiente conjunto de vectores, B=2u; C=3u; D=5u; calcular el módulo del vector 
resultante. 
a. 2√17� b. 2√19� c.	3√17� ��� �� 
d. √19� e.	2� ���� �	���� 
 
 
19. En el conjunto de vectores; calcular el módulo del vector resultante: 
a. 10√3� b. 3√3� c. 7√3� 10u 
d. √3� e. 5√3� 8u 
 6u 
 
20. Calcular el ángulo entre 2 vectores de módulos 4 y 5 unidades, si el módulo de su 
diferencia es 5 unidades. 
a. 30° b. arcocos ��
�
� c. arcotan �√��
�
� d. arcosin �
�
 e. 37° 
 
37
° 
30° 
45
° 
y 
x 
70° 
10° 
23° 
y 
x 
� 
20° 
20°