BertJanssen-RelatividadGeneral-107

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Capı́tulo 7
Conexión afı́n y curvatura
En mi vida he trabajado tan duramente: he llegado a tener un gran respeto por las matemáti-
cas, cuyas partes más sutiles habı́a considerado hasta ahora ingenuamente como puro lujo.
Comparado con este problema, la teorı́a original de la relatividad [especial] es un juego de
niños.
(A. Einstein 1912, en una carta a A. Sommerfeld)
En los siguientes dos capı́tulos entraremos en el corazón de la matemática de tensores: la
geometrı́a diferencial o el cálculo de tensores. El problema central que de trata aquı́ es cómo
construir operadores diferenciales en variedades arbitrarias de una manera covariante y cómo
definir la curvatura de una variedad. En este capı́tulo trataremos el problema en toda generali-
dad, para conexiones arbitrarias, y en el Capı́tulo 8 miraremos especı́ficamente a la conexión de
Levi-Civita, relevante para la relativida general.
7.1. Transporte paralelo y la conexión afı́n
Ya hemos visto en la sección 6.2 que hay sutilezas que aparecen cuando dejamos actuar el
operador diferencial ∂µ = ∂/∂x
µ sobre vectores y tensores en un sistema de coordenadas cur-
vilı́neas en RN . Al variar de punto en punto la dirección de los vectores de base |eµ〉, aparecieron
de manera natural los sı́mbolos de Christoffel Γρµν , como las derivadas de éstos. Ahora veremos
que este problema no sólo se pone en RN , pero en general en cualquier variedad equipada con
coordenadas curvilı́neas y daremos una descripción independiente de una base y con un poco
más de rigor matemático.
De manera análoga al caso de las transformaciones ortogonales, se puede demostrar a través
de la regla de la cadena que la derivada de un campo escalar ∂µφ ≡ ∂φ/∂xµ transforma como un
vector covariante bajo cambios generales de coordenadas,
∂αφ =
∂φ
∂yα
=
∂φ
∂xµ
∂xµ
∂yα
=
∂xµ
∂yα
∂µφ. (7.1)
Por otro lado, con la definición del operador ∂µ hay que tener un poco más de cuidado. Dado que
en las coordenadas xµ no transforman como un vector bajo cambios generales de coordenadas,
la cantidad xµ no es el dual de x
µ y el operador ∂/∂xµ no está bien definido. Lo más sencillo es
definir el operador dual a ∂µ como ∂
µ ≡ gµν∂ν . Está claro entonces que ∂µφ se comporta como
un vector contravariante.
Sin embargo, la derivada parcial de un vector o un tensor no transforma bien bajo cambios
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	II Geometría Diferencial
	Conexión afín y curvatura
	Transporte paralelo y la conexión afín