BertJanssen-RelatividadGeneral-119

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donde en la segunda igualdad hemos usado que dgµν(x(τ))/dτ = ∂ρgµν ẋ
ρ y en la última igualdad
hemos definido los sı́mbolos de Christoffel
{ρµν} = 12 g
ρλ
[
∂µgλν + ∂νgµλ − ∂λgµν
]
. (7.49)
Por otro lado, el lado derecho de (7.47) da
2
δL
δẋµ
dL
dτ
= 2
gµν ẋ
ν
√
gµν ẋµ xν
d
dτ
( ds
dτ
)
= 2L−1 gµν ẋ
ν d
2s
dτ2
= 2gµλ ẋ
λ
(
s̈
ṡ
)
. (7.50)
Sustituyendo los dos lados en (7.47) y multiplicando con gσµ, vemos que la ecuación de Euler-
Lagrange se reduce a
ẍσ + {σνρ} ẋν ẋρ = ẋσ
(
s̈
ṡ
)
. (7.51)
Nótese que el lado izquierdo de esta ecuación contiene sólo cantidades geométricas (las coorde-
nadas de la curva y las componentes de la métrica), mientras que el lado derecho depende de
la parametrización particular de la curva. Esta última no tiene significado fı́sico (geométrico) y
siempre podemos elegir una parametrización lineal de la curva, s(τ) = τ + a, de modo que el
lado derecho es cero y la ecuación (7.51) se reduce a
ẍσ + {σνρ} ẋν ẋρ = 0. (7.52)
Obviamente se puede usar cualquier otra parametrización, siempre y cuando se usa (7.51) en
ese caso. Como la parametrización de la curva no tiene significado intrı́nsico, las dos ecuaciones
(7.51) y (7.52) describen la misma curva en la variedad.
Finalmente, paramétricas lorentzianas existen tres tipos de geodésicas: temporales, espaciales
y nulas, dependiento si la distancia entre los puntos p y q es temporal, espacial o nula. En el caso
de que la geodésica es temporal, el parámetro τ tiene la interpretación del tiempo propio de la
partı́cula que viaja a lo largo de la geodésica. Si la geodésica es espacial o nula, el paramétro τ
no tiene un significado fı́sico especial. Para distinguir los tres casos hay que añadir a (7.52) una
ecuación más que especifica el tipo de geodésica a través del vector tangente a la curva:
gµν ẋ
µ ẋν = ε, donde ε =



1 si xµ(τ) es temporal,
0 si xµ(τ) es nulo,
−1 si xµ(τ) es espacial.
(7.53)
En el siguiente capı́tulo veremos como la diferencia entre geodésicas afines y métricas desa-
parece al usar la conexión de Levi-Civita.
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