BertJanssen-RelatividadGeneral-117

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En general en tensor de Ricci no es simétrico, puesto que la parte antisimétrica toma la forma
(ejerc.)
Rµν − Rνµ = Rµνρρ −∇ρT ρµν −∇µT ρνρ + ∇νT ρµρ − T λµνT ρλρ (7.38)
Veremosmás adelante que las fórmulas (7.34), (7.35) y (7.38) se simplicifarán mucho si trabajamos
con la conexión de Levi-Civita.
Contrayendo los dos ı́ndices del tensor de Ricci, se obtiene el escalar de Ricci o el escalar de
curvatura:
R = gµνRµν . (7.39)
Como dice el nombre, el escalar de Ricci es un escalar y por lo tanto un invariante bajo cambios
generales de coordenadas.
Finalmente, un tensor que juega un papel importante en la relatividad general es el tensor de
Einstein, construido del tensor de Ricci, el escalar de Ricci y la métrica como
Gµν = Rµν −
1
2
gµνR. (7.40)
Igual que el tensor de Ricci, el tensor de Einstein en general no es simétrico. Por otro lado contra-
yendo la segunda identidad de Bianchi (7.35) con δρλg
µσ obtenemos la identidad
2∇µGνµ + 2T ρµν Rρµ + T λµρ Rνλµρ − ∇ρgµλ
[
δρµ Rνλ + δ
ρ
ν Rµλ + Rµνλ
ρ
]
= 0. (7.41)
También esta identidad simplifica mucho con la elección de Levi-Civita y jugará un papel impor-
tante a la hora de construir las ecuaciones del campo gravitatorio.
7.6. Geodésicas afines y métricas
En RN las rectas son curvas especiales por dos razones distintas. La primera razón es que una
recta es la curva más corta entre dos puntos p y q. La segunda es que es la única curva donde el
vector tangente está transportado paralelamente a si mismo a lo largo de la curva. En esta sección
veremos cómo podemos generalizar cada uno de estos conceptos a variedades más generales.
Una primera observación es que en principio las dos propiedades de las rectas en RN no
tienen nada que ver el uno con el otro. Una habla de la distancia entre dos puntos, mientras
que la otra de paralelismo, y necesitamos dos conceptos matemáticas distintos para definirlos: la
métrica para distancias y ángulos y la conexión afı́n para definir lo que entendemos por paralelo.
No es de extrañar entonces que podemos generalizar el concepto de la recta en RN de dos ma-
neras distintas a espacios arbitrarios: una, a través de la métrica, como la curva que minimiza la
distancia entre dos puntos y la otra, a través de la conexión, como la curva cuyo vector tangente es
(covariantemente) constante. En general, para conexiones arbitrarias estas dos generalizaciones
resultarán en curvas distintas.
Consideramos primero la generalización de la segunda caracterı́stica: una geodésica afı́n es
aquella curva xµ(τ), cuyo vector tangente uµ = ẋµ(τ) = dxµ/dτ esté transportado paralela-
mente a si mismo a lo largo de la curva. En otras palabras, las geodésicas afines son las curvas
más “rectas” que podemos definir en una variedad arbitraria. Con (7.21) vemos entonces que las
geodésicas afines están definidas por la ecuación
uν∇νuµ = 0 (7.42)
Usando que uν∂ν = d/dτ es la derivada (parcial) direccional en la dirección de la curva, podemos
escribir esta ecuación como una ecuación diferencial para xµ(τ):
ẍµ + Γµνρẋ
ν ẋρ = 0. (7.43)
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	II Geometría Diferencial
	Conexión afín y curvatura
	Geodésicas afines y métricas