BertJanssen-RelatividadGeneral-121

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Primero la compatibilidad de la métrica implica que el producto escalar entre dos vectores es
invariante bajo transporte paralelo de los vectores. Si transportamos dos vectores V µ y Wµ de
manera paralela lo largo de una curva xµ(τ),
uµ∇µV ν = 0 = uµ∇µW ν , (8.2)
con uµ = ẋµ el vector tangente a la curva, entonces el producto escalar gµνV
µW ν cambia como
resultado del transporta paralelo como
uµ∇µ(gνρV νW ρ) = uµ∇µgνρ V ν W ρ + gνρ uµ∇µV ν W ρ + gνρ V ν uµ∇µW ρ
= uµ∇µgνρ V ν W ρ, (8.3)
donde en la segunda igualdad hemos usado que bajo transporte paralelo a lo largo de la cur-
va V µ y Wµ cumplen (8.2). Vemos por lo tanto que el producto escalar es invariante, es decir
uµ∇µ(VρW ρ) = 0, para cualquier curva xµ(τ) y cualesquiera dos vectores V µ y Wµ, sólo si la
conexión es compatible con la métrica. Nótese que la condición de compatibilidad con la métrica
es una condición más bien fı́sica que matemática, puesto que implica que la norma de un vector
no cambia al hacer transporte paralelo a lo largo de una curva, algo que se espera por razones
fı́sicas.
La segunda ventaja de la compatibilidad con la métrica es que implica que la derivada cova-
riante conmuta con subir, bajar o contraer ı́ndices:
gµν∇ρSµν = ∇ρ(gµνSµν) = ∇ρSµµ. (8.4)
Esta propiedad no es verdad para derivadas covariantes con conexiones que no sean compatibles
con la métrica.
Dadas estas dos condiciones, la conexión queda completamente determinada por la métrica.
Considérese las tres derivadas covariantes de la métrica:
0 = ∇µgνρ = ∂µgνρ − Γλµν gλρ − Γλµρ gνλ,
0 = ∇νgρµ = ∂νgρµ − Γλνρ gλµ − Γλνµ gρλ,
0 = ∇ρgµν = ∂ρgµν − Γλρµ gλν − Γλρν gµλ. (8.5)
Si sumamos las primeras dos expresiones y le restamos la tercera, utilizando el hecho de que
tanto la métrica como la conexión sean simétricas, obtenemos
∂µgνρ + ∂νgρµ − ∂ρgµν − 2Γλµν gλρ = 0, (8.6)
o, multiplicando con gσρ,
Γσµν =
1
2
gσλ
(
∂µgλν + ∂νgµλ − ∂λgµν
)
. (8.7)
Podemos por lo tanto expresar la conexión de Levi-Civita completamente en función de las com-
ponentes de la métrica y sus derivadas.
Vemos entonces que en una variedad equipada con la conexión de Levi-Civita, todas las pro-
piedades geométricas están determinadas únicamente por la métrica: con ella se puede determi-
nar las distancias entre distintos puntos y los angulos entre vectores, pero además al determinar
completamente la conexión de Levi-Civita, los conceptos de transporte paralelo y curvatura, en
particular el tensor de Riemann, quedan definidos en términos de la métrica.
El hecho de que la conexión de Levi-Civita sea la única conexión que satisface (simultanea-
mente) las condiciones de simetrı́a y compatibilidad con lamétrica, hace que esta conexión juegue
un papel preferido dentro de las matemáticas y la fı́sica. En particular, salvo escasas excepciones
se suele utilizar esta conexión en la relatividad general. Además resulta que la noción de transpor-
te paralelo que induce la conexión de Levi-Civita es la que más se aproxima a nuestra intuición
de paralelo en espacios curvos.
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