BertJanssen-RelatividadGeneral-112

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Vemos por lo tanto que Γρµν no se comporta como un tensor de rango (1, 2), debido al segundo
termino de la derecha. En ciertomodo esto era de esperar: si exigimos que∇µV ρ transforme como
un tenor y sabemos que ∂µV
ρ no lo hace, es preciso que los Γρµν transformen con un término
no-tensorial que cancela el término no-tensorial en la transformación de ∂µV
ρ. Obsérvese sin
embargo, que el término no-tensioral de las reglas de transformación (7.15) es independiente de
Γρµν , de modo que la diferencia K
ρ
µν = Γ
ρ
µν − Γ̃ρµν entre dos conexiones sı́ transforma como un
tensor.
En la sección anterior hemos visto en R2 que en coordenadas cartesianas los Γkij son todos
cero, mientras en coordenadas polares los Γρµν en general no lo son. Esto es una consecuencia del
carácter no-tensorial de la conexión. Si los Γρµν transformase como un tensor y todos los com-
ponentes fueran cero en coordenadas cartesianas, serı́an también cero en todos los sistemas de
coordenadas, lo que obviamente no es el caso.
En (7.9) hemos construido la derivada covariante de un vector contravariante V µ. Para ver
cómo actúa la derivada covariante en un vector covariante Wµ, es suficiente darnos cuenta de
que la derivada covariante de un escalar φ es simplemente la derivada parcial:
∇µφ = ∂µφ. (7.16)
Podemos por lo tanto construir un escalar φ de la contracción de un vector covariante y uno
contravariante φ = WµV
µ y exigir que la derivada covariante actuando sobre φ es lo mismo
que la derivada parcial. Supongamos que la derivada covariante de Wµ es de la forma ∇µWν =
∂µWν + Γ̃
ρ
µνWρ, donde los N
3 funciones Γ̃ρµν quedan por determinar. Entonces tenemos que
∇µ(WνV ν) = (∇µWν)V ν + Wν(∇µV ν)
= (∂µWν + Γ̃
ρ
µνWρ)V
ν + Wν(∂µV
ν + ΓνµρV
ρ)
= ∂µ(WνV
ν) + Γ̃ρµνWρV
ν + ΓρµνWρV
ν
≡ ∂µ(WνV ν). (7.17)
Esto claramente sólo puede ser verdad si Γ̃ρµν = −Γρµν , o en otras palabras, si la derivada cova-
riante actuando sobre un vector covariante es de la forma
∇µWν = ∂µWν − ΓρµνWρ. (7.18)
Sabiendo cómo actúa una derivada covariante sobre vectores co- y contravariantes, podemos
definir cómo actúa sobre de rango (1, 1) si construimos un tensor Tµ
ν = VµW
ν . No es difı́cil ver
que la derivada covariante viene dada por
∇ρTµν = ∂ρTµν − ΓλρµTλν + ΓνρλTµλ. (7.19)
En otras palabras, la derivada covariante actuando sobre un tensor de rango (1, 1) es la derivada
parcial más un término de corrección por cada ı́ndice, con los signos apropiados según el caso.
En general entonces la derivada covariante de un tensor de rango (m, n) viene dada por
∇ρT µ1...µm ν1...νn = ∂ρT µ1...µm ν1...νn + Γµ1ρλT λµ2...µmν1...νn + . . . (7.20)
+ Γµmρλ T
µ1...µm−1λ
ν1...νn − Γλρν1T
µ1...µm
λν2...νn − . . . − ΓλρνnT
µ1...µm
ν1...νn−1λ.
Por último, dada una curva xµ(τ) en la variedad, entonces un tensor T µ1...µmν1...νn es transpor-
tado paralelo a lo largo de la curva, si la derivada covariante del tensor a lo largo de la curva es
cero,
uρ∇ρT µ1...µmν1...νn = 0, (7.21)
donde uµ = dxµ/dτ es el vector tangente a la curva xµ(τ).
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